16微积分基本定理的推导
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难点：进一步引导学生应用定积分的基本 思想来探究问题，同时利用导数的意义作为 桥梁来转化被积函数是这节课的难点。
⒊教学目标分析： 知识目标：使学生经历定理的发现过程，直
观了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理 解导数与定积分的互逆关系；通过计算两个简单 的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。
教学过程：
⒈引题——追根溯源：
公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术”：
教学过程：
⒉情景设置：
①首先让学生回顾计算
1
0
x
3
dx
的过程：
=
lim 1 x 3dx
n f ( i ) • x
0
n n i1
lim
n
(
i
3
)
•
1
n n i1
n
lim 1 (1 1)2 1 n 4 n 4
教学过程：
点处的函数值s(b)与左端点处的函数值s (a)之差． ③式是否具有一般性呢？
⒋ 水到渠成：给出微积分基本定理的一般形式。
连续函数 f(x),若 f (x) F(x)，则ab f (x)dx F(b) F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
（1642－1727）
可用线段ＡＤ来近似代替曲边 AB，得到直角三角形ACD，AD
正是曲线s s(t) 在左端点A处
的切线，由导数的几何意义可知： AD的斜率就是tan∠DAC，所以
=
hi tan DAC t
hi tan DAC t s '(ti1) t
另一方面曲线S在左端点A处的切线就是s(ti ，1 )
（1646－1716）
⒍活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3dx 0
21
1
dx x
以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较， 得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单，教 师给出规范的书写格式。初步展示利用微积分基本定理 求定积分的优越性。
计 算 定 积 分 的 方 法:
li
i
通过讨论发现山高
hi li sin i
那么把所有 hi累加起来
不正好就是山的高度吗？
n
hi
i 1
以研究这小段山高为例： 问题1能否）把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？ 问题2 假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？ 问题3 在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？
⒈分割：a t0 t1 L ti1 ti L tn b 等分成n个小区间 [t0 , t1], [t1, t2 ],L , [ti1, ti ],L , [tn1, tn ]
⒋教学方法和手段： 尽管已是高中学生，但抽象的概念依然
令学生望而生畏，因此着眼于个别实例的研 究，强调来龙去脉，淡化证明过程。学生既 不用面对极限、无穷项求和、导数、积分综 合难题的证明，又不失为良好的推导微积分 基本定理的过程。
二、学情分析：
⒈ 根据函数曲线图学生不难看出位移差
s s(b) s(a)
下面我们讨论如何用速度函数v(t)来表示位 移s，因为在上一节“汽车行驶的路程”中，学 生知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分，在 此学生肯定会联想到只要知道了v(t), 不就解决了 吗？但是题目已知的只是路程函数s(t), 因此接 下来的关键在于建立v(t)与s(t)的关系。下面分8 个步骤来讨论：
②接着动手利用定义计算
21 dx
lim 2 1dx
n f ( i ) • x
1x
n i1
n
1x
lim n 1 • 1
i n i1 n
③重复以上步骤学生遇到 了麻烦；引导学生分析原因：
n
和式难求．
=
lim n 1
i n i1
11
④当被积函数是 1 如何求呢？
x4
,
x
5
,
1 x3
lim(1 L )
Q s(t) v(t)
n b a
= s lim n i1
n v(ti1)
让学生观察，这不正是速度函数 v(t)的定积分吗？
（引入定积分得到左边雏形）
b
s a v(t)dt.
（建立导数与积分的关系）s
b
a
v(t
)dt
b
a
s
'(t
)dt
s(b)
s(a)
归纳小结：③式表明，速度函数v(t在) 区间[a，b] 上的定积分等于位移函数 s(t )在区间[a，b]的右端
n
23
n
⒊探究——问题模型：
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律
是= s s(t) 由导数的概念可知，它在任意时刻t的速
度是 v(t) s(t) 。设这个物体在时间段a, b内的位
移为S，你能分别用 v(t) ，s(t) 表示Ｓ吗？
观察图象得到物体的位移s，即
s s(b) s(a)
分析:
⒉由于学生刚学习了导数，知道导数的几何 意义即为切线的斜率,路程对时间的导数即为 速度 s(t) v(t)
二、学情分析：
⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”，学
生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程， 即对 v(t) 的定积分。
⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度 的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。
能力目标： 让学生能够体会微积分运动变化地思维 方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 并且培养学生在探索过程中善于变通的思想， 敢于挑战陈规的精神!
情感目标： A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退 而结网的思想。 C 感受用近似无限接近精确的方法。
b
f ( x)dx
a
(1)定义法:
b a
n
f ( x)dx lim n i 1
引进导数．
⒉近似代替：当t 很小时，我们可以认为 Si hi
n
n
nБайду номын сангаас
⒊求和：
S Si hi s '(ti1)t.
i 1
i 1
i 1
n
⒋取极限：物体的总位移的近似值 s '(ti1)t
i 1
就越接近精确值S． 即
n
n ba
S
lim
t 0
i 1
s '(ti1)t
lim
n
i 1
n
s '(ti1),
一、教材分析 ⒈ 地位、作用：
欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩 格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学， 微积分基本定理正是它的核心！
2．教学重点、难点分析： 重点： 通过探究变速直线运动物体的速度
与位移的关系，发现微积分基本定理的雏形， 进而把结论一般化,是这节课的重点.
⒊教学目标分析： 知识目标：使学生经历定理的发现过程，直
观了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理 解导数与定积分的互逆关系；通过计算两个简单 的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。
教学过程：
⒈引题——追根溯源：
公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术”：
教学过程：
⒉情景设置：
①首先让学生回顾计算
1
0
x
3
dx
的过程：
=
lim 1 x 3dx
n f ( i ) • x
0
n n i1
lim
n
(
i
3
)
•
1
n n i1
n
lim 1 (1 1)2 1 n 4 n 4
教学过程：
点处的函数值s(b)与左端点处的函数值s (a)之差． ③式是否具有一般性呢？
⒋ 水到渠成：给出微积分基本定理的一般形式。
连续函数 f(x),若 f (x) F(x)，则ab f (x)dx F(b) F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
（1642－1727）
可用线段ＡＤ来近似代替曲边 AB，得到直角三角形ACD，AD
正是曲线s s(t) 在左端点A处
的切线，由导数的几何意义可知： AD的斜率就是tan∠DAC，所以
=
hi tan DAC t
hi tan DAC t s '(ti1) t
另一方面曲线S在左端点A处的切线就是s(ti ，1 )
（1646－1716）
⒍活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3dx 0
21
1
dx x
以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较， 得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单，教 师给出规范的书写格式。初步展示利用微积分基本定理 求定积分的优越性。
计 算 定 积 分 的 方 法:
li
i
通过讨论发现山高
hi li sin i
那么把所有 hi累加起来
不正好就是山的高度吗？
n
hi
i 1
以研究这小段山高为例： 问题1能否）把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？ 问题2 假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？ 问题3 在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？
⒈分割：a t0 t1 L ti1 ti L tn b 等分成n个小区间 [t0 , t1], [t1, t2 ],L , [ti1, ti ],L , [tn1, tn ]
⒋教学方法和手段： 尽管已是高中学生，但抽象的概念依然
令学生望而生畏，因此着眼于个别实例的研 究，强调来龙去脉，淡化证明过程。学生既 不用面对极限、无穷项求和、导数、积分综 合难题的证明，又不失为良好的推导微积分 基本定理的过程。
二、学情分析：
⒈ 根据函数曲线图学生不难看出位移差
s s(b) s(a)
下面我们讨论如何用速度函数v(t)来表示位 移s，因为在上一节“汽车行驶的路程”中，学 生知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分，在 此学生肯定会联想到只要知道了v(t), 不就解决了 吗？但是题目已知的只是路程函数s(t), 因此接 下来的关键在于建立v(t)与s(t)的关系。下面分8 个步骤来讨论：
②接着动手利用定义计算
21 dx
lim 2 1dx
n f ( i ) • x
1x
n i1
n
1x
lim n 1 • 1
i n i1 n
③重复以上步骤学生遇到 了麻烦；引导学生分析原因：
n
和式难求．
=
lim n 1
i n i1
11
④当被积函数是 1 如何求呢？
x4
,
x
5
,
1 x3
lim(1 L )
Q s(t) v(t)
n b a
= s lim n i1
n v(ti1)
让学生观察，这不正是速度函数 v(t)的定积分吗？
（引入定积分得到左边雏形）
b
s a v(t)dt.
（建立导数与积分的关系）s
b
a
v(t
)dt
b
a
s
'(t
)dt
s(b)
s(a)
归纳小结：③式表明，速度函数v(t在) 区间[a，b] 上的定积分等于位移函数 s(t )在区间[a，b]的右端
n
23
n
⒊探究——问题模型：
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律
是= s s(t) 由导数的概念可知，它在任意时刻t的速
度是 v(t) s(t) 。设这个物体在时间段a, b内的位
移为S，你能分别用 v(t) ，s(t) 表示Ｓ吗？
观察图象得到物体的位移s，即
s s(b) s(a)
分析:
⒉由于学生刚学习了导数，知道导数的几何 意义即为切线的斜率,路程对时间的导数即为 速度 s(t) v(t)
二、学情分析：
⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”，学
生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程， 即对 v(t) 的定积分。
⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度 的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。
能力目标： 让学生能够体会微积分运动变化地思维 方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 并且培养学生在探索过程中善于变通的思想， 敢于挑战陈规的精神!
情感目标： A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退 而结网的思想。 C 感受用近似无限接近精确的方法。
b
f ( x)dx
a
(1)定义法:
b a
n
f ( x)dx lim n i 1
引进导数．
⒉近似代替：当t 很小时，我们可以认为 Si hi
n
n
nБайду номын сангаас
⒊求和：
S Si hi s '(ti1)t.
i 1
i 1
i 1
n
⒋取极限：物体的总位移的近似值 s '(ti1)t
i 1
就越接近精确值S． 即
n
n ba
S
lim
t 0
i 1
s '(ti1)t
lim
n
i 1
n
s '(ti1),
一、教材分析 ⒈ 地位、作用：
欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩 格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学， 微积分基本定理正是它的核心！
2．教学重点、难点分析： 重点： 通过探究变速直线运动物体的速度
与位移的关系，发现微积分基本定理的雏形， 进而把结论一般化,是这节课的重点.