粗糙集理论及其应用综述

控制理论与应用

CONTROL THEORY & APPLICATIONS

1999年 第16卷 第2期 Vol.16　No.2 1999

粗糙集理论及其应用综述*

韩祯祥　张琦　文福拴

摘要：粗糙集理论是一种较新的软计算方法，可以有效地分析和处理不完备信息.该理论近年日益受到国际学术届的重视，已经在模式识别、机器学习、决策支持、过程控制、预测建模等许多科学与工程领域得到成功的应用.本文介绍了粗糙集理论的基本概念，对其在各领域的应用情况进行了综述.

关键词：粗糙集；不确定性；数据分析；软计算；粗糙控制

A Survey on Rough Set Theory and Its Application

Han Zhenxiang,　Zhang Qi　and　Wen Fushuan

(Department of Electrical Engineering,

Zhejiang University.Hangzhou,310 027,P.R.China)

Abstract: Rough set theory is a relatively new soft comput ingtool to deal with vagueness and uncertainty.It has received much attention of the researchers around the world.Rough set theory has been applied to many area s successfully including pattern recognition,machine learning,decision support, process control and predictive modeling.This paper introduces the basic concepts of rough set.A survey on its applicatoins is also given.

Key words: rough set; uncertainty; data analysis; soft computing; rough control

1　引言(Introduction)

粗糙集(Rougn Set,RS)理论是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律［1］.RS理论是由波兰学者Pawlak Z在1982年［2］提出的.1991年Pawlak Z出版了专著［3］，系统全面地阐述了RS理论，奠定了严密的数学基础.该书与1992年出版的RS理论应用专集［4］较好地总结了这一时期RS理论与实践的研究成果，促进了它的进一步发展，现已成为学习和应用RS理论的重要文献.从1992年至今，每年都召开以RS 为主题的国际会议，推动了RS理论的拓展和应用.国际上成立了粗糙集学术研究会，参加的成员来自波兰、美国、加拿大、日本、挪威、俄罗斯、乌克兰和印度等国家.目前RS理论已成为人工智能领域中一个较新的学术热点，引起了越来越多的科研人员的关注.

2　粗糙集理论的基本概念(Basic concepts of rough set theory)

2.1　知识与不可分辨关系(Knowledge and indiscern ibility relation)

在RS理论中，“知识”被认为一种将现实或抽象的对象进行分类的能力［3］.假定

我们具有关于论域的某种知识，并使用属性(attribute)及其值(value)来描述论域中的对象.例如：空间物体集合U具有“颜色”、“形状”这两种属性，“颜色”的属性值取为红、黄、绿，“形状”的属性值取为方、圆、三角形.从离散数学的观点看，“颜色”、“形状”构成了U上的一族等效关系(equivalent relation).U中的物体，按照“颜色”这一等效关系，可以划分为“红色的物体”、“黄色的物体”、“绿色的物

体”等集合；按照“形状”这一等效关系，可以划分为“方的物体”、“圆的物体”、“三角形的物体”等集合；按照“颜色+形状”这一合成等效关系，又可以划分为“红色的圆物体”、“黄色的方物体”、“绿色的三角形物体”…等集合.如果两个物体同属于“红色的圆物体”这一集合，它们之间是不可分辨关系(indiscernibility relation)，因为描述它们的属性都是“红”和“圆”.不可分辨关系的概念是RS理论的基石，它揭示出论域知识的颗粒状结构.

2.2　粗糙集合的下逼近、上逼近、边界区和粗糙隶属函数(Lower and upper approximation of rough set,boundary region and rough membership function)

给定一个有限的非空集合U称为论域，R为U上的一族等效关系.R将U划分为互不相交的基本等效类，二元对K=(U，R)构成一个近似空间(approximation space).设X为U 的一个子集，a为U中的一个对象，［a］R表示所有与a不可分辨的对象所组成的集合，即由a决定的等效类.当集合X能表示成基本等效类组成的并集时，则称集合X是可以精确定义的；否则，集合X只能通过逼近的方式来刻划.集合X关于R的下逼近(lower approximation)定义为：

R*(X)实际上是由那些根据已有知识判断肯定属于X的对象所组成的最大的集合，也称为X的正区(positive region)，记作POS(X).由根据已有知识判断肯定不属于X的对象组成的集合称为X的负区(negative region).记作NEG(X).

集合X关于R的上逼近(upper approximation)定义为

R*(X)是由所有与X相交非空的等效类［a］R的并集，是那些可能属于X的对象组成的最小集合.显然，R*(X)+NEG(X)=论域U.集合X的边界区(boundary region)定义为：

BN(X)为集合X的上逼近与下逼近之差.如果BN(X)是空集，则称X关于R是清晰的(crisp)；反之如果BN(X)不是空集，则称集合X为关于R的粗糙集(rough set).图1为粗糙集概念的示意图.下逼近、上逼近及边界区等概念刻划了一个不能精确定义的集合的逼近特性.逼近精度定义为