1.4.2单位圆与周期性
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.2_1.4.3单位圆与周期性单位圆与正弦函数余弦
课时素养评价五单位圆与周期性单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(20分钟40分)1.cos 1 110°的值为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
【解析】选B.cos 1 110°=cos(3×360°+30°)=cos 30°=错误!未找到引用源。
.2.M和m分别是函数y=错误!未找到引用源。
sin x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )A.错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-2 【解析】选D.因为M=y max=错误!未找到引用源。
-1=-错误!未找到引用源。
,m=y min=-错误!未找到引用源。
-1=-错误!未找到引用源。
,所以M+m=-错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=-2.3.函数y=4sin x+3在[-π,π]上的递增区间为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选B.y=sin x的增区间就是y=4sin x+3的增区间.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈错误!未找到引用源。
时,f(x)=sin x,则f错误!未找到引用源。
的值为( )A.-错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选D.因为定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,且f(x)的最小正周期为π, 所以f错误!未找到引用源。
=f错误!未找到引用源。
=f错误!未找到引用源。
=sin错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(6)=f(2).由f(2)=-f(0)=0,得f(6)=0.答案:06.cos 错误!未找到引用源。
数学北师大版必修4教学教案-1.4.2-单位圆与周期性-(1)-含答案
1.4.2 单位圆与周期性【教材分析】一、地位与作用：本节课内容是普通高中课程标准实验教科书北师大《数学（必修四）》第一章第4.2节主要讲述三角函数的周期性。
本节知识上承三角函数定义，下启诱导公式及三角函数图像与性质。
同时，三角函数是描述周期现象的数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
二、内容分析：本节教材对内容的安排主线是：现实背景（的感知与认识）—建构数学（形成周期函数概念）—具体化研究（三角函数的周期性）—数学应用（会求简单函数的周期）；此外，通过对例题的安排，介绍了得出函数周期的三种方法。
即例1→图像法、例2→定义法、例2的推广与引申→公式法。
充分体现了由“感性认识→理性认识”的认知升华。
【三维目标】一、知识与技能：1、了解周期函数的概念。
2、会判断一些简单的、常见的函数的周期性；3、能写出一些简单三角函数的周期。
二、过程与方法：1、结合现实模型，通过对三角函数值变化规律的观察与认识建构周期函数概念；2、通过对周期函数概念的了解与认识，学会判断简单的、常见的函数周期性；3、通过对三角函数周期公式的探索与发现，能写出简单的三角函数的周期。
三、情感价值观：1、通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、形成周期函数的概念的过程，让学生体会数学知识的发生、发展再现过程，激发学生的学习兴趣和求知欲。
2、通过数学运用，让学生在尝试问题解决中，获得成功的体验，在数学学习中享受生活，享受快乐。
【重点与难点】一、教学重点周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。
二、教学难点周期函数的概念【学生分析】1、知识基础：学生认识了周期现象，并在此基础上学习了三角函数的定义，有了一定的知识基础；2、生活基础：日出日落、四季更替……始终伴随着我们的生活，容易激发学生的兴趣与求知欲；3、基本能力：在建构主义教学理论指导下的数学学习，使学生已经具备了一定的观察、分析、思考的能力，为本节课的展开提供了可能。
【教法与学法】一、学法设计：学法设计主要有：观察、思考、小组讨论、合作探究。
单位圆与周期性
高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.2单位圆与周期性 1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解正弦函数、余弦函数的几何意义；（2）会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 2、过程与方法通过研究正弦函数、余弦函数的几何意义，利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 3、情感态度与价值观通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：周期性及一般函数周期性的定义. 学习难点：会求简单函数的周期性. 基础达标：1、终边相同的角的正、余弦值间的关系（1）sin(2) ,()x k k Z π+=∈； （2）cos(2) ,()x k k Z π+=∈． 2、周期函数的定义（1）一般地，对于函数()f x ，如果存在 ，对定义域内的 值，都有 ，则称()f x 为周期函数， 称为这个函数的周期．（2）特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称 是正弦函数、余弦函数的周期．其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 ．合作交流：1、求值：（1）sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750cos 495-︒︒+-︒︒+︒（2）2317cos()34ππ-+2、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，求(3)(4)f f -的值．思考探究：1、由于sin()sin 424πππ+=，所以2π是()sin f x x =的一个周期，对吗？2、所有的周期函数都有最小正周期吗？达标检测：1、下列说法不正确的是（ ） A.只有个别的x 值或只差个别的x 满足()()f x T f x +=或不满足都不能说T 是()y f x =的周期B.所有周期函数都存在最小正周期C.周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT()k N +∈一定也是周期D.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界2、25sin 6π=（ ）A.12-B.32C.12 D.32-3．下列说法中正确的是( ) A ．当2x π=时，sin()sin 6x x π+≠，所以6π不是()sin f x x =的周期 B ．当512x π=时，sin()sin 6x x π+=，所以6π是()sin f x x =的一个周期 C ．－2π不是y ＝sin x 的周期 D ．π是y ＝cos x 的一个周期4、角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 3± D. 5 5、下列函数是周期函数的是（ ） ①()f x x =；②()2x f x =；③()1f x =；④1,()0为有理数，为无理数x f x x ⎧=⎨⎩.A.①②B.③C.③④D.①②③④6、角α的终边上有一点()(,),0且P a a a R a ∈≠，则cos α的值是（ ）A.22 B.22- C.22± D.1 7、sin390 ︒=，cos390 ︒=，390°终边与单位圆交点P 的坐标为________．8、若偶函数()y f x =是以4为周期的函数，且在区间[]6,4--上是减函数，则在上[]0,2的单调性是学习小结：学后反思：。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.4.2 单位圆与周期性 Word版含答案
4.2 单位圆与周期性【明目标、知重点】 1.把握正弦、余弦函数的定义域，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数.2.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为求0°～360°的正弦、余弦值．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R . 2．正弦、余弦函数的周期性 sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ； cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z . 由此我们可以得到如下结论：终边相同的角的同一三角函数的值相等． 3．周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义对于函数f (x )，假如存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就称为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)最小正周期2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．[情境导学] 自然界存在很多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性． 探究点一 利用三角函数求函数定义域思考 任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．依据任意角三角函数的定义可知正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；在此基础上，可以求一些简洁的三角函数的定义域．例如：(1)函数y ＝sin x 的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }． (2)函数y ＝lg cos x 的定义域为{x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z }．例1 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解 由题意得，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .反思与感悟 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出访每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪训练1 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域． 解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． 即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 探究点二 正弦、余弦函数的周期性思考 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等．由此得到正弦函数和余弦函数的周期性．sin(k ·360°＋α)＝sin α，cos(k ·360°＋α)＝cos α，k ∈Z . 或者：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，k ∈Z .这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值．例如：sin 420°＝32；sin(－2 070)°＝1； cos(－330°)＝32；cos 1 845°＝22.例2 求下列角的三角函数值．(1)cos(－1 050°)；(2)cos 193π；(3)sin(－314π)．解 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与30°的角终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝32； (2)∵193π＝3×2π＋π3，∴角193π与角π3的终边相同，∴cos 193π＝cos π3＝12；(3)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴角－314π与角π4的终边相同，∴sin(－314π)＝sin π4＝22.反思与感悟 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值． 跟踪训练2 求下列各式的值． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－154π＋cos 253π＋cos ⎝⎛⎭⎫－103π； (2)sin 810°＋cos 765°－sin 1 125°＋cos 180°＋sin(－2 010°)． 解 (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋ cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋23π＝sin π4＋cos π3＋cos 23π ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＝22. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°) ＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150° ＝1＋22－22＋(－1)＋12＝12.1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域是 ． 答案 {x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z }3．5sin 90°＋10cos 180°－3sin 270°＋4cos 420°＝ . 答案 0解析 原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60° ＝5－10＋3＋2＝0. 4．如图所示．(1)点P 的坐标是 ，点F 的坐标是 ；(2)若点Q 的坐标是⎝⎛⎭⎫－12，32，那么∠xOQ ＝ (弧度)，点G 的坐标是 ．答案 ⎝⎛⎭⎫12，32 ⎝⎛⎭⎫－12，32 (2)23π ⎝⎛⎭⎫12，－32[呈重点、现规律]1．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 2．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观看出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出访f (x ＋T )＝f (x )成立的T . (2)图像法，即作出y ＝f (x )的图像，观看图像可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础过关 1．sin 390°等于( ) A.32 B ．－32C ．－12 D.12答案 D2．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 B3．比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案 C解析 由于1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，画出单位圆即可推断，故sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2π D.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 答案 D5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝ . 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 6．若α是其次象限角，则点P (sin α，cos α)在第 象限． 答案 四解析 ∵α为其次象限角，sin α>0，cos α<0，∴P 在第四象限．7．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为 ． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 解析 如图所示．8．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.解 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，如图所示，由三角函数定义可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3 (k ∈Z ).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分， 即2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z .故不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．二、力气提升9．下列命题正确的是( )A ．α、β都是其次象限角，若sin α>sin β，则cos α<cos βB ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βC ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则cos α>cos βD ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β 答案 C解析 依据单位圆有关学问分别推断即可． 10．已知点P (sin α－cos α，sin αcos α)在第一象限，则在[0,2π)内，α的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π解析 由点P ⎝⎛⎭⎫sin α－cos α，sin αcos α在第一象限， 可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，sin αcos α>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α>0，sin α>cos α，或⎩⎨⎧sin α<0，cos α<0，sin α>cos α.如图所示：∴π4<α<π2或π<α<54π. 11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域． 解 依题意， 有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ＋1>0，1－2cos x >0，1－2cos x ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x >－12，cos x <12，cos x ≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是 (2k π＋π3，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋76π)，k ∈Z .12.已知f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．解 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期． 三、探究与拓展13．设π2>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β.证明 如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C ⊥P 1M 1于C ，连接P 1P 2，则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝P 1P 2，∴α－β＝P 1P 2>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.。
北师大版2019年高中数学必修4学案：第一章_三角函数4.2单位圆与周期性_含答案
4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性内容要求 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．知识点1 任意角的正弦、余弦函数 (1)单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆． (2)正弦函数、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v ＝sin_α；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作u ＝cos_α.(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的定义域为全体实数，值域为[－1,1]． 【预习评价】1．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α的值为( )A.22B ．－22C.12 D ．－12答案 B2．若角α的终边与单位圆相交于点(－12，32)，则cos α＝________.答案 －12知识点2 正弦函数、余弦函数值的符号【预习评价】记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，f (x ＋T )＝f (x )都成立．那么就把函数f (x )称为周期函数，T 叫作这个函数的周期． (2)y ＝sin x 的周期为2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π.y ＝cos x 的周期为2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π.【预习评价】如果存在非零常数T ，对于函数f (x )，若存在x 值有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )是周期函数吗？提示 不一定，如函数f (x )＝x 2，存在非零常数T ＝4，存在x ＝－2，使得f (－2＋4)＝f (－2)，但是函数f (x )＝x 2不是周期函数.题型一 三角函数定义的应用【例1】 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案 －8规律方法 利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P 的横坐标x 、纵坐标y 和点P 到原点的距离r .特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．【训练1】 若点P (2m ，－3m )(m ＜0)在角α的终边上，则sin α＝________. 解析 如图，点P (2m ，－3m )(m ＜0)在第二象限，且r ＝－13m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m －13m ＝31313.答案31313题型二 有关三角函数值的符号问题【例2】 (1)α是第二象限角，判断sin αcos α的正负； (2)若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角． 解 (1)∵α是第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0. (2)由sin αcos α＜0知有两种可能：⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α<0或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＜0，cos α＞0.故α是第二象限角或第四象限角． 规律方法 正余弦函数符号的确定 (1)终边在坐标轴上的角：终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x 轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1. (2)终边在各个象限内的角：利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正． 【训练2】 判断下列各式的符号． (1)sin 105°·cos 230°； (2)sin 240°·sin 300°； (3)cos 16π3·sin π；(4)cos 4·cos 5.解析 (1)因为105°是第二象限角，所以sin 105°＞0，又因为230°是第三象限角，所以cos 230°＜0，所以sin 105°·cos 230°＜0.(2)因为240°是第三象限角，所以sin 240°＜0；又因为300°是第四象限角，所以sin 300°＜0，所以sin 240°·sin 300°＞0. (3)因为sin π＝0.所以cos 16π3·sin π＝0.(4)因为4是第三象限角，所以cos 4＜0，又因为5是第四象限角， 所以cos 5＞0，所以cos 4·cos 5＜0.【例3】 若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋π)＝f (x )，当x ∈[0，π2)时，f (x )＝2sin x ，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－133π＋f ⎝⎛⎭⎪⎫94π的值．解 ∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 又∵f (x ＋π)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－133π＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π3＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝－2sin π3＋2sin π4＝2－ 3.【迁移1】 在例3中把条件“f (x ＋π)＝f (x )”改为“f (x ＋π)＝－f (x )”，求f (－13π3)＋f (19π4)的值．解 由f (x ＋π)＝－f (x )知f [(x ＋π)＋π]＝－f (x ＋π)＝f (x )∴f (x ＋2π)＝f (x )．知f (x )的周期为2π.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4又∵f (x )是奇函数，∴原式＝－2sin π3＋2sin π4＝2－ 3.【迁移2】 在例3中把条件“f (x ＋π)＝f (x )”改为“f (x ＋π)＝1f x”，则函数f (x )的周期为________． 解析 由f (x ＋π)＝1f x得f [(x ＋π)＋π]＝1fx ＋π＝f (x )，∴f (x ＋2π)＝f (x )．∴函数f (x )的周期为2π.答案 2π【迁移3】 把例3中的条件“函数f (x )是定义在R 上的奇函数．且满足f (x ＋π)＝f (x )”改为“函数f (x )是定义在R 上的偶函数且满足f (x －π)＝f (x ＋π)”，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝⎛⎭⎪⎫19π4的值．解 ∵f (x )是偶函数．∴f (－x )＝f (x )， 又∵f (x －π)＝f (x ＋π)． 令x ＝x ＋π得f (x )＝f (x ＋2π) ∴函数f (x )的周期为2π.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2sin π3＋2sin π4＝2＋ 3.规律方法 常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f (x ＋T )＝f (x )外，还有如下四种形式： (1)f (x ＋a )＝－f (x )．(2)f (x ＋a )＝1f x.(3)f (x －a )＝－1f x.(4)f (x －a )＝f (x ＋a )．以上四种形式的函数都是以2a 为周期的周期函数．课堂达标1．若角α的终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则cos α的值为( )A.12B.32 C. 3D.33解析 易知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在单位圆上，故cos α＝12.答案 A2．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5解析 ∵r ＝b 2＋16， cos α＝－br＝－bb 2＋16＝－35.∴b ＝3. 答案 A3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________．解析 由题意知，角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，－12.∴cos α＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32. 又α的终边在第四象限． ∴α的最小值为11π6.答案116π 4．若函数f (x )是以π2为周期的周期函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6的值是________．解析 f (17π6)＝f (2π＋π2＋π3)＝f (π3)＝1.答案 15．已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a ，b )，若sin α＝－45，求a 、b 的值，并说明α是第几象限角．解 由正弦函数的定义可知b ＝sin α＝－45.又a 2＋b 2＝1，∴a 2＝1－b 2＝925，∴a ＝±35. 故a ＝±35，b ＝－45.当a ＝35，b ＝－45时，点P 在第四象限，此时角α是第四象限角；当a ＝－35，b ＝－45时，点P 在第三象限，此时角α是第三象限角．课堂小结1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦． 3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．基础过关1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限答案 B2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 等于( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0， 由此解得x ＝－ 3. 答案 D3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos(－4x )解析 A 选项中，f (x ＋π2)＝sinx ＋π22＝sin(x 2＋π4)，不满足对任意x ，f (x ＋π2)＝f (x )；B 选项，f (x ＋π2)＝sin 2(x ＋π2)＝sin (2x ＋π)，不满足对任意x ，f (x ＋π2)＝f (x )；C 选项，f (x ＋π2)＝cos 14(x ＋π2)＝cos(x 4＋π8)，不满足对任意x ，f (x ＋π2)＝f (x )；D 选项，f (x ＋π2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋π2＝cos(－4x －2π)＝cos(－4x )＝f (x )，∴选D. 答案 D4．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，3就是它的一个周期，且f (－x )＝ －f (x )．∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 －25．下列说法中，正确的为________(填序号)． ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②终边不同的角的同名三角函数值不全相等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上的一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.解析 三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系，故①②都是正确的；当α的终边与y 轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝xx 2＋y 2，故④也是不正确的．答案 ①②6．确定下列三角函数值的符号： (1)sin 39π12；(2)cos(－925°)．解 (1)∵39π12＝2π＋15π12，且15π12是第三象限角，∴39π12是第三象限角；∴sin 39π12＜0. (2)∵－925°＝－3×360°＋155°， ∴－925°是第二象限角． ∴cos(－925°)＜0.7．已知角α的终边经过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π(k∈Z )，求角α的正弦函数值及余弦函数值． 解 ∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)(k ∈Z )，∴cos θ＜0.又x ＝－3cos θ，y ＝4cos θ， ∴r ＝x 2＋y 2＝－3cos θ2＋θ2＝－5cos θ.∴sin α＝－45，cos α＝35.能力提升8．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 ∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.答案 B9．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 答案 C10．若α＝π6＋2k π(k ∈Z )，则cos 3α＝________.解析 cos 3α＝cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π＝cos(π2＋6k π)＝cos π2＝0. 答案 011．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图像上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 答案 212．已知cos α<0，sin α>0， (1)求角α的集合；(2)求角α2的终边所在的象限；(3)试判断sin α2，cos α2的符号．解 (1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x 轴的非正半轴上． ∵sin α>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y 轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为{α|π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．(2)∵π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，∴π4＋k π<α2<π2＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (k ∈Z )时，π4＋2n π<α2<π2＋2n π(n ∈Z )，∴α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，5π4＋2n π<α2<3π2＋2n π(n ∈Z )，∴α2是第三象限角． 即α2的终边落在第一象限或第三象限． (3)由(2)可知，当α2是第一象限角时，sin α2>0，cos α2>0；当α2是第三象限角时，sin α2<0，cos α2<0. 13．(选做题)已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解 (1)由1|sin α|＝－1sin α， 可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，∴角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
北师大版必修4 1.4.1-4.2 单位圆与周期性 学案
4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋[注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z；cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) 解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y 轴的正半轴上． (2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期． (4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B. 3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)4．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴负方向相同，则sin α＝________．解析：由正弦线的概念知sin α＝－12.答案：－121．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即 实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应 余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；比值xr 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称 终边位置正弦函数余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴1y轴负半轴－104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k －1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．【解】法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得⎩⎨⎧x0＝55，y0＝255，即P⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y0＝255，cos α＝x0＝55.法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0) （O 为坐标原点），所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点O 不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝xr求值．1.(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25 B.25 C ．－25或25D ．1(2)已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，则cos α＝________． 解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45， 所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，故选A. (2)因为r ＝4＋y 2，所以sin α＝yr ＝yy 2＋4＝－55.所以y <0，所以y ＝－1，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－25＝－255.答案：(1)A (2)－255单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． 【解】 (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示． (2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin8π3＝32.(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．2.(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12， 所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ⎝⎛⎭⎫－136π＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－136π＝32. 判断三角函数值的符号及角所在象限(1)判断sin 340°cos 265°的符号；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． 【解】 (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°<0，cos 265°<0. 所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3.判断下列各式的符号．(1)α是第四象限角，sin α·cos α； (2)sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫－23π4>0. 所以sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－234π<0. 周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )， 当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 016]内零点的个数．【解】 (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0. (2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立． 故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0， 所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z . 由0≤4k ≤2 016(k ∈Z )得0≤k ≤504(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，2 016]内的零点共有505个．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4.(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数， 所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期． 所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4，从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝ －[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是{－2，0，2}．[答案] {－2，0，2}求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x 、cos x 的符号进行讨论，即对x 所在象限进行分类讨论．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解析：选D.r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：24．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________． 解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1, [A 基础达标]1．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－32B.32C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 2π3＝－12. 2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C.3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：选B.因为α为第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z解析：选B.由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确． 6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________． 解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝sin α－cos α. 答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案：<8．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：359．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. 因为点M 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. 所以cos α＝22或cos α＝－22. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )． 所以函数f (x )是周期函数． (2)由(1)知，函数f (x )的周期为4， 所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)． 因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B 能力提升]11．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34，所以－4a a 2＋16＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.13．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围． 解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上． 又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上． 所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．14．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， 所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。
北师大版4.2单位圆与周期性
2、若x∈R， ，且f（2）=5.则：f（2015）=？
分析：此题中最小正周期为3，只需将2015写成3的671倍+2即可观察求解.
解：∵2015=671×3+2
∴f（2015）=f（671×3+2）=f（2）=5
3、变式：若f（x）为奇函数或偶函数，则f（-2015）=？
情感目标：通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
提炼的课题
周期函数的概念的教学设计。
教学重难点
重点:会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性来求任意角的正、余弦值；
难点:初步理解周期函数的性质并会应用。
教学手段运用
教学资源选择
观察、思考、交流、讨论、概括。
石泉中学课时教案
科目:数学教师：贾伟授课时间：第3周 星期2016年2月27日
单元（章节）课题
4．2单位圆与周期性
本节课题
单位圆与周期数、余弦函数的周期性来求任意角的正、余弦值；初步理解周期函数的性质并会应用.
能力目标：通过自主探究、小组合作等方式让学生学有所获；
展示点拨
1、在单位圆中找到角 等与单位圆的交点有什么特点？结果怎样？
1）自主探究；
2）小组合作讨论；
3）汇报结果：
1）终边没变；
2）交点没变；
3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。
2通过上边的等式，你发现了什么？
重点精讲
1、周期函数
1）定义：一般地，对于函数 ，如果存在非零常数 ,对定义域内的任意一个 值，都有 ，则称 为周期函数， 为它的一个周期。
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4
易错案例 正、余弦函数基本性质的应用 【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_____.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是角的范围错误,忽视了“最小内角”对角范围 的限制.
【自我矫正】因为x是三角形的最小内角,
则0<x≤
3
2.图像的利用 在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x∈ (0，] 时,
3
最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.
(2)周期函数一定存在最小正周期吗? 提示:不一定.如常数函数是周期函数,但是没有最小正周期.
2.关于周期函数,下列说法正确的是________(填序号). ①周期函数的定义域可以是有限集; ②周期函数的周期只有唯一一个; ③周期函数的周期可以有无数多个; ④周期函数的周期可正可负. 【解析】由周期函数的定义可得①②是错误的,③④是正确的. 答案:③④
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
x
1， 2
结合单位圆(如图所示)知x的取值范围是 2k x 7 2k,k Z.
单位圆与周期性讲解
－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)
本
课 时
＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150°
栏
目 开 关
＝1＋ 22－ 22＋(－1)＋12＝12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.4.2
1.sin(－1 380°)的值为
本
课 边与 x 轴重合时，正弦线变成一个点，此时角 α 的正弦值
时
栏 为 0；当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点.
目
开 3.正弦函数和余弦函数周期性的实质是终边相同的角的同一
关
三角函数值相等，根据任意角的正弦函数、余弦函数的定义 不难理解这一规律.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.2
关 (1)函数 y＝ sin x的定义域为________________.
答案 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
(2)函数 y＝lg cos x 的定义域为________________. 答案 {x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z}
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
探究点二 三角函数线的作法 问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？
栏 目
sin2α＋cos2α＝1；
开
关 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM.
在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
1.4.2单位圆与周期性 课件高中数学必修4(北师大版)
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
江西省宜中学高中数学《1.4.2单位圆与周期性、三角函数线 导学案》导学案 新人教版必修4
1.4.2单位圆与周期性、三角函数线 导学案一、课前自主导学【学习目标】1.通过正、余弦函数的周期现象，理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；2.能根据周期函数的定义解决与周期性有关的问题；3.理解三角函数线的几何意义，能正确画出三角函数线；能利用三角函数线解决有关问题；【重点、难点】1.周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；2.有关函数周期性的应用；3.三角函数线的几何意义及简单应用；【温故而知新】1.复习填空(1)单位圆：以 单位长度 为半径的圆 （2)任意角的三角函数：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆的交点),(P v u ， 那么角α的正弦、余弦、正切分别是：=αsin v =αcos u =αtan u v（3）把某种动作或现象每经过一段时间后就会重复出现的现象叫做周期现象。
（4）周期现象的特征：1、经过相同的时间间隔；2、现象是重复的。
【教材助读】1.认真阅读课本P15—16，理解正、余弦函数的周期现象，并掌握周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义，完成下列填空(1)终边相同的角的正、余弦值都相等，即有)2sin(πα⋅+k = αsin ， )2cos(πα⋅+k = αcos ；则正弦函数与余弦函数都为周期函数，且 π2 是他们的最小正周期。
（一般周期指的是最小正周期）（2）周期函数：一般地，对于函数)(x f ，如果存在非零实数T ，对定义域的 任意一个x 值，都有 )()(x f T x f =+ ，则称)(x f 为周期函数，T 叫做周期函数的 周期 ；2.三角函数线的概念（1）如图（1）（2）（3）（4）分别表示终边在一、二、三、四象限的角α，),(y x P 为α的终边与单位圆的交点，过P 做PM ⊥x 轴，垂足为M 。
依三角函数定义知：|sin |||||α==y MP ，|cos |||||α==x OM有向线段：①当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为起点，M 为终点，规定：若线段OM 指向x 轴正方向，称OM 的方向为正方向，且 x OM =（正值），如（1）、（4） 若线段OM 指向x 轴负方向，称OM 的方向为负方向，且x OM =（负值），如（2）、（3）如此，无论OM 方向如何，都有αcos ==x OM②当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为起点，P 为终点，规定：若线段MP 指向y 轴正方向，称MP 的方向为正方向，且 y MP =（正值），如（1）、（2） 若线段MP 指向y 轴负方向，称MP 的方向为负方向，且y MP =（负值），如（3）、（4）如此，无论MP 方向如何，都有αsin ==y MP（2）思考：能否用有向线段表示正切？过A （0,1）做单位圆的切线（必平行于y 轴），与角α的终边交于T ，如前规定，OA 、AT 分别为x 、y 轴方向的有向线段，可知OA=1，则有：αtan ====xy OM MP OA AT AT 便称有向线段AT 为角α的正切线，αtan =AT分别在下图中作出第二、三、四象限角的正切线【教学笔记】【预习自测】1.对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ 不能2.正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ 是，π23.若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ 是，因为)()(x f kT x f =+ 。
1.4.2周期性
二、例题研究 例1、求下列函数周期 (1) y 3 cos x , x R (2) y sin2 x, x R 1 π ( 3) y sin( x ), x R 2 6
训练P 36,1.2.3 sin x (1) y e ( 2) y ln cos x
例2、证明 f ( x ) sin x cos x 的一个 π 周期是 . 2
周期性
兰溪三中 叶勇钧
上节课例题回顾 例3、求下列函数定义域: y 5π 2 (1) y 2 sin x cos x 1 6 1 O ( 2) y log2 1 sin x 1 1 log2 1 0 sin x 解析 : ( 2 ) 即 sin x 2 sin x 0 sin x 0
π 6
1
x
由正弦曲线或单位圆， 定义域为 π 5π x 2 kπ π , k Z x 2kπ x 2kπ ,或2kπ 6 6
一、正弦函数y sin x的周期性
1、今天是星期几 ?过7天是星期几 ? 过14天是星期几 ?
2、y sin x是周期函数 (1)它的图象周而复始 , 每隔2π重复一次. ( 2) sin( x 2kπ ) sin x , k Z
2kπ ( k Z , k 0)是它的周期.
(3)最小正周期是2π .
3、周期函数的定义 P 34
定义解读 (1) f ( x T ) f ( x ), T为非零常数 , x为定义域中的每一个数 ( 2)若T是周期, kT(k Z, k 0)都是周期 ( 3)若T 0,则定义域无上界 . 若T 0,则定义域无下界 . ( 4)是否所有周期函数都有 最小正周期?
高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
分别是O P 1 、O P 2 .
ppt精选
27
题型三 利用三角函数线求角的范围
解析：如图所示，先作出直线 y 3 ，与单位圆
2
有两个不同的交点P1、P2，则满足条件α的终边有两
个 ，分别是 OP1、OP2，在
. 或 2 33
y
3 2
0 2 内，yα的值 为
P2
P1
M2 O M1
x
ppt精选
28
3） 有向线段OM是余弦线.
4） 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作
垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有
向线段AT就是正切线.
ppt精选
32
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
23
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
ppt精选
5
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
ppt精选
6
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
2021年高中数学北师大版必修4学案： 1.4.1 2 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性Q 情景引入ing jing yin ru在初中，我们知道Rt △ABC 中，∠C 为直角时，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦，记作sin A ；锐角A 的邻边与斜边的比叫作∠A 的余弦，记作cos A ，即sin A ＝对边BC斜边AB ，cos A ＝邻边AC斜边AB .当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标．当所求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦函数的定义呢？这就是本节要研究的内容．X 新知导学in zhi dao xue1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，以__原点__为圆心，以__单位长__为半径的圆，称为单位圆． (2)任意角的正弦、余弦函数的定义定义1：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的__纵坐标__v 叫作角α的正弦函数，记作__v ＝sin α__；点P 的__横坐标__u 叫作角α的余弦函数，记作__u ＝cos α__.通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角形y ＝sin x 和y ＝cos x ，它们的定义域为__全体实数__，值域为__[－1,1]__.定义2：利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：如图所示，设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：①比值__y r __叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝__yr __.②比值__x r __叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝__xr__.(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α __＋__ __＋__ __－__ __－__ cos α__＋____－____－____＋__(1)终边相同的角的正、余弦函数值__相等__ sin (2k π＋x )＝__sin x __，k ∈Z . cos (2k π＋x )＝__cos x __，k ∈Z . (2)周期函数与周期一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，我们就把f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的__周期__.Y 预习自测u xi zi ce1．已知sin α＝－12，cos α＝32，则角α终边所在的象限是( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] sin α＝－12<0，∴α在第三或第四象限，cos α＝32>0，∴α在第一或第四象限． ∴α终边所在的象限是第四象限． 2.196π角的正弦值的符号为( B ) A ．正 B ．负 C ．0D ．不能确定[解析] ∵196π＝2π＋76π，而π<76π<32π，∴196π是第三象限角，∴sin 196π<0.3．960°转化为弧度数为( C ) A ．163B ．322C ．16π3D ．3π16[解析] 960°＝960×π180rad ＝163πrad.4．5sin 90°＋2sin 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝__－2__. [解析] ∵sin 90°＝1，sin 0°＝0， sin 270°＝－1，cos 180°＝－1，∴原式＝5×1＋2×0－3×(－1)＋10×(－1)＝－2.5．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝__1__. [解析] f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨三角函数的定义典例1 已知角α的终边在射线y ＝2x (x >0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值．[思路分析] 可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助三角函数定义加以解决． [解析] 解法一：设α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则y ＝2x (x >0)．又因为x 2＋y 2＝1，所以⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255.于是sin α＝y ＝255，cos α＝x ＝55.解法二：在角α终边上任取一点P (x ，y )(x >0)，则y ＝2x ， r ＝|OP |＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |.又x >0，所以|OP |＝5x .所以sin α＝y r ＝y 5x ＝255；cos α＝x r ＝x 5x ＝55.『规律总结』 求角α的正弦函数值与余弦函数值的方法已知角α的终边所在直线，求α的正弦函数值及余弦函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以可取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2.这里的(a ，b )可以都是确定的常数，也可以是坐标中含有参数的形式．〔跟踪练习1〕角α的终边上有一点P (2，－2)，则sin α的值是( B ) A ．22B ．－22C ．±22D ．1[解析] 利用三角函数定义知： sin ＝y r＝－222＋(－2)2＝－22. 命题方向2 ⇨正弦、余弦函数值符号的确定典例2 判断下列三角函数值的符号．(1)sin 4·cos 4； (2)sin 8·cos 8.[思路分析] 确定4rad,8rad 所在象限，则符号易定． [解析] (1)∵π<4<3π2，∴sin 4<0，cos 4<0，∴sin 4·cos 4>0；(2)∵52π<8<3π，即8rad 的角是第二象限角，∴sin 8>0，cos 8<0，∴sin 8·cos 8<0.『规律总结』 对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果．其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要．〔跟踪练习2〕(1)判断下列各式的符号： ①sin 3·cos 4·tan 5；②α是第二象限角，sin α·cos α.(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第( C )象限角．A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角[解析] (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0，∴sin 3·cos 4·tan 5>0. ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0.(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．命题方向3 ⇨利用终边相同的角的公式化简、求值典例3 求下列三角函数值．(1)cos (－1050°)；(2)sin (－314π)；(3)log 2(4sin 1110°)． [思路分析] 先利用终边相同的角的公式转化，然后求值． [解析] (1)∵－1050°＝－3×360°＋30°， ∴－1050°的角与30°的角终边相同． ∴cos (－1050)°＝cos 30°＝32. (2)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴角－314π与角π4的终边相同．∴sin (－314π)＝sin π4＝22.(3)∵sin 1110°＝sin (3×360°＋30°)＝sin 30°＝12，∴log 2(4sin 1110°)＝log 2(12×4)＝log 22＝1.『规律总结』 解答此类题目的方式是先把已知角借助于终边相同的角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值；在问题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想．〔跟踪练习3〕(1)cos (－23π4)＋sin 37π6＝__1＋22__；(2)sin (－1 740°)cos 1470°＋cos (－660°)sin 750°＋tan 405°. [解析] (1)原式＝cos (－6π＋π4)＋sin (6π＋π6)＝cos π4＋sin π6＝1＋22.(2)原式＝sin (60°－5×360°)cos (30°＋4×360°)＋cos (60°－2×360°)sin (30°＋2×360°)＋tan (45°＋360°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 命题方向4 ⇨周期函数的理解与应用典例4 已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)．求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．[思路分析] 只需找出一个常数T (T ≠0)，满足f (x ＋T )＝f (x )即可． [证明] ∵f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a ) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．『规律总结』 (1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如f (2x ＋T )＝f (x )的周期，不能说T 是f (x )的周期．〔跟踪练习4〕以下几个命题中正确的有( A )①若函数f (x )定义域中存在某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ①由周期函数的定义可知，f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，故2T 也是周期，故不正确．X 学科核心素养ue ke he xin su yang分类讨论思想在化简三角函数式中的应用典例5 设角α的终边不在坐标轴上，求函数y ＝sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|的值域．[解析] 当α是第一象限角时，sin α，cos α，tan α均为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝3. 当α是第二象限角时，sin α为正值，cos α，tan α为负值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第三象限角时，sin α，cos α为负值，tan α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第四象限角时，sin α，tan α为负值，cos α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 综上可知，函数y 的值域为{－1,3}．『规律总结』 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论． 〔跟踪练习5〕若sin θcos θ>0，则θ的终边在( B ) A ．第一或第二象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第四象限 D ．第二或第四象限Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi三角函数定义理解中的误区典例6 已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，则sin α＝__________.[错解一] 由题意可得：|OP |＝(－3m )2＋m 2＝10m ， 所以sin α＝m 10m ＝1010. 故填1010. [错解二] 由题意可得，|OP |＝(－3m )2＋m 2＝10m ， 所以sin α＝－3m 10m＝－31010.故填－31010.[错因分析] 错解一误认为只有m >0的情况而得到1010，错解二对正弦与余弦函数定义中比的顺序颠倒而得sin α＝－3m10m＝－31010.[正解]1010或－1010由题意可得， |OP |＝(－3m )2＋m 2＝10|m |.当m >0时，|OP |＝10|m |＝10m ，则sin α＝m 10m ＝1010. 当m <0时，|OP |＝10|m |＝－10m ， 则sin α＝m －10m ＝－1010.故填1010或－1010.『规律总结』 1.准确理解定义要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义的形式要准确记忆，如本题中的sin α＝y r 和cos α＝xr不能混淆．2．分类讨论的意识在化简过程中，对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏．如本题中对字母参数m 的讨论．〔跟踪练习6〕已知角θ的终边经过点P (a ，a )(a ≠0)，求sin θ，cos θ. [解析] 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，得sin θ＝a 2a ＝22，cos θ＝a 2a ＝22； 当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，得sin θ＝a－2a ＝－22，cos θ＝a －2a ＝－22.即a >0时，sin θ＝22，cos θ＝22； a <0时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．角α的终边上有一点P (1，－1)，则sin α的值是( B ) A ．22B ．－22C ．±22D ．1[解析] 利用三角函数定义知： sin ＝y r＝－112＋(－1)2＝－22. 2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( C )A．sin αtan α>0B．cos αtan α>0 C．sin αcos α>0D．sin αcos α<0 [解析]∵角α的终边过点(－3，－2)，∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，∴sin αcos α>0，故选C．3．sin 585°的值为(A)A．－22B．22C．－32D．32[解析]sin 585°＝sin (360°＋225°)＝sin 225°.由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为(－22，－22)，所以sin 225°＝－22.4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC是(C) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形[解析]∵A、B、C是△ABC的内角，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.∴cos B和tan C中必有一个小于0.即B、C中必有一个钝角，选C．5．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝__2__. [解析]f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4.2单位圆与周期性
1.4.2单位圆与周期性
§4.2单位圆与周期性一、教学目标：
（一）知识与技能：理解周期函数的定义，最小正周期的概念；
（二）过程与方法：借助单位圆理解正弦函数，余弦函数的周期性（三）情感态度与价值观：激发学习的学习积极性；
激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质；
培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学难点：周期函数的定义及应用三、教学重点：正弦函数，余弦函数的周期性四、学情分析：
五、学法与教法：探究讨论法六、教学过程：
（一）、复习回顾当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：
第一象限第二象限第三象限第四象限sinα cosα （二）、预习同学们自学课本15-16页内容，完成下列问题。
1. 在单位圆中，由任意角的正弦函数，余弦函数定义可得：
一、终边_________________相等。
即_____________________________________•
二、终边__________________相等。
即______________________________________‚ 我们把 两个式子叫做正弦函数，余弦函数的诱导公式（一）接着观察两个式子，我们发现，对于任意一个角x，每增加_______, 其中____________均不变，所以正弦函数，余弦函数值均是_______________________. （1）通过上面的例子，我们把这种_________________________的函数称为周期函数。
例如：__________ （2）最小正周期：_________________________________________ （3）一般地，对于函数f(x)，如果存在__________,对定义域内的_________,都有______________.我们把f(x)称为________,T为这个函数的________. （三）、探究新知1、对周期函数的理解周期函数的定义中“对于定义域内的任意一个x”的“任意一个x”的含义是指定义域内的所有的x值，即如果有一个，使
得，则T就不是函数f(x)的周期。
注意，周期函数定义中的“T”是____________ 2、对最小正周期的理解并不是所有周期函数都存在最小正周期。
函数：f(x)=c（c为常数），对于函数f（x）的定义域内的每一个值x,都有f（x+T）=c，因此f（x）为_______,由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f（x）没有最小正周期3、周期函数的周期有无限多个。
若T是周期，则对于定义域中任意x，总有都成立。
（四）、巩固深化，发展思维1. 有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等②终边不同的角的同名三角函数的值不相等③若sinα0,则α是第一，二象限的角④若α是第二象限的角，且p（x，y）是其终边上的一点，则其中正确的命题个数为（） A 1 B2 C3 D4 2. 以下几个命题中，正确的有（）①存在函数f（x）定义域中的某个自变量，使f（+T）=f(),则f(x)为周期函数②存在实数T，使得对f（x）定义域内的任意一个x，都满足f（x+T）=f（x），则f（x）为周期函数③周期函数的周期是唯一的。
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个3. 已知f（x）是R上的偶函数，对于定义域R内的任意一个x，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（5）=2，则f（2020）为（）A 2020 B 2 C 1 D 0 （五）利用诱导公式（一）求下列正弦值和余弦值。
（1）sin（－1740°）（2）cos1470°（3）sin750°（4）cos300°（5）sin（－）（6）cos （7）sin1125°（8）sin（－1305°）（六）已知函数f（x）是周期为3的奇函数，且f（－1）=a，则f（7）为_____________ （七）已知函数f（x）是R上的奇函数，f （1）=2，f（x+3）=f（x），则f（8）为_________________ （四）、归纳整理，整体认识：（1）本节课主要学习了什么内容？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的是什么？（五）、布置作业：P16练习题七、板书设计：
八、关键词：
单位圆周期性九、教学反思：。