16微积分基本定理的推导
微积分 中常见的基本公式
设 u = u(x)，v = v(x) 为可导函数，则
(1)
(u
±
v)′
=
u′
±
v′； (2)
(uv)′
=
u′v
+
uv′；(3)
u v
′
=
u′v − uv′ v2
(v
≠
0).
(4) 若 uk = uk (x) (k = 1，2，L，n) 均为可导函数，则
(u1u2 Lun )′ = u1′u2 Lun + u1u2′Lun + L + u1u2 x2 + x4 + o(x4)； 2! 4!
(4) tan x = x + x3 + 2 x5 + o(x5)； 3 15
(5) arcsin x = x + x3 + 3 x5 + o(x5)； (6)arctan x = x − x3 + x5 + o(x5)
6 40
1 n
n
单调递增.
六、 微积分中值定理
1、罗尔 (Rolle) 定理： 假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(1) f (x) 在 [a，b] 上连续；(2) f (x) 在 (a，b)内可导；(3) f (a) = f (b).
则：∃ξ ∈ (a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0.
2、拉格朗日(Lagrange) 中值定理：假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(6)
(loga
x)′
=
1 x ln a
(a > 0且 a ≠ 1)；
(8) (cos x)′ = −sin x；
(9) (tan x)′ = sec2 x；
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
要点讲解：微积分基本定理
1 / 21.6 微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2 / 22200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.（1）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰； （2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x '=的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。
微积分基本定理
2 2 （2 1） （ 2 ln 2 ln 1） 1 2 ln 2 x |1 2(ln x) |1
公式 1: 公式：
b
a
1 b dx = lnx|a x
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 4．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
1
x
1dx e ___ e 1
初等函数
练习 2:求下列定积分： (1) (x2＋2x＋3)dx； (2) (3)
0 － π 2 1
(cos x－ex)dx；
x 2 sin2 dx. 0 2
练习3：求下列定积分：
(练习) A.π
(1＋cosx)dx等于 B.2 C.π－2
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
5.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为 线方程. 解：如右图.设切点A(x0，y0)，由 .试求：切点A的坐标及过切点A的切
y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－ 令y＝0，得x＝ .即C( ,0). .
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，
C.3
答案：D
D.2
微积分基本公式和基本定理
x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C
16个基本导数公式推导过程
16个基本导数公式推导过程一、基本定义在微积分中，导数是用来描述函数其中一点上的变化率的数学工具。
给定一个函数y=f(x)，我们可以通过求取其导数来计算在不同点的变化率。
二、导数的定义式给定一个函数y=f(x)，在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim(h→0) ((f(x+h) - f(x))/h)三、常数导数对于一个常数c，导数恒为0。
因为对于任意的x和h，我们有：(f(x)+c)-f(x)=chh所以导数为：(f(x) + c) - f(x) = lim (h→0) = 0hh四、幂律导数对于幂函数y=x^n，其中n是一个常数，则导数可以通过幂律计算。
幂律定义如下：f(x) = x^n ， f'(x) = nx^(n-1)五、指数函数的导数对于指数函数y=a^x，其中a是一个常数，则导数也可以通过指数函数的特性进行计算。
指数函数的导数定义如下：f(x) = a^x ， f'(x) = ln(a) * a^x六、对数函数的导数对于对数函数y=log_a(x)，其中a是一个常数，则导数也可以通过对数函数的特性进行计算。
对数函数的导数定义如下：f(x) = log_a(x) ， f'(x) = 1 / (x * ln a)七、和差法则给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的和（差）的导数可以通过和差法则计算。
根据和差法则，我们有：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)八、积法则给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的乘积的导数可以通过积法则计算。
根据积法则，我们有：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)九、商法则给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，且g(x)不等于0，则它们的商的导数可以通过商法则计算。
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
微积分学基本定理
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0
(4) sin xdx;
2
(5) sin xdx;
0
2
例1
求 ( 2 cos x sin x 解
原式 2 sin x cos x x 0
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
微积分学基本定理
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，研究的是函数的极限、导数和积分等概念及其应用。
下面将介绍16个微积分公式，包括导数和积分的基本公式以及一些常用的微积分技巧。
一、导数的基本公式1. 常数函数的导数公式：常数函数的导数为0。
这是因为常数函数在任意点的斜率都是0。
2. 幂函数的导数公式：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。
3. 指数函数的导数公式：指数函数的导数等于该函数自身乘以底数的自然对数。
4. 对数函数的导数公式：对数函数的导数等于该函数自身除以自变量。
5. 三角函数的导数公式：三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系推导得出。
二、积分的基本公式1. 定积分的基本公式：定积分可以看作是函数在给定区间上的面积。
计算定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即求导和积分的逆运算。
2. 不定积分的基本公式：不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
计算不定积分可以使用导数和积分的基本公式。
三、微积分的常用技巧1. 函数的导数与原函数的关系：函数的导数可以用来求函数的原函数，而函数的原函数可以用来求函数的积分。
2. 导数的链式法则：如果一个函数是两个函数的复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来计算。
3. 积分的换元法：积分的换元法是一种常用的求积法则，可以通过变量代换来简化积分的计算。
4. 积分的分部积分法：分部积分法是积分的一种常用技巧，可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。
5. 积分的化简技巧：有时候，积分的式子可以通过一些化简技巧来简化，如分子分母的拆分、积分区间的变换等。
6. 导数的极值问题：导数可以用来求函数的极值点，通过判断导数的正负可以确定函数的增减性。
7. 积分的应用：积分在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求曲线的长度、求物体的质心等。
8. 微分方程的解法：微分方程是微积分的一个重要应用，可以用来描述物理系统的变化规律。
求解微分方程可以通过积分的方法来得到解析解。
9. 隐函数的求导：隐函数是指用一个方程来表示的函数，它的导数可以通过求偏导数来计算。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个微积分是数学的一门重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。
微积分的基本公式是我们学习和应用微积分的基础，下面将介绍微积分的16个基本公式。
1.1+1=2这是微积分的最基本的公式，表示两个数相加得到另一个数。
2.a*b=b*a这是乘法交换律，表示两个数相乘的结果与顺序无关。
3.a+(b+c)=(a+b)+c这是加法结合律，表示三个数相加的结果与加法的顺序无关。
4.a*(b+c)=a*b+a*c这是乘法分配律，表示一个数与两个数相加的结果等于这个数与每个数相加的结果之和。
5.a-b=-(b-a)这是减法的性质，表示两个数相减的结果与减法的顺序无关。
6.a/b=b/a这是除法的性质，表示两个数相除的结果与除法的顺序无关。
7. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2这是二次方的展开公式，表示两个数的和的平方等于它们的平方和加上两倍的乘积。
8. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这是二次方差的公式，表示两个数的差的平方等于它们的平方差减去两倍的乘积。
9.(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这是差的平方公式，表示两个数的和与差的乘积等于它们的平方差。
10. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3这是立方和的展开公式，表示两个数的和的立方等于它们的立方和加上三倍的乘积加上三倍的乘积再加上立方。
11. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3这是立方差的公式，表示两个数的差的立方等于它们的立方差减去三倍的乘积加上三倍的乘积再减去立方。
12. (a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3这是立方和的因式分解公式，表示两个数的和与和的平方差的乘积等于它们的立方和。
13. (a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3这是立方差的因式分解公式，表示两个数的差与差的平方和的乘积等于它们的立方差。
14. (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/2)a^(n-2)b^2+...+nb^(n-1)+b^n这是二项式定理，表示两个数的和的n次方等于它们的各种组合的乘积之和。
微积分推导公式
微积分推导公式微积分可是数学领域里的大明星呀！在咱们的学习中，微积分的推导公式那可是相当重要。
先来说说什么是微积分吧。
想象一下，你正在跑步，速度不是一直不变的，而是一会儿快一会儿慢。
这时候，微积分就能帮我们算出在某个瞬间你的速度到底是多少。
或者，你有一个不规则的图形，比如一块奇形怪状的石头，微积分就能帮我们算出它的面积或者体积。
就拿最简单的求导公式来说，比如函数 y = x^n 的导数是 y' = nx^(n- 1) 。
这个公式看起来挺简单，但推导起来可不容易。
我记得有一次，我给学生们讲这个公式的推导。
我在黑板上一步一步地写，学生们在下面眼睛瞪得大大的，一脸的迷茫。
我心里那个着急呀，就想着怎么能让他们明白。
于是，我就举了个例子，说假如我们要计算一个立方体的体积增加的速度。
假设这个立方体的边长是x ，那么它的体积就是 V = x^3 。
当边长增加了一点点Δx ，新的体积就是(x + Δx)^3 。
我们把新体积展开，然后减去原来的体积，再除以Δx ，最后让Δx 趋近于 0 ，就能得到体积关于边长的变化率，也就是导数。
学生们听了这个例子，好像有点开窍了，但还是不太明白。
我又换了个角度，让他们想象自己在爬山，山坡的陡峭程度就是导数。
这下，终于有几个学生露出了恍然大悟的表情。
再来说说积分的推导公式。
比如，定积分的基本公式∫a^x dx =(1/lna)a^x + C 。
这个公式的推导就像是在拼图，把一小块一小块的面积拼起来，得到整个图形的面积。
有一次，我带着学生们做一个积分的练习题，题目是求一个曲线和x 轴之间的面积。
我看着他们有的抓耳挠腮，有的埋头苦算，心里也是五味杂陈。
我在教室里走来走去，给这个指点一下，给那个提醒一句。
终于，有个平时不太起眼的学生算出了正确答案，那一刻，我比他还高兴。
总之，微积分的推导公式虽然有点难，但只要我们多思考，多联系实际，就能慢慢掌握。
就像爬山一样，虽然过程辛苦，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值了！希望大家在学习微积分推导公式的时候，不要害怕，多动手，多思考，相信自己一定能行！。
16微积分基本定理的推导
（1646－1716）
⒍活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3dx 0
21
1
dx x
以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较， 得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单，教 师给出规范的书写格式。初步展示利用微积分基本定理 求定积分的优越性。
计 算 定 积 分 的 方 法:
li
i
通过讨论发现山高
hi li sin i
那么把所有 hi累加起来
不正好就是山的高度吗？
n
hi
i 1
以研究这小段山高为例： 问题1能否）把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？ 问题2 假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？ 问题3 在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？
⒈分割：a t0 t1 L ti1 ti L tn b 等分成n个小区间 [t0 , t1], [t1, t2 ],L , [ti1, ti ],L , [tn1, tn ]
引进导数．
⒉近似代替：当t 很小时，我们可以认为 Si hi
n
n
n
⒊求和：
S Si hi s '(ti1)t.
i 1
i 1
i 1
n
⒋取极限：物体的总位移的近似值 s '(ti1)t
i 1
就越接近精确值S． 即
n
n ba
S
lim
t 0
i 1
s '(ti1)t
lim
n
i 1
n
s '(ti1),
难点：进一步引导学生应用定积分的基本 思想来探究问题，同时利用导数的意义作为 桥梁来转化被积函数是这节课的难点。
⒊教学目标分析： 知识目标：使学生经历定理的发现过程，直
微积分基本公式(16)
因此
x
f (t)dt F ( x) F (a)
a
得
记作
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例3 求
sin xdx.
0
解 由于 cos x 是 sin x 的一个原函数，所以按牛顿
-莱布尼兹公式，有
sin xdx cos x 0
0
cos cos0 1 1 2.
例4 求
11 0 1 x2 dx.
同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
f (x)
d ( x) f (t)d t f [ ( x)]( x)
dx a
d
dx
(x) (x)
f
(t)d
t
d dx
a
f (t)dt
(x)
(x)
a
f
(t )d t
f [( x)]( x) f [ ( x)] ( x)
么么么么方面
• Sds绝对是假的
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例2 求
解 原式 lim e 2 (1 cos x)
x0
x2
因为cos x 1, 所以当x 0时，有
1,
又因为1 cos x ~ 1 x2 , 所以 2
原式
1 2e
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三、牛顿 – 莱布尼兹公式
ln x
b
d
b
x2 f (t )dt ( x2 )
ln x f (t )dt x2
dx ln x
b
ln x
f (t )dt
b
2x b f (t)dt x2 f (ln x) (ln x) ln x
b
2x f (t)dt xf (ln x). ln x
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二、学情分析：
⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”，学
生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程， 即对 v(t) 的定积分。
⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度 的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。
Q s(t) v(t)
n b a
= s lim n i1
n v(ti1)
让学生观察，这不正是速度函数 v(t)的定积分吗？
（引入定积分得到左边雏形）
b
s a v(t)dt.
（建立导数与积分的关系）s
b
a
v(t
)dt
b
a
s
'(t
)dt
s(b)
s(a)
归纳小结：③式表明，速度函数v(t在) 区间[a，b] 上的定积分等于位移函数 s(t )在区间[a，b]的右端
li
i
通过讨论发现山高
hi li sin i
那么把所有 hi累加起来
不正好就是山的高度吗？
n
hi
i 1
以研究这小段山高为例： 问题1能否）把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？ 问题2 假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？ 问题3 在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？
⒈分割：a t0 t1 L ti1 ti L tn b 等分成n个小区间 [t0 , t1], [t1, t2 ],L , [ti1, ti ],L , [tn1, tn ]
n
23
n
⒊探究——问题模型：
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律
是= s s(t) 由导数的概念可知，它在任意时刻t的速
度是 v(t) s(t) 。设这个物体在时间段a, b内的位
移为S，你能分别用 v(t) ，s(t) 表示Ｓ吗？
观察图象得到物体的位移s，即
s s(b) s(a)
分析:
难点：进一步引导学生应用定积分的基本 思想来探究问题，同时利用导数的意义作为 桥梁来转化被积函数是这节课的难点。
⒊教学目标分析： 知识目标：使学生经历定理的发现过程，直
观了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理 解导数与定积分的互逆关系；通过计算两个简单 的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。
可用线段ＡＤ来近似代替曲边 AB，得到直角三角形ACD，AD
正是曲线s s(t) 在左端点A处
的切线，由导数的几何意义可知： AD的斜率就是tan∠DAC，所以
=
hi tan DAC t
hi tan DAC t s '(ti1) t
另一方面曲线S在左端点A处的切线就是s(ti ，1 )
⒋教学方法和手段： 尽管已是高中学生，但抽象的概念依然
令学生望而生畏，因此着眼于个别实例的研 究，强调来龙去脉，淡化证明过程。学生既 不用面对极限、无穷项求和、导数、积分综 合难题的证明，又不失为良好的推导微积分 基本定理的过程。
二、学情分析：
⒈ 根据函数曲线图学生不难看出位移差
s s(b) s(a)
下面我们讨论如何用速度函数v(t)来表示位 移s，因为在上一节“汽车行驶的路程”中，学 生知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分，在 此学生肯定会联想到只要知道了v(t), 不就解决了 吗？但是题目已知的只是路程函数s(t), 因此接 下来的关键在于建立v(t)与s(t)的关系。下面分8 个步骤来讨论：
能力目标： 让学生能够体会微积分运动变化地思维 方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 并且培养学生在探索过程中善于变通的思想， 敢于挑战陈规的精神!
情感目标： A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退 而结网的思想。 C 感受用近似无限接近精确的方法。
（1646－1716）
⒍活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3dx 0
21
1
dx x
以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较， 得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单，教 师给出规范的书写格式。初步展示利用微积分基本定理 求定积分的优越性。
计 算 定 积 分 的 方 法:
教学过程：
⒈引题——追根溯源：
公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术”：
教学过程：
⒉情景设置：
①首先让学生回顾计算
1
0
x
3
dx
的过程：
=
lim 1 x 3dx
n f ( i ) • x
0
n n i1
lim
n
(
i
3
)
•
1
n n i1
n
lim 1 (1 1)2 1 n 4 n 4
教学过程：
点处的函数值s(b)与左端点处的函数值s (a)之差． ③式是否具有一般性呢？
⒋ 水到渠成：给出微积分基本定理的一般形式。
连续函数 f(x),若 f (x) F(x)，则ab f (x)dx F(b) F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
（1642－1727）
②接着动手利用定义计算
21 dx
lim 2 1dx
n f ( i ) • x
1x
n i1
n
1x
lim n 1 • 1
i n i1 n
③重复以上步骤学生遇到 了麻烦；引导学生分析原因：
n
和式难求．
=
lim n 1
i n i1
11
④当被积函数是 1 如何求呢？
x4 x3
lim(1 L )
一、教材分析 ⒈ 地位、作用：
欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩 格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学， 微积分基本定理正是它的核心！
2．教学重点、难点分析： 重点： 通过探究变速直线运动物体的速度
与位移的关系，发现微积分基本定理的雏形， 进而把结论一般化,是这节课的重点.
b
f ( x)dx
a
(1)定义法:
b a
n
f ( x)dx lim n i 1
引进导数．
⒉近似代替：当t 很小时，我们可以认为 Si hi
n
n
n
⒊求和：
S Si hi s '(ti1)t.
i 1
i 1
i 1
n
⒋取极限：物体的总位移的近似值 s '(ti1)t
i 1
就越接近精确值S． 即
n
n ba
S
lim
t 0
i 1
s '(ti1)t
lim
n
i 1
n
s '(ti1),