函数的讲义最大小值与导数
3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
函数的最大(小)值与导数(老师版)
1.3.3 函数的最大(小)值与导数[学习目标] 1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.知识点一 函数最值的概念如果在函数f (x )定义域I 内存在一点x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为函数的定义域上的最大值.如果在函数f (x )定义域I 内存在一点x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为函数在定义域上的最小值.思考 函数的极值与最值的区别是什么？答案 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.当连续函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x )有极大值(或极小值)，则可以判定f (x )在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a ，b )也可以是无穷区间. 知识点二 求函数的最值1.求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2.函数在开区间(a ，b )的最值在开区间(a ，b )内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f (x )在开区间I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f (x )在区间I 上的最大(小)值. 思考 (1)函数f (x )＝1x 在(1,2)上有最值吗？(2)函数f (x )＝ln x 在[1,2]上有最值吗？ 答案 (1)没有.(2)有最大值ln 2，最小值0.题型一 求函数的最值 例1 求下列各函数的最值： (1)f (x )＝－x 4＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]. 解 (1)f ′(x )＝－4x 3＋4x ，令f ′(x )＝－4x (x ＋1)(x －1)＝0， 得x ＝－1，x ＝0，x ＝1.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－3时，f (x )取最小值－60； 当x ＝－1或x ＝1时，f (x )取最大值4.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数.故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟 一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数f (x )不一定有最大值与最小值.跟踪训练1 设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值. 解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). 即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， 故a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，列表如下：∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞). ∵f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82， f (－2)＝－f (2)＝82，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值为－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值为18.题型二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值. 解 f ′(x )＝3x 2－2ax . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3. ①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a (a ≤2)，0 (a >2).反思与感悟 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解. 跟踪训练2 a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值. 解 f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a ).若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0.若a ＞0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a . ∵x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况.(1)若0＜a ＜1，即0＜a ＜1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)(2)若a ≥1，即a ≥1时，则当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0,1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0＜a ＜1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1. 题型三 函数最值问题的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值.(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 解 (1)对f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1). 令f ′(x )＝0，解得x ＝－23或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2].当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值. 要使f (x )＜c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2＞f (2)＝2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2. ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).反思与感悟 由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有很多，其中最常用的方法就是分离参数，将其转化为函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数来求解. 跟踪训练3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围； (2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围. 解 (1)∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2). ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )＞0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c ＞f (1)，∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，有f (x )＜c 2恒成立， ∴9＋8c ＜c 2，即c ＜－1或c ＞9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞). (2)由(1)知f (x )＜f (3)＝9＋8c ， ∴9＋8c ≤c 2，即c ≤－1或c ≥9， ∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误例4 求函数f (x )＝x 3－2x 2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值. 错解 由已知得f ′(x )＝3x 2－4x ， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝43.当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，43，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， ∴函数f (x )在x ＝0处取得最大值f (0)＝1， 在x ＝43处取得最小值f ⎝⎛⎭⎫43＝－527. 错因分析 求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误. 正解 由已知得f ′(x )＝3x 2－4x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝43.当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， ∴函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1， 在x ＝43处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫43＝－527. 又f (－1)＝－2，f (2)＝1，∴函数f (x )的最大值是1，最小值是－2.防范措施 若连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在[a ，b ]上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.1.函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能答案 A解析 据题f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0.2.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0，即3x 2－3＝0，解得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在x ＝－1处取得极大值，f (x )极大值＝3，在x ＝1处取得极小值，f (x )极小值＝－1.而端点处的函数值f (－3)＝－17，f (0)＝1，比较可得f (x )的最大值为3，最小值为－17. 3.函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4.函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. π2(0,e )C. π2[0,e ) D. π2(0,e ]答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ). ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2e .5.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2,2]上有最小值3，那么f (x )在[－2,2]上的最大值是__________. 答案 43解析 令f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.当x ∈(－2,0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，x ＝－2，0,2对应的f (x )的值分别为a －40，a ，a －8.因为a －40＜a －8＜a ，所以a －40为最小值，a 为最大值，则a －40＝3，a ＝43，故f (x )在[－2,2]上的最大值是43.1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：①对函数进行准确求导；②研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：①f (x )≥m 恒成立，只需f (x )min ≥m 成立即可，也可转化为h (x )＝f (x )－m ，这样就是求h (x )min ≥0的问题.②若对某区间D 上恒有f (x )≥g (x )成立，可转化为h (x )＝f (x )－g (x )，求h (x )min ≥0的问题.一、选择题1.函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值. 2.函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A.0B.1eC.4e 4D.2e2 答案 B解析 y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令y ′＝0，∴x ＝1，∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值，故选B.3.函数y ＝ln xx 的最大值为( )A.e －1 B.e C.e2 D.103答案 A解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0(x ＞0)， 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e 时，y ′＞0. y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以y max ＝1e.4.函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( ) A.π－1 B.π2－1 C.π D.π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.5.函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B.1 C.0 D.不存在答案 A解析 y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x ，由y ′＝0得x ＝12.在⎝⎛⎭⎫0，12上，y ′＞0，在⎝⎛⎭⎫12，1上，y ′＜0.∴当x ＝12时，y 取得极大值，极大值为2，又x ∈(0,1)， ∴y max ＝ 2.6.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A.－32B.12C.－12D.12或－32答案 C解析 y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，f (x )在x ＝－1处取得极大值，也是最大值f (－1)＝4，不合题意.当－1＜a ＜2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)，∴a ＝－12.二、填空题7.函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为__________. 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1). 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.8.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可. 9.函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________. 答案 π6＋ 3解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3.10.如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________.答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1.∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.三、解答题11.设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值.解 (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a 知， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间. (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增. 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)， 又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1).所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163.得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.12.已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数. (1)求f (x )的解析式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值.解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x ).即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x ＜－2或x ＞2时，g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数；当－2＜x ＜2时，g ′(x )＞0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数.由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只可能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 13.已知f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1].(1)若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围； (2)求f (x )在区间(0,1]上的最大值.解 (1)f ′(x )＝2a ＋2x 3，因为f (x )在(0,1]上是增函数，所以在(0,1]上，f ′(x )＞0，即a ＞－1x 3.因为g (x )＝－1x 3在(0,1]上是增函数，且g (x )的最大值为g (1)＝－1，所以a ＞－1.当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x 3在x ∈(0,1)上也有f ′(x )＞0，且只有当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以a ≥－1.(2)由(1)知当a ≥－1时，f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，所以当a ≥－1时，f (x )的最大值为f (1)＝2a －1.当a ＜－1时，令f ′(x )＝2a ＋2x3＝0，解得x ＝13－a .当0＜x ＜13－a 时，f ′(x )＞0，当13－a＜x ≤1时，f ′(x )＜0，所以当a ＜－1时，f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a ＝2a 3－a－(3－a )2＝－33a 2.故对x ∈(0,1]，当a ≥－1时，f (x )的最大值为2a －1；当a ＜－1时，f (x )的最大值为－33a 2.。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。
2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。
2. 求解函数最大值和最小值的方法。
3. 导数的定义和性质。
4. 运用导数求解函数的极值。
5. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。
2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。
5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。
7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。
9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。
10. 作业：布置作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。
4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
函数的最大(小)值与导数
新课引入
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
而在社会生活实践中，常常遇到如何能使用料
最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题通
常需要转化为求一个函数的最大值和最小值问题。
那么函数在什么条件下才有最大、最小值？它们 与函数极值又有怎样的关系呢？
观察认识： 观察下列函数y=f (x)在某段区间上 的图象，你能从图中找出它们的最大值， 最小值吗？
(1) y f ( x)
y
a x1 x 2 o x3
x4
x5
b
x
函数y=f (x)在区间[a,b]上 最大值是f (x3), 最小值是f (x4).
(2) y f ( x) , x a, b
没有最大值和最小值
(3) y f ( x) , x a, b
y
y f ( x)
1、求出所有导数值为0的点； 2、计算定义域内导数值为0的点处及区间端点处的函数值； 3、比较确定最值。
※动手试试
练习：
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
1、f ( x) x 27 x , x 4, 4
3
2、f ( x) 3x x , x 2,3
3
※典型例题
解：f ' x 12 3x 2 , x 3,3 令f ' x 0, 则 x 2或 x 2 又 f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f ( 3) 3 函数f ( x) 6 12 x x 3在 3， 3 上的 最大值为f (2) 22，最小值为f (2) 10.
《函数的最大(小)值与导数》教案
《函数的最大(小)值与导数》教案【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念：极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时：（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值． 二、新知探究：1．函数的最大值和最小值 观察右图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？图中极大值点是：g e c 、、， 极小值点是：f d b 、、．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(a f ，最小值是)(d f ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．三、讲解范例：例1、求函数1212)(3+-=x x x f 在[0, 3]上的最大值，最小值.变式练习：求函数263)(23-+-=x x x x f 在区间[-1,1]上的最值. （最大值:2，最小值:-12）例2、已知函数a x x x x f +++-=93)(23;(1)求f(x)的单调递减区间；（答案：),3(),1,(+∞--∞）(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（答案：-7）四、课堂小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．的变化情况如下：、上变化时，在当舍或得由解：)()(]3,0[)(220)()2)(2(3123)(''2'x f x f x x x x f x x x x f -===+-=-=12)(04-)(2有最大值时，当，有最小值时，所以，当x f x x f x ==五、当堂检测：1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［-1,1］上的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－1D ．12134．设y =|x |3,那么y 在区间［-3,-1］上的最小值是( ) A ．27B ．－3C ．－1D ．15．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［-1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >0,则( ) A ．a =2,b =29B ．a =2,b =3C ．a =3,b =2D ．a =－2,b =－3答案：1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 六、课后作业：习题1.3A 组第6题。
函数最大(小)值与导数教案
函数最大(小)值与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的极值概念，掌握函数的极大值和极小值的求法。
2. 引导学生理解导数与函数单调性的关系，能够运用导数判断函数的单调性。
3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容1. 函数的极值概念2. 函数的极大值和极小值的求法3. 导数与函数单调性的关系4. 运用导数解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的极值概念，函数的极大值和极小值的求法，导数与函数单调性的关系。
2. 教学难点：运用导数解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 教学手段：利用多媒体课件辅助教学，结合板书进行讲解。
五、教学安排1课时教案一、导入新课通过复习导数的基本概念，引导学生回顾导数的计算公式，为新课的学习做好铺垫。
二、讲解函数的极值概念1. 定义：如果函数在某一区间内的任意一点的导数都小于（或大于）0，在这个区间内函数是单调递减（或单调递增）的。
2. 极值：在函数的单调区间内，如果函数在某一点取得局部最大值或最小值，这一点称为函数的极大值点或极小值点。
三、讲解函数的极大值和极小值的求法1. 求极值的方法：求出函数的导数，令导数为0，解方程得到可能的极值点。
2. 判断极值点的性质：根据导数的符号变化来判断极值点的性质。
如果导数从正变负，函数在这一点取得极大值；如果导数从负变正，函数在这一点取得极小值。
四、讲解导数与函数单调性的关系1. 单调性判断：如果函数的导数大于0，函数是单调递增的；如果函数的导数小于0，函数是单调递减的。
2. 单调区间：函数的单调递增区间为导数大于0的区间，单调递减区间为导数小于0的区间。
五、运用导数解决实际问题1. 问题提出：如何求解函数在实际问题中的最大值和最小值？2. 方法指导：建立函数模型，求出函数的导数，分析导数的符号变化，找出函数的极值点，根据实际意义选取合适的极值点作为最大值或最小值。
导数的应用--函讲义数的最大值与最小值
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q．求产量
q为何值时，利润L最大？
8
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由 此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入 Rqpq251 8q25q1 8q2
利润
L R C 2 5 q 1 8 q 2 ( 1 0 0 4 q ) 1 8 q 2 2 1 q 1 0 0
(0q100)
L 1 q 21
令
L
，0 即
4
1 4
q
21
，0 求得唯一的极值点
q 84
答：产量为84时，利润L最大。
课堂练习
1．下列说法正确的是( D )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
⑶函数 f ( x)在闭区间 a,b上连续，是 f (x)在闭区 间 a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条
件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有 一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
2、设函数f (x)在[a,b]上连续， f (x)在(a,b)在内 可导，求f (x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
0两侧的导数异号是x
为极值点的充要条件。
0
新课讲授
1.函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间 a,b上的函数 f (x)
的 图 象 ． 图 中 f (x1与) f ( x 3是) 极 小 值 ， f ( x 2 )是 极 大
值．函数 f (x) 在 a,b上的最大值是 f (b) ，最小值
函数的最大(小)值与导数说课稿
《函数的最大（小）值与导数》说课稿一、说教材（一）地位与重要性函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目，可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一. （二）教学目标知识与能力目标：了解函数在某点取得极值,会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上函数的最大(小)值.，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。
情感目标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。
过程目标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。
(三)教学重难点重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值．难点：。
本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法二、说教法与学法【教法】本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．【学法】对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。
函数的最大(小)值与导数 课件
引申探究 若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立”改为 “若存在x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2成立”，结果如何？ 解 由典例解析知当 x＝1 时，f(1)＝c－32为极小值， 又 f(－1)＝12＋c>c－32，所以 f(1)＝c－32为最小值. 因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2成立，
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求实数c的取值范围. 解 由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]， 当 x＝－23时，f －23＝2227＋c 为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值. 要使f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2>f(2)＝2＋c， 解得c<－1或c>2. 故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
所以只需 c2>f(1)＝c－32，即 2c2－2c＋3>0， 解得c∈R.故实数c的取值范围为R.
函数的最大(小)值与导数
知识点 用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与 f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其 定义域内的最大值和最小值.
类型一 由极值与最值关系求在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值
范围是
133函数的最大小值与导数概述
课堂小结
一、用导数求函数最值的步骤：
1、确定函数的单调性，求出极值； 2、将极值与端点处的函数值进行比较确 定函数的最值。
12
1、已知函数 （f x）? 2x3 ? 6x ? a 在 [ ? 2，2] 上 有最小值-37，则f(x) 在区间 [ ? 2，2]上的最大值
是_-_2_9___;
2、 函数f (x) ? sin 2x ? x在[ ? ? , ? ]上的最大值是 ____;
（2）求 f (x)在区间 (0,1]上的最大值。
解：(1) f
/ (x)
?
2a ?
2 x3
,?
f (x)在x ? (0,1]上是增函数
? f / (x) ? 0在(0,1]上恒成立， 即a ? ? 1 在(0，1]上恒成立
x3
设g ( x)
?
?
1 x3
,由g ( x)在(0,1]上单调递增，
? [ g(x)]max ? g(1) ? ? 1,? a ? ? 1
当a
?
? 1时，f
/ (x) ?
?2 ?
2 x3
在(0,1]上也有f
/ (x)
?
0,
综合上述知a ? ? 1.
14
4、已知
f (x) ?
2ax ?
1 x2
,x?
(0,1]
（1）若 f (x)在 (0,1] 上是增函数，求a的取值范围；
（2）求 f (x)在区间 (0,1]上的最大值。
解：(2)。 由(1)知a ? ?1时f (x)在(0,1]上是增函数，
bx
x4
a x1 x2o x3 (2)
x5 b x
4、函数的最值点在什么位置上取得？ 5、函数的极值与函数的最值有什么联系？
函数的最大(小)值与导数(上课用)
[解析] 存在． 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)． (1)当a>0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如 下表：
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是 m,若M=m,则f (x) ( A )
A.等于0 B.大于0 C.小于0
D.以上都有可能
堂上练习
3.函数y 1 x4 1 x3 1 x2,在-1,1上最小值为 A
432
A.0 B. 2 C. 1
D. 13 12
4.函数y 2x x2 的最大值为( A ) x 1
A. 3
B.1 C. 1
D. 3
3
2
2
堂上练习
5. 函 数 y=2x3 － 3x2 － 12x+5 在 ［ 0 ， 3 ］ 上 的 最 小 值 是
______-_1_5___.
6.函数 f (x)=sin2x－x在［－
2
,
最小值为_____2__.
2 ］上的最大值为___2__；
7.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分
aa
成___2___和__2____.
课外练习：
例练习题12：：已知函数f (x) 2x3 6x2 a在2，2上有最小值 37 1求实数a的值； 2求f (x)在2，2上的最大值。
解:(1）f (x) 6x2 12x 令f (x) 0解得x 0或x 2
函数的最大(小)值与导数课件
隐喻
函数导数示例
最大(小)值 如同山峰(谷底)，在 自变量的范围内找到函数的最值。
导数函数的值代表函数在某一点 的变化率，可以用来找到函数的 极值。
最值的判定条件
1
极值的判定条件
函数取得极值时，必然满足一定的条件。
2
一阶导数判定法
一阶导数大于零，函数凹向上，有极小值；一阶导数小于零，函数凹向下，有极 大值；一阶导数等于零，有可能是极值也可能是拐点。
牛顿迭代法
采用泰勒级数来逐步逼近最优解的方法，由于牛顿迭代法的效果较稳定，被广泛应用于实际 问题中。
实例演示
案例1：$y=x^2 $
通过求导、构造函数的方法，解 出函数$y=x^2$的最大(小)值解。
案例2：$f(x,y)=x^2 +2 y^2 2xy-2 x$
通过梯度下降法求解函数的最小 值，找到函数$f(x,y)=x^2+2y^22xy-2x$的最小值。
3
二阶导数判定法
二阶导数大于零，函数在该点处取得的是极小值；二阶导数小于零，则函数在该 点处取得的是极大值；二阶导数等于零，则计算，选取一些特定的点，比较函数在这些点的值，找到最大(小)值。
梯度下降法
梯度下降法是求解多元函数最值的常用方法，将最值求解问题转化为优化问题，使用梯度方 向下降思想。
案例3 ： $f(x,y)=2x^3 +3 y^3 -1 8x27y-2 1 xy$
使用牛顿迭代法解决目标函数 $f(x,y)=2x^3+3y^3-18x-27y-21xy$ 的最值问题。
总结
1 函数最值求解的步骤
通过函数最值的判定条件，采用对应的求解方法找到函数的最大(小)值。
2 导数在函数最值求解中的应用
《函数的最大(小)值与导数》
求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
2020/3/23
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
表格法
2020/3/23
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
2020/3/23
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
2020/3/23
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16，则点P的坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( 3 , 3 )，
解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y，
-
0
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
2020/3/23
练习P106、P107 6
2020/3/23
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
函数的最大(小)值与导数(公开课)
3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为(A)
432
( A)0
(B)－2 (C)－1
13
( D)
12
4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（
C
)
(A) -4
(B) 0
(C) 16
(D) 20
能力提升
已知函数 f(x)2x36x2a在[-2,2]上有最小值-37，
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
温故而知新
问题二;求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分 成若干个开区间，并列成表格
（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个 根处取极值的情况
温故而知新
问题三：观察下列图形,找出函数的极值
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
函数y=f(x)的极小值：f(x1),f(x3),f(x5)
函数y=f(x)的极大值：f(x2),f(x4),f(x6)
1知识与技能：掌握利用导数求函数最值的方法。 2.过程与方法：正确理解利用导数研究函数的最值的 具体过程。 3.情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索的特 点，自己总结用导数研究函数最值方法和注意事项。
重点：利用导数求函数的最值。 难点：准确求函数的最值。
探究1 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
函数的最大（小）值与导数教案
教学反思：
对于这次公开课，我充分考虑学生的基础，对复习的内容，课题的引入，例题与练习，我都作了认真的选择。
在课堂上力争作到以学生为主体，教师为主导的授课模式，学生的课堂反应及掌握情况都达到了预期效果。
当然，这次公开课也存在许多不足，在听取了于老师、李老师和其他几位老师的点评后，收获很多：
1、引入课题时图象缺少端点大小的变化
2、例2用时过少，没有给学生充足的思考与整理时间；
3、求最值时，对x代导函数还是原函数强调不到位；
4、在例题或练习讲解完后应给学生消化知识和整理答案的时间；
5、在课后练习的设置上可适当增加含参和指数、对数题目，以提升学生解题能力
在以后的教学中，我要多汲取老教师的教学经验，多听课，多向其他老师学习。
在平时上课时也要多请有经验的老教多听自己的课，更好的改正自己上课中出现的不足，使自己的教育教学水平更上一个台阶。
函数的最大(小)值与导数
(3)极大（小）值不可以是区间端点，最大（小）值可以；
(4)极大（小）值反映函数局部性质，最大（小）值反映函 数整个定义域上的性质.
联系：最大（小）值可能是极大（小）值.
思考2.结合函数图像思考下列函数是否有最 大（小）值.
f x1 , f x3 , f x5
y
y=f(x)
y
o
x4 x3
y=f(x)
a o b
x
a
x1 x2
b x
指出上述两个函数取得最大（小）值的点.
最大值点：x=b; 最小值点：x=a
最大值点：x=x3; 最小值点：x=x4
最大（小）值点在端点或极值点取得
思考1.函数的极大（小）值是函数整个定义域内 的最大（小）值吗？根据上例说说极大（小）值 与最大（小）值的区别与联系。 函数的极大（小）值不一定是函数在整个 定义域内的最大（小）值
4 . 3
1 3 因此函数 f ( x ) x 4 x 4 在[0，3]上的最大 3
图像：
连续函数在闭区间[a,b]上求最值的步骤： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求导、求根、列表、结论
1．最大值与最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的 ________. 最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
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总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？
只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
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f(b)
a
x2
x1
0
x4 bx
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f(a)
f(x2)
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观察下列函数，作图观察函数最值情况：
（1）f（x）=|x| （-2<x≤1)
( 2f)( xx )1 ( 0 x1) -2
1
x
2
（3）f（x）= X （0≤x<2）
1
0 （x=2）
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02
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归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
4
A. 3
2
1
B. 2
C.
1 2
D.
3 2
或
1 2
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4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在区间[2，2]上有最小值-37，
（1）求实数a的值；
（2）求f(x)在区间[-2，2]上的最大 值.
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知识要点：
小结
.函数的最大与最小值
⑴设y = f(x)是定义在区间[a , b]上的函数,y = f(x) 在(a , b)内有导数,求函数y = f(x) 在区间[a , b] 上的最大最小值,可分两步进行:
4
新课引入
极值是一个局部概念，极值只是某个点
的函数值与它附近点的函数值比较是最
大或最小,并不意味着它在函数的整个
的定义域内最大或最小。
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，
常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大
等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数
的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们
①求y = f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将y = f(x)在各极值点的极值与f(a), f(b)比较， 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。
⑵若函数f(x)在区间[a , b]上单调递增(减),则f(a) 为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
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1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最值
法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1,2） 2 （2,5） 5
y，
-0+
y3
2
11
◆函数的极大值与极小值统称为极值.
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3
三、用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左 右
的符号，并根据符号确定极大值与极 小口诀：左负值右.正为极小，左正右负为极大。
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精品
函数的最大小值与导数
复习:一、函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数
f(x)为减函数
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
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二、函数的极值定义
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例题讲解
例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间
[-1，4]内的最大值和最小值
解:f′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2
x -1 （-1,2） 2 （2，4） 4
f (x)
-
0
+
f (x) 8
-1
3
故函数f (x) 在区间[-1，4]内的最大
23.02.2021 值为8，最小值为-1
与函数极值关系如何？ 23.02.2021
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教学目的：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概 念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包 括端点）处的函数中的最大（或最小）值 必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值 的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最 小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数 的极大值和极小值的区别与联系．
故函数f(x) 在区间[1，5]内的最大值
为11，最小值为2 23.02.2021
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练习
2、 函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的
最大值为( C )
A.-4 B.0 C.16 D.20
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3.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2] 上的最大值为 15 ，则a等于（ ）
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
•如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
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知识回顾
1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
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2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
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一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的 最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或 极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a) f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小 的
一个最小值.
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练习
1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
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讲授新课
阅读课本判断下列命题的真假：
1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多
各有一个；
2、最大值一定是极大值；
3、最大值一定大于极小值；
f(x1)
y f(x3)