2015北大自主招生数学试题
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一.选择题
1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1,则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为( )
A .16900
B .17900
C .18900
D .前三个答案都不对
2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数,已知这50个数中任两个的和都不等于99,也不等于100.这50个数的和可能等于( )
A .3524
B .3624
C .3724
D .前三个答案都不对
3.已知x ∈[0,2
π],对任意实数a ,函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a ),则当a 取遍所有实数时,g(a )的最大值为( )
A .1
B .2
C .3
D .前三个答案都不对
4.已知2010−202是2n 的整数倍,则正整数n 的最大值为( )
A .21
B .22
C .23
D .前三个答案都不对
5.在凸四边形ABCD 中,BC=4,∠ADC=60∘,∠BAD=90∘,四边形ABCD 的面积等于
2AB CD BC AD ⋅+⋅,则CD 的长(精确到小数点后1位)为( )
A .6.9
B .7.1
C .7.3
D .前三个答案都不对
二.填空题
6.满足等式120151
11+)(1)2015
x x +=+(的整数x 的个数是_______. 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4],则2
2222()()()
ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________
8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________
9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222
2b a c ba
+-,且x+y+z=1,则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集,已知|i A |为奇数,1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数,1≤i ≠j ≤n ,则n 的最大值为____________
三.解答题
11.已知数列{n a }为正项等比数列,且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值
12.已知f (x)为二次函数,且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列,求证:f (a )=a
13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c , 求证:这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B
+ 14.从O 出发的两条射线12,l l ,已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点,且AOB S ∆=c(c 为定值),记AB 的中点为X , 求证:X 的轨迹为双曲线
15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足:1210...a a a +++=30,1210...a a a <21,求证:i a ∃,使得i a <1
##Answer##
1.1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z),同理1+2y =(y+z)(y+x),1+2
z =(z+x)(z+y)
(1+2x )(1+2y )(1+2z )=2
[()(y z)(z x)]x y +++,对照前三个答案,只有A 是一个完全平方数 检验,不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y =−3,z=8.选A
2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50,则必有2个数位于 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组,不合题意.所以这50个不同的正整数中必有50,而 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中,每组有且只有一个数被选中.因为50+49=99,所以(49,51)中选51;因为51+48=99,所以(48,52)中选52;以此类推,可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法.经检验,选50,51,52,⋯,98,99满足题意,此时50+51+⋯+98+99=3725。故选D .
3.令t=cosx ,令h(t)=2t −2a t+1,t ∈[0,1],g(a )=2(1)22,1()1,01(0)1,0h a a h a a a h a =-≥⎧⎪=-+<<⎨⎪=≤⎩
作图象知最大值为1,选A
4. 2010−202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432
555+++5+1),
432555+++5+1是奇数,5-1=4是22,55+1=54+1()+1被4除余数为2,同理105+1被4除余数也是2,于是n 的最大值为24,选D
5.设四边形ABCD 的面积为S ,直线AC,BD 的夹角为θ,则
7.设a r =(a ,d),b r =(b,c),二者夹角为θ,则所求为2||||a b a b ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭r r =2cos θ,如图