7.2 结构动力学的有限单元法

B：应变矩阵 ν：线性阻尼系数
三、结构的动力学方程
单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，要用来形成整体 的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。在不考虑体积力的条 件下，整个结构的动力学方程为：
& & Mδ& + Cδ + Kδ = f
当f = 0, c = 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程
四、有限元法求解动力学问题实例
设第j个梁单元的单位长度质量为m 抗弯刚度为EI 设第j个梁单元的单位长度质量为mj, 抗弯刚度为EIj， 长度为L 两端的节点编号为j j+1，节点j 长度为Lj， 两端的节点编号为j和j+1，节点j的横向 位移为u 角位移为u 节点j+1的横向位移为u 位移为uj1, 角位移为uj2, 节点j+1的横向位移为uj3, 角 位移为u 位移为uj4。设梁单元的广义坐标向量为：
关于振型的正交性
δ K δm = δ ω M δm
2 m
^ T n
^
^ T n
^
2 δ K δ m = δ ωn M δ m
^ T n
^
^ T n
^
(ω − ω ) δ M δ m = 0
2 m 2 n
^ T n
^
ω ≠ω
2 m
^ T n ^
2 n
δ M δm = 0
^ T n
^
同样可以求得 δ K δ = 0 振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交 m
ω T = [ω1 ω 2 ... ω N ]
四、方程的特征值及振型的正交性
对于齐次代数方程 ( K − ω M ) δ = 0 ，只能求得振型矢量 的各元素的相对值。
2 ^
规格化处理：通常将各元素同时除以其中的某一个基准 规格化处理：通常将各元素同时除以其中的某一个基准 分量（通常取最大的一个或者第一个分量），把向量表 示成无量纲的形式，所获得的向量称为规格化振型 示成无量纲的形式，所获得的向量称为规格化振型。 规格化振型。
v( x) = α 1 + α 1 x + α 3 x 2 + α 4 x 3
平面梁单元形状函数矩阵N
v( x) = α1 + α 2 x + α 3 x 2 + α 4 x 3
四个待定系数可以通过四 个节点位移值和边界条件 来确定。
α 1 = vi α 2 = θi
3vi 2θ i 3v j θ j α3 = − 2 − + 2 − l l l l 2v θ 2v j θ j α 4 = 3 i + 2i − 3 + 2 l l l l
连续体的离散化需要注意的几点： 连续体的离散化需要注意的几点：
1）单元的密度 （单元越密、节点越多，精度越高，计算量越大。机械结 构有限元动力学分析，计算固有频率和振型，可以考虑将 网格划分得粗一些。） 2）采用疏密不等的网格划分方法。 3）在采用三角形单元时，要尽量使每个三角形单元边长不 要相差过大，不要出现过尖、过钝的内角，避免计算结果 出现大的误差。 4) 要尽量将单元的节点和单元边界设置在几何形状、材料 特性和载荷发生突变处。
n
基本振型 基频
φ n = [φ1 φ 2
φ11 φ12 φ φ 22 ... φ Nn ] = 21 ... ... φ N 1 φ N 2
... φ1N ... φ 2 N ... φ3 N ... φ NN
四、方程的特征值及振型的正交性
关于振型的正交性
多项式的待定系数由节点位移来确定，待定系数的数目 和单元的自由度数目相同。
例：三节点三角形平面单元 （每个节点两个位移分量，三 个节点共六个自由度，所以多 项式包含六个待定系数，每个 位移分量各取三项）
u = α1 + α 2 x + α 3 y v = α4 + α5x + α6 y
例：平面梁单元
和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素 和载荷工况）进行模拟。 即单元， ，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量 的真实系统。 的真实系统。 有限元法（ finite element method）是一种新兴的现代 有限元法（ method） 结构分析的数值计算方法 历史典故 • 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究 者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 • 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅 有限元分析理论已有100多年的历史， 100多年的历史 炉进行手算评核的基础。 炉进行手算评核的基础 • 美国加州大学教授克拉夫在1960年首次引用。 美国加州大学教授克拉夫在1960年首次引用。 1960年首次引用
q nX 1 = x1u1 + x 2 u 2 + ... + x n u n
xi：参与因子，表示各阶主振型在相应位移中所占的比例
五、结构的动力学方程求解方法
2. 逐步积分法（直接积分法）
对于有复杂激振力或非比例阻尼情况下，将时 间离散化，逐步求出每个时间间隔 ∆t 上的状态 向量（位移、速度和加速度），最后获得的状 态向量为结构系统的动力响应解。 后次求解是在前次解已知的条件下进行。
有限元法的基本思想： 有限元法的基本思想： 采用单元将实际上连续的弹性物体离散化， 采用单元将实际上连续的弹性物体离散化，并且各单元 彼此之间以节点联结， 彼此之间以节点联结，单元上选取简单的函数组合作为位 移模型， 移模型，利用弹性力学的变分原理原理来获得单元的运动 方程组。然后， 方程组。然后，按照一定的规则把所有单元的运动方程组 集合起来，经适当的边界条件处理， 集合起来，经适当的边界条件处理，便得到整个物体的总 体运动方程组。最后，选择适当的方法来积分总体运动方 体运动方程组。最后， 程组，问题的解答将在物体的各离散点上给出。 程组，问题的解答将在物体的各离散点上给出。
五、结构的动力学响应求解方法
1. 振型叠加法
将n阶自由度系统的动力方程，经过振型模态 矩阵变换，转化为互相不耦合的n 矩阵变换，转化为互相不耦合的n个单自由度问 题，进行逐个求解后，然后再叠加得到动力响 应的结果。 n个自由度的结构，在激励力p(t)的作用下的 (t)的作用下的 动力响应可以表示为各阶主振型的线性叠加。
& Mδ& + Kδ = 0
常系数线性齐次常微分方程组，令其解为：
δ (t ) = δ sin( wt + θ )
^
δ : 节点振幅列阵
^
四、方程的特征值及振型的正交性
代入方程得到：
(K − ω M ) δ = 0
2
^
得到齐次的线性代数方程组
| K − ω 2 M |= 0
N阶自由度系统的自由振动方程应有n个固有频率 阶自由度系统的自由振动方程应有n i=1,2,3,… ωi i=1,2,3,…n 全部频率从小到大按顺序排列起来得到频率向量
结构动力学的有限单元法
结构动力学的有限单元法
一、有限元法简介 二、采用有限元法分析动力学问题 三、结构动力学方程 四、方程的特征值及振型的正交性 五、结构动力学响应的求解方法 六、有限元法求解动力学问题实例
一、有限元法简介
定义
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何 是利用数学近似的方法对真实物理系统（
由计算出的节点位移，利用应力应变方程求解响应的 节点应力
“一分一合” 一分一合”
分是为了单元分析， 分是为了单元分析， 合则是为了对整体结构进行综合分析。 合则是为了对整体结构进行综合分析。
二、采用有限元法分析动力学问题
动力学问题的有限元法也同结构静力学问题一样，要把物 体离散为有限个数的单元体。在考虑单元特性时，物体所 受到的载荷还要考虑单元的惯性力和阻尼力等因素。
A、B、C 完备协调单元
（3）建立单元的位移方程
分析单元的力学性质：根据单元的材料性质、形状、尺寸 、节点数目、位置及其含义等，应用弹性力学中的几何方 程和物理方程建立单元节点力和节点位移的关系式，从而 导出单元刚度矩阵。 计算等效节点力：有限元中力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。因此单元边界上的表面力、体积力或集中 力都需要等效到节点上，也就是用等效的节点力来替代所 用在单元上的力。
四、方程的特征值及振型的正交性
第n个规格化振型形式
^ δ 1n ^ 1 δ 2 n φn = = ^ ... δ 1n ... φ Nn ^ δ Nn φ1n φ 2n
按照 ω 的大小顺序排列 起来就得到振型矩阵。
对方程： ( K − ω M ) δ = 0
2 ^
第n个和第m个特征值和特征向量 ( K − ω M ) δ m = 0 ( K − ω M ) δ n = 0
2 m
^
2 n
^
2 K δ m = ωm M δ m
^
^
2 δ K = δ ωn M
^ T n
^ T n
左乘 δ
^ T n
右乘 δ
^ m
四、方程的特征值及振型的正交性
则单元的位移模型可以 用节点位移列阵和单元 形状函数矩阵的形式来 描述。
v( x) = Nu
vi θ i u= v j θ j
x2 l −1+ x l
N = [N 1
N2
N3
N4 ]
3x 2 2 x 3 N = 1 − 2 + 3 l l
六、有限元法求解动力学问题实例
梁直径d=10mm,长度2000mm，材料为钢， 梁直径d=10mm,长度2000mm，材料为钢， E=2.1X105MPa，密度7.8X103kg/m3。采用 MPa，密度7.8X10 有限元法计算梁的固有频率。