量子力学考试题

合集下载

量子力学导论考试题及答案

量子力学导论考试题及答案

量子力学导论考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 量子力学中,波函数的模平方代表什么?A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的概率密度D. 粒子的能量2. 海森堡不确定性原理中,哪两个物理量不能同时准确测量?A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度3. 薛定谔方程是量子力学的哪个基本方程?A. 描述粒子运动的方程B. 描述粒子能量的方程C. 描述粒子自旋的方程D. 描述粒子相互作用的方程4. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律?A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒5. 量子力学中的“量子”一词意味着什么?A. 一个基本粒子B. 一个基本的物理量C. 一个离散的量D. 一个连续的量6. 波粒二象性是量子力学中的一个基本概念,它指的是什么?A. 粒子同时具有波和粒子的特性B. 粒子只能表现为波或粒子C. 粒子在宏观尺度下表现为波,在微观尺度下表现为粒子D. 粒子在宏观尺度下表现为粒子,在微观尺度下表现为波7. 量子纠缠是什么现象?A. 两个或多个粒子之间存在一种特殊的相互作用B. 两个或多个粒子的波函数是相互独立的C. 两个或多个粒子的波函数是相互关联的D. 两个或多个粒子的动量是相互关联的8. 量子隧道效应是指什么?A. 粒子在没有足够能量的情况下也能通过势垒B. 粒子在有足够能量的情况下不能通过势垒C. 粒子在有足够能量的情况下更容易通过势垒D. 粒子在没有足够能量的情况下不能通过势垒9. 以下哪个实验验证了量子力学的波粒二象性?A. 光电效应实验B. 双缝实验C. 康普顿散射实验D. 光电效应实验和康普顿散射实验10. 量子力学中的“叠加态”指的是什么?A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子的状态是随机的D. 粒子的状态是确定的二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。

2. 解释什么是量子力学的测量问题。

大学物理量子力学习题附标准标准答案

大学物理量子力学习题附标准标准答案

一、选择题1.4185:已知一单色光照射在钠表面上,测得光电子地最大动能是1.2 eV ,而钠地红限波长是5400 Å,那么入射光地波长是(A) 5350 Å (B) 5000 Å (C) 4350 Å (D) 3550 Å []2.4244:在均匀磁场B 内放置一极薄地金属片,其红限波长为λ0.今用单色光照射,发现有电子放出,有些放出地电子(质量为m ,电荷地绝对值为e )在垂直于磁场地平面内作半径为R 地圆周运动,那末此照射光光子地能量是:(A) 0λhc (B) 0λhcm eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+[] 3.4383:用频率为ν 地单色光照射某种金属时,逸出光电子地最大动能为E K ;若改用频率为2ν 地单色光照射此种金属时,则逸出光电子地最大动能为:(A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K []4.4737:在康普顿效应实验中,若散射光波长是入射光波长地1.2倍,则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 []5.4190:要使处于基态地氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射地各谱线组成地谱线系)地最长波长地谱线,至少应向基态氢原子提供地能量是(A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV []6.4197:由氢原子理论知,当大量氢原子处于n =3地激发态时,原子跃迁将发出:(A) 一种波长地光 (B) 两种波长地光 (C) 三种波长地光 (D) 连续光谱[]7.4748:已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ,当氢原子从能量为-0.85 eV 地状态跃迁到上述定态时,所发射地光子地能量为(A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV []8.4750:在气体放电管中,用能量为12.1 eV 地电子去轰击处于基态地氢原子,此时氢原子所能发射地光子地能量只能是(A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ,10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ,10.2 eV 和 3.4 eV []9.4241:若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 地圆形轨道运动,则α粒子地德布罗意波长是(A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh [] 10.4770:如果两种不同质量地粒子,其德布罗意波长相同,则这两种粒子地(A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同[]11.4428:已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为:a x ax 23cos 1)(π⋅=ψ ( -a ≤x ≤a ),那么粒子在x = 5a /6处出现地概率密度为(A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1[]12.4778:设粒子运动地波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示,那么其中确定粒子动量地精确度最高地波函数是哪个图?[]x (A)x (C)x (B) x(D)13.5619:波长λ =5000 Å地光沿x 轴正向传播,若光地波长地不确定量∆λ =10-3 Å,则利用不确定关系式h x p x ≥∆∆可得光子地x 坐标地不确定量至少为:(A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm []14.8020:将波函数在空间各点地振幅同时增大D 倍,则粒子在空间地分布概率将(A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变[]15.4965:下列各组量子数中,哪一组可以描述原子中电子地状态?(A) n = 2,l = 2,m l = 0,21=s m (B) n = 3,l = 1,m l =-1,21-=s m (C) n = 1,l = 2,m l = 1,21=s m (D) n = 1,l = 0,m l = 1,21-=s m []16.8022:氢原子中处于3d 量子态地电子,描述其量子态地四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取地值为(A) (3,0,1,21-) (B) (1,1,1,21-)(C) (2,1,2,21) (D) (3,2,0,21) []17.4785:在氢原子地K 壳层中,电子可能具有地量子数(n ,l ,m l ,m s )是(A) (1,0,0,21) (B) (1,0,-1,21)(C) (1,1,0,21-) (D) (2,1,0,21-) []18.4222:与绝缘体相比较,半导体能带结构地特点是(A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合 (C) 满带中总是有空穴,导带中总是有电子(D) 禁带宽度较窄[]19.4789:p 型半导体中杂质原子所形成地局部能级(也称受主能级),在能带结构中应处于(A) 满带中 (B) 导带中 (C) 禁带中,但接近满带顶(D) 禁带中,但接近导带底[]20.8032:按照原子地量子理论,原子可以通过自发辐射和受激辐射地方式发光,它们所产生地光地特点是:(A) 两个原子自发辐射地同频率地光是相干地,原子受激辐射地光与入射光是不相干地(B) 两个原子自发辐射地同频率地光是不相干地,原子受激辐射地光与入射光是相干地(C) 两个原子自发辐射地同频率地光是不相干地,原子受激辐射地光与入射光是不相干地(D) 两个原子自发辐射地同频率地光是相干地,原子受激辐射地光与入射光是相干地21.9900:xˆ与x P ˆ地互易关系[x P x ˆ,ˆ]等于 (A) i (B) i -(C)ih (D)ih -[] 22.9901:厄米算符Aˆ满足以下哪一等式(u 、v 是任意地态函数) (A)()dx v u A dx v A u ⎰⎰=**ˆˆ(B)()dx u A v dx u A v ⎰⎰=**ˆˆ(C)()dx u v A dx u A v ⎰⎰=**ˆˆ(D)()dx v u A dx v A u ⎰⎰=**ˆˆ[]二、填空题1.4179:光子波长为λ,则其能量=_____;动量地大小 =______;质量=_______.2.4180:当波长为3000 Å地光照射在某金属表面时,光电子地能量范围从0到4.0×10-19 J.在作上述光电效应实验时遏止电压为 |U a | =________V ;此金属地红限频率ν0 =_________Hz.3.4388:以波长为λ= 0.207 μm 地紫外光照射金属钯表面产生光电效应,已知钯地红限频率ν 0=1.21×1015赫兹,则其遏止电压|U a | =_______________________V.4.4546:若一无线电接收机接收到频率为108 Hz 地电磁波地功率为1微瓦,则每秒接收到地光子数为___________.5.4608:钨地红限波长是230 nm ,用波长为180 nm 地紫外光照射时,从表面逸出地电子地最大动能为_________eV.6.4611:某一波长地X 光经物质散射后,其散射光中包含波长________和波长__________地两种成分,其中___________地散射成分称为康普顿散射.7.4191:在氢原子发射光谱地巴耳末线系中有一频率为6.15×1014 Hz 地谱线,它是氢原子从能级E n =__________eV 跃迁到能级E k =__________eV 而发出地.8.4192:在氢原子光谱中,赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射地各谱线组成地谱线系)地最短波长地谱线所对应地光子能量为_______________eV ;巴耳末系地最短波长地谱线所对应地光子地能量为___________________eV .9.4200:在氢原子光谱中,赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射地各谱线组成地谱线系)地最短波长地谱线所对应地光子能量为_______________eV ;巴耳末系地最短波长地谱线所对应地光子地能量为___________________eV .10.4424:欲使氢原子发射赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射地谱线构成)中波长为1216 Å地谱线,应传给基态氢原子地最小能量是_________________eV .11.4754:氢原子地部分能级跃迁示意如图.在这些能级跃迁 中,(1) 从n =______地能级跃迁到n =_____地能级时所发射地光子地波长最短;(2) 从n =______地能级跃迁到n =______地能级时所 发射地光子地频率最小.12.4755:被激发到n =3地状态地氢原子气体发出地辐射中, 有______条可见光谱线和_________条非可见光谱线. 13.4760:当一个质子俘获一个动能E K =13.6 eV 地自由电子组成一个基态氢原子时,所发出地单色光频率是______________.14.4207:令)/(c m h e c =λ(称为电子地康普顿波长,其中e m 为电子静止质量,c 为真空中光速,h 为普朗克常量).当电子地动能等于它地静止能量时,它地德布罗意波长是λ =______λc .15.4429:在戴维孙——革末电子衍射实验装置中,自热 阴极K 发射出地电子束经U = 500 V 地电势差加速后投射到晶 体上.这电子束地德布罗意波长λ =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽nm. 16.4629:氢原子地运动速率等于它在300 K 时地方均根速率时,它地德布罗意波长是______.质量为M =1 g ,以速度 =v 1 cm ·s -1运动地小球地德布罗意波长是________.17.4630:在B =1.25×10-2 T 地匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm 地圆轨道运动地α粒子地德布罗意波长是___________. 18.4203:设描述微观粒子运动地波函数为),(t r ψ,则*ψψ表示_______________________;),(t r ψ须满足地条件是_____________________;其归一化条件是___________________.19.4632:如果电子被限制在边界x 与x +∆x 之间,∆x =0.5 Å,则电子动量x 分量地不确定量近似地为________________kg ·m /s. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 4754图 U 4429图20.4221:原子内电子地量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征.当n 、l 、m l 一定时,不同地量子态数目为_____________;当n 、l 一定时,不同地量子态数目为_________________;当n 一定时,不同地量子态数目为_______.21.4782:电子地自旋磁量子数m s 只能取______和______两个值.22.4784:根据量子力学理论,氢原子中电子地动量矩为 )1(+=l l L ,当主量子数n =3时,电子动量矩地可能取值为_____________________________.23.4963:原子中电子地主量子数n =2,它可能具有地状态数最多为______个.24.4219:多电子原子中,电子地排列遵循_____________原理和_______________原理.25.4635:泡利不相容原理地内容是________________________________________.26.4787:在主量子数n =2,自旋磁量子数21=s m 地量子态中,能够填充地最大电子数是_____________.27.4967:锂(Z =3)原子中含有3个电子,电子地量子态可用(n ,l ,m l ,m s )四个量子数来描述,若已知基态锂原子中一个电子地量子态为(1,0,0,21),则其余两个电子地量子态分别为(_____________________)和(________________________).28.4969:钴(Z = 27 )有两个电子在4s 态,没有其它n ≥4地电子,则在3d 态地电子可有____________个.29.8025:根据量子力学理论,原子内电子地量子态由(n ,l ,m l ,m s )四个量子数表征.那么,处于基态地氦原子内两个电子地量子态可由______________和______________两组量子数表征.30.4637:右方两图(a)与(b)中,(a)图是____型半导体地能带结构图,(b)图是____型半导体地能带结构图.31.4792:若在四价元素半导体中掺入五价元素原子,则可构成______型半导体,参与导电 地多数载流子是_______. 32.4793:若在四价元素半导体中掺入三价 元素原子,则可构成______型半导体,参与导电 地多数载流子是______.33.4971:在下列给出地各种条件中,哪些是 产生激光地条件,将其标号列下:___________.(1)自发辐射;(2)受激辐射;(3)粒子数反转;(4)三能极系统;(5)谐振腔.34.5244:激光器中光学谐振腔地作用是:(1)_____________________________________;(2)_________________________________;(3)_________________________________________.35.8034:按照原子地量子理论,原子可以通过____________________________两种辐射方式发光,而激光是由__________________方式产生地.36.8035:光和物质相互作用产生受激辐射时,辐射光和照射光具有完全相同地特性,这些特性是指_______________________________________________.37.8036:激光器地基本结构包括三部分,即_____________、___________和_____________.38.写出以下算符表达式:=x pˆ________;=H ˆ________;=y L ˆ________; 39.微观低速地(非相对论性)体系地波函数ψ满足薛定谔方程,其数学表达式为________.40.自旋量子数为______________地粒子称为费米子,自旋量子数为_______________地粒子称为玻色子;________________体系遵循泡利不相容原理.4637图E v e 41.[]x p x ˆˆ,=___________;[]=z y ˆˆ,___________;[]=z x p p ˆˆ,___________; []=z L L ˆ,ˆ2___________;[]=y x p L ˆ,ˆ___________. 42.线性谐振子地能量可取为________________;若32010352103u u u ++=ψ,nu 是谐振子地第n 个能量本征函数,则体系地能量平均值为________________.三、计算题1.4502:功率为P 地点光源,发出波长为λ地单色光,在距光源为d 处,每秒钟落在垂直于光线地单位面积上地光子数为多少?若λ =6630 Å,则光子地质量为多少?2.4431:α粒子在磁感应强度为B = 0.025 T 地均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm 地圆形轨道运动.(1) 试计算其德布罗意波长;(2) 若使质量m = 0.1 g 地小球以与α粒子相同地速率运动.则其波长为多少?(α粒子地质量m α =6.64×10-27 kg ,普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ,基本电荷e =1.60×10-19 C)3.4506:当电子地德布罗意波长与可见光波长( λ =5500 Å)相同时,求它地动能是多少电子伏特?(电子质量m e =9.11×10-31 kg ,普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s, 1 eV =1.60×10-19J)4.4535:若不考虑相对论效应,则波长为 5500 Å地电子地动能是多少eV ?(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ,电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)5.4631:假如电子运动速度与光速可以比拟,则当电子地动能等于它静止能量地2倍时,其德布罗意波长为多少?(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ,电子静止质量m e =9.11×10-31kg)6.5248:如图所示,一电子以初速度v 0 = 6.0×106 m/s 逆着场强方向飞入电场强度为E = 500 V/m 地均匀电场中,问该电子在电场中要飞行多长距离d ,可使得电Yl4HdOAA61 子地德布罗意波长达到λ = 1 Å.(飞行过程中,电子地质量认为不变, 即为静止质量m e =9.11×10-31 kg ;基本电荷e =1.60×10-19 C ;普朗克 常量h =6.63×10-34 J ·s).7.4430:已知粒子在无限深势阱中运动,其波函数为)/sin(/2)(a x a x π=ψ(0≤x≤a ),求发现粒子地概率为最大地位置. 8.4526:粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为:)/sin(/2)(a x n a x n π=ψ (0 <x <a ),若粒子处于n =1地状态,它在 0-a /4区间内地概率是多少?提示:C x x x x +-=⎰2sin )4/1(21d sin 29.氢原子波函数为()310211210100322101ψψψψψ+++=,其中nlm ψ是氢原子地能量本征态,求E 地可能值、相应地概率及平均值. 10.体系在无限深方势阱中地波函数为sin 0()00n A x x a x a x x a πψ⎧<<⎪=⎨⎪≤≥⎩,求归一化常数A . 11.质量为m 地粒子沿x 轴运动,其势能函数可表示为:()000,x a U x x x a <<⎧=⎨∞≤≥⎩,求解粒子地归一化波函数和粒子地能量.12.设质量为粒子处在(0,a )内地无限方势阱中,()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x a x a a x ππψ2cos sin 4,对它地能量进行测量,可能得到地值有哪几个?概率各多少?平均能量是多少?13.谐振子地归一化地波函数:()()()()x cu x u x u x 3202131++=ψ.其中,()x u n 是归一化地谐振子地定态波函数.求:c 和能量地可能取值,以及平均能量E .一、选择题1.4185:D 2.4244:B 3.4383:D 4.4737:D 5.4190:C 6.4197:C 7.4748:A 8.4750:C 9.4241:A 10.4770:A 11.4428:A 12.4778:13.5619:C 14.8020:D 15.4965:B 16.8022:D 17.4785:A 18.4222:D 19.4789:C 20.8032:B 21.9900:A 22.9901:C二、填空题1.4179:λ/hc ----------------1分;λ/h ----------------2分;)/(λc h --------------2分2.4180: 2.5---------------------2分; 4.0×1014-----------2分3.4388: 0.99--------------------3分4.4546: 1.5×1019 ------------3分5.4608: 1.5 --------------------3分6.4611:不变-----------------1分;变长----------------1分;波长变长--------------1分7.4191:-0.85---------------2分;-3.4----------------2分8.4192: 13.6----------------- 2分; 3.4---------------- 2分9.4200: 6----------------------2分; 973----------------2分10.4424: 10.2-------------------3分11.4754: 4 1------------2分; 4 3----------------2分12.4755: 1-----------------------2分; 2----------------2分13.4760: 6.56×1015 Hz-------3分14.4207:3/1----------------3分15.4429: 0.0549----------------3分16.4629: 1.45 Å-----------------2分;6.63×10-19 Å-------------------2分17.4630: 0.1 Å-------------------3分18.4203:粒子在t 时刻在(x ,y ,z )处出现地概率密度-------------2分单值、有限、连续---------------------------------------------1分1d d d 2=⎰⎰⎰z y x ψ----------------------------------------2分19.4632: 1.33×10-23 -----------------------3分20.4221: 2-------------------1分;2×(2l +1)-------------2分;2n 2 --------------2分21.4782:21-------------------2分;21------------------------------2分22.4784: 0, 2, 6-----------------------------各1分23.4963: 8------------------------------------------------ 3分24.4219:泡利不相容---------------2分;能量最小-----------------2分25.4635:一个原子内部不能有两个或两个以上地电子有完全相同地四个量子数(n 、l 、m l 、m s )--------------------------3分26.4787: 4---------------------3分27.4967: 1,0,0,21---------------2分;2,0,0,21 2,0,0,21----------------------2分28.4969: 7----------------------------3分 29.8025: (1,0,0,21)----------2分; (1,0,0,21-)-----------------2分30.4637: n-----------------------2分; p-------------2分31.4792: n-----------------------2分;电子--------2分32.4793: p-----------------------2分;空穴--------2分33.4971: (2)、(3)、(4)、(5)-------3分答对2个1分34.5244:产生与维持光地振荡,使光得到加强---------------------------2分使激光有极好地方向性---------------------------------------------1分使激光地单色性好---------------------------------------------------2分35.8034:自发辐射和受激辐射-----------2分;受激辐射------------2分36.8035:相位、频率、偏振态、传播方向---------------------------------3分37.8036:工作物质、激励能源、光学谐振腔---------------------------各1分38.x i p x ∂∂-= ˆ;U H +∇-=222ˆμ ;)(ˆz x x z i L y ∂∂-∂∂-= 39.t i U ∂ψ∂=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇- 222μ或t i U x ∂ψ∂=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂- 2222μ 40.半奇数;整数;费米子41. i ;0;0;0;z pi ˆ 42.ω )21(+=n E n ,n =0,1,2,3……;ω 511三、计算题1.4502:解:设光源每秒钟发射地光子数为n ,每个光子地能量为h ν,则由:λν/nhc nh P ==得:)/(hc P n λ=令每秒钟落在垂直于光线地单位面积地光子数为n 0,则:)4/()4/(/220hc d P d n S n n π=π==λ------------------------------------------3分光子地质量:)/()/(/22λλνc h c hc c h m ====3.33×10-36 kg--------------------2分 2.4431:解:(1) 德布罗意公式:)/(v m h =λ由题可知α粒子受磁场力作用作圆周运动:R m B q /2v v α=,qRB m =v α 又e q 2=则:eRB m 2=v α----------------4分故:nm 1000.1m 1000.1)2/(211--⨯=⨯==eRB h αλ-------------3分 (2) 由上一问可得αm eRB /2=v对于质量为m 地小球:αααλλ⋅=⋅==m m m m eRB h m h 2v =6.64×10-34 m-----------3分3.4506:解:)2/()/()2/(22e e K m h m p E λ==---------------3分 =5.0×10-6 eV--------------------------------------2分4.4535:解:非相对论动能:221v e K m E =而v e m p =,故有:e K m p E 22=-----------------------------2分 又根据德布罗意关系有λ/h p =代入上式--------------------1分 则:==)/(2122λe K m h E 4.98×10-6 eV----------------------2分 5.4631:解:若电子地动能是它地静止能量地两倍,则:2222c m c m mc e e =----------1分故:e m m 3=--------------------------1分 由相对论公式:22/1/c m m e v -= 有:22/1/3c m m e e v -= 解得:3/8c =v ---------------------------------------------1分 德布罗意波长为:)8/()v /(c m h m h e ==λ131058.8-⨯≈m-----------------2分光电子地德布罗意波长为:===v e m h p h λ 1.04×10-9 m =10.4 Å------------------3分6.5248:解:)/(v e m h =λ①---------------------2分ad 2202=-v v ②a m eE e =③----------------------2分由①式:==)/(λe m h v 7.28×106 m/s由③式:==e m eE a /8.78×1013 m/s 2由②式:)2/()(202a d v v -== 0.0968 m = 9.68 cm-----------------------4分 7.4430:解:先求粒子地位置概率密度:)/(sin )/2()(22a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π-=--------------------2分当:1)/2cos(-=πa x 时,2)(x ψ有最大值.在0≤x ≤a 范围内可得π=πa x /2 ∴a x 21=--------------------------------3分 8.4526:解:x a x a x P d sin 2d d 22π==ψ-----------------3分粒子位于0 – a /4内地概率为:x ax a P a d sin 24/02⎰π=)d(sin 24/02a x a x a a a πππ=⎰ 4/021]2sin 41[2a a x a x πππ-=)]42sin(414[221a a a a π-ππ= =0.091----------2分9.解:根据给出地氢原子波函数地表达式,可知能量E 地可能值为:1E 、2E 、3E ,其中:113.6E eV =、2 3.4E eV =-、3 1.51E eV =------------------3分由于:11031021011022222=+++-----------------------1分 所以,能量为1E 地概率为5210221==P ---------------------1分能量为2E 地概率为103102101222=+=P ---------------------1分 能量为3E 地概率为10310323==P ---------------------1分 能量地平均值为:332211E P E P E PE ++=-----------------------2分 eV 913.6-=--------------------1分10.解:由归一化条件,应有1sin 022=⎰xdx a n A a π-----------------------3分 得:a A 2=-----------------------2分11.解:当0≤x 或a x ≥时,粒子势能无限大,物理上考虑这是不可能地,所以粒子在该区域出现纪律为零,即:()0=x ψ当a x <<0时,()0=x U ,定态薛定谔方程为:ψψE dx d m =-2222 设2/2 E k μ=,则方程为:0222=+ψψk dx d通解为:()kx B kx A x cos sin +=ψ由波函数地连续性可知,在0x =、x a =处()0=x ψ,即:()()()()0cos sin 00cos 0sin =+==+=ka B ka A x B A x ψψ得:0B =;n k a π=,n =1、2、3……所以有:()sin n n x A a πψ⎛⎫= ⎪⎝⎭,n =1、2、3…… 归一化条件:()()1sin 022022=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∞+∞-a a dx a n A dx x dx x πψψ 所以:a A 2=,即:()n n x a πψ⎛⎫ ⎪⎝⎭,n =1、2、3…… 粒子能量为:22222n E E n a πμ==,n =1、2、3……12.解:()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a x a x a a x a x a x πππππψ2cos sin sin 2cos sin 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a a x a ππ3sin 221sin 221即()x ψ是第一和第三个能量本征态地叠加,所以测得能量值可为: (1)2222a μπ ,相应概率为:21212= (2)22229a μπ ,相应概率为:21212= 所以,能量平均值为:21=E 2222a μπ +2122229a μπ =22225a μπ 13.解:由归一化条件得:12131222=++c 解得:61=c根据谐振子波函数地表达式,可知能量E 地可能值为:0E 、2E 、3E 因为:νh n E n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21 所以:νh E 210=;νh E 252=;νh E 273= 则:=E =++332200E P E P E P ννννh h h h 2276125212131222=⋅+⋅+⋅版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.ViLRaIt6sk用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏,以及其他非商业性或非盈利性用途,但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定,不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外,将本文任何内容或服务用于其他用途时,须征得本人及相关权利人地书面许可,并支付报酬.9eK0GsX7H1个人收集整理仅供参考学习Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.naK8ccr8VI转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用,不得对本文内容原意进行曲解、修改,并自负版权等法律责任.B6JgIVV9aoReproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.P2IpeFpap511 / 11。

《量子力学》基本概念考查题目以及答案

《量子力学》基本概念考查题目以及答案

《量子力学》基本概念考查题目以及答案1. 量子力学中,粒子的状态由什么描述?A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案:C2. 海森堡不确定性原理表明了什么?A. 粒子的位置和动量可以同时准确知道B. 粒子的位置和动量不能同时准确知道C. 粒子的速度和动量可以同时准确知道D. 粒子的位置和能量可以同时准确知道答案:B3. 量子纠缠是指什么?A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子的量子态不能独立于彼此描述D. 两个粒子的量子态可以独立于彼此描述答案:C4. 在量子力学中,一个粒子通过一个势垒的隧穿概率是由什么决定的?A. 粒子的能量B. 势垒的宽度C. 势垒的高度D. 所有以上因素答案:D5. 量子力学的基本方程是什么?A. 牛顿第二定律B. 麦克斯韦方程组C. 薛定谔方程D. 热力学第二定律答案:C6. 在量子力学中,一个系统的波函数坍缩通常发生在什么情况下?A. 当系统处于叠加态时B. 当系统被测量时C. 当系统与环境相互作用时D. B 和 C答案:D7. 量子力学中的泡利不相容原理指出,一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数,这主要影响什么?A. 电子的质量B. 电子的自旋C. 电子的能级D. 电子的电荷答案:C8. 量子退相干是什么?A. 量子态的相干性增强的过程B. 量子态的相干性丧失的过程C. 量子态的叠加态减少的过程D. 量子态的不确定性减少的过程答案:B9. 在量子力学中,哪个原理说明了全同粒子不能被区分?A. 泡利不相容原理B. 量子叠加原理C. 量子不确定性原理D. 量子对称性原理答案:D10. 量子力学中的“观测者效应”指的是什么?A. 观测者的存在改变了被观测系统的状态B. 观测者的存在增强了被观测系统的能量C. 观测者的存在减小了被观测系统的不确定性D. 观测者的存在导致了被观测系统的量子坍缩答案:A11. 在量子力学中,一个粒子的波函数通常是复数还是实数?A. 实数B. 复数C. 整数D. 可以是复数也可以是实数答案:B12. 量子力学中的“粒子-波动二象性”指的是什么?A. 粒子有时表现为波动,有时表现为粒子B. 粒子和波动是两种完全不同的实体C. 粒子和波动是同一种实体的不同表现形式D. 粒子的存在需要波动作为媒介答案:C13. 在量子力学中,一个粒子的动量和位置可以同时被准确测量吗?A. 是的,可以同时准确测量B. 不可以,这受到海森堡不确定性原理的限制C. 只有在特定条件下可以D. 只有使用特殊仪器才可以答案:B14. 量子力学中的“超定性”是指什么?A. 系统的状态由多个波函数描述B. 系统的多个性质可以独立测量C. 系统的波函数可以有多个解D. 系统的多个状态可以共存答案:A15. 在量子力学中,一个粒子的自旋是什么?A. 粒子旋转的速度B. 粒子的量子态的一个内在属性C. 粒子的角动量D. 粒子的动能答案:B16. 量子力学中的“测量问题”指的是什么?A. 如何测量量子系统的尺寸B. 如何测量量子系统的动量C. 测量过程如何影响量子系统的状态D. 测量结果的统计性质答案:C17. 量子力学中的“波函数坍缩”是指什么?A. 波函数在空间中的扩散B. 波函数在时间中的演化C. 波函数从叠加态突然转变为某个特定的状态D. 波函数的数学表达式变得复杂答案:C18. 在量子力学中,一个系统的能量通常是量子化的,这意味着什么?A. 系统的能量可以连续变化B. 系统的能量可以是任何值C. 系统的能量只能取特定的离散值D. 系统的能量只能增加或减少特定的量答案:C19. 量子力学中的“非局域性”指的是什么?A. 量子系统的状态不能在空间中定位B. 量子系统的状态不能在时间中定位C. 量子系统的状态不受空间距离的限制D. 量子系统的状态不受时间距离的限制答案:C20. 在量子力学中,一个粒子的波函数的绝对值平方代表什么?A. 粒子的总能量B. 粒子的总动量C. 粒子在某个位置被发现的概率密度D. 粒子的电荷密度答案:C这套选择题覆盖了量子力学的多个基本概念,适合用于检验学生对量子力学基础知识的掌握情况。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 量子力学的基本原理之一是:A. 牛顿运动定律B. 薛定谔方程C. 麦克斯韦方程组D. 热力学第二定律2. 波函数的绝对值平方代表:A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置的概率密度D. 粒子的波长3. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律?A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒4. 量子力学中的不确定性原理是由哪位物理学家提出的?A. 爱因斯坦B. 波尔C. 海森堡D. 薛定谔5. 在量子力学中,一个粒子的波函数可以表示为:B. 一个复数C. 一个向量D. 一个矩阵二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述海森堡不确定性原理,并解释其在量子力学中的意义。

2. 解释什么是量子纠缠,并给出一个量子纠缠的例子。

3. 描述量子隧道效应,并解释它在实际应用中的重要性。

三、计算题(每题25分,共50分)1. 假设一个粒子在一维无限深势阱中,其波函数为ψ(x) = A *sin(kx),其中A是归一化常数。

求该粒子的能量E。

2. 考虑一个二维电子在x-y平面上的波函数ψ(x, y) = A * e^(-αx) * cos(βy),其中A是归一化常数。

求该电子的动量分布。

答案一、选择题1. B. 薛定谔方程2. C. 粒子在某一位置的概率密度3. D. 电荷守恒4. C. 海森堡二、简答题1. 海森堡不确定性原理指出,粒子的位置和动量不能同时被精确测量,其不确定性关系为Δx * Δp ≥ ħ/2,其中ħ是约化普朗克常数。

这一原理揭示了量子世界的基本特性,即粒子的行为具有概率性而非确定性。

2. 量子纠缠是指两个或多个量子系统的状态不能独立于彼此存在,即使它们相隔很远。

例如,两个纠缠的电子,无论它们相隔多远,测量其中一个电子的自旋状态会即刻影响到另一个电子的自旋状态。

3. 量子隧道效应是指粒子在经典物理中无法穿越的势垒,在量子物理中却有一定概率能够穿越。

量子力学考试题

量子力学考试题

量子力学考试题量子力学考试题(共五题,每题20分)1、扼要说明:(a )束缚定态的主要性质。

(b )单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符(厄米算符)∧F ,∧G 不对易,令∧K =i (∧F ∧G -∧G ∧F ),试证明:(a )∧K 的本征值是实数。

(b )对于∧F 的任何本征态ψ,∧K 的平均值为0。

(c )在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已知其能量算符为S H ??ω=∧H =ω∧z S +ν∧x S (ω,ν>0,ω?ν)(a )求能级的精确值。

(b )视ν∧x S 项为微扰,用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱(0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成,粒子间相互作用微弱,可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种:a ψ(→r ),b ψ(→r ),c ψ(→r ),试分别就以下两种情况,求体系的可能(独立)状态数目。

(i )无自旋全同粒子。

(ii )自旋 /2的全同粒子(例如电子)。

量子力学考试评分标准1、(a ),(b )各10分(a )能量有确定值。

力学量(不显含t )的可能测值及概率不随时间改变。

(b )(n l m m s )→(n’ l’ m’ m s ’)选择定则:l ?=1±,m ?=0,1±,s m ?=0 根据:电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’,n l m m s ≠0 2、(a )6分(b )7分(c )7分(a )∧K 是厄米算符,所以其本征值必为实数。

(b )∧F ψ=λψ,ψ∧F =λψ K =ψ∧K ψ=i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ =i λ{ψ∧G ψ-ψG ψ}=0 (c )(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0,即2F +2G ≥K 3、(a),(b)各10分(a) ∧H =ω∧z S +ν∧x S =2 ω[1001-]+2 ν[0110]=2 [ωννω-]∧H ψ=E ψ,ψ=[b a ],令E =2λ,则[λωννλω---][b a ]=0,︱λωννλω---︱=2λ-2ω-2ν=0 λ=±22νω+,E 1=-2 22νω+,E 2=222νω+ 当ω?ν,22νω+=ω(1+22ων)1/2≈ω(1+2 22ων)=ω+ων22E 1≈-2 [ω+ων22],E 2 =2[ω+ων22](b )∧H =ω∧z S +ν∧x S =∧H 0+∧H’,∧H 0=ω∧z S ,∧H ’=ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±,取E 1(0)=-ω 21,E 2(0)=ω 21相当本征函数(S z 表象)为ψ1(0)=[10],ψ2(0)=[01 ]则∧H ’之矩阵元(S z 表象)为'11H =0,'22H =0,'12H ='21H =ν 21E 1=E 1(0)+'11H +)0(2)0(12'21E E H-=-ω 21+0-ων2241=-ω21-ων241 E 2=E2(0)+'22H +)0(1)0(22'12E E H -=ω 21+ων2414、E 1=2222ma π,)(1x ψ=0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x =dx x a ?021ψ=2sin 202a dx a x x a a=?π x p =-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp =-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ =-a a x xd a i 02)(sin 1π =0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π=0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、(i ),(ii )各10分(i )s =0,为玻色子,体系波函数应交换对称。

量子力学期末考试题库含答案22套

量子力学期末考试题库含答案22套

量子力学期末考试题库含答案22套量子力学自测题(1)一、简答与证明:(共25分)1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。

(4分)2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

(4分)4、证明)??(22x x p x x p i -是厄密算符(5分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标x 和动量x p之间的测不准关系。

(6分)二、(15分)已知厄密算符B A ?,?,满足1??22==B A,且0=+A B B A ,求 1、在A 表象中算符A、B ?的矩阵表示; 2、在B 表象中算符A的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、(15分)设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ,求1、0=t 时氢原子的E 、2L和z L ?的取值几率和平均值;2、0>t 时体系的波函数,并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。

四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出+????? ??-=C C C H000000200030001? 这里,H H H'+=)0(,C 是一个常数,1<<="">五、(10分)令y x iS S S +=+,y x iS S S -=-,分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态???? ??=+0121和=-1021的结果,并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么?量子力学自测题(1)参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:)(Et r p i Ae -?=ρρηψ2、定态:定态是能量取确定值的状态。

量子力学试题含答案

量子力学试题含答案

一、填空题:(每题 4 分,共 40 分)1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2.德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为:E=h ν, p=/h λ 。

3.根据波函数的统计解释,dx t x 2),(ψ的物理意义为:粒子在x —dx 范围内的几率 。

4.量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5.坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为:[],x p i = 。

6.量子力学关于测量的假设认为:当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时,测量某力学量F 所得的数值,必定是算符Fˆ的 本征值 。

7.定态波函数的形式为: t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8.一个力学量A 为守恒量的条件是:A 不显含时间,且与哈密顿算符对易 。

9.根据全同性原理,全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性,费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10.每个电子具有自旋角动量S ,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为: 2± 。

二、证明题:(每题10分,共20分)1、(10分)利用坐标和动量算符的对易关系,证明轨道角动量算符的对易关系:证明:zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、(10分)由Schr ödinger 方程证明几率守恒:其中几率密度 几率流密度 证明:考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式:2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分,则有:三、计算题:(共40分)1、(10分)设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设?A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案:A2. 量子力学中,波函数ψ的物理意义是什么?A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案:A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态?A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案:B4. 对于厄米算符A和B,若它们对易(即[A, B] = 0),则可以同时拥有共同的一组本征态。

A. 正确B. 错误答案:A5. 量子力学中,双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理?A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案:A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。

答案:iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。

答案:±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。

答案:波函数4. 在量子力学中,观测算符A的平均值表示为_________。

答案:⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时,波函数会坍缩到观测算符A的_________上。

答案:本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。

答:波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。

在量子力学中,波函数描述了粒子的波动性质,可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。

波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象,例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。

2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。

答:量子力学中的不确定性原理由海森堡提出,它表明在同时测量一粒子的位置和动量时,粒子的位置和动量不能同时具有确定的值,其精度存在一定的限制。

量子力学期末试题

量子力学期末试题

量子力学期末试题1一. 填空(3分×5=15分)1.2)2,(h vr ψ的含义是 2.在非定态下,力学量的平均值一定随时间变化吗?3.211ˆ(,)________L Y θϕ=;2,1ˆ(,)________z L Y θϕ−= 4.坐标y 在动量表象中的矩阵元为__________________________.5.2ˆ[,]y z σσ=____ 二.证明(10分×2=20分)1.(10分)设ˆA v ,ˆB v 是与σˆv 对易的任何矢量算符, 证明:)ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(B A i B A B A v v v v v v v v v ו+•=••σσσ。

2.(10分)设力学量A 不显含时间t ,H 为体系的Hamilton 量,试证明]],,[[222H H A A dt d =−h三.计算(65分),1. (15分)求一维谐振子的坐标,x 动量ˆp及Hamilton 量ˆH 在能量表象中的矩阵表示。

(已知:1111)n n n n n x ψ+−−+=+− 2.(15分)在ˆz σ表象中,求01ˆ10x σ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠和0ˆ0y i i σ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的本征值和所属的本征函数。

3.(15分)设粒子在势场 ⎩⎨⎧><∞<<=.,0,;0,0)(a x x a x x u 中运动, 求:粒子的能量本征值和本征函数。

(15分)4.(20分)考虑耦合谐振子,H H H ′+=0,其中)(21)(22221222221220x x x x H ++∂∂+∂∂−=μωμh ;21x x H λ−=′(λ为实常数,刻画耦合强度)(1).求出0H 的本征值及能级的简并度;(2).以第一激发态为例用简并微扰论计算H ′对能级的影响(一级近似)试卷1参考答案一. 填空(每题3分,共15分)1. 电子自旋向上位置在r v处的几率密度, 2. 不一定,3. ),(2112ϕθY h ;),(1,2ϕθ−−Y h , 4. )(p p p i y p p ′′−′′∂∂=′′′δh5. 0二.证明(每题10分,共20分) 1 证明原式左端)(z z y y x x A A A σσσ++=)(z z y y x x B B B σσσ++ (5分)z z z y y y x x x B A B A B A 222σσσ++=x y x y y x y x z x z x x z x z y z y z z y z y B A B A B A B A B A B A σσσσσσσσσσσσ++++++又因为1222===z y x σσσ,z x y y x i σσσσσ=−=,x y z z y i σσσσσ=−=,y z x x z i σσσσσ=−= (3分)整理得)(B A i B A vv v v v ו+•σ (2分)问题得证 2 证明对于不显含时间t 的力学量A 有hi A dt d 1=],[H A (5分) 上式两边对t 求导,则有 h h i H A i dt d A dt d 1],[122==]],,[1[H H A i h ]],,[[12H H A h−= (5分)即]],,[[222H H A A dt d =−h三.计算题 1.解:取占有数表象,由已知可得:(2分)1) 坐标x 的矩阵表示为,1,n n n n n n x ′′′+⎞=+⎟⎟⎠(3分)0000100x α⎛⎞⎜⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L L L L L L L L L L L L (2分) 2) 由于ˆdpi dx=−h ,所以,1,n n n n n n p ′′′−⎤=−⎥⎦(2分)故有0000000p i α⎛⎞⎜⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L h L L L L L L L L L L L (2分) 3) 能量ˆ(H=1ˆ2N ω+h ,所以 ,1()2n n n n H n ωδ′′=+h (2分)故有 1000230002ˆ50002100002H n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎝⎠L L L L L L L L (2分)2.解:解:(1) 先求x σ的本征值和本征函数在z σ表象中,x σ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110,设x σ本征值为λ,本征态为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛b a , 则本征方程为:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛b a b a λ1001 (3分) 解得: 1±=λ (2分)x σ∴的归一化的本征态为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1112111121λσλσx x (4分)(2) 同理可求y σ的本征值为1±=′λ (2分)相应于y σ的归一化本征态为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11211121λσλσi i y y (4分)3.1 解:一维定态薛定鄂方程为222()2d u x E m dxψψψ−+=h (2分) 1) 在0x a ≤≤范围:22202d E m dxψ+=h (2分) 故 sin cos A x B x ψαα=+,1222mE α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠h (2分) 2) 根据波函数的连续性条件:()(0)0a ψψ==,可得 sin cos 0,0A a B a B αα+==故有 sin A x ψα= (3分)由sin 0a α=可得,(1,2,3)n n aπα==L (1分)3) 由归一化条件:2||1dx ψ+∞−∞=∫,可得2220sin 1aA xdx α=∫故有A =(2分) 4) 结合1222mE α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠h 和(1,2,3)n n a πα==L 可得 2222222222n n n E m a ma ππ==h h (2分)所以()n x x aπψ= 1,2,3n =L (1分) 4.解:)(21)(22221222221220x x x x H ++∂∂+∂∂−=μωμh )212(2122122x x μωμ+∂∂−=h )212(2222222x x μωμ+∂∂−+h 表示两个独立的谐振子,它们的共同本征态为:21n n21n n =)()(212x x n n n ψψ0201)21()21(21ωωh h +++=∴n n E n nL L h 3,2,1,)1(0=+=N N ω (4分) 当N 给定时, N n L L ,2,1,01= 0,2,1,2L L −−=N N N nN+1种组合因此,能级的简并度为N+1 (4分) (2)第一激发态为N=1 能级简并度为二重00)0(12)1(ωωh h =+=N E相应的波函数为:⎩⎨⎧==),()()(),()()(21220112112110x x x x x x x x φψψφψψ (1分) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′=′∴22122111φφφφφφφφνμH H H H H (2分) 01111=′=′∴φφH H , 02222=′=′∴φφH H (2分) 221122αλ−=′=′∴H H (4分) ′⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=′∴022022αλαλνμH00220)1(22)1(=′⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−∴E E αλαλ2)1(2αλ±=∴E (2分) 0020)1(1)0(112222μωλωαλωhh h ±=±=+=∴E E E (1分)量子力学期末试题2一.填空(3分×5=15分)1 粒子处于力学量B v 的本征态)(r n vψ的迭加态,)()(41)(21)(321r C r r r n v v v v ψψψψ++=则粒子处于)(1r vψ的概率是 ,C = (取实数)2 若ˆ,FG GF ik−=,则算符F 和G 之间满足测不准关系________________ 3 在粒子数表象中,产生算符和湮灭算符满足关系式:ˆ4an ++= ;ˆ1a n += 4.一个正电子和一个负电子同时在空间运动在两粒子相遇区域是否可以将其分辨?______5 中心力场中的粒子处于定态,则角动量取确定值,对吗? 二.证明(10分×2=20分)1.(10分)设λ为常数,z σ为泡利算符,证明:cos sin zi z ei λσλσλ=+2.(10分)证明:Hermite 算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交(假定本征值是离散的)。

练习量子力学

练习量子力学

练习二十四 热辐射一、选择题1. 黑体的温度升高一倍,它的辐射出射度(总发射本领)增大 (A) 15倍. (B) 7倍. (C) 3倍. (D) 1倍.3. 在加热黑体过程中,其最大单色辐出度对应的波长由0.8μm 变到0.4μm ,则其辐射出射度增大为原来的(A) 2倍. (B) 4倍. (C) 16倍. (D) 8倍.4. 在图24.1.的四个图中,哪一个图能定性地正确反映黑体单色辐出度M λ(T )随λ和T 的变化关系,(已知T 2 >T 1)5. 普朗克量子假说是为解释(A) 光电效应实验规律而提出来的. (B) 黑体辐射的实验规律而提出来的. (C) 原子光谱的规律性而提出来的.(D) X 射线散射的实验规律而提出来的.二、填空题1. 测量星球表面温度的方法之一,是把星球看作绝对黑体而测定其最大单色辐出度的波长λm . 现测得太阳的λm1= 0.55μm ,北极星的λm2 = 0.35μm ,则太阳表面温度T 1与北极星表面温度T 2之比T 1 :T 2 = .2. 一个100W 的白炽灯泡的灯丝表面积为S = 5.3⨯10-5m 2 . 若将点燃的灯丝看作是黑体,可估算出它的工作温度为 .3. 利用普朗克公式()1ed 2d )(/52-=T k hc hc T M λλλλπλ进行积分得 ⎰∞==4d )()(T T M T M σλλ(A)(B)图24.1(C)(D)其中σ为一常量. 式中M(T)的物理意义是.三、计算题1. 地球卫星测得太阳单色辐射出射度的峰值在500nm处, 若把太阳看成黑体,求(1) 太阳表面的温度;(2) 太阳辐射的总功率;(3) 垂直射到地球表面每单位面积的日光功率.(地球与太阳的平均距离为1.5⨯108km,太阳的半径为6.67⨯105km)2. 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的各向同性的均匀背景辐射相当于3K的黑体辐射.求(1) 此辐射的光谱辐射出射度极大值所对应的频率;(2) 地球表面接受此辐射的功率.(地球半径R E=6.37×106m)练习二十五光电效应康普顿效应一、选择题1. 已知一单色光照射在钠表面上,测得光电子的最大动能是1.2eV,而钠的红限波长是540nm,那么入射光的波长是(A) 535nm.(B)500nm.(C)435nm.(D) 355nm.2. 光子能量为0.5MeV的X射线,入射到某种物质上而发生康普顿散射. 若反冲电子的动能为0.1MeV,则散射光波长的改变量∆λ与入射光波长λ0之比值为(A) 0.20.(B) 0.25.(C) 0.30.(D) 0.35.4. 下面这此材料的逸出功为:铍,3.9eV;钯,5.0eV;铯,1.9eV;钨,4.5eV.要制造能在可见光(频率范围为3.9⨯1014Hz-7.5⨯1014Hz)下工作的光电管,在这此材料中应选:(A) 钨. (B) 钯.(C) 铯. (D) 铍.5. 光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程.对此过程,在以下几种理解中,正确的是:(A)光电效应是电子吸收光子的过程,而康普顿效应则是光子和电子的弹性碰撞过程.(B)两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程.(C)两种效应都属于电子吸收光子的过程.(D)两种效应都是电子与光子的碰撞,都服从动量守恒定律和能量守恒定律.二、填空题1. 光子的波长为λ,则其能量E = ;动量的大小为p = ; 质量为 .2. 已知钾的逸出功为2.0eV, 如果用波长为λ=3.60⨯10-7m 的光照射在钾上,则光电效应的遏止电压的绝对值|U a | = ,从钾表面发射的电子的最大速度v m = .3. 康普顿散射中,当散射光子与入射光子方向成夹角θ = 时,光子的频率减少得最多;当θ = 时,光子的频率保持不变.三、计算题1. 波长为λ的单色光照射某金属表面发生光电效应,已知金属材料的逸出功为A ,求遏止电势差;今让发射出的光电子经狭缝S 后垂直进入磁感应强度为B 的均匀磁场, 如图25.1所示,求电子在该磁场中作圆周运动的最大半径R .(电子电量绝对值为e ,质量为m )2. 用波长λ0 =0.1nm 的光子做康普顿实验.(1)散射角ϕ= 90︒的康普顿散射波长是多少?(2)分配给反冲电子的动能有多大?练习二十六 德布罗意波 不确定关系一、选择题1. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后,其德布罗意波长是0.04nm ,则U 约为:(A) 150V . (B) 330V . (C) 630V . (D) 940V .2. 波长λ =500nm 的光沿x 轴正向传播,若光的波长的不确定量Δλ=10-4nm, 则利用不确定关系式∆x ∆p x ≥h 可得光子的坐标的不确定量至少为(A) 25cm . (B) 50cm . (C) 250cm .(D) 500cm .3. 如图26.1所示,一束动量为p 的电子,通过缝宽为a 的狭缝,在距离狭缝为L 处放置一荧光屏,屏上衍射图样中央最大的宽度d 等于:(A) 2a 2/L .图25.1(B) 2ha /p . (C) 2ha /(Lp ). (D) 2Lh /(ap ).4. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动,这时粒子物质波波长λ与速度v 有如下关系: (A) 2211cv -∝λ. (B) λ ∝ 1/v .(C) λ ∝ v .(D) 22v c -∝λ.5. 关于不确定关系∆x ∆p ≥ћ有以下几种理解: (1) 粒子的动量不可能确定; (2) 粒子的坐标不可能确定;(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定;(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子,也适用于其它粒子. 其中正确的是:(A) (1)、(2). (B) (3)、(4). (C) (2)、(4). (D) (4)、(1). 二、填空题1. 氢原子在温度为300K 时,其方均根速率所对应的德布罗意波长是 ;质量为m =10-3kg,速度v =1m/s 运动的小球的德布罗意波长是 .2. 电子的康普顿波长为λc =h /(m e c )(其中m e 为电子静止质量, c 为光速, h 为普朗克恒量). 当电子的动能等于它的静止能量时,它的德布罗意波长λ= λc .3. 在电子单缝衍射实验中,若缝宽为a = 0.1nm ,电子束垂直射在单缝上,则衍射的电子横向动量的最小不确定量∆p y = N·s .三、计算题1. α 粒子在磁感应强度为B =0.025T 的均匀磁场中沿半径为R =0.83cm 的圆形轨道上运动. (1)试计算其德布罗意波长(α 粒子的质量m α=6.64⨯10-27kg);(2)若使质量m =0.1g 的小球以与α粒子相同的速率运动,则其波长为多少. 2. 质量为m e 的电子被电势差U 12=106V 的电场加速. (1)如果考虑相对论效应,计算其德布罗意波的波长λ0;(2)若不考虑相对论,计算其德布罗意波的波长λ.其相对误差(λ-λ0)/λ0是多少?练习二十七氢原子理论薛定谔方程一、选择题1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV,若氢原子从能量为-0.85eV的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为(A) 2.56eV.(B) 3.41eV.(C) 4.25eV.(D) 9.95eV.2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示,其次波长用λ2表示,则它们的比值λ1/λ2为(A) 9/8.(B) 19/9.(C) 27/20.(D) 20/27.3. 根据氢原子理论,氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为:(A) 5/2.(B) 5/3.(C) 5/4.(D) 5.4.将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍,则粒子在空间的分布几率将(A) 增大D2.倍(B) 增大2D.倍(C) 增大D.倍(D) 不变.5.一维无限深势阱中,已知势阱宽度为a . 应用不确定关系估计势阱中质量为m的粒子的零点能量为:(A) ћ/(ma2)(B) ћ2/(2ma2)(C) ћ2/(2ma).(D) ћ/(2ma2).二、填空题2. 设描述微观粒子运动的波函数为ψ(r, t),则ψψ﹡表示,ψ(r, t)须满足的条件是,E3 E2其归一化条件是 .3. 粒子在一维无限深势阱中运动(势阱宽度为a ),其波函数为ψ(x )=axa π3sin 2 . (0 < x < a ) 粒子出现的概率最大的各个位置是x = .三、计算题1. 当氢原子从某初始状态跃迁到激发能为∆E = 10.19eV 的状态时,发射出光子的波长是λ = 486nm ,试求该初始状态的能量和主量子数.2.一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间,如图27.2所示. 描写粒子状态的波函数为ψ = cx ( l -x ),其中c 为待定常量,求在0~ l /3区间发现粒子的概率.练习二十八 近代物理习题课一、选择题1. 如图28.1所示,一维势阱中的粒子可以有若干能态,如果势阱的宽度L 缓慢地减小,则(A) 每个能级的能量减小. (B) 能级数增加.(C) 每个能级的能量保持不变. (D) 相邻能级间的能量差增加.2. 根据量子力学原理,氢原子中电子绕核运动动量矩的最小值为 (A)2ћ.(B) ћ. (C) ћ /2. (D) 0.4. 设某微观粒子运动时的能量是静止能量得k 倍,则其运动速度的大小为 (A) c /(k -1).图28.1图27.2(B) c 21k -/k . (C) c 12-k /k . (D) c ()2+k k /(k+1).5. 把表面洁净的紫铜块、黑铁块和白铝块放入同一恒温炉膛中加热达到热平衡. 炉中这三块金属对某红光的单色辐出度(单色发射本领)和单色吸收比(单色吸收率)之比依次用M 1/a 1、M 2/a 2和 M 3/a 3表示,则有(A) M 1/a 1>M 2/a 2>M 3/a 3. (B) M 1/a 1=M 2/a 2=M 3/a 3. (C) M 3/a 3>M 2/a 2>M 1/a 1. (D) M 2/a 2>M 1/a 1>M 3/a 3.二、填空题1. 氢原子基态的电离能是 eV . 电离能为0.544eV 的激发态氢原子,其电子处在n = 的轨道上运动.2. 分别以频率ν1、ν2的单色光照射某一光电管,若ν1>ν2(ν1、ν2均大于红限频率ν0),则当两种频率的入射光的光强相同时,所产生的光电子的最大初动能E 1 E 2(填<、=、>),为阻止光电子到达阳极,所加的遏止电压|U a 1| |U a 1|(填<、=、>),所产生的饱和光电流I S 1 I S 2(填<、=、>).3. 夜间地面降温主要是由于地面的热辐射.如果晴天夜里地面的温度为27℃,按黑体辐射计算,1m 2地面散失热量的速率为 .三、计算题1. 氢原子光谱的巴耳末线系中,有一光谱线的波长为λ = 434nm ,试求: (1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特.(2) 该谱线是氢原子由能级E n 跃迁到能级E k 产生的,n 和k 各为多少.(3) 最高能级为E 5的大量氢原子,最多可以发射几个线系,共几条谱线(不必计算波长值). 请在氢原子能级图中表示出来,并说明波长最短的是哪条谱线.2.铀核的线度为7.2×10-15m .试用不确定关系估算核中α粒子(m α=6.7×10-27kg)的动量值和动能值.。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 在量子力学中,一个粒子的状态用波函数表示。

波函数的物理意义是:A. 粒子的位置概率分布B. 粒子的运动速度C. 粒子的自旋状态D. 粒子的能量2. 量子力学的基本假设之一是:A. 粒子的能量是离散的B. 粒子在空间中的轨道是连续的C. 粒子的位置可以同时确定D. 粒子的自旋是固定的3. 哪个原理用于解释原子光谱的发射和吸收现象?A. 波粒二象性原理B. 测不准原理C. 泡利不相容原理D. 量子力学随机性原理4. 薛定谔方程描述了:A. 粒子的位置和动量之间的关系B. 粒子在空间中的运动轨迹C. 粒子的能量和自旋状态D. 粒子波函数随时间的演化5. 量子力学波函数的归一化条件是:A. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于1B. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于0C. Ψ(x, t)在无限远处趋于零D. Ψ(x, t)的真实部分等于虚部的共轭6. 两个可观测量的对易关系表示为:[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示两个算符的对易子。

这意味着:A. A和B的本征态可以同时存在B. A和B的本征值可以同时测量得到C. A和B的测量结果彼此独立D. A和B的测量结果存在不确定性7. 量子力学中的不确定性原理指出,以下哪一对物理量不能同时精确确定:A. 位置和动量B. 能量和时间C. 自旋在X方向和自旋在Y方向D. 角动量在X方向和角动量在Y方向8. 箱中有一自由粒子,其波函数为:Ψ(x) = A sin(kx)其中A和k为常数,该波函数代表:A. 粒子在箱中处于能量本征态B. 粒子在箱中处于动量本征态C. 粒子在箱中处于位置本征态D. 粒子在箱中处于叠加态9. 双缝干涉实验中,当缝宽减小时,干涉图案的特征是:A. 条纹的间距增大B. 条纹的间距减小C. 条纹的亮度增强D. 条纹的亮度减弱10. 量子隧穿现象解释了:A. 电子在金属中的传导现象B. 光子在光学纤维中的传播现象C. 电子在势垒中的穿透现象D. 光子在介质中的反射现象二、填空题(每题6分,共30分)1. 德布罗意波假设将粒子的运动与________联系起来。

量子力学习题集及答案

量子力学习题集及答案
23.设氢原子的状态为,求: (1)能量E,轨道角动量z分量自旋角动量z分量的可能值和相应几 率; (2)能量E,轨道角动量z分量自旋角动量z分量的平均值。 解: .
(1) 能量有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; (2) =
3. 德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做 的( 电 )子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式) 为( )和( )。
4. 三维空间自由粒子的归一化波函数为=( ), ( )。 5. 动量算符的归一化本征态( ),( )。 6. t=0时体系的状态为,其中为一维线性谐振子的定态波函
数,则( )。 7. 按照量子力学理论,微观粒子的几率密度=( ),几率
流密度=( )。 8. 设描写粒子的状态,是( 粒子的几率密度 ),在中的
平均值为=( )。 9. 波函数和是描写( 同一 )状态,中的称为( 相因子
),不影响波函数的归一化,因为( )。 10. 定态是指( 能量具有确定值 )的状态,束缚态是指
(无穷远处波函数为零)的状态。 11. 是定态的条件是( ),这时几率密度和( 几率密度 )
二、计算、证明题
1.粒子在一维势场中运动,试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能 级和归一化波函数.
解:当 当 令得

2.一粒子在一维势场中运动,试求粒子的能级和归一化定态波函数 (准确解)。 解: 令则
3.一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为
试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数(不必归一 化)。 { 提示:在态中 } 解: 当 当 令得
立。
23. 力学量算符的本征值必为( 实数 ),力学量算符的属
于两个不同本征值的本征态必( 相互正交 )。

量子期末试题及答案

量子期末试题及答案

量子期末试题及答案第一部分:选择题1.下列哪项是描述量子力学的准确说法?a) 量子力学是一种经典物理学理论;b) 量子力学描述了微观粒子的行为;c) 量子力学只适用于宏观物体;d) 量子力学只适用于电磁学领域。

答案:b) 量子力学描述了微观粒子的行为。

2.下列哪个选项是量子力学的基本假设之一?a) 波粒二象性;b) 相对论;c) 牛顿定律;d) 热力学定律。

答案:a) 波粒二象性。

3.对于一个量子系统,其波函数的平方表示什么?a) 粒子的位置;b) 粒子的动量;c) 粒子的波动性;d) 粒子的能量。

答案:c) 粒子的波动性。

4.下列哪项是量子纠缠的特点?a) 粒子之间的状态不相关;b) 粒子之间的状态不确定;c) 粒子之间的状态相关;d) 粒子之间的状态独立。

答案:c) 粒子之间的状态相关。

5.量子力学中的观测算子对应于什么?a) 粒子的位置;b) 粒子的动量;c) 粒子的能量;d) 物理量的测量结果。

答案:d) 物理量的测量结果。

第二部分:简答题1.量子隧穿现象是什么?请简要解释。

答:量子隧穿现象是指在经典物理学中,粒子在能量不足以越过势垒时不可通行,而在量子力学中,粒子可以通过隧穿效应越过势垒。

这是由于波粒二象性的特性,波函数在势垒区域内会有一定的概率分布,因此粒子以概率的形式通过势垒,即使其能量低于势垒高度。

2.什么是量子比特?请简要解释。

答:量子比特(qubit)是量子计算的最小信息单位,类似于经典计算机中的比特(bit)。

而不同之处在于,量子比特允许同时处于多个状态的叠加态,而比特只能处于0或1状态。

量子比特的叠加态可以通过量子叠加原理进行并行计算,从而在某些计算问题上具有优势。

第三部分:计算题1.一粒子处于基态和第一激发态的叠加态上,其波函数可以表示为|ψ⟩=a|0⟩+b|1⟩,其中a和b为复数,且|a|^2+|b|^2=1。

若进行测量得到粒子处于基态的概率为1/3,则计算a和b的值。

《量子力学》试题库完整

《量子力学》试题库完整

《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式,简述其物理意义 答:微观粒子的能量和动量分别表示为: ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。

等式左边的能量和动量是描述粒子性的;而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释,按这种解释,描写粒子的波是什么波?答:波函数的统计解释是:波函数在空间中某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。

按这种解释,描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释,说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答:根据量子力学中波函数的几率解释,因为粒子必定要在空间某一点出现,所以粒子在空间各点出现的几率总和为1,因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小;因而将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子状态不变,这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=,其中1c 和2c 为复数,1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。

试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义,并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。

答:2211ϕϕψc c +=的含义是:当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时,粒子是既处于1ϕ态,又处于2ϕ态。

或者说,当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时,它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态;或者说,当体系处在态ψ时,体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。

在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ,各自出现的几率为21c 和22c 。

5 什么是定态?定态有什么性质?答:定态是指体系的能量有确定值的态。

在定态中,所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。

6 什么是全同性原理和泡利不相容原理?两者的关系是什么? 答:全同性原理是指由全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、选择题1. 量子力学中,描述一个量子态最基本的方法是()。

A. 波函数B. 哈密顿算符C. 薛定谔方程D. 路径积分答案:A2. 海森堡不确定性原理表明,粒子的()和()不能同时被精确测量。

A. 位置,速度B. 能量,时间C. 动量,位置D. 时间,动量答案:C3. 波函数的绝对值平方代表的是()。

A. 粒子的速度B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置出现的概率密度D. 粒子的动量答案:C4. 薛定谔方程是一个()。

A. 线性偏微分方程B. 非线性偏微分方程C. 线性常微分方程D. 非线性常微分方程答案:A5. 在量子力学中,泡利不相容原理指的是()。

A. 两个费米子不能处于同一个量子态B. 两个玻色子不能处于同一个量子态C. 所有粒子都不能处于同一个量子态D. 所有粒子都必须处于同一个量子态答案:A二、填空题1. 在量子力学中,一个粒子的波函数必须满足__________方程,才能保证波函数的归一化条件。

答案:连续性2. 量子力学的基本原理之一是观测者效应,即观测过程会影响被观测的__________。

答案:系统3. 量子纠缠是量子力学中的一种现象,其中两个或多个粒子的量子态以某种方式相互关联,以至于一个粒子的状态立即影响另一个粒子的状态,这种现象被称为__________。

答案:非局域性三、简答题1. 请简述德布罗意假说的内容及其对量子力学的贡献。

德布罗意假说提出了物质波的概念,即所有物质都具有波粒二象性。

这一假说不仅解释了电子衍射实验的现象,而且为量子力学的发展奠定了基础,使得物理学家开始将波动性质引入到粒子的描述中,从而推动了波函数理论的发展。

2. 什么是量子隧穿效应?请给出一个实际应用的例子。

量子隧穿效应是指粒子在遇到一个能量势垒时,即使其能量低于势垒高度,也有可能穿透势垒出现在另一侧的现象。

这一效应是量子力学中特有的,与经典物理学预测的结果不同。

一个实际应用的例子是半导体器件中的隧道二极管,它利用量子隧穿效应来实现电流的传导,具有非常快的开关速度和低功耗的特性。

量子力学简答100题及答案

量子力学简答100题及答案

1、简述波函数的统计解释;2、对“轨道”和“电子云”的概念,量子力学的解释是什么?3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点? 4、简述能量的测不准关系;5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下,波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化?解释各项的几率意义。

6、何为束缚态?7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时,简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时,若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥?采用Dirac 符号时,位置表象中的波函数应如何表示? 9、简述定态微扰理论。

10、Stern —Gerlach 实验证实了什么? 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么? 12、两个对易的力学量是否一定同时确定?为什么? 13、测不准关系是否与表象有关?14、在简并定态微扰论中,如 ()H0的某一能级)0(n E ,对应f 个正交归一本征函数i φ(i =1,2,…,f ),为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数? 15、在自旋态χ12()s z 中, S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少? 16、在定态问题中,不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解?同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解?17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定?举例说明。

18说明厄米矩阵的对角元素是实的,关于对角线对称的元素互相共轭。

19何谓选择定则。

20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋?21、叙述量子力学的态迭加原理。

22、厄米算符是如何定义的?23、据[aˆ,+a ˆ]=1,a a Nˆˆˆ+=,n n n N =ˆ,证明:1ˆ-=n n n a 。

量子力学习题

量子力学习题

第二章 波函数与薛定谔方程(1)一、填空题1、在量子力学中,描述系统的运动状态用波函数()r ψ,一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ; 连续性 ;单值性 。

根据玻恩对波函数的统计解释,电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律,称为 概率 波,波函数模的平方()2r ψ 表示粒子在空间的几率分布,称为 概率密度 。

而()2r d ψτ 表示在空间体积 dt 中概率,要表示粒子出现的绝对几率,波函数必须 归一化 。

2r 点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方(|Ψ|2)成正比。

3、根据波函数的统计解释,dx t x 2),(ψ的物理意义为 粒子在xdx 范围内的概率 。

4、在量子力学中,描述系统的运动状态用波函数()r ψ,一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ; 单值性 ;连续的。

5、波函数的标准条件为(1)波函数可归一化(2)波函数的模单值(3)波函数有限。

6、三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ= ,()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p见书P18 。

7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ,='∞⎰τψψd r r p p )()(* 见书P18 。

8、按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w = 见网页收藏 ,几率流密度= 。

9、设)(r ψ描写粒子的状态,2)(r ψ是 概率波 ,在)(rψ中力学量Fˆ的平均值为F = 。

10、波函数ψ和ψc 是描写 状态,δψi e 中的δi e 称为 ,δi e 不影响波函数ψ的归一化,因为 。

11、定态是指 的状态,束缚态是指 的状态。

12、定态波函数的形式为 。

13、)i exp()()iexp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是 ,这时几率密度和 都与时间无关。

14、波函数的统计解释 15.描述微观粒子状态的波函数ψ应满足的三个标准条件 。

16、粒子作自由运动时,能量本征值是 ___ __。

(完整版)量子力学期末考试题及解答

(完整版)量子力学期末考试题及解答

一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率(粒子数)守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答:由波函数的概率波解释可知,当(),r t ψ已经归一化时,坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== (1) 将上式的两端分别对时间t 求偏微商,得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ (2) 若位势为实数,即()()V r V r *=,则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ (3)()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ (4) 将上述两式代入(2)式,得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ (5) 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ (6) 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ (7) 此即概率(粒子数)守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置,其中实常数0α>。

解答:欲求取值概率必须先将波函数归一化,由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰(1)利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ (2) 可以得到归一化常数为C = (3)坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- (4)由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= (5) 知()w x 有五个极值点,它们分别是 10,,x α=±±∞(6)为了确定极大值,需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- (7)于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 (8)()220x d w x dx =±∞= 取极小值 (9)()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 (10)最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11)3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

量子力学考试题(共五题,每题20分)1、扼要说明:(a )束缚定态的主要性质。

(b )单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符(厄米算符)∧F ,∧G 不对易,令∧K =i (∧F ∧G -∧G ∧F ),试证明:(a )∧K 的本征值是实数。

(b )对于∧F 的任何本征态ψ,∧K 的平均值为0。

(c )在任何态中2F +2G ≥K3、自旋 /2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已知其能量算符为S H ˆˆω=∧H =ω∧z S +ν∧x S (ω,ν>0,ω»ν)(a )求能级的精确值。

(b )视ν∧x S 项为微扰,用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱(0<x<a )中运动,处于基态。

写出能级和波函数,并计算平均值x ,x p ,x xp5、某物理体系由两个粒子组成,粒子间相互作用微弱,可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种:a ψ(→r ),b ψ(→r ),c ψ(→r ),试分别就以下两种情况,求体系的可能(独立)状态数目。

(i )无自旋全同粒子。

(ii )自旋 /2的全同粒子(例如电子)。

量子力学考试评分标准1、(a ),(b )各10分(a )能量有确定值。

力学量(不显含t )的可能测值及概率不随时间改变。

(b )(n l m m s )→(n’ l’ m’ m s ’) 选择定则:l ∆=1±,m ∆=0,1±,s m ∆=0 根据:电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’,n l m m s ≠0 2、(a )6分(b )7分(c )7分 (a )∧K 是厄米算符,所以其本征值必为实数。

(b )∧F ψ=λψ,ψ∧F =λψ K =ψ∧K ψ=iψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ =i λ{ψ∧G ψ-ψG ψ}=0 (c )(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0,即2F +2G ≥K3、(a),(b)各10分(a) ∧H =ω∧z S +ν∧x S =2 ω[1001-]+2 ν[0110]=2 [ωννω-]∧H ψ=E ψ,ψ=[b a ],令E =2λ,则[λωννλω---][b a ]=0,︱λωννλω---︱ =2λ-2ω-2ν=0 λ=±22νω+,E 1=-2 22νω+,E 2=222νω+当ω»ν,22νω+=ω(1+22ων)1/2≈ω(1+222ων)=ω+ων22E 1≈-2 [ω+ων22],E 2 =2[ω+ων22](b )∧H =ω∧z S +ν∧x S =∧H 0+∧H ’,∧H 0=ω∧z S ,∧H ’=ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±,取E 1(0)=-ω 21,E 2(0)=ω 21相当本征函数(S z 表象)为ψ1(0)=[10],ψ2(0)=[01]则∧H ’之矩阵元(S z 表象)为'11H =0,'22H =0,'12H ='21H =ν 21 E 1=E 1(0)+'11H +)0(2)0(12'21E E H-=-ω 21+0-ων2241=-ω21-ων241 E 2=E 2(0)+'22H +)0(1)0(22'12E E H -=ω 21+ων2414、E 1=2222ma π,)(1x ψ=⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00x =dx x a ⎰021ψ=2sin 202a dx a x x a a=⎰π x p =-i ⎰=a dx dx d11ψψ-i ⎰=aa x d a 020)sin 21(2π x xp =-i ⎰⎰-=aaa xd a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ =⎰-a a x xd a i 02)(sin 1π =0sin [12a a x x a i π --⎰adx a x 02]sin π=0+⎰=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、(i ),(ii )各10分(i )s =0,为玻色子,体系波函数应交换对称。

),(21→→r r ψ有:)(1→r a ψ→)(2r a ψ,)(1→r b ψ→)(2r b ψ,)(1→r c ψ→)(2r c ψ,)]()()()([212121→→→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。

(ii )s =21,单粒子态共6种:⎥⎦⎤⎢⎣⎡01a ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡10a ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡01b ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡01c ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡10c ψ。

任取两个,可构成体系(交换)反对称态,如⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→→→2211221101)(01)(01)(01)(21r r r r a b b a ψψψψ=[21)()(21→→r r b a ψψ-)]()(21→→r r a b ψψ210101⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 体系态共有1526=C 种或:a ψ,b ψ,c ψ三种轨道态任取两个,可构成一种轨道对称态[21)()(21→→r r b a ψψ+)]()(21→→r r a b ψψ及一种反对称态[21)()(21→→r r b a ψψ-)]()(21→→r r a b ψψ,前者应与自旋单态x 00相乘,而构成体系反对称态,共3种。

后者应与自旋三重态x 11, x 10 ,x 1-1相乘而构成体系反对称态,共3⨯3=9种。

但轨道对称态还有)(1→r a ψ→)(2r a ψ型,共3种型,各与自旋单态配合,共3种体系态,故体系态共3+3+9=15种。

量 子 力 学 习 题第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比,即 λm T=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。

1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。

1.3 氦原子的动能是E=3kT/2(k 为玻耳兹曼常数),求T =1K 时,氦原子的德布罗意波长。

1.4 利用玻尔-索末菲的量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量;(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H =10特斯拉,玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间隔∆E ,并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。

如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?第二章 波函数和薛定谔方程2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度: (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波,ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波。

2.2 一粒子在一维势场ax a x x x U >≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧∞∞=00,,0,)(中运动,求粒子的能级和对应的波函数。

2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

2.4 一粒子在一维势阱a x ax U x U ≤>⎩⎨⎧>=,0,0)(0中运动,求束缚态(0<E <U 0)的能级所满足的方程。

2.5 对于一维无限深势阱(0<x <a )中的定态ψn (x ),求x 、2x 和∆x ,并与经典力学结果比较。

2.6 粒子在势场xa a x x V x V ≤<<≤⎪⎩⎪⎨⎧-∞=00,0,,)(0中运动,求存在束缚态(E <0)的条件( ,m ,a ,V 0关系)以及能级方程。

2.7 求二维各向同性谐振子[V =21k (x 2+y 2)]的能级,并讨论各能级的简并度。

2.8 粒子束以动能E =m k 222 从左方入射,遇势垒00,,0)(0≥<⎩⎨⎧=x x V x V求反射系数、透射系数。

E <V 0及E >V 0情形分别讨论。

2.9 质量为m 的粒子只能沿圆环(半径R )运动,能量算符22222ˆϕd d mR H-=,ϕ为旋转角。

求能级(E n )及归一化本征波函数ψn (ϕ),讨论各能级的简并度。

第三章 基本原理3.1 一维谐振子处在基态tix e x ωαπαψ222122)(--=,求:(1) 势能的平均值2221x U μω=;(2) 动能的平均值μ22p T =; (3) 动量的几率分布函数。

3.2 设t =0时,粒子的状态为ψ(x )=A [sin 2kx +21cos kx ],求此时粒子的平均动量和平均动能。

3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a ,如果粒子的状态由波函数ψ(x )=Ax (a-x )描写,A 为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。

3.4 证明:如归一化的波函数ψ(x )是实函数,则<x p x >=i /2;如ψ=ψ(r )(与θ,ϕ无关),则<r r ∂∂>= -3/2。

3.5 计算对易式[x , L y ],[p z , L x ],并写出类似的下标轮换式(x →y , y →z , z →x )。

3.6 证明算符关系p i p L L p r i r L L r 22=⨯+⨯=⨯+⨯3.7 设F 为非厄米算符(F +≠F ),证明F 可以表示成A +iB 的形式,A 、B 为厄米算符。

求A 、B 与F 、F +之关系。

3.8 一维谐振子(V 1=21kx 2)处于基态。

设势场突然变成V 2=kx 2,即弹性力增大一倍。

求粒子在V 2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。

3.9 有线性算符L 、M 、K ,[L , M ]=1,K =LM 。

K 的本征函数、本征值记为ψn 、λn (n=1, 2, ...)。

证明:如函数M ψn 及 L ψn 存在,则它们也是K 的本征函数,本征值为(λn ±1)。

3.10 证明:如H =2p /2m +V (r ), 则对于任何束缚态<p >=0。

3.11 粒子在均匀电场中运动,已知H =2p /2m -q εx 。

设t =0时x =0,x p =p 0,求x (t ),x p (t )。

3.12 粒子在均匀磁场B=(0, 0, B )中运动,已知H =2p /2m -ωL z ,ω=qB /2mc 。

相关文档
最新文档