微积分基本定理PPT课件
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
高二数学选修课件第章微积分基本定理
例题1
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
微积分PPT课件
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
4.2 微积分基本定理(79)
10
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
x
2x f (t )dt 1在 (0,1) 内只有一个解. 0
证
令
F(x) 2x
x
f (t)dt 1,
0
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
T2 v(t)dt
T1
s(T2 ) s(T1),
其中 s(t) v(t).
4.2 微积分基本定理(79)
3
2、积分上限函数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为 [a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
a f ( x)dx a f (t)dt.
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对每个取
F ( x) d b( x)
dx a( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证
0
F(x)
b( x)
f (t )dt f (t)dt
a( x)
0
b( x)
a( x)
f (t)dt f (t)dt,
0
0
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
F ( x)
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) f (t)dt 0, 0
又( x t) f (t) 0, 且不恒为0，0 t x,
4.2 微积分基本定理(79)
10
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
x
2x f (t )dt 1在 (0,1) 内只有一个解. 0
证
令
F(x) 2x
x
f (t)dt 1,
0
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
T2 v(t)dt
T1
s(T2 ) s(T1),
其中 s(t) v(t).
4.2 微积分基本定理(79)
3
2、积分上限函数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为 [a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
a f ( x)dx a f (t)dt.
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对每个取
F ( x) d b( x)
dx a( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证
0
F(x)
b( x)
f (t )dt f (t)dt
a( x)
0
b( x)
a( x)
f (t)dt f (t)dt,
0
0
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
F ( x)
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) f (t)dt 0, 0
又( x t) f (t) 0, 且不恒为0，0 t x,
人教B版高中数学选修2-2第三章6《微积分基本定理》ppt课件
4) (cos x )' sin x
b sin xdx
a
-
cos x |ba
5) (ln x )' 1
x
b 1 dx ax
ln|x ||ba
6) (e x )' e x
b e x dx
a
e x |ba
7) (ax )'
ax lna
b ax dx
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间 [a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定
n
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s '(ti1)t.
取极限i1 ，由定i1积分的i1 定义得 i1
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
进而得出微积分基本定理.
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)， 那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示 为
x3
'
3x2 ,
1
'
x
1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2
微积分基本定理_图文_图文
微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
2-1微积分学基本定理及基本积分公式.ppt
1
0
f ( x )dx ′ = f ( x ) ， ∫
d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
不定积分 积分再求导 先 不定积分再求导 =本身 本身
或
20
或
∫ f ′( x )dx = ∫ df ( x ) =
f ( x) + C ，
f ( x) + C ．
运算法则 ② 运算法则
10
20
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫
∫ kf ( x ) dx = k ∫
f ( x )dx ±
（可加性 （可加性） ∫ g ( x )dx ， 可加性）
f ( x )dx ， （齐次性） 齐次性）
∫∑k
i =1
n
i
f i ( x )dx =
∑k ∫
i =1 i
n
f i ( x )dx ． 线性性质） （线性性质 （线性性质）
1
1
例2
证：(1)
≤∫
−
2 1 2
e
− x2
dx ≤ 2 ；
π 1 sin x 2 2 (2) < ∫π dx < ． 2 x 2 4
例3
3∫
设 f ( x ) ∈ C[0, 1] , f ( x ) ∈ D(0, 1) ，且
1 2 f ( x )dx = 3
1]
f ( 0 ) ．证： ∃ ξ∈( 0 , 1) ，使 f ′( ξ ) = 0 ．
a
ξ
b
x
推广的积分中值 推广的积分中值 Thm
上可积， 若函数 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ， g ( x ) 在 [a , b] 上可积，
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
高中数学(人教版)微积分基本公式课件
( x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 a
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么
b
a
f
(
x)
dx
F
(b)
F
(a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f (函)(b数 a)
F(导)(b数 a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
定f积(x分) dx a
0 f (t)dt
定义
设 f (x) C[a,b]
x
( x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x)在[a, b]上连续，则 ( x) f ( x)
推论 若 f ( x)在 [a, b]上连续，g( x), h( x) 可导
Φ~( x)
g( x)
f (t)dt
a
b
Ψ ( x) x f (t)dt Ψ~( x) b f (t)dt
f ( )(b a) 微分学 F理
中值定理
牛—莱公式
b
f (x) dx 积分学F (b) F (a) a
例2 计算
例3
计算
1 dx .
2 x
例4
f
(
x)
x
sin
x
1
1 0
x x
0 1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上
求
1
f (x)dx.
1
y y sin x
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么
b
a
f
(
x)
dx
F
(b)
F
(a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f (函)(b数 a)
F(导)(b数 a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
定f积(x分) dx a
0 f (t)dt
定义
设 f (x) C[a,b]
x
( x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x)在[a, b]上连续，则 ( x) f ( x)
推论 若 f ( x)在 [a, b]上连续，g( x), h( x) 可导
Φ~( x)
g( x)
f (t)dt
a
b
Ψ ( x) x f (t)dt Ψ~( x) b f (t)dt
f ( )(b a) 微分学 F理
中值定理
牛—莱公式
b
f (x) dx 积分学F (b) F (a) a
例2 计算
例3
计算
1 dx .
2 x
例4
f
(
x)
x
sin
x
1
1 0
x x
0 1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上
求
1
f (x)dx.
1
y y sin x
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
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ss(b)s(a)
⒉如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t)，那么
它在时刻t的速度是什么？
复习位移与速度之间的关系：s(t)v(t)
3.如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S？
在上一节“汽车行驶的路程”中，学生知道了位移就 b
是对速度函数v(t)的定积分S a V (t)dt ，已知路程函数
（4）求导运算与求原函数(定积分）运算互为逆运算。
—这一过程主要体现学生通过观察、探索等
方法对知识的总结。培养学生学习的主动性
（六）归纳总结：1.微积分基本定理及应用.
2.求导数运算与求积分运 算是互为逆运算
2021
⒋教法和学法：
(1)、教法：采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启
发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识 来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲， 体现了学生的主体地位。
(2) 、学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。学生在教师
的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法 和规律进行总结，在课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部 到整体，特殊到一般和用数形结合的方法获取知识的过程，培养学 生学习的主动性。
2021
2.教学目标：
(1)知识目标：了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解导
数与定积分的互逆关系.
(2)能力目标： 让学生能够体会微积分运动与静态变化地思维方
式，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的 精神!
(3)情感目标：
A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退而结网的思想. C 运用近似、无限接近巧妙的方法.
简记：bf(x)dxF (b)F (a)F (x)b
a
a
其中 F ( x ) 叫做 f ( x )
一个原函数
由 于 [F ( x ) + C ] '＝ f(x)， F ( x ) + C 也 是 f(x)的 原 函 数 ，
其 中 c 为 常 数 。
2021
（1642－1727）
（1646－1716）
2021
3．教学重点、难点分析： 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的
关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确 运用基本定理计算简单的定积分.（根据教材内容特点及 教学目标的要求）
难点：微积分基本定理的含义. （根据学生的年龄
结构特征和心理认知特点）
——以学生现有的知识对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度 的，而突破难点的关键在于让学生主动利用已学的知识去探索，这样才能使学生 从真正意义上把握该定理的含义，提高自身的能力，体现其主体地位。
——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材
料，以及他们的学术成果在整2021个社会乃至全世界的影响， 有利于丰富课堂内容。
（二）.活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3 dx 0
2 1 dx
1x
——以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例
题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分 简单。教师给出书写规范的格式初步展示利用微积分基 本定理求定积分的优越性。
5 、教具: 多媒体课件（增强课堂的趣味性）
2021
二、教学过程
2021
（一）温故知新
1.导数公式及几何意义
2.回顾计算 1 x 3 dx 的过程 0
(分割、近似代替、求和、取极限）
（二）创设问题情境
2
问题1、同学们能否用定积分的定义来求
1
dx
的值
1x
问题2、加法逆运算是减法，那么定积分运算有没有逆
b
b
s av (t)d t as'(t)d t s (b ) s 巩固和深化所
学知识，形成基本技能，培养学生学习的主动性。
2021
三、微积分基本定理
2021
（一）微积分基本定理
连续函数 f(x),若 f(x)F(x)，则abf(x)dxF(b)F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
微积分基本定理
惠水2民021 中 曾凡礼
一、教材分析
2021
⒈教材的地位及作用：
本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的 学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时 也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了 基础。因此它在教材中处于极其重要的地位。它曾被恩格 斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学.
s(t), 因此关键在于建立v(t)与s(t)的关系
——在这一过程中体现了定积分的基本思想，突出了导数的几 何意义，体现了数形结合这一数学中最基本的思想方法。
2021
（四）讨论归纳
1、问题：由以上探究同学们得出什么结论？
引导学生讨论后，归纳并得出基本定理的特例
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间端点b，a处的函数值 之差s(b)－s(a)， 即
2021
（三）.典型例题：
例1 计算下列定积分：
（1）
3
(2x
1
1 x2
)dx
教师给出规范的书写格式
解：因为 (x2 )' 2x,
(1 x
)'
1 x2
所以 13(2xx 12)dx132xdx13x 12dx
2 2
x2
3
1
3 (91)(1 1)
3 1 x 1
3
2021
（四）.巩固练习，强化提高 ：
运算，它的逆运算我们如何去定义？
问题3、求导和求定积分运算是否具有互逆关系呢？
2021
（三）探究分析： 请同学们看教材第57页的探究，说说探究的基
本思路？解决教学重点和化解教学难点 引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
2021
⒈如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生观察s= s(t)的图像探索发现并得出 ：
5
4xdx
10
5(x2 2x)dx
20
3
2 (x 1 )dx
1
x
2
4
(
1
x sinx)dx
（五）学生通过探究了解定积分基本定理特性：
（1）求定积分比较方便.
（2）若F'(x) f (x，) 且 f ( x ) 在区间 I 可积，
则 F ( x ) 叫做 f ( x )原函数.
2021
（3）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函 数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函 数等于被积函数
⒉如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t)，那么
它在时刻t的速度是什么？
复习位移与速度之间的关系：s(t)v(t)
3.如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S？
在上一节“汽车行驶的路程”中，学生知道了位移就 b
是对速度函数v(t)的定积分S a V (t)dt ，已知路程函数
（4）求导运算与求原函数(定积分）运算互为逆运算。
—这一过程主要体现学生通过观察、探索等
方法对知识的总结。培养学生学习的主动性
（六）归纳总结：1.微积分基本定理及应用.
2.求导数运算与求积分运 算是互为逆运算
2021
⒋教法和学法：
(1)、教法：采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启
发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识 来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲， 体现了学生的主体地位。
(2) 、学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。学生在教师
的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法 和规律进行总结，在课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部 到整体，特殊到一般和用数形结合的方法获取知识的过程，培养学 生学习的主动性。
2021
2.教学目标：
(1)知识目标：了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解导
数与定积分的互逆关系.
(2)能力目标： 让学生能够体会微积分运动与静态变化地思维方
式，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的 精神!
(3)情感目标：
A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退而结网的思想. C 运用近似、无限接近巧妙的方法.
简记：bf(x)dxF (b)F (a)F (x)b
a
a
其中 F ( x ) 叫做 f ( x )
一个原函数
由 于 [F ( x ) + C ] '＝ f(x)， F ( x ) + C 也 是 f(x)的 原 函 数 ，
其 中 c 为 常 数 。
2021
（1642－1727）
（1646－1716）
2021
3．教学重点、难点分析： 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的
关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确 运用基本定理计算简单的定积分.（根据教材内容特点及 教学目标的要求）
难点：微积分基本定理的含义. （根据学生的年龄
结构特征和心理认知特点）
——以学生现有的知识对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度 的，而突破难点的关键在于让学生主动利用已学的知识去探索，这样才能使学生 从真正意义上把握该定理的含义，提高自身的能力，体现其主体地位。
——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材
料，以及他们的学术成果在整2021个社会乃至全世界的影响， 有利于丰富课堂内容。
（二）.活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3 dx 0
2 1 dx
1x
——以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例
题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分 简单。教师给出书写规范的格式初步展示利用微积分基 本定理求定积分的优越性。
5 、教具: 多媒体课件（增强课堂的趣味性）
2021
二、教学过程
2021
（一）温故知新
1.导数公式及几何意义
2.回顾计算 1 x 3 dx 的过程 0
(分割、近似代替、求和、取极限）
（二）创设问题情境
2
问题1、同学们能否用定积分的定义来求
1
dx
的值
1x
问题2、加法逆运算是减法，那么定积分运算有没有逆
b
b
s av (t)d t as'(t)d t s (b ) s 巩固和深化所
学知识，形成基本技能，培养学生学习的主动性。
2021
三、微积分基本定理
2021
（一）微积分基本定理
连续函数 f(x),若 f(x)F(x)，则abf(x)dxF(b)F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
微积分基本定理
惠水2民021 中 曾凡礼
一、教材分析
2021
⒈教材的地位及作用：
本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的 学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时 也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了 基础。因此它在教材中处于极其重要的地位。它曾被恩格 斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学.
s(t), 因此关键在于建立v(t)与s(t)的关系
——在这一过程中体现了定积分的基本思想，突出了导数的几 何意义，体现了数形结合这一数学中最基本的思想方法。
2021
（四）讨论归纳
1、问题：由以上探究同学们得出什么结论？
引导学生讨论后，归纳并得出基本定理的特例
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间端点b，a处的函数值 之差s(b)－s(a)， 即
2021
（三）.典型例题：
例1 计算下列定积分：
（1）
3
(2x
1
1 x2
)dx
教师给出规范的书写格式
解：因为 (x2 )' 2x,
(1 x
)'
1 x2
所以 13(2xx 12)dx132xdx13x 12dx
2 2
x2
3
1
3 (91)(1 1)
3 1 x 1
3
2021
（四）.巩固练习，强化提高 ：
运算，它的逆运算我们如何去定义？
问题3、求导和求定积分运算是否具有互逆关系呢？
2021
（三）探究分析： 请同学们看教材第57页的探究，说说探究的基
本思路？解决教学重点和化解教学难点 引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
2021
⒈如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生观察s= s(t)的图像探索发现并得出 ：
5
4xdx
10
5(x2 2x)dx
20
3
2 (x 1 )dx
1
x
2
4
(
1
x sinx)dx
（五）学生通过探究了解定积分基本定理特性：
（1）求定积分比较方便.
（2）若F'(x) f (x，) 且 f ( x ) 在区间 I 可积，
则 F ( x ) 叫做 f ( x )原函数.
2021
（3）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函 数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函 数等于被积函数