二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

赋值法在二项式定理中的应用

赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。

二项式定理赋值法求各项系数的和

二项式定理赋值法求各项系数的和例2.已知(1 一2兀)，=a Q + a{x + a2x2 +••• + fl7x7.求：(1)q + 色 + ・•・ + 吗：(2 ) % + a? +1— + ①；(3) I a。

丨 +1 q I +• • • +1 吗I ・解：(1)肖x = 1时，(l-2x)7 =(1-2)7 =-1,展开式右边为4)+5 + °2 + …+ “7/. a。

+ q + a】+ …+ ①=—1,当X = 0 时t a() = 1 • a x + a2H ----- =— 1 -1 = —2,(2)令兀=1 •4)+4 +“2 +••・ + 心=一1 ①令兀=一],_ q + 6 _ 角 + °4 _ °5 + °6 _ ^7 = 3? ②1 + 3?①一② 得：2(q +角+。

5 +6)= _1_3? ■«! +«3 +«5 +«7 =-———.2(3)由展开式知：a x,a3y a5,a7均为负，a。

,色皿4卫8均为正，•••由(2)中©+<§)得：2(q)+ ① + ① + ©)= 一1 + 3?,一1 + 37：.a0+a2+a4+a6=—-—-I a() I +1 a】I + ・• • +1 a? 1= a。

—ci] + d丁—(厶 + 偽—①+ “6 —°7=(a0 +。

2 + 4 +。

6)-(4 +。

3 + “5 +)= 37例6・设(l + x) + (l + x)2 +(l + X)'+・・・ + (l + X)" = 670+67|X + rt2X2+••• + ©/", 为a{}+a A +a2+••・ + a n = 254时.求n的值.解：令x = \得：勺+厲+①+…+ ①=2 + 22 + 23 + ・..+ 2" =^_^ = 254,2 — 1・•・ 2" =12&w = 7,点评:对于f（x） = a（）（x-ay1 + Q]（x一+・・・ + %,令x —“ = 1,11卩x = d +1可得各项系数的和“° + q +①+…+ ©的值；令x — " = 一1,即X = d — 1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8.在（2x-3y）10的展开式中，求：①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:閃为二项式系数特抬组合数C爲故在①，③中只需求组合数的和，而与二项式2x-3y中的系数无关.解:设（2x-3y）" =t/o x10+a]x）y + a2x^y2+ …+ （*）»各项系数和即为"o+d] +・・+山（）,奇数项系数和为5+“2+・・・+ 4（），偶数项系数和为I" + 5 + “5 ------- 1-, X的奇次项系数和为© + “3 + “5 -------------- 旳，X的偶次项系数和d（）+ Cly+ “4 "I"10 ・由于（*）是恒等式,故可用“賦值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为C^+C：o+…+ C；；=21。

二项式定理及其应用赋值法

1 n
22
Cn2
2nCnn 2187
求：Cn1
C
r n
C
n n
的值
跟踪例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5
(B)x5-1
(C)x5+1
(D)(x-1)5-1
例例22、设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值（2） a1+a3+ a5的值（3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练一练
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
a0 a1x a2x2 ... a12x12 f (1) a0 a1 a2 a12 44 f (1) a0 a1a2 a3 a12 0
小结
▪ 二项式定理是个恒等式，即对a、b的一切值都成立，我们可根据具体问题灵活选取a、b 的值，一般取1、-1、0等
复习
1.二项式定理：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
C
r n
a
nr
b
r
C
n n
b
n
(n

妙用赋值法，巧解高考数学二项式问题

妙用赋值法，巧解高考数学二项式问题
离高考已经越来越近，如果把握住这个短暂日子，掌握相应的方式方法，也可以在高考数学方面得到快速提高。

而今天我们就介绍一个巧解高考数学二项式问题的方法--赋值法。

二项式定理是高中相对独立的内容，知识不多，但是解题方法对学生的思维发展、能力的培养和数学素质的提高是十分有益的，下面结合具体的题目，妙用赋值法，巧解二项式问题。

出现，重点考查求二项式展开式中特定项系数，求二项展开式中某指定项或项数，求二项展开式的二项式系数或展开式的系数的性质。

有时也考查两个二项式的积或三项的特定项系数或特定项问题，还有以二项式定理为载体考查数列求和、不等式证明等。

二项式定理求系数

二项式定理求系数二项式定理是代数学中的重要定理，它描述了一个二次多项式的展开式中各项的系数。

在这篇文章中，我们将详细介绍二项式定理以及如何利用该定理求解系数。

一、二项式定理的表达式二项式定理可以用以下表达式表示：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$其中，$n$为非负整数，$C_n^k$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数，$a$和$b$为任意实数。

二、二项式定理的求解过程利用二项式定理求解系数的过程如下：1.确定展开式中的幂次。

根据二项式定理，展开式的幂次从0到$n$，其中$n$为给定的非负整数。

2.确定各项的系数。

根据二项式定理的表达式，可以看出展开式中各项的系数由组合数$C_n^k$决定。

$C_n^k$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数，可以用公式$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$计算得出。

3.确定各项的幂指数。

根据二项式定理的表达式，可以看出第$k$项的幂指数为$a^{n-k}b^k$。

4.计算各项的值。

根据确定的系数和幂指数，可以计算出展开式中各项的值。

三、例题分析现在我们通过一个例题来进一步理解二项式定理的求解过程。

例题：将$(a+b)^3$展开。

根据二项式定理，展开式为：$(a+b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3$展开式的各项系数如下：第一项的系数为$C_3^0=1$，幂指数为$a^3b^0=a^3$。

第二项的系数为$C_3^1=3$，幂指数为$a^2b^1=ab$。

第三项的系数为$C_3^2=3$，幂指数为$a^1b^2=a^2b^2$。

第四项的系数为$C_3^3=1$，幂指数为$a^0b^3=b^3$。

因此，展开式为：$(a+b)^3=a^3+3ab+a^2b^2+b^3$四、总结通过以上例题的分析，我们可以看出，二项式定理是求解二次多项式展开式中各项系数的有力工具。

二项式系数的赋值法总结

二项式系数的赋值法总结二项式系数是组合数学中重要的一类系数，表示为 nCm，其中 n 和 m 都是非负整数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的不同组合数量。

计算二项式系数是组合数学的基础之一，对于求解概率、排列组合等数学问题有着广泛的应用。

赋值法是一种较为简便的计算二项式系数的方法，其基本思想是将已知的系数作为中间变量进行存储，并通过递推公式求解出目标系数。

以下是二项式系数的赋值法总结及其实现方法。

1. 递推公式二项式系数的递推公式是 nCm = (n-1)C(m-1) + (n-1)Cm，即从n 个元素中选取 m 个元素数量等于从 n-1 个元素中选取 m-1 个元素数量加上从 n-1 个元素中选取 m 个元素数量。

这个公式可以通过组合数学的排列组合知识来证明。

2. 赋值法实现通过递推公式可以得出赋值法的实现思路：先将 nC0 = 1 存储在数组中，然后通过递推公式依次计算 nC1、nC2、...、nCn。

具体实现方法：（1）定义一个大小为（n+1）x（n+1）的二维数组，每个元素初始化为0；（2）将第0列的元素全部赋值为1，即nC0 = 1；（3）根据递推公式，依次计算nC1、nC2、...、nCn，存储在对应位置上；（4）最后数组中第n行第m列即为所求的二项式系数nCm。

3. 时间复杂度和空间复杂度赋值法的时间复杂度和空间复杂度均为 O(n^2)，因为需要计算（n+1）x（n+1）的二维数组，并进行n次递推运算。

总之，赋值法是计算二项式系数的一种简便有效的方法，它既方便了计算，又能够减少计算量，满足现代计算机处理大型数据的需要。

通过掌握赋值法的实现方法，我们可以更好地应用它解决各种与排列组合有关的问题，为数学研究和应用提供有力支持。

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程二项式定理赋值法求各项系数的和例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++L .解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a aa -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例6．设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7n n ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a=+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8．在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.。

二项式定理二项展开式3赋值求某些项系数的和与差

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．知识内容赋值求某些项系数的和与差③注意二项式系数（rn C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看rn C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】若1()nx x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152典例分析【例4】若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例6】在二项式412nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】设(5nx -的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中3x 的系数为（）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是．【例11】若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．【例12】在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例15】若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例18】若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例23】若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例25】若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin 22sin cos x x x =． ⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk kn k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】证明：220C (1)2nk n n k k n n -==+∑．【例29】证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】求证：121C 2C C 2nn n n n n n -+++=⋅【例31】求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（）A ． 1+B ．1C ．1+D ．1【例33】设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例34】已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，，求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+是一次多项式或零次多项式．【例35】若0()C ni in i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（）A ．2B ．12C ．1D ．3。

二项式定理各项系数之和公式

二项式定理各项系数之和公式
二项式定理是代数中的一个重要定理，它描述了一个二项式的
幂展开式中各项的系数。

二项式定理陈述如下，对于任意实数a和
b以及非负整数n，展开(a+b)^n，我们可以得到一个表达式。

展开
后的表达式可以写成Σ(C(n,k)a^(n-k)b^k)，k的取值范围是0到n，C(n,k)是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。

现在我们来计算各项系数之和。

首先，我们知道二项式系数之和等于2的n次方。

这是因为二
项式定理展开后的表达式中，每一项的系数都是C(n,k)，k的取值
范围是0到n。

而C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)等于2的n次方。

其次，我们可以利用组合数的性质来计算各项系数之和。

根据
组合数的性质，我们知道C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)等于2的n次方。

这个性质可以通过数学归纳法来证明。

另外，我们还可以通过二项式系数的性质来计算各项系数之和。

根据二项式系数的性质，我们知道C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)等于
2的n次方。

这个性质可以通过二项式系数的递推关系来证明。

综上所述，二项式定理各项系数之和公式为2的n次方。

这个结论在代数中有着重要的应用，对于理解和运用二项式定理都具有重要意义。

希望这个回答能够帮助你更好地理解二项式定理及其应用。

公开课——利用二项式定理求通项、系数,赋值法求系数和

二项式定理的应用学习目标：1.通过练习，能够利用二项展开式的通项、组合知识求特定项及系数；2.通过训练，会用赋值法恰当地赋值，求展开式中系数的和.一、自主学习1．二项式定理(a+b )n = ，其展开式共有项，二项式系数为 (k = )，项的系数是二项式系数与a ，b 的系数的乘积, 展开式中的第k+1项叫做，记作T k+1= .2. 相关性质(1)对称性在(a+b )n 的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即C n m = .(2)增减性与最大值①增减性：当k <n+12时，二项式系数逐渐；当k > n+12时，二项式系数逐渐 .②最大值：当二项式的次数n 为偶数时，中间项的二项式系数取得最大值；当二项式的次数n 为奇数时，中间项的二项式系数同时取得最大值.(3)系数和二项式系数和：C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n k +⋯+C n n = (令a = , b = 即可). 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：C n 0+C n 2+C n 4+⋅⋅⋅+C n 2r +⋅⋅⋅=C n 1+C n 3+C n 5+⋯+C n 2r+1+⋅⋅⋅= (令a = , b = 即可).二、合作探究1. 求二项展开式中的特定项及系数例1 已知二项式(x +√x)6，求： (1)它的展开式中的常数项；(2)它的展开式中x 3的二项式系数和系数.练习1 若(x −√x )n 的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为32，求：(1)它的展开式中的有理项；(2)它的展开式中系数最大的项.例2 (2019·全国卷Ⅲ) (1+2x 2 )(1+x )4的展开式中x 3的系数为练习2 (2020·全国卷Ⅰ) (x+y x 2)(x+y )5的展开式中x 3y 3的系数为例3 (1+x +1x 3)10的展开式中，x 2项的系数为练习3 (2015·全国卷Ⅰ) ( x 2+x+y )5的展开式中，x 5y 2的系数为2. 利用赋值法求展开式系数的和例4 设(2−x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，求下列各式的值：(1) a 0；(2) a 1+a 2+a 3+⋯+a 10；(3) a 1+a 3+a 5+a 7+a 9；(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|.练习4 已知(1−2x)2021=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2021x 2021，求下列各式的值：(1) a 1+a 2+a 3+⋯+a 2021；(2) a 2+a 4+a 6+⋯+a 2020；(3)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 2021|；(4)(a 0+a 2+⋯+a 2020)2－(a 1+a 3+⋯+a 2021)2.三、巩固延伸1. 在二项式(√1x 4+√x 23)n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求x 3的系数.2. 若(√1x 3+√1x 25)n 的展开式中所有奇数项的系数和为1024，求它的中间项. 3. 已知在(a －x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数为207，求x 6的系数.变式：求(1+2x)3(1−x)4展开式中x 2的系数.4. (1+x +1x 2021)10的展开式中，x 2项的系数为 .5. (2020·浙江卷)若(1+2x)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x 1+a 0,则a 1+a 3+a 5= .6. 若二项展开式(12+2x)n (n <10)中的第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.四、课堂小结。

二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲

二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲一、引言（200字）二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，它可以用于展开任意整指数幂的二项式。

在教学中，可以采用赋值法来求解各项系数的和，这种教学方法能够让学生更好地理解和掌握二项式定理的应用。

本提纲将介绍如何使用赋值法来教授二项式定理求解各项系数的和，主要包括教学目标、教学步骤和教学评价等内容。

二、教学目标（200字）1.理解二项式定理的基本概念和公式；2.掌握使用赋值法求解二项式定理各项系数的和的方法；3.培养学生的逻辑思维能力和问题求解能力；4.增强学生对数学的兴趣和学习动力。

三、教学步骤（600字）1.复习与导入（100字）-复习二项式定理的基本概念和公式；-引导学生思考如何求解二项式各项系数的和。

2.讲解赋值法求解各项系数的和（300字）-介绍赋值法的基本原理；-以具体的例子说明如何应用赋值法求解二项式各项系数的和；-提醒学生注意赋值时的技巧和要点。

3.练习与训练（400字）-给学生提供一些简单的练习题，要求他们使用赋值法求解各项系数的和；-引导学生思考和讨论解题思路和方法；-鼓励学生积极参与训练，提高他们的问题解决能力。

4.拓展与应用（200字）-引导学生探索更复杂的二项式定理应用问题；五、教学评价（200字）1.反馈评价（100字）-给学生提供一些评价标准，帮助他们自我评价；-鼓励学生积极参与讨论和互评，提高他们的学习和合作能力。

2.教师评价（100字）-结合学生的课堂表现、练习和思考能力等多个因素进行综合评价；-鼓励并提出学生进一步提高的建议。

六、教学反思（200字）。

二项式赋值法原理

二项式赋值法原理二项式赋值法，又称为分解法或插值法，是一种用于多项式插值的方法。

它的原理是，在已知一个多项式的n+1个点上的值的情况下，通过构造一个新的多项式，使得这个新的多项式在这n+1个点上的值与已知的多项式相等。

这样，就可以通过这个新的多项式来计算在其他点上的值。

具体来说，二项式赋值法的原理可以分为以下几个步骤：1.选取n+1个插值节点。

假设我们要求解n次多项式，就需要至少n+1个节点。

这些节点可以是任意选取的，但更常用的是通过等距离分割自变量的区间来选取节点。

2. 构造Lagrange插值基函数。

对于每个节点xi，构造一个Lagrange插值基函数Li(x)，它满足以下性质：- 在xi处取值为1，即Li(xi) = 1；- 在其他节点xj (j≠i) 处取值为0，即Li(xj) = 0。

Lagrange插值基函数可以通过以下公式计算：Li(x) = Π(j=0 to n, j≠i) [(x - xj) / (xi - xj)]3. 构造插值多项式。

通过将Lagrange插值基函数与已知的函数值乘积相加，可以得到插值多项式：P(x) = Σ(i=0 to n) f(xi) * Li(x)其中，f(xi)是已知的函数值，Li(x)是构造的Lagrange插值基函数。

4.使用插值多项式计算其他点的值。

通过将待求点x代入插值多项式P(x)，可以计算得到该点的插值结果。

假设我们有四个插值节点：x0,x1,x2,x3，并且已知函数在这四个点上的值分别为f(x0),f(x1),f(x2),f(x3)。

首先，我们构造四个Lagrange插值基函数：L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)/(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x-x3)/(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x3)/(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)L3(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)/(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)然后，我们构造插值多项式：P(x)=f(x0)L0(x)+f(x1)L1(x)+f(x2)L2(x)+f(x3)L3(x)最后，通过将待求点x代入插值多项式P(x)，即可得到该点的插值结果。

二项式定理中的赋值技巧

ʏ河南省许昌市建安区第一高级中学丁书珍ʏ河南省鄢陵县第二高级中学刘俊霞在二项式定理的求值问题中,尤其是求解二项展开式的系数和等问题时,我们常常采用赋值法求解㊂即对二项展开式中的相关字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及与之相关的综合问题,在选择性必修三课本中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧㊂已知(1+x )n=C 0n+C 1nx +C 2nx 2+ +C n n x n,令x =1,得2n=C 0n +C 1n +C 2n+ +C nn ㊂这就是说,(a +b )n的展开式的各二项式系数的和等于2n㊂例1 求证:在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和㊂解析:奇数项的二项式系数的和为C 0n +C 2n +C 4n + ;偶数项的二项式系数的和为C 1n+C 3n+C 5n + ㊂由于(a +b )n =C 0n a n +C 1na n -1b +C 2n a n -2b 2+ +C n nb n 中的a ,b 可以取任意实数,因此我们可以通过对a ,b 适当赋值来得到上述两个系数和㊂在展开式(a +b )n=C 0na n+C 1na n -1b +C 2na n -2b 2+ +C n nb n中,令a =1,b =-1,得(1-1)n=C 0n-C 1n+C 2n+ +(-1)kC k n++(-1)n C n n ㊂即(C 0n +C 2n +C 4n + )-(C 1n +C 3n +C 5n + )=0㊂因此,C 0n +C 2n +C 4n + =C 1n +C 3n +C 5n + ㊂故在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和㊂点评:实际上,a ,b 既可以取实数,也可以取多项式㊂我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ,b 的值㊂例2 已知(3x -1)8=a 8x 8+a 7x 7+ +a 1x +a 0,求下列各式的值:(1)a 8+a 7+ +a 1+a 0;(2)|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|;(3)a 1+a 3+a 5+a 7㊂解析:(1)令x =1,得a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28=256㊂(2)因为|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0,所以令x =-1,得:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=48=65536㊂(3)由(1)和(2)知:a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28,a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=216㊂则a 1+a 3+a 5+a 7=28-2162=27-215=-32640㊂点评:赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项㊂同时,要注意问题的实质及变形,如求各项系数的绝对值的和时,要先根据绝对值里面数的符号赋值求解㊂同时注意这类问题的变形写法,如:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(a 8+a 6+a 4+ )-(a 7+a 5+a 3+ )等㊂对于比较繁杂式子的求值问题,22 解题篇经典题突破方法高二数学 2024年3月要先观察式子的特点,结合所学知识如因式分解等,对式子进行因式分解,再赋值求解㊂例3 已知(2-3x )100=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 100x 100,求下列各式的值:(1)a 0;(2)a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100;(3)a 2+a 4+ +a 100;(4)(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2㊂解析:(1)令x =0,可得a 0=2100㊂(2)令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂所以a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100-2100㊂(3)令x =-1,可得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂结合(2)可得:a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100,a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则a 0+a 2+a 4+ +a 100=(2-3)100+(2+3)1002㊂由(1)知a 0=2100㊂所以a 2+a 4++a 100=(2-3)100+(2+3)1002-2100㊂(4)由(2)知a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂由(3)知a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100)㊃(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100)=(2-3)100㊃(2+3)100=1㊂点评:一般地,对于多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ a nx n,各项系数和为f (1),奇次项系数和为f (1)-f (-1)2,偶次项系数和为f (1)+f (-1)2,a 0=f (0)㊂例4 已知(2x +1)n=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n的展开式中的各项系数和为243,求a 1+2a 2+3a 3+ +n a n 值㊂解析:令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a n =3n=243㊂解得n =5㊂对(2x +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n求导,可得:2n (2x +1)n -1=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ +n a nx n -1㊂令x =1,可得:a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =2n ㊃3n -1=2ˑ5ˑ34=810㊂点评:观察问题中的式子,我们发现,a n前面的系数是原式x n的幂指数,先借助于求导可以实现数由指数位置向系数位置的转化,再对求导所得结果赋值即可得到该类型题的答案㊂例5 (1)若(1+m x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 6x 6,且a 0+a 1+a 2+ +a 6=64,则求实数m 的值㊂(2)已知C 4n =C 6n ,设(3x -4)n=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a n (x -1)n,求a 1+a 2+ +a n ㊂解析:(1)令x =1,可得(1+m )6=a 0+a 1+a 2+ +a 6=64㊂则1+m =2或1+m =-2㊂解得m =1或m =-3㊂(2)因为C 4n =C 6n ,所以n =10㊂则(3x -4)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a 10(x -1)10㊂令x -1=0,即x =1,可得a 0=(3-4)10=1㊂令x -1=1,即x =2,可得a 0+a 1+a 2+ +a 10=(6-4)10=210㊂故a 1+a 2+ +a 10=210-1㊂点评:在与二项式定理有关的赋值求值问题中,首先要观察需要求值问题与原题中条件之间的关系,从展开式入手,通过比较,正确找出需要赋的值,才能求出正确的答案㊂(责任编辑徐利杰)32解题篇经典题突破方法高二数学 2024年3月。

二项式各项系数之和怎么求公式

二项式各项系数之和怎么求公式
二项式的各项系数之和，可以采用赋值法。

二项式系数之和公式为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。

二项式系数，或组合数，是定义为形如(1+x)*6*7展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数）。

从定义可看出二项式系数的值为整数。

项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。

如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取11件。

而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也
可看为选取其余n+1k件的方法。

扩展资料
三角形本来就是二项式展开式的算图.对杨辉三角形熟悉的考生，比
如熟悉到了它的第6行：
1，6，15，20，15，6，1
三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果.这5个考题都与二项式
展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.。

二项式定理公式各项系数和公式

二项式定理公式各项系数和公式二项式定理，又称为二项展开定理，是代数学中一个非常重要的定理。

它是描述一个二项式的（a+b）的任意次方在展开后的系数和的公式。

这个定理的发现与研究对于高等数学的发展有着深远的指导意义。

二项式定理的公式可以用以下形式表示：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,r)a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)a^0*b^n其中，C(n,r)表示从n个不同元素中选取r个元素的组合数。

公式中的每一项都乘以各自分解项的系数，这个系数正是组合数。

二项式定理公式的中文名称由来是因为每一项有两个因子，这两个因子可以是变量，也可以是常数。

在公式展开后的每一项，系数表示了该项对应的组合数。

这个定理的意义在于，它提供了一种简洁的方法来展开一个二项式的幂，而不需要真的一个一个相乘。

通过使用这个公式，我们可以快速地计算出一个二项式的各个项的系数。

二项式定理的展开不仅在代数学中具有重要的应用，而且在组合数学、概率论等领域也有广泛的应用。

它可以解决很多实际问题，比如计算简单多项式的值，求解概率分布等。

由于二项式定理公式的形式非常简单明了，我们可以用递归的方法来证明这个定理。

递归的思想是通过反复调用自身来解决问题。

我们可以将(a+b)^n展开为(a+b)乘以(a+b)的n-1次方，然后再递归地展开(a+b)的n-1次方。

通过对二项式定理公式的研究，我们不仅能够深入理解代数学的基本概念，还能够从中获得一些指导意义。

首先，我们可以通过这个公式掌握组合数的概念和计算方法。

其次，我们可以将其用于解决实际的问题，如计算概率、数值计算等。

最重要的是，通过学习二项式定理，我们能够培养逻辑思维和数学推理能力，这对于我们的学业和职业发展都具有重要意义。

总之，二项式定理是代数学中一个重要的公式，它能够帮助我们高效地展开一个二项式的幂，并计算出各项的系数。

二项式定理易错点及赋值法妙用-高三数学解题技巧专题突破

二项式定理易错点及赋值法妙用一．【学习目标】1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二．方法归纳1.运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C r n，而后者是指字母外的部分.2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T r＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出T r＋1.3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.练习4．(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中,一次项的系数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，可得展开式中一次项的系数为1+2+3+…+n==，故选C.（三）求常数项例3．在二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A．第6项B．第5项C．第4项D．第3项【答案】C【解析】由题意二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故，二项式展开式的通项为要系数最小，则为奇数当时，当时，，当时，当时，，故当当时系数最小则系数最小的项是第4项，故选练习1．已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为（）A．2B．1C．D．【答案】B（四）赋值法例4．已知，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵（1+x）5＝﹣[﹣2+（1﹣x）]5，通项a3＝﹣（﹣2）2＝﹣40，故选：A．练习1．对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A．3 B．6 C．9 D．21【答案】B【解析】由于，其展开式的通项为，当时，为，故.练习2．若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】令，得令得两式子相加得：，令，得到，所以，故选C。

二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.教师版普通高中数学复习讲义Word版

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容赋值求某些项系数的和与差④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）典例分析【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，北京高考【解析】通项为()52310555C C rrr r rx x x---=，10502r r -=⇒=，常数项为25C 10=，各项系数和为5(11)32+=．【答案】10，32；【例2】若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==．【答案】20；【例3】 (82展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】2010年，江西高考【解析】略【答案】B ；【例4】若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，北京高考【解析】令1x =得2325n n =⇒=．2510515531C ()C rr rr r r T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，于是2r =时，对应常数项25C 10=．【答案】510，；【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】令6()(1)f x x =-，所求式子即为0126(1)0a a a a f ++++==．【答案】0；【例6】在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．二项式的展开式的通项公式为：234112rn rn rrr r nn r T x--+==C C 解析：前三项的012r =，，．得系数为：()121231*********n n t t n t n n =====-C C ，，，由已知：2132t t t =+ ()1118n n n =+-，∴8n = 通项公式为1634181101282rrr r r T x r T -++==C ，，，为有理项，故163r -是4的倍数，∴048r =，，．依次得到有理项为448215898282135********T x T x x T x x-=====C C ，，．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，西城1模【解析】通项公式55315522C 2C rr rr r r r T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2x 的系数是152C 10=；令1x =即可得各项系数之和为53243=．【答案】10；243；【例8】若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】所求式子即为024*******()()a a a a a a a a a a ++++++--，令4()(2f x x =+，要求的式子就是44(1)(1)2)2)1f f -==．【答案】1；【例9】设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中3x 的系数为（）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】2008年，北京丰台一模【解析】求(5n x 的展开式的各项系数之和令1x =，而二项式系数之和为2n ，则240M N -=可以转化为42240n n -=得216n =即4n =．然后利用通项1r n r r r n T C a b -+=来求解．答案： B【答案】B ；【例10】若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，丰台一模【解析】由题设2646n n =⇒=，第三项242436C 260T x x =⋅=．【答案】460x ；【例11】若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】由2646n n =⇒=，于是常数项为36C 20= 【答案】20；【例12】在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】第一项系数的绝对值为0C n，第二项系数的绝对值为1C 2n ，第三项系数的绝对值为2C 4n ，依题意有210C C C 242nn n+=⨯，解得8n =，⑴第四项52333487C 4T x -⎛==- ⎝；⑵通项公式为88281881C C 2rrrr r r r T ---+⎛⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎝，展开式的常数项有280r -=，即4r =，常数项为4458135C 28T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；⑶令1x =，得展开式的各项系数的和88111122256⎛⎫-== ⎪⎝⎭．【例13】若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】令1x =得()(100012341002a a a a a a ++++++=-，令1x =-得()(100012345991002a a a a a a a a -+-+-+-+=，()()22024********a a a a a a a a ++++-++++=()()0123410001234599100a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-+-+=(1002(1002=1【答案】1；【例14】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】注意原式的展开特点，令2x =，即可得013(31)2n n a a a ++=-．【答案】013(31)2n n a a a ++=-【例15】若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】所求式子即为024*******()()a a a a a a a a a a ++++++--，令4()(2f x x =，要求的式子就是44(1)(1)2)2)1f f -==．【答案】1；【例16】若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2008年，福建高考【解析】令5()(2)f x x =-，则所求式子为(1)(0)31f f -=．【答案】31；【例17】已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-令7()(12)f x x =-，则所求式子为7(1)3f -=．【答案】7(1)3f -=【例18】若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】令7()(12)f x x =+，用赋值法，令1x =，得()77012345671232187a a a a a a a a +=+++++++== ⑴令1x =-，()701234567121a a a a a a a a -=+++++++=- ⑵ ⑴+⑵，得02462222218712186a a a a +++=-= 即02461093a a a a +++=．【例19】若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】令4()(2f x x =+，所求的为44(1)(1)2)2)1f f -==，选A ．【答案】A ；【例20】若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【解析】令100()(12)f x x =+，所求为10011((2)(0))(51)22f f -=-，选C ．【答案】C ；【例21】已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴ 取0x =可得01a =，取1x =得()701711a a a +++=-=-∴12372a a a a ++++=-．⑵ 取1x =-得70123673a a a a a a -+-++-=，记0246A a a a a =+++，1357B a a a a =+++． ∴713A B A B +=--=，．可得()()771131109313109422A B =-==-+=-，从而13571094a a a a +++=-．⑶ 从⑵的计算已知02461093a a a a +++=．【例22】若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】解答【解析】略【答案】令1x =得()(100012341002a a a a a a ++++++=，令1x =-得()(100012345991002a a a a a a a a -+-+-+-+=+，()()22024********a a a a a a a a ++++-++++=()()0123410001234599100a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-+-+=(1002(1002=1【例23】若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】令0x =得50(2)32a -=-=，令1x =得0151a a a +++=-，∴1234531a a a a a ++++=．【答案】31；【例24】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】填空【关键字】无【解析】注意原式的展开特点，令2x =，即可得013(31)2n n a a a ++=-．【答案】013(31)2n n a a a ++=-【例25】若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（） A ．0 B ．2C ．1-D ．2-【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】选择【关键字】2009年，陕西高考【解析】在二项式展开式中令12x =，得2009120220090222a a a a =++++，于是200912022009222a a a a +++=-，而01a =，故200912220091222a a a+++=-．【答案】C ；【例26】已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值；⑵设22343,2n n n n ab T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】4 【题型】解答【关键字】2009年，南京1模【解析】略【答案】⑴当5n =时，原等式变为5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-．令2x =得50153243a a a +++==．⑵因为(1)[2(1)]n n x x +=+-，所以222C 2n n a -=⋅．所以2232C (1)2n n n ab n n -===-（2n ≥）． ①当2n =时，左边2122T b b ==+=，右边2(21)(21)23+-==，左边=右边，等式成立．②假设当*(2,)n k k k =∈N ≥时，等式成立，即(1)(1)3k k k k T +-=，那么，当1n k =+时，左边1(1(3k k k k k T b k k ++-=+=+++-1(3k k k -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(3k ++==右边．故当1n k =+时，等式成立．综合①②，当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nk n k k n +=-=++∑．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】4 【题型】解答【关键字】2008年，江苏高考【解析】略【答案】⑴在等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++两边对x 求导，得 112121(1)C 2C (1)C C n n n n n n n n n n x x n x n x----+=++⋅⋅⋅+-+．移项得112(1)1C nn k k n k n x k x --=⎡⎤+-=⎣⎦∑（*） ⑵在（*）式中，令1x =-得，12(1)C nk knk n k -=-=-∑，2(1)C 0nk k n k k n =--=∑，整理得1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶①由⑴知112121(1)C 2C (1)C C n n n n n n n n n n x x n x n x ----+=++⋅⋅⋅+-+，3n ≥．两边对x 求导，得2232(1)(1)2C 32C (1)C n n n n n n n n x x n n x---+=+⋅+⋅⋅⋅+-．在上式中，令1x =-，得2322C 32C (1)(1)C (1)0n n n n n n n -+⋅-+⋅⋅⋅+--=，即21(1)C (1)0nkk nk k k -=--=∑，亦即21(1)()C 0nk kn k k k =--=∑．又由⑵知1(1)C 0n kknk k =-=∑，上面两式相加，得21(1)C 0nk kn k k =-=∑．②将等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++两边在[01]，上对x 积分， 110122110(1)d (C C C C C )d n n n n nn n n n n x x x x xx x --+=+++⋅⋅⋅++⎰⎰．由微积分基本定理，得11011C 1(1)0011k n n k n k x x n k ++=⎛⎫+= ⎪++⎝⎭∑，故10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】2 【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由二项式定理知：0(1)C nk k nn k x x ==+∑．等式两边对x 求2次导数得：22()(1)(1)C nk k n n k k k x n n x -=-=-+∑ 令1x =，则：220()(1)2C nk n n k k k n n -=-=-∑．整理得220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例29】证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由二项式定理知：0(1)nk k C k nn x x ==+∑．等式两边对x 积分得：1111(1)101C (1)(1)nk k n nk x x k n n ++=+=++++∑．再次积分：221(1)101C (1)(2)(1)(2)(1)(2)n nk k n k x x x k k n n n n n ++=+++=+++++++∑．令1x =，整理，得证．【例30】求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ 【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】因为122(1)1n nn x C x C x +=+++...n n n C x +，等式两边取关于x 的导数，得 11232(1)23n n n n n x C C x C x -+=+++......1k k n kC x -++ (1)n n n nC x -+．令1x =，得12323nn n C C C +++…k n kC ++…12nn n nC n -+=⋅【例31】求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】这里a x =，1b x=，5n =，直接代公式． 5234505142332415555555111111C C C C C C x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53351051510x x x x x x=+++++．【例32】设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（）A ． 1B ．1C ．1D ．1【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】选择【关键字】无【解析】5()(1)2f x x =-+，因此1()1f x -=C ．【答案】C ；【例33】设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】1222112121212121212121(1)(12)(1)(2)64A C a C a C a a i i i =-+-+=-=--=--==-．【例34】已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，，求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+ 是一次多项式或零次多项式．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由已知条件知数列{}n a 是等差数列，设公差为d ．则0k a a kd k =+∈N ，．于是：01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+011110000(1)()(1)((1))(1)()C C C C n n n n n nn n n n a x a d x x a n d x x a nd x ---=-++-+++--++011112220[(1)(1)][(1)2(1)]C C C C C C n n n n n n n nn n n n n n a x x x x d x x d x x nd x ---=-+-+++-+-++01[(1)](1)C nnk k n kn k a x x kd x x -==-++-∑ 01(1)C nk k n kn k a kd x x -==+-∑ 而11!(1)!!()!(1)!()!C C k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以1011()(1)C nk k n kn k f x a nd x x ---==+-∑ 11(1)(1)011(1)C nk k n k n k a ndx xx ------==+-∑ 10[(1)]n a ndx x x -=+-+0a ndx =+因此()f x 是一次多项式或零次多项式．【例35】若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（）A ．2B ．12C ．1D ．3 【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3 【题型】选择【关键字】无【解析】∵0()C nii ni f m m ==∑，∴0(3)3C (13)4nii nnni f ===+=∑，0(1)1C 2ni i n n i f ===∑．2222log (3)log 42log (1)log 2nnf f ==，故应选A ．【答案】A ；。

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程首先，我们来回顾一下二项式定理的表达式。

在代数中，二项式定理可以表示为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n-1)*a*b^(n-1)+C(n,n)*b^n其中，a和b是实数或复数常数，n是非负整数，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

接下来，我们将通过赋值法来复习二项式定理。

假设我们要计算表达式(x+y)^3的展开式中各项系数的和。

首先，我们将x和y赋值给a和b，即a=x，b=y。

然后，我们将n的值设置为3，表示幂的最高次数。

根据二项式定理，我们可以展开表达式(x+y)^3为：(x+y)^3=C(3,0)*x^3+C(3,1)*x^2*y+C(3,2)*x*y^2+C(3,3)*y^3现在，让我们逐项计算这些项的系数。

首先，我们计算C(3,0)，表示从3个元素中选择0个元素的组合数。

根据组合数的定义，C(3,0)等于1所以，第一项的系数为：1*x^3=x^3接下来，我们计算C(3,1)，表示从3个元素中选择1个元素的组合数。

根据组合数的定义，C(3,1)等于3所以，第二项的系数为：3*x^2*y=3x^2y然后，我们计算C(3,2)，表示从3个元素中选择2个元素的组合数。

根据组合数的定义，C(3,2)等于3所以，第三项的系数为：3 * x * y^2 = 3xy^2最后，我们计算C(3,3)，表示从3个元素中选择3个元素的组合数。

根据组合数的定义，C(3,3)等于1所以，第四项的系数为：1*y^3=y^3现在，让我们将这些项的系数相加，求得展开式中各项系数的和：x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3从这个例子中，我们可以看出，展开式中各项系数的和等于原始表达式的幂次数加1通过赋值法复习二项式定理，我们可以更好地理解二项式定理的运用。

高中数学赋值法解决二项式展开系数和问题

高中数学赋值法解决二项式展开系数和问题
赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解
决问题的目的。

实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别
是在二项式定理中的应用尤为明显。

二项式定理在高考中一般以小题形式出现，分值为5分，常考
的题型为求二项式某一项的系数或者系数和的问题。

今天我们主要讲下怎么利用赋值法求二项展
开式系数和的问题。

一
基础知识
1. 含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。

所以通常可对变
量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质
2. 二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项
式系数）的等式
3. 常用赋值举例：
二
典型例题
三
变式训练
四
总结。

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

赋值法在二项式定理中的应用

二项式定理赋值法求各项系数的和

二项式定理及其应用赋值法

妙用赋值法，巧解高考数学二项式问题

二项式定理求系数

二项式系数的赋值法总结

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

二项式定理 二项展开式3赋值求某些项系数的和与差

二项式定理各项系数之和公式

公开课——利用二项式定理求通项、系数,赋值法求系数和

二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲

二项式赋值法原理

二项式定理中的赋值技巧

二项式各项系数之和怎么求 公式

二项式定理公式各项系数和公式

二项式定理易错点及赋值法妙用-高三数学解题技巧专题突破

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