(精品)三垂线法求二面角专题
三垂线法求二面角测试题(含答案)
三垂线法求二面角测试题(含答案)
三垂线法求二面角
本文介绍了一种求解二面角的方法——三垂线法。
该方法适用于各种不规则多面体，可以通过三个垂线的长度和夹角来计算出二面角的大小。
具体来说，三垂线法是指在多面体的某一面上，分别向相邻两个面垂线，以及向该面的法线垂线，得到三条垂线。
然后通过这三条垂线的长度和夹角，利用三角函数计算出二面角的大小。
对于不规则多面体，可以将其分解为若干个规则多面体，然后分别计算每个规则多面体的二面角，最后将它们相加得到整个多面体的二面角。
三垂线法是一种比较简单实用的方法，但需要注意的是，计算过程中需要准确地测量垂线的长度和夹角，否则会影响计算结果的准确性。
二面角的几种方法及例题
二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下:、定义法: 甬片+—*■垂面法化T不见播型直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小.做OB 交线，交于点O,连接OAQ PB 平面PB 交线同理PA 交线又Q OB 交线交线面PAOB交线OA即可得AOB为面的二面角，AOB=120所以APB=60例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PA!平面ABCQPA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。
提示：VPAB VPCD，而且是直角三角形可见槻型I解法• f三垂线法A、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。
过A做AH BC,交BC于H，连接PH Q PA 面ABCDPA AB, PA BCBC 面PHAPHA为二面角在VABH中ABH=30 , AB=aAH=a/2tag PHA 2例：如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD%面CD所成二面角的正切值.提示：CO DE而且是长方体！ !!例、△ ABC 中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平 面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。
求（1） 二面角P-BC — A 的大小；（2）二面角C-PB-A 的大小 提示：角PAB 是二面角，找到每个面的直角!射影，那么PM 为面ABC 的垂线！例、如图4,平面丄平面，A =l , A € , B € ,点A 在 直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求：二面角A — AB- B 的大小.提示：AA1与BB1互相垂直AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中 为平面BD i' M图4角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABC［为正方形，P从平面ABCD PA =AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
三垂线法求二面角(人教A版)(含答案)
三垂线法求二面角（人教A版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则二面角的正切值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法2.如图，把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.已知，分别是正方体的棱，的中点，则截面与侧面所成角的正切值是( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的正方形，△是等边三角形，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的正方形，△是等边三角形，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，已知平面，底面是正方形，，是的中点，则二面角的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面平面，，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法8.如图，若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的正弦值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法9.如图，在三棱锥中，分别是的中点，平面，，，与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则的大小关系是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。
用三垂线法求二面角的方法(新)
用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。
求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。
. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。
③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。
1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==，AD =①求二面角C ABD --的大小；②求二面角B CD A --的大小；1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4π ∴二面角C AB D --的大小为4π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥∴BD ==∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥∴1AB ==在Rt ABC ∆中，tan 1ABACB BC∠==， ∴二面角B CD A --的大小为4π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线AB 、斜线AC 及其射影BC,。
用三垂线法求二面角的方法(新)
其射影 BC,。
从而得到二面角的平面角为ACB 。
用三垂线法求二面角的方法垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图 , PB 是平面 的斜线 , PA 是平面 的垂线, 求证：a PB证明：∵ PA 是平面 的垂线 , 直线 a 平面∴直线 a PA 又∵直线 a AB AB PA A ∴直线 a 平面 PAB 而 PB 平面 PAB ∴ a PB总结： 定理论述了三个垂直关系， ①垂线 PA 和平面 a 垂直 .三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体 几何中有广泛的应用。
求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作（ 找）另一个平面的垂线 , 过垂足作二面角的棱的垂线。
.② 证：证明由①所得的角是二面角的平面角 （ 符合二面角的定义 ） 。
③ 求： 二面角的平面角的大小 （ 常用面积相等关系求垂线段长度 ） 。
ACB 为二面角 B CD A 的平面角1、如右图所示的四面体 ABCD 中， AB 平面 BCD ， BC CD 且 BCC ABD 的大小； ② 求二面角 B CD A 的大小； 1．解： ① ∵ AB 面 BCD BC AB BD AB CBD 为二面角 C AB D 的平面角 ∵ BC CD 且 BC CD 1∴ CBD = 4∴二面角 C AB D 的大小为4C②∵ AB 面 BCDBC CD ∴由三垂线定理得 CD AC 直线 a 平面 , 直线 a 垂直 ; 射影 AB.其射影 BC,。
从而得到二面角的平面角为ACB 。
∵ AB 平面 BCD ∴ AB BC AB BD∴ AB AD 2 BD 2 1在 Rt ABC 中， tan ACB AB 1， BC面角 B CD A 的大小为4方法点拨： 本题①的方法是直接运用二面角的定义求解∵ BC CD ∴ BDBC 2 CD 2 2, 本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线 AC 及2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示）为VB 的中点．求二面角A—VB— D 的余弦值．2 解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴ DA⊥VP又∵ AD⊥ AB ∴AD⊥平面VAB ∵ VAB 是正三角形， E 为VB的中点，∴ AE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE. 所以AED 就是所求二面角的平面角则斜线为DE, 其射影为AE 从而得到二面角的平面角为AED 。
精品)三垂线法求二面角专题
精品)三垂线法求二面角专题1、已知正方形ABCD，AE=1，BE=3，求证平面ADE⊥平面BCE，求二面角B—AC—E的大小。
证明：由题意，DA⊥平面ABE，且ABCD是正方形，故DA⊥BC，即DA⊥BE。
又因为AE=1，BE=3，AB=2，所以BE⊥EA，即BE垂直于平面ADE。
因此，BE垂直于平面ADE和平面BCE，即平面ADE⊥平面BCE。
求二面角B—AC—E的大小：过点E作EF⊥XXX与F，连接EG并延长交AC于G。
根据三垂线定理可得，XXX。
因此，∠EGF为二面角B—AC—E的平面角。
在直角三角形EFG中，tan(∠EGF)=EF/GF=6/7.因此，∠EGF=arctan(6/7)=arcsin(6/√85)≈57.84°。
2、已知直角梯形ABCD，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，求点P到CD的距离、证明平面PAC⊥平面PCD，求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
点P到CD的距离为PC，因为XXX⊥平面ABCD且PC⊥CD。
证明平面PAC⊥平面PCD：因为ABCD是直角梯形，所以AC⊥CD。
又因为XXX⊥平面ABCD，PC⊥CD，且AC与PC的交点为C，所以CD垂直于平面PAC，即平面PAC⊥平面PCD。
求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小：延长XXX的延长线于G，连接PG。
XXX⊥平面PAB，所以AH⊥PG。
因此，∠AHD为平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角。
根据勾股定理，DG=√5，AG=3/2，AH=√5/2.因此，tan(∠AHD)=2/√5，所以∠AHD=arctan(2/√5)=arcsin(2/3)≈41.81°。
的平面角。
我们可以利用余弦定理求解这个平面角的正切值。
首先，我们需要求出三个边的长度：BE = BC = 1（正方形的边长为1）EC = DE = $\sqrt{2}$（利用勾股定理求解）根据余弦定理：cos $\angle$ BEC = $\frac{BE^2 + EC^2 - BC^2}{2BE\cdot EC}$ = $\frac{1 + 2 - 1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因此，tan $\angle$ B-DE-C = $\frac{\sqrt{1 - cos^2\angle BEC}}{cos\angle BEC}$ = $\frac{\sqrt{2 -(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\sqrt{2}$。
二面角的三垂线法
三垂线法是求二面角的一种方法，其步骤如下：
在二面角的棱上选一点，向两个半面画垂直线。
作出过这个点和垂足的直线，这条直线称为三垂线。
根据三垂线的性质，如果一个平面内一点与另一个平面的一条直线分别构成一组垂线，则这两平面的交线与该直线垂直。
通过三垂线与两个半面的交点作垂直线，这两条垂直线的夹角即为二面角的角度。
需要注意的是，三垂线法需要满足一定的条件才能使用，并且求出的二面角可能存在多解的情况。
因此，在具体应用时需要根据实际情况进行判断和选择。
用三垂线法求二面角教 案 说 明
用三垂线法求二面角教案说明二面角既是立体几何的重点，又是难点。
同时二面角又是高考的热点。
它是空间中线线、线面、面面关系的一个汇聚点。
它在学生学过空间中异面直线角、线面角之后，又要重点研究的一种空间的角，它也是学生进一步研究多面体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
同时，通过本节课的学习也可以培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机。
三垂线（逆）定理是立体几何中的重点内容，它在证明线线垂直、线面垂直等问题中有着相当重要的作用。
学生已经学习了二面角及其平面角，根据教学大纲并结合我校学生的实际情况，本节课将在此基础上授导学生如何用三垂线（逆）定理求二面角的大小。
主要想通过此节课让学生掌握用三垂线法（利用图中已有的“第一垂线”及借助第三个平面作“第一垂线”找平面角）求出二面角大小的方法。
使学生在学会知识的过程中，培养和增强分析立体图形的能力；培养学生运用数形结合、等价转换等数学思想方法解决问题的能力；培养学生综合运用知识解决问题的能力；会准确地阐述自己的思路和观点，并能把自己的思路和观点规范板书成解题过程的能力。
通过学习进一步培养学生的推理能力，培养学生认真参与、积极交流的主体意识。
学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且学习了异面直线所成的角，线面所成的角，有了一定的基础，已具有了一定的空间想象能力，但对学生来说找（作）二面角的平面角是一个很难的事。
而求二面角大小的关键是找（作）二面角的平面角，其中三垂线法又是作二面角的平面角最基本、最常用的方法。
寻找、确定二面角的平面角——为突破这一难点，关键找过一平面内一点垂直另一平面的直线；求二面角的平面角——为突破这一难点，关键将空间图形转化在平面图形求解。
所以很有必要学习本节课的内容。
由于二面角是描述图形位置的概念，学生空间观念不强，有时很难想象到图形内部的实际结构，因此教学采用多媒体辅助教学，进行必要的演示。
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a PB αC AE FD二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
解：如图，PA ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC 又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角。
在Rt △ABH 中，AH=ABsin ∠ABC=aSin30°=2a ；在Rt △PHA 中，tan ∠PHA=PA/AH=22aa =，则∠PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
三垂线求二面角
三垂线专题例1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：B1D⊥平面A1B C练习：1.在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影O是∆ABC的垂心。
求证：PA⊥BC2.如图，已知BAC∠在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC。
点P在平面α上的射影在BAC∠的平分线上。
1A C3. P为∆ABC所在平面外一点，O为P在∆ABC上的射影。
（1）若P到∆ABC的三边距离相等，且O在∆ABC的内部，则O是∆ABC的__________心。
（2）若P到∆ABC的三个顶点距离相等，则O是∆ABC的__________心,又若∠ACB=090，则O在_____________________.（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是∆ABC 的__________心。
（4）若PA，PB，PC两两垂直，则O 是∆ABC的__________心。
例2.已知A，B是0 Array 120的二面角α-l-β棱l上的两点，线段AC，BD分别在面α，β内，且AC⊥l，BD⊥l。
已知AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD之长。
三垂线定理的应用例1．如图：在三棱S-ABC 中，SA=AB=BC=1，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，求二面角B-SC-A的大小。
例2. 四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=3，∠ACB=90°。
（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求二面角D—PC—A的余弦值；（3）求点B到平面PCD的距离。
例2 解法一： 证明：（1）∵P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC .∵∠ACB =90°， ∴BC ⊥AC . 又P A ∩AC =A ， ∴BC ⊥平面P AC .解：（2）∵AB ∥CD ，∠DAB =120°，∴∠ADC =60°.又AD =CD =1，∴△ADC 为等边三角形，且AC =1. 取AC 的中点O ，则DO ⊥AC ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥DO ，∴DO ⊥平面P AC过O 作OH ⊥PC ，垂足为H ，连DH ，由三垂线定理知DH ⊥PC . ∴∠DHO 为二面角D —PC —A 的平面角.由.23,43==DO OH tan 2,DODHO OH∴==（3）设点B 到平面PCD 的距离为d .∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD .∴点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.343415,⨯=∴=--d V V ACD P PCD A ， .515=∴d例3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，14,90AC AB BB BM BAC ====∠=︒，点N在1CA 上，且113CN NA =。
立体几何二面角专题方法总结(定义法、向量法、三垂线法、补棱法)
3.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条 斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
如图 1，在二面角 —l 一 中，过平面 内一点 A 作 AO⊥平面 ，垂足为 O，过点 O 作 OB⊥l 于 B(过 A 点作 AB⊥于 B)，连结 AB(或 OB)，由三垂线定理(或逆定理)知 AB⊥ l(或 OB⊥l)，则∠ABO 为二面角 —l— 的平面角．
4 . 三垂线法三部曲（两垂一连） （ 1 ）作面的垂线（任一个半平面的垂线） （ 2 ）作棱的垂线
（ 3 ）连线 例 1 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠BCA=90°，AC=BC，A1 在底面 ABC 的射影恰为 AC 的中点 M，又知 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°． (1)求证：BC⊥平面 AA1CC1； (2)求二面角 B 一 AA1—C 的正切值．
3
五、 射影法
若多边形面积为 S, 它在一个平面上的射影的面积为 S0, 则多边形所在平面与这个平面所 成的二面角 θ, 满足 S0=Scosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于 解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.
例 1 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD, 若 AB=PA, 则平
→→
→
b=
a b
．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．
→
→
| a ||b|
例 1 在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三 角形，平面 VAD⊥底面 ABCD．求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余 弦值．
三垂线法作二面角的平面角的技巧
三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。
α—l —β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：1．善于利用图中已有的“第一垂线”例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．(1)求证：BC ⊥平面AA 1CC 1；(2)求二面角B 一AA 1—C 的大小．剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”． 略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°，所以∠A 1AC ＝60°，又M 是AC 中点，所以△AA 1C 是正三角形，作CN ⊥AA 1于N ，点N 为A 1A 的中点，连结BN ，由BC ⊥平面AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角．设AC ＝BC ＝a ，正△AA 1C 的边长为a ，所以a CN 23=，在Rt △BNC 中，tan ∠BNC =33223==a a NC BC ，即∠BNC 332arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝21 (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22==SB BC ，即所求二面角的正切值为22．2．借助第三个平面，作“第一垂线”例3 如图4，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为a 22，若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D ．(1)确定点D 的位置，并证明你的结论；(2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小．剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D 是A 1C 1中点．二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D 作DF ⊥A 1B 1，由面面垂直的性质知，DF ⊥面A 1AB 1，即DF 为我们要作的“第一垂线”．略解2 在平面A 1B 1C 1内，作CF ⊥A 1B 1于F ，连DC ，由三垂线定理可证AB 1⊥DG ，∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角，在正△A 1B 1C 1中，因为D 是A 1C 1中点，A 1B 1＝a ，所以a F B 431=，a DF 43=，在Rt △DFG ，可求得∠DCF =45°．3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”例4 已知：Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，AB 、AC 分别与平面。
例谈求解二面角问题的路径
思路探寻二面角的大小通常用其平面角来表示.在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.那么如何求作二面角的平面角呢？下面介绍三种路径.一、利用三垂线法三垂线法是指根据三垂线定理或其逆定理来解题.三垂线定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.三垂线逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.运用三垂线法求作二面角的平面角，关键是作出一个平面的斜线、垂线以及斜线在另一个平面内的射影，以构造出三垂线.如图1，过平面α内的一点A作AO⊥β于O，过A作AB垂直二面角α-c-β的棱c于B，则BO为斜线AB在平面β内的射影，由三垂线定理可知OB⊥c，则∠ABO为二面角α-c-β的平面角．图1图2例1.如图2，在正四棱锥P-ABCD中，点E、F，O分别是线段BC，PE，BD的中点.(1)求证：OF∥平面PAD；(2)若AB=PA，求二面角F-CD-E的正弦值．解：（1）过程略；（2）设OE的中点为H，连接FH，OP，过H作HI⊥CD，垂足为I，连接FI，如图2.∵P-ABCD为正四棱锥，∴O是正方形ABCD的中心，OP⊥平面ABCD．∵H，F分别是OE，PE的中点，∴FH∥OP，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥CD，又HI⊥CD，HI⋂FH=H，∴CD⊥平面FHI，可知∠FIH是二面角F-CD-E的平面角.设AB=PA=2，则OE=1，HI=1，PE=PB2-BE2=3，∴PO=PE2-OE2=2．∴FH=12OP=2，FI=FH2+HI2=，∴=FH FI=，即二面角F-CD-E的正弦值为．要确定二面角的平面角，关键是证明FH⊥平面ABCD，于是根据三垂线定理，由HI⊥CD得到FH⊥CD，从而找到了二面角的平面角∠FIH.运用三垂线法求作二面角的平面角，要先找到一个半平面的垂线，以快速确定斜线及其射影.二、运用射影面积法若容易确定二面角的一个半平面在另一个半平面内的射影，则可采用射影面积法解题.先分别求出一个半平面与其射影的面积；再将二者作商，即可得出二面角的余弦值.如图3，若△ABC在另一个平面内的射影为ΔA′B′C′，则二面角的余弦值为cosθ=S射S斜= S△A′B′C′S△ABC.图3图4例2.已知RtΔABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则ΔABC所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为_______．解：如图4，过点C作CD⊥平面α，垂足为D，连接AD，BD，∵AD,BD,AB⊂平面α，∴CD⊥AD,CD⊥BD,CD⊥AB，设CD=h>0，不妨设AC，BC分别与平面α成30°和45°角，∴BC=2h,AC=2h,AD=3h,BD=h，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接ED，∵CD⊥AB，CE⋂CD=C，CE，CD⊂平面CDE，∴AB⊥平面CDE，且DE⊂平面CDE，∴DE⊥AB，即二面角的平面角为∠CED，可得S△ABC=12AB∙CE=12AC∙BC，S△ABD=12AB∙DE=12AD∙BD，∴cos∠CED=DECE=S△ABDS△ABC=12AD∙BD12AC∙BC=，即二面角的余弦值为．张士花47思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积，即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图5，若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，BC =3，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解：（1）过程略；(2)设CD 的中点为P ，连接FP ，过点P 作CD 1的垂线，垂足为H .在长方体中，由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1，因为PH ⊥CD 1，PH ⋂FP =P ，所以CD 1⊥平面FHP ，所以FH ⊥CD 1，则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2，且FP =BC =3，则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=，所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据CD 1⊥平面FHP ，确定平面FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目：已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0，若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，d -a 在向量c方向上的投影为z ，则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0，∴a ⊥b，以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n )，∵(a -b)∙c =0，∴m -2n =0，即m =2n ，∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，∴d =(x ,y )，∵d -a 在c方向上的投影为z ，∴z =(d -a )∙c ||c =，吴仕明48。
利用传统方法解决二面角问题(五大题型)(解析版)
利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角α-l -β的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ，作AO ⊥β于O ，过A 作AB ⊥c 于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，∠ABO 为二面角α-c -β的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A ，作AO ⊥β于O ；②过点(与①中是同一个点)做交线的垂线；即过A 作AB ⊥c 于B ，连接BO ；③计算：∠ABO 为二面角α-c -β的平面角，在Rt △ABO 中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos θ=S 射S 斜=S △A 'B 'C 'S △ABC，如图2)求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法1.(2024·高一·江西宜春·期末)如图(1)，六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD =∠ADC =90°，AB =AF =EF =ED =2,AD =CD =4，沿AD 进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且∠AEC =90°.(1)求证：CD ⊥平面ADEF .(2)求二面角C -AE -D 的余弦值；【解析】(1)在等腰梯形ADEF 中，作EM ⊥AD 于M ，则DM =AD -EF 2=1,AM =3,EM =3，可得AE =3+9=23，连接AC ，则AC =42，因为∠AEC =90°，可得EC =25，由ED 2+DC 2=EC 2，可得CD ⊥ED ，且CD ⊥AD ,AD ∩ED =D ，AD ,ED ⊂平面ADEF ，所以CD ⊥平面ADEF .(2)由(1)可知CD ⊥平面ADEF ，且AE ⊂平面ADEF ，可得CD ⊥AE ，且CE ⊥AE ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，可得AE ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，可得AE ⊥DE ，又AE ⊥CE ，可知∠CED 就是二面角C -AE -D 的平面角，在Rt △CDE ，可得cos ∠CDE =DE CE =225=55，所以二面角C -AE -D 的余弦值为55.2.(2024·高一·全国·随堂练习)如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径AB =2，点C 在AB上，且∠CAB =30°，点D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD(2)求二面角P -AC -O 的正弦值．【解析】(1)证明：连接PC ，则PC =PA ，因为点D 为AC 的中点，所以PD ⊥AC ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB =90°，所以AC ⊥BC ，因为O 为AB 的中点，D 为AC 的中点，所以OD ‖BC ，OD =12BC ，所以OD ⊥AC ，因为PD ∩OD =D ，PD ,OD ⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD ，(2)由(1)知PD ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以∠PDO 为二面角P -AC -O 的平面角，因为PO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ，所以PO ⊥OD ，因为∠ACB =90°，∠CAB =30°，AB =2，所以BC =12AB =1，所以OD =12BC =12，所以在Rt △POD 中，sin ∠PDO =OP PD =22+14=223,所以二面角P -AC -O 的正弦值为2233.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2 . 求：(1)求二面角B -PA -C 的大小．(2)求二面角A -PD -C 的大小.(3)求二面角B -PD -A 的大小的正弦值．【解析】(1)∵PA ⊥平面ABCD ，AB ，AC ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AB ,PA ⊥AC ,∴∠BAC 为二面角B -PA -C 的平面角，又∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC =45°，即二面角B -PA -C 的大小为45°；(2)作PD 的中点E ,PC 的中点F ,连接AE ,EF ,AF ,∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AD ,∵PA =AB ，∴△PAD 为等腰直角三角形，∵E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ,又∵PA ⊥CD ,AD ⊥CD ,PA ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴CD ⊥平面PAD ,∴CD ⊥PD ,∵E ,F 分别为PD 和PC 的中点，∴EF ⊥PD ,∴∠AEF 为二面角A -PD -C 的平面角，∵EF ⎳CD ,∴EF ⊥平面PAD ,∴EF ⊥AE ,∴∠AEF =90°,即二面角A -PD -C 的大小为90°；(3)连接BE ,BD ,∵PB =AP 2+AB 2=22,BD =AB 2+AD 2=22,∴PB =BD ,∴BE ⊥PD ,∴∠AEB 二面角B -PD -A 的大小的平面角，又∵PA ⊥AB ,AB ⊥AD ,AP ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥AE ,∵PD =2AP =22,∴ED =12PD =2,∴BE =BD 2-ED 2=6,∴sin ∠AEB =AB BE=63 ,即二面角B -PD -A 的大小的正弦值63.题型二：三垂线法1.(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC .(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；(2)设AB=PC=2，AC=1，求二面角B-PA-C的余弦值．【解析】(1)证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，∵PC∩AC=C，且PC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM⊥PA于M，连结BM，∵BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，∵BC∩CM=C，且BC，CM⊂平面BCM，∴PA⊥平面BCM，又BM⊂平面BCM，∴PA⊥BM，∴∠BMC为二面角B-PA-C的平面角，在Rt△BMC中，∵CM=25，BC=3，∴BM=45+3=195，则cos∠BMC=MCBM=25195=21919，∴二面角B-PA-C的余弦值为21919．2.(2024·高一·江苏南京·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：AC⊥面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)证明：设AC与BD交于点O，连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO⎳PA，又因为PA⊥底面ABCD，且BD、AC⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，PA⊥AC，又因为EO⎳PA，所以EO⊥BD，EO⊥AC，AC∩BD=O，所以EO⊥底面ABCD，又四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，则EO⊥AC，BD⊥AC，且EO∩BD=O，EO，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED；(2)过O作OF⊥AB于F，连接EF，由(1)知OE⊥底面ABCD，且FO、AB⊂底面ABCD，所以OE⊥AB，OE⊥FO，又EO∩FO=O，EO、FO⊂平面EOF，所以AB⊥平面EOF，又EF⊂平面EOF，所以AB⊥EF，即∠EFO为二面角E-AB-C的平面角，因为底面ABCD为菱形，AB=1，∠ABC=60°，所以△ABC是边长为1的等边三角形，则AO=12，FO=12sin60°=34，又PA=2，则EO=12PA=22，在直角三角形EOF中，EF=11 4，则cos∠EFO=FOEF=3311，所以sin∠EFO=22211，故所求二面角的正弦值为222 11．3.(2024·高二·江苏南京·阶段练习)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=4，E为AD的中点．(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；(2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．【解析】(1)由题意，因为四边形ABCD为菱形，所以DA=DC.连接AC.因为∠ADC=60°，所以△ADC为等边三角形，从而CA=CD.在△ADC中，E是AD的中点，所以CE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以CE⊥PA.∵PA∩AD=A，PA⊂面PAD，AD⊂平面PAD，CE⊄面PAD，∴EC⊥平面PAD.又CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD(2)由题意及(1)得，在平面PAD中，过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接CM.因为EC⊥平面PAD,PD⊂平面PAD，所以EC⊥PD.又EM∩CE=E, EM⊂平面EMC,CE⊂平面EMC，所以PD⊥平面EMC.又CM⊂平面EMC，所以PD⊥CM，从而∠EMC是二面角APDC的平面角．在Rt△EMD中，ED=2,∠ADP=45°，所以EM=MD= 2.在Rt△CMD中，MD=2，CD=4，所以CM=CD2-MD2=14.在Rt△CME中,CE=23,sin∠EMC=CECM =2314=427,所以二面角APDC的平面角的正弦值为42 7.题型三：射影面积法1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．【解析】因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，所以ΔPCD在平面PBA上的射影为ΔPAB．设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，所以cosθ=SΔPABSΔPCD=12a212a⋅2a=22，所以θ=45°．故平面PBA与平面PCD所成二面角的大小为45°．2.(2024·新疆和田·高一校考期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)证明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．【解析】(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD =AD ，∴由面面垂直的性质定理得，AB ⊥平面PAD ；(2)(法一)由题意，△PBD 在面PAD 上的射影为△PAD ．设AD =a ，则S △PAD =34a 2，△PBD 中，PD =a ，BD =2a ，PB =2a ，∴S △PBD =12×a ×2a 2-a 24=74a 2，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的余弦值为37，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值为23=233．(法二)如图所示：取PD 中点E ，连接AE ,BE .设AD =a ，则BD =PB =2a ，所以AE ⊥PD ,BE ⊥PD ,所以∠AEB 是平面PAD 与平面PDB 所成的二面角的平面角，在Rt △AEB 中，AE =32a ,AB =a ,∠BAE =π2,所以tan ∠AEB =AB AE =a 32a =23=233.3.(2024·高一课时练习)直角三角形ABC 的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为．【答案】64【解析】过点C 作CD ⊥平面α，垂足为D ，连接AD ,BD ，∵AD ,BD ,AB ⊂平面α，则CD ⊥AD ,CD ⊥BD ,CD ⊥AB ，设CD =h >0，不妨设AC ，BC 分别与平面α成30°和45°角，则BC =2h ,AC =2h ,AD =3h ,BD =h ，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接ED ，∵CD ⊥AB ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，则AB ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，∴DE ⊥AB ，即所求二面角的平面角为∠CED ，由△ABC 的面积可得S △ABC =12AB ⋅CE =12AC ⋅BC ，由△ABD 的面积可得S △ABD =12AB ⋅DE =12AD ⋅BD ，∵cos ∠CED =DE CE =S △ABD S △ABC =12AD ⋅BD 12AC ⋅BC =3h ⋅h 2h ⋅2h =64，故所求锐二面角的余弦值为64．故答案为：64.题型四：垂面法1.(2024·高一·云南玉溪·期末)如图，三棱锥P -ABC 的底面△ABC 是等腰直角三角形，其中AB =AC =PA =PB =2，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点．(1)证明：EN ⊥平面PAB ；(2)求二面角C -PB -A 的余弦值．【解析】(1)证明：因为三棱锥P -ABC 的底面是等腰直角三角形，且AB =AC =2，所以AB ⊥AC ，又点E ，N 分别是AB ，BC 的中点，故EN ∥AC ，故EN ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，EN ⊂平面ABC ，故EN ⊥平面PAB ．(2)如图，取PB 的中点为F ，连接AF ，CF ，因为PA =PB =AB =2，所以AF ⊥PB ，AF =3．又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABC ，故AC ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，故AC ⊥PB ，AC ∩AF =A ，AC ,AF ⊂平面ACF ，故PB ⊥平面ACF ，CF ⊂平面ACF ，故PB ⊥CF ，则∠CFA 即为所求的角，于是tan ∠CFA =CA AF =23，cos ∠CFA =217，所以二面角C -PB -A 的余弦值为217．2.(2024·高一·安徽芜湖·期末)如图，在三棱台ABC -DEF 中，∠ACB =90°，BF ⊥AD ，BC =2，BE =EF =FC =1．(1)求证：平面BCFE ⊥平面ABC ；(2)若直线AE 与平面BCFE 所成角为π3，求平面DEC 和平面ABC 所成角的正切值．【解析】(1)取BC 中点为O ，连接FO ,∵BE =EF =FC =1，BC =2，所以BO =OC =FC =1,故∠BFO =∠OBF ,∠CFO =∠COF =∠FCO ,由三角形内角和可得∠BFO +∠CFO =90°,故BF ⊥FC ，又∵BF ⊥AD ,AD ,FC ⊂平面ADFC ,AD ,FC 为相交直线，∴BF ⊥平面ADFC ，AC ⊂平面ADFC ,∴BF ⊥AC又∵∠ACB =90°,即BC ⊥AC ,BF ∩BC =B ,BF ,BC ⊂平面BCFE ,∴AC ⊥平面BCFE ，AC 在平面ABC 内，∴平面BCFE ⊥平面ABC(2)由(1)知直线AE 与平面BCFE 所成角为∠AEC ，∴AC EC=3，由于AE =AF =BC 2-FC 2=3,∴AC =3设平面DEC 和平面ABC 的交线为l ，由于AB ⎳平面DEC ，AB ⊂平面ABC ，所以l ∥AB ，过点E 作EG ⊥BC 于G ，又(1)知平面BCFE ⊥平面ABC ，且两平面的交线为BC ，EG ⊂平面BCFE ,∴EG ⊥平面ABC ，l ∈平面ABC ，所以EG ⊥l ，且EG =EB 2-BC -EF 2 2=32,再过点G 作GK ⊥l 于K ，连接EK ，GK ∩EG =G ,GK ,EG ⊂平面EGK ，所以l ⊥平面EGK ，EK ⊂平面EGK ,故l ⊥EK ，∵∠EKG 即为所求角,BG =12,GC =32,GK =GC ⋅sin ∠BCK =32sin ∠BCK =32sin ∠B =32×313=9213∵tan ∠EKG =EG EK =32×2139=399题型五：补棱法1.(2024·山东淄博·高一统考期末)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为棱BB 1、BC 的中点．(1)证明：直线DN ⎳平面AMD 1；(2)设平面AMD 1与平面ABCD 的交线为l ，求点M 到直线l 的距离及二面角D 1-l -C 的余弦值．【解析】(1)证明：取CC 1的中点E ，连接DE 、NE 、ME ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⎳CC 1且BB 1=CC 1，∵M 、E 分别为BB 1、CC 1的中点，则BM ⎳CE 且BM =CE ，故四边形BCEM 为平行四边形，则ME ⎳BC 且ME =BC ，又因为AD ⎳BC 且AD =BC ，则ME ⎳AD 且ME =AD ，故四边形ADEM 为平行四边形，则DE ⎳AM ，∵DE ⊄平面AMD 1，AM ⊂平面AMD 1，∴DE ⎳平面AMD 1，因为AB ⎳C 1D 1且AB =C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形，则BC 1⎳AD 1，∵N 、E 分别为BC 、CC 1的中点，则NE ⎳BC 1，则NE ⎳AD 1，∵NE ⊄平面AMD 1，AD 1⊂平面AMD 1，∴NE ⎳平面AMD 1，∵DE ∩NE =E ，DE 、NE ⊂平面DEN ，所以，平面DEN ⎳平面AMD 1，∵DN ⊂平面DEN ，∴DN ⎳平面AMD 1.(2)延长D 1M 、DB 交与点P ，连接AP ，则直线AP 即为直线l ，因为BB 1⎳DD 1且BB 1=DD 1，M 为BB 1的中点，则PM PD 1=PB PD =BM DD 1=12，故点B 为PD 的中点，M 为PD 1的中点，在△ABP 中，AB =2，BP =BD =22，∠ABP =135°，由余弦定理可得AP2=AB2+BP2-2AB⋅BP cos135°=20，则AP=25，cos∠BAP=AB2+AP2-BP22AB⋅AP =255，则sin∠BAP=1-cos2∠BAP=55，过点D在平面ABCD内作DF⊥直线AP，垂足为点F，连接D1F，sin∠DAF=sin90°-∠BAP=cos∠BAP=255，所以，DF=AD sin∠DAF=455，∵DD1⊥平面ABCD，l⊂平面ABCD，∴DD1⊥l，∵DF⊥l，DF∩DD1=D，DF、DD1⊂平面DD1F，∴l⊥平面DD1F，∵D1F⊂平面DD1F，∴D1F⊥l，故二面角D1-l-C的平面角为∠D1FD，且D1F=DD21+DF2=655，故点M到直线l的距离为355，cos∠D1FD=DFD1F =23，因此，二面角D1-l-C的平面角的余弦值为23.2.(2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空：⊥，则三棱锥P-ABC为“鳖臑”；(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.(i)证明：平面ADE⊥平面PAC；(ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=23，AC=2，求二面角E-l-C的大小.【解析】(1)因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；即△PAB，△PAC为直角三角形；若BC⊥AB，由AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，可得：BC⊥平面PAB；所以BC⊥PB，即△ABC，△PBC为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；同理，可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC，都能满足四个面都是直角三角形；故可填：BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC；(2)(i)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴PC⊥AD，又AE⊥PC，AE∩AD=A，AD,AE⊂平面ADE，∴PC⊥平面ADE，又PC⊂平面PAC，∴平面ADE⊥平面PAC.(ii)由题意知，在平面PBC中，直线DE与直线BC相交.如图所示，设DE∩BC=F，连结AF，则AF即为l.∵PC⊥平面AED，l⊂平面AED，∴PC⊥l，∵PA⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴PA⊥l，又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，∴l⊥平面PAC，又AE,AC⊂平面PAC，∴AE⊥l，AC⊥l.∴∠EAC即为二面角E-l-C的一个平面角.在△PAC中，PA⊥AC，PA=23，AC=2，∴PC=4，又AE⊥PC，∴AE=AP×ACPC =23×24=3，∴cos∠EAC=AEAC =32，∴∠EAC=30°，∴二面角E-l-C的大小为30°.3.(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设PC =2AB =4，求二面角E -l -C 大小的取值范围.【解析】(1)∵EF ⎳AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ⎳平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以EF ⎳l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以l ⎳平面PAC ；(2)设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连接DE ，FB ，如图：由(1)知，BD ⎳AC ，而AC ⊥BC ，所以BD ⊥BC ，所以PC ⊥平面ABC ，所以PC ⊥BD ，而PC ∩BC =C ，所以BD ⊥平面PBC ，又FB ⊂平面PBC ，所以BD ⊥BF ，所以∠FBC 就是二面角E -l -C 的平面角，因为PC =2AB =4，点F 是PC 的中点，所以FC =12PC =AB =2，故tan ∠FBC =FC BC =AB BC =1cos ∠ABC ，注意到0<∠ABC <π2，所以0<cos ∠ABC <1，所以tan ∠FBC >1，因为0<∠FBC <π2，所以∠FBC ∈π4,π2 ，所以二面角E -l -C 大小的取值范围为π4,π2.【过关测试】1.(2024·高一·广西玉林·阶段练习)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90°,2AB =2BC =CC 1=2，D 是棱CC 1的中点，(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值.【解析】(1)证明：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，2BC=CC1=2，D是棱CC1的中点，所以BC=CD=C1D=B1C1=1，BB1=2，∠BCD=∠B1C1D=90°，所以BD2=BC2+CD2=2,B1D2=C1D2+B1C21=2，所以BD2+B1D2=4=BB21，所以BD⊥B1D，因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为BB1∩BC=B，BB1,BC⊂平面BB1C1C，所以AB⊥平面BB1C1C，所以B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D，因为AB∩BD=B，AB,BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD；(2)因为B1D⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以B1D⊥AD，因为BD⊥B1D，平面AB1D∩平面BB1C1C=B1D，所以∠ADB就是平面AB1D与侧面BB1C1C所成的平面角，因为AB⊥平面BB1C1C，BD⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BD，在Rt△ADB中，AB=1,BD=2，则tan∠ADB=ABBD=12=22，所以平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为2 2 .2.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F为棱AA1的两个三等分点．(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求二面角C1-BD-F的余弦值．【解析】(1)如图，连接AC交BD于点O，连接OF．在△ACE中，O为AC的中点，F为AE的中点，所以OF∥CE，又平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE∥平面BDF．(2)连接C1O，C1F，A1C1．在正方体中，BD⊥AC，AA1⊥BD，AC∩AA1=A，AC,AA1⊂平面A1AC 所以BD⊥平面A1AC，而OF，OC1均在平面A1AC内，所以BD⊥OF，BD⊥OC1，所以∠FOC1是二面角C1-BD-F的平面角．因为正方体的棱长为3，所以AC=32，AO=322，AF=1，由勾股定理得FO=3222+12=222，C1O=322 2+32=362，C1F=(32)2+22=22．在△FOC1中，由余弦定理得cos∠FOC1=FO2+C1O2-C1F22FO⋅C1O=-3333，所以二面角C1-BD-F的余弦值为-33 33．3.(2024·高一·山东淄博·阶段练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD．(1)证明：平面PBD⊥平面ACE；(2)证明：OE⊥PD(3)求二面角D-AC-E的余弦值【解析】(1)∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，且BD∩PO=O，BD,PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD，即平面PBD⊥平面ACE；(2)连接OE，则平面ACE∩平面PBD=OE，由(1)知AC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，则AC ⊥PD ，又∵CE ⊥PD ，CE ∩AC =C ,CE ,AC ⊂平面ACE ，∴PD ⊥平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，∴PD ⊥OE ，即OE ⊥PD ．(3)由于AC ⊥平面PBD ，OE ⊂平面PBD ，则AC ⊥OE ，又AC ⊥OD ，且平面EAC ∩平面DAC =AC ，OE ⊂平面EAC ，OD ⊂平面DAC ，故∠DOE 为二面角D -AC -E 的平面角；在菱形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，则△ABC 是等边三角形，而O 为AC ，BD 的中点，则OD =OB =3，又OP =2，∴PD =22+3 2=7，故OE =OP ⋅OD PD =237=2217，∴cos ∠DOE =OE OD =22173=277，即二面角D -AC -E 的余弦值为277．4.(2024·高一·陕西西安·阶段练习)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，E ，F 分别为A 1B ，A 1C 的中点，D 为B 1C 1上的点，且A 1D ⊥B 1C .(1)求证：平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)若三棱柱所有棱长都为a ，求二面角A 1-B 1C -C 1的平面角的正切值.【解析】(1)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴BB 1⊥A 1D ，∵A 1D ⊥B 1C ，B 1C ∩BB 1=B 1，B 1C ,BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1，又A 1D ⊂平面A 1FD ，∴平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)因为三棱柱所有棱长都为a，则△A1B1C1为等边三角形，A1D⊥平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥B1C1，所以D为B1C1的中点，过点D作B1C垂线，垂足为H，连接A1H，∵A1D⊥B1C，DH⊥B1C，A1D∩DH=D，A1D,DH⊂平面A1DH，∴B1C⊥平面A1DH，又A1H⊂平面A1DH，所以B1C⊥A1H，则∠A1HD是二面角A1-B1C-C1的平面角，A1D⊥平面BCC1B1，DH⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥DH，∴A1D=32a，DH=22B1D=24a，tan∠A1HD=A1DDH=6，故二面角A1-B1C-C1的平面角的正切值为6．5.(2024·高一·广东云浮·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：PA⎳平面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)设AC与BD交于点O连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO∥PA，又因为PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，所以PA ⎳平面BED ；(2)过O 作OF ⊥AB 于F ，连接EF ，因为PA ⎳OE ，且PA ⊥平面ABCD所以OE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OE ⊥AB ，又EO ∩FO =O ，EO ,OF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥平面EOF ，又EF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥EF ，即∠EFO 为二面角E -AB -C 的平面角，由EO =12PA =22，△ABC 是边长为1的等边三角形，即FO =12sin60°=34，在直角三角形EOF 中，EF =114，即cos ∠EFO =FO EF =3311，sin ∠EFO =1-cos 2∠EFO =22211．所以所求二面角的正弦值为22211．6.(2024·高一·山东枣庄·阶段练习)如图，E 是直角梯形ABCD 底边AB 的中点，AB =2DC =2BC ，将△ADE 沿DE 折起形成四棱锥A -BCDE .(1)求证：DE ⊥平面ABE ；(2)若二面角A -DE -B 为60°，求二面角A -DC -B 的余弦值.【解析】(1)在直角梯形ABCD 中，易知DC ⎳BE ，且DC =BE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又∠EBC =90°，AB =2DC =2BC ，E 是AB 的中点，所以四边形BCDE 是正方形，从而DE ⊥EB ，也即DE ⊥EA ，因此，在四棱锥A -BCDE 中，EB ∩EA =A ，EB ,EA ⊂平面ABE ，所以DE ⊥平面ABE ；(2)由(1)知，∠AEB 即二面角A -DE -B 的平面角，故∠AEB =60°，又AE =EB ，可得△AEB 为等边三角形；设BE 的中点为F ，CD 的中点为G ，连接AF ,FG ,AG ，从而AF ⊥BE ，FG ⎳DE ，于是AF ⊥CD ，FG ⊥CD ，AF ∩FG =F ，AF ,FG ⊂平面AFG ，从而CD ⊥平面AFG ，AG ⊂平面AFG ，因此CD ⊥AG ；所以∠AGF 即所求二面角A -DC -B 的平面角.由(1)中DE ⊥平面ABE ，且FG ⎳DE ，从而FG ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE 所以FG ⊥AF ，设原直角梯形中，AB =2DC =2BC =2a ，则折叠后四棱锥中AF =32a ，FG =a ，从而AG =AF 2+FG 2=72a 于是在Rt △AFG 中，cos ∠AGF =FG AG=277；即二面角A -DC -B 的余弦值为277.7.(2024·高一·北京怀柔·期末)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2．(1)证明：CD 1⎳平面A 1BD ；(2)证明：BD ⊥平面A 1AC ；(3)求二面角A 1-BD -A 的正弦值．【解析】(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，A 1D 1⎳BC 且A 1D 1=BC ，∴A 1BCD 1为平行四边形，∴A 1B ⎳CD 1，∵CD 1⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ∴CD 1⎳平面A 1BD ；(2)∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AA 1⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴AA 1⊥BD ，∵正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又∵AA 1⊂平面A 1AC ，AC ⊂平面A 1AC ，AA 1∩AC =A ，∴BD ⊥平面A 1AC ；(3)∵在正方形ABCD 中，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，∴AC ⊥BD ，AO ⊥BD ，∵△A 1BD 中，A 1B =A 1D =22，△A 1BD 为等腰三角形，∴A 1O ⊥BD ，∴∠A 1OA 即为二面角A 1-BD -A 的平面角，∵在Rt △A 1AO 中，AA 1=2,AO =2,∴A 1O =6，∴sin ∠A 1OA =A 1A A 1O=63，即二面角A 1-BD -A 的正弦值为63.8.(2024·高一·广西·期末)如图，四棱锥P -ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，过点C 作直线AB 的平行线交AD 于F ，G 为线段PD 上一点．(1)求证：平面PAD ⊥平面CFG ；(2)求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的余弦值．【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，因为∠BAD =π2，所以AB ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为CF ⎳AB ，所以CF ⊥平面PAD ，因为CF ⊂平面CFG ，所以平面CFG ⊥平面PAD ；(2)连结AC ，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，连接DE ，如图，PA ⊥平面ABCD ，AD 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AC ，因为∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，由勾股定理得：AD=BD2-AB2=23，则∠ADB=30°，同理可得CD=23，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，AC=CD=23，同理可得：PB=PA2+AB2=25，PC=PA2+AC2=27，PD=PA2+AD2=27，在△BCP中，由余弦定理得：cos∠BCP=BC2+CP2-PB22BC⋅CP=4+28-2087=327，则CE=BC cos∠BCP=627，BE=BC2-CE2=197，在△CDP中，由余弦定理得：cos∠PCD=PC2+CD2-DP22PC⋅CD=12+28-2823×47=327，在△CDE中，DE2=CE2+CD2-2CE⋅CD cos∠PCD=3628+12-2×627×23×327=757，因为CE2+DE2=12=CD2，所以DE⊥PC，所以∠BED是平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角，由余弦定理得：cos∠BED=BE2+DE2-BD22BE⋅DE=197+757-162×197×757=-35795．9.(2024·高一·辽宁葫芦岛·期末)如图，在多面体ABCDEF中，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3．(1)在线段FC上确定一点H，使得平面BDH⎳平面AEF；(2)设G是线段EC的中点，在(1)的条件下，求二面角A-HG-B的大小．【解析】(1)H为线段FC的中点．证明如下：在菱形ABCD中，连接AC与BD交于点O，于是O为AC中点，在△AFC中，OH为中位线，所以OH⎳AF，因为OH⊂平面BDH，AF⊄平面BDH，所以AF⎳平面BDH，又因为四边形BDEF是矩形，BD⎳EF，因为BD ⊂平面BDH ，EF ⊄平面BDH ，所以EF ⎳平面BDH ，又AF ，EF ⊂平面AEF ，且AF ∩EF =E ，所以平面AEF ⎳平面BDH ．(2)分别取EF ，HG ，OC 中点M ，N ，P ，连接MO ，MA ，MC ，NP ，NO ，NA ，于是，N 为线段MC 中点，易知，在矩形BDEF 中MO ⊥BD ，菱形ABCD 中AC ⊥BD ，且MO ∩AC =O ，MO ，AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥平面AMC ．又GH 为△CEF 的中位线，故GH ⎳EF ，且BD ⎳EF ，所以GH ⎳BD ．所以GH ⊥平面AMC ．又AN ，ON ⊂平面AMC ，所以GH ⊥AN ，GH ⊥ON ．所以∠ANO 为二面角A -HG -B 的平面角．由已知，平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD =BD ，MO ⊂平面BDEF ，且MO ⊥BD ，可得MO ⊥ABCD ．又NP 为△CMO 的中位线，所以NP ⎳MO ，且NP =12MO =32，所以NP ⊥平面ABCD ，进而NP ⊥AP ．在菱形ABCD 中，AO =3，PO =32，AP =AO +PO =332．在直角△NPA 中，tan ∠NAP =NP AP=33，所以∠NAP =π6．在直角△NPO 中，tan ∠NOP =NP OP=3，所以∠NOP =π3，所以，∠ANO =∠NOP -∠NAP =π6．即二面角A -HG -B 的大小为π6．10.(2024·高一·贵州毕节·期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，且AB =3,AD =2，侧面PAD 是等腰三角形，且PA =PD =2，侧面PAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面PCD ；(2)求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值.【解析】(1)证明：在△APD 中，AD =2,PA =PD =2∴AD 2=AP 2+DP 2∴AP ⊥DP又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ,AD ⊥CD ,CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面APD ，又AP ⊂平面APD ，∴CD ⊥AP ，又CD ∩DP =D ，CD ,DP ⊂平面PCD ，∴AP ⊥平面PCD .(2)取AD 的中点为M ，连接PM ，∵PA =PD ，所以PM ⊥AD又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，PM ⊂面PAD ，∴PM ⊥平面ABCD又BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，过点M 作MG ⊥BC ，垂足为G ，连接PG ，又PM ∩MG =M ，PM ,MG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥平面PMG ，又MG ⊂平面PMG ，PG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥MG ,BC ⊥PG ，∴∠PGM 为侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的平面角，在直角△PMG 中，PM =12AD =1,MG =3，∴PG =10，∴sin ∠PGM =PM PG =110=1010，即侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值为1010.11.(2024·高一·内蒙古包头·期末)如图，已知AB 是圆的直径，且AB =4,PA 垂直圆所在的平面，且PA =3,M 是弧AB 的中点．(1)求点A 到平面PBM 的距离；(2)求二面角A -BM -P 的正弦值．【解析】(1)设点A 到平面PBM 的距离为d ，由题意知BM ⊥AM ，因为PA ⊥平面MAB ，BM ⊂平面MAB ，所以BM ⊥PA ，又AM ∩PA =A ,AM ,PA ⊂平面PAM ，则BM ⊥平面PAM ，又PM ⊂平面PAM ，所以BM ⊥PM ，由V A -PBM =V P -ABM ，得13S △PBM ⋅d =13S △ABM ⋅PA ，12PM ⋅BM ⋅d =12AM ⋅BM ⋅3，即17d =62，故d =63417，所以点A 到平面PBM 的距离为63417；(2)由(1)得BM ⊥AM ，BM ⊥PM ，所以∠PMA 即为二面角A -BM -P 的平面角，因为AB =4，M 是弧AB 的中点，所以MA =MB =22，因为PA ⊥平面MAB ，AM ⊂平面MAB ，所以AM ⊥PA ，则PM =9+8=17，则sin ∠PMA =PA PM =317=31717，所以二面角A -BM -P 的正弦值为31717．12.(2024·高一·辽宁·期末)如图1，在等腰直角△ABC 中，∠C =π2，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，F 为线段CD 上一点(不含端点)，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，连接A 1C ，A 1B ，得到四棱锥A 1-BCDE ，如图2所示，且A 1F ⊥CD ．(1)证明：A 1F ⊥平面BCDE ；(2)若直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，求二面角A 1-BD -C 的平面角的正切值．【解析】(1)证明：因为∠C =π2，且DE ∥BC ，所以DE ⊥AD ，所以DE ⊥A 1D ,DE ⊥DC ，又因为A 1D ∩CD =D ，且A 1D ,CD ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥平面A 1DC ，因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ，又因为A 1F ⊥CD ，CD ∩DE =D 且CD ,DE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．(2)如图所示，连接EF ，因为D ,E 分别是AC 与AB 的中点，可得A 1D =CD =DE ，又因为A 1F ⊥平面BCDE ，所以直线A 1E 与平面BCDE 所成的角为∠A 1EF ，由直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，即tan ∠A 1EF =155，设DF=x，则A1F=A1D2-DF2=A1D2-x2，EF=DE2+DF2=A1D2+x2，所以tan∠A1EF=A1FEF=A1D2-x2A1D2+x2=155，解得A1D=2x，即F为CD的中点，过F作FO⊥BD，垂足为O，因为A1F⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，所以A1F⊥BD，又因为A1F∩OF=F，且A1F,OF⊂平面A1OF，所以BD⊥平面A1OF，因为A1O⊂平面A1OF，所以A1O⊥BD，所以二面角A1-BD-C的平面角为∠A1OF，由BC=4x，CD=2x，则BD=BC2+CD2=25x，所以OF=12⋅CD⋅BCBD=255x，因为A1F=A1D2-x2=3x，所以tan∠A1OF=A1FOF=152．13.(2024·高一·安徽宣城·期末)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形．(1)若AB=22，求直线AB和CD所成角的余弦值；(2)若点E在棱AD上，AE=13AD且三棱锥A-BCD的体积为4，求二面角E-BC-D平面角大小的正弦值．【解析】(1)分别取BC、AC的中点M、N，连接OM，ON，MN，因为О为BD中点，所以MO∥CD，MN∥AB且MO=12CD,MN=12AB，所以异面直线AB和CD所成角(或为邻补角)即为∠OMN，因为AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，因为△OCD是边长为2的等边三角形，所以BO=DO=2，MN=12AB=2，MO=12CD=1，又因为平面ABD⊥平面BCD，AO⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD，因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，由OC=OD，得△AOC≌△AOD，得AC=AD=AB=22．在直角三角形△AOC中，则ON=12AC=2，在△MON中，根据余弦定理得，cos∠OMN=MN2+MO2-ON22MN⋅MO =(2)2+1-(2)22×2×1=24或cos∠OMN=122=24所以直线AB和CD所成角的余弦值为2 4．(2)过点E作EN∥AO交BD于N．过点N作NM∥CD交BC于点M，连接ME，因为EN∥AO且AO⊥BD，所以EN⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EN⊂平面ABD，所以EN⊥平面BCD，因为BC⊂平面BCD，所以EN⊥BC，在△BCD中，因为OB=OD=OC，所以BC⊥CD，因为NM∥CD，所以MN⊥BC，因为MN∩EN=N，MN,EN⊂平面MNE，所以BC⊥平面MNE，因为ME⊂平面MNE，所以BC⊥ME，所以∠EMN为所求的二面角E-BC-D的平面角，因为S△BCD=12BD⋅CD⋅sin∠BDC=12×4×2×32=23，因为V A-BCD=13S△BCD⋅OA=13×23⋅OA=4，所以OA=23，又因为AE=13AD，EN∥AO，所以ENAO=DEDA=23，得EN=23OA=433，因为NM ∥CD ，所以MN CD=BN DB =46=23，因为CD =2，所以MN =43．又EN =433，所以3MN =EN ．所以tan ∠EMN =EN MN =3，所以sin ∠EMN cos ∠EMN =3，得sin ∠EMN3=cos ∠EMN ，因为sin 2∠EMN +cos 2∠EMN =1，sin ∠EMN >0，所以解得sin ∠EMN =32．所以二面角E -BC -D 平面角大小的正弦值为32.14.(2024·高一·福建福州·期末)如图，四棱锥P -ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点.(1)求证：DM ⊥PC ；(2)在线段PB 上是否存在一点Q 使得MQ ⎳平面PNC ，存在指出位置，不存在请说明理由.(3)求二面角B -PC -N 的正弦值．【解析】(1)∵△PAD 为正三角形，N 为AD 中点，∴PN ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PN ⊂平面PAD ，∴PN ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN ⊥DM ，在正方形ABCD 中，易知△DAM ≌△CDN ，∴∠ADM =∠DCN ，而∠ADM +∠MDC =90°，∴∠DCN +∠MDC =90°，∴DM ⊥CN ，∵PN ∩CN =N ，PN ,CN ⊂平面PNC ，∴DM ⊥平面PNC ，∵PC ⊂平面PNC ，∴DM ⊥PC ．(2)存在，当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC ，取BE 的四等分点E (靠近B )，取BP 的四等分点Q (靠近B )，连接ME 、EQ 、MQ ，则QE ⎳PC ，QE ⊄平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以QE ⎳平面PNC ，由BM DC=BE DN =12，所以△MBE ∽△CDN ，所以∠EMB =∠DCN ，又∠EMB +∠MEB =90°，∠DCN +∠NCB =90°，所以∠NCB =∠MEB ，所以ME ⎳NC ，ME ⊄平面PNC ，NC ⊂平面PNC ，所以ME ⎳平面PNC ，又ME ∩QE =E ，ME ,QE ⊂平面MEQ ，所以平面MEQ ⎳平面PNC ，MQ ⊂平面MEQ ，所以MQ ⎳平面PNC ，即当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC .(3)取DC 的中点F ，连接BF 交NC 于点G ，过点G 作GH ⊥PC 交PC 于点H ，连接BH ，则DF ⎳BM 且DF =BM ，所以四边形DFBM 为平行四边形，所以BF ⎳DM ，又DM ⊥平面PNC ，所以BF ⊥平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以BF ⊥PC ，又GH ∩BF =G ，GH ,BF ⊂平面GHB ，所以PC ⊥平面GHB ，BH ⊂平面GHB ，所以PC ⊥BH ，所以∠BHG 为二面角B -PC -N 的平面角，因为△BCF ∽△CGF ，所以BC CG =CF FG =BF CF，又CG =BC ⋅CF BF =255，所以FG =55，BG =455，又△CGH ∽△CPN ，所以CG CP =GHPN ，又CN =22+12=5，PN =22-12=3，PC =5 2+3 2=22，即25522=GH 3，所以GH =3010，所以BH =30102+4552=142，所以sin ∠BHG =BG BH =455142=47035，故二面角B -PC -N 的正弦值为47035.。
精品)三垂线法求二面角专题
（精品）三垂线法求二面角专题1、（本小题满分13分）如图，已知DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，在△ABE 中，AE=1，BE=3。
（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；解：（Ⅰ）DA ⊥平面ABE ， ∴DA ⊥BE△ABE 中，AE=1 BE=3 AB=2 ∴BE ⊥EABE ADE BE BCE ⊥⎫∴⇒⎬⊂⎭平面平面平面ADE ⊥平面BCE （注：此题也可证明BCE AE ⊥面，ADE AE ⊂面，从而平面ADE ⊥平面BCE ） （Ⅱ）过点E 作EF ⊥AB 与F∵DA ⊥平面ABE ∴平面ABCD ⊥平面ABE∴EF ⊥平面ABCD 过F 作FG ⊥AC 与G ，连EG ，则EG ⊥AC （三垂线定理） ∴∠EGF 为二面角B —AC —E 的平面角。
在Rt △EFG 中 6arctan ,6tan =∠∴==∠EGF GFEF EGF （注：此题答案还可写成42arcsin 7或者是写成7arccos 7）2、（本小题满分12分）如图，ABCD 为直角梯形， 90=∠=∠ABC DAB ，1==BC AB ，2=AD ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA 。
⑴、求点P 到CD 的距离；⑵、求证：平面⊥PAC 平面PCD ；⑶、求平面PAB 与平面PCD所成二面角的大小。
⑴解：取AD 的中点F ，连结CF 。
易证四边形ABCF 是正方形，∴1==AB CF 又∵2=AD∴112CF AD ==，∴CF AF FD == ∴ 90=∠ACD即CD AC ⊥∵⊥PA 平面ABCD ∴CD PC ⊥∴P 到CD 的距离为PC ， 3=PC⑵证明：∵CD AC ⊥，A B C D PGH FCD PC ⊥且C PC AC =⋂，∴⊥CD 平面PAC又∵CD ⊂平面PCD∴平面⊥PAC 平面PCD⑶解：延长DC 交AB 的延长线于G ，连结PG 。
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（精品）三垂线法求二面角专题
1、（本小题满分13分）如图，已知DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，
在△ABE 中，AE=1，BE=3。
（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；
解：（Ⅰ）DA ⊥平面ABE ， ∴DA ⊥BE
△ABE 中，AE=1 BE=3 AB=2 ∴BE ⊥EA
BE ADE BE BCE ⊥⎫∴⇒⎬⊂⎭平面平面平面ADE ⊥平面BCE （注：此题也可证明BCE AE ⊥面，ADE AE ⊂面，从而平面ADE ⊥平面BCE ） （Ⅱ）过点E 作EF ⊥AB 与F
∵DA ⊥平面ABE ∴平面ABCD ⊥平面ABE
∴EF ⊥平面ABCD 过F 作FG ⊥AC 与G ，连EG ，则EG ⊥AC （三垂线定理） ∴∠EGF 为二面角B —AC —E 的平面角。
在Rt △EFG 中 6arctan ,6tan =∠∴==∠EGF GF
EF EGF （注：此题答案还可写成42arcsin 7或者是写成7arccos 7）
2、（本小题满分12分）如图，ABCD 为直角梯形，
90=∠=∠ABC DAB ，1==BC AB ，2=AD ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA 。
⑴、求点P 到CD 的距离；
⑵、求证：平面⊥PAC 平面PCD ；
⑶、求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。
⑴解：取AD 的中点F ，连结CF 。
易证四边形ABCF 是正方形，
∴1==AB CF 又∵2=AD
∴112
CF AD ==，∴CF AF FD == ∴ 90=∠ACD
即CD AC ⊥
∵⊥PA 平面ABCD ∴CD PC ⊥
∴P 到CD 的距离为PC ， 3=PC
⑵证明：∵CD AC ⊥，
A B C D P
G
H F
CD PC ⊥且C PC AC =⋂，
∴⊥CD 平面PAC
又∵CD ⊂平面PCD
∴平面⊥PAC 平面PCD
⑶解：延长DC 交AB 的延长线于G ，连结PG 。
∴平面⋂PAB 平面PG PCD =，
易证⊥DA 平面PAB
过A 作PG AH ⊥，垂足为H ，连结DH ，
得到AHD ∠为所求二面角的平面角 552=AH ，5tan ==∠AH
AD AHD ∴5arctan =∠AHD ∴平面PAB 与平面PCD 所成二面角为5arctan （注：此题答案还可写成30arcsin 6或者是写成6arccos 6
，并且也可用射影面积法求解） 3、（12分）如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面AB CD ，E 为PC 中点。
（1）求证：平面ED B ⊥平面P B C ；
（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。
【解析】（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。
∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ，
∴ DE 在平面AB CD 内的射影就是DC 。
在正方形AB CD 中，DC ⊥C B ，
∴ DE ⊥C B 。
又C BC PC =⋂，PC 、PBC BC 面⊂，
∴ DE ⊥PBC 面。
又⊂DE 面ED B ，
∴ 平面ED B ⊥平面P B C 。
（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。
所以，BEC ∠就是二面角C DE B --的平面角。
∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ，
又平面AB CD 内的直线C B ⊥ DC 。
∴ C B ⊥面PDC 。
又⊂PC 面PDC ，
∴ C B ⊥PC 。
在Rt ECB ∆中，
2tan ==∠CE BC BEC 。
4、（12分）一副三角板拼成一个四边形ABCD ，如图，然后将它沿BC 折成直二面角.
（1）求证：平面ABD ⊥平面ACD ；
（2）求二面角A —BD —C 的大小.
解析：（1）证明：取BC 中点E ，连结
AE ，∵AB =AC ，∴AE ⊥BC
∵平面ABC ⊥平面BCD ，
∴AE ⊥平面BCD ，
∵BC ⊥CD ，由三垂线定理知AB ⊥CD .
又∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面BCD ，
∵AB ⊂平面ABD .∴平面ABD ⊥平面ACD .
（2）解：∵AE ⊥面BCD ，过E 作EG ⊥BD 于
G ，连结AG ，由三垂线定理知AG ⊥BD ，
∴∠AGE 为二面角A —BD —C 的平面角 ∵∠EBG =30°，BE =22m ，∴EG =42
m
又AE =22
m ，∴tan AGE =GE AE =2，∴∠AGE =arctan2.
即二面角A —BD —C 的大小为arctan2.。