线性系统理论-郑大钟(第二版)概论
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线性系统理论-1a
线性系统理论第一章概论读书即未成名究竟人品高雅修德不期获报自然梦稳心安切实功夫须从难处做去真正学问都自苦中得来本课程的目的：•学习线性系统的描述方法及运动特性；•研究线性系统能控性和能观性；•研究线性系统标准形；•分析系统的稳定性；•研究与设计线性系统的反馈控制器；•了解线性系统理论研究的前沿教学要求及目的•掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。
•了解关于线性系统理论的当前科研前沿领域。
•灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计。
课程主要内容•线性系统的数学描述•线性系统运动分析•离散时间系统•线性系统稳定性分析•线性系统的能控性与能观测性•线性时变系统•极点配置•状态观测器与分离原理课程教材及主要参考书1）肖建，张友刚. 线性系统. 西南交通大学出版社，20112）郑大钟．线性系统理论（第2版）．清华大学出版社，20023）段广仁．线性系统理论．哈尔滨工业大学出版社，1996§1.1概论线性系统理论的研究对象系统是由相互关联和相互作用的若干部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。
动态系统（动力学系统），可用一组微分方程或差分方程描述。
线性系统：满足叠加原理的动态系统)()()(22112211u L c u L c u c u c L +=+⎩⎨⎧齐次性可加性•系统的研究方法——经验法——理论法：依据数学理论建模（对真实系统的抽象）建立数学描述分析设计•本课程的研究范围——对象：线性动态系统，数学模型已知——工具：数学•课程的主要任务•研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性与方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。
•系统分析——系统运动规律•综合问题——改变运动规律的可能性和方法历史回顾五十年代前，古典控制理论：频域法。
传递函数处理SISO系统。
五十年代中期，多变量控制理论兴起：原因：①计算机的出现②控制系统的要求，空间技术的发展状态空间方法五十年代末期，Kalman提出状态空间理论，用LQG技术设计，得出最优状态反馈定律。
线性系统理论(郑大钟第二版)第4章
第三章 线性系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 ( x n (t )
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
线性系统理论
n
de s t IA BK f* s s si (5-4) i 1
§3 状态重构问题
3—1状态观测器的基本思想：
1) 状态观测器的基本思想
状态重构的可能性
x 所谓状态重构(估计)问题,
~x
即能否用系统的可量测参量(输
x 出和输入)来重新构造一个状态 , 使之在一定的指标下和
系统的真实状态等价.当线性定常系统的状态完全能观测时,
xABKxBu
yCDKxDu K
(5-3)
A-BK
所谓极点配置法, 就是通过状态反馈阵的选取,使以上闭环系统 的极点, 即特征值恰好处于所希望的一组极点的位置上.
§2 SISO状态反馈系统的极点配置
该定理即: SISO系统可通过状态反馈任意配置极点 的充要条件为该受控系统是状态完全能控的.
注1
注2
当原 n维系统的 n个状态中有l个可直接量测或通过输出的线性变
换可得到, 则只需为剩下的nl 个状态设计 nl 维的状态观测器,
这样的状态观测器称为降阶观测器.
返回
§6 降维观测器的设计
6—1 分离出n-l个需要估计的状态变量设计观测器
x AxBv
y C x
CRln
若 ran(kC)l ,即有 l个状态可量测或通过线性变换得到. 则可
第五章 状态反馈和极点配置
第 15组 胡勇 富剑华 檀立欣 宁晨旭 李龙
秋记与你分享
静思笃行 持中秉正
第五章 状态反馈与状态观测器
主要内容：
§1
状态反馈与输出 反馈义
§2
SISO态反馈系统 的极点配置法
§3
状态重构问题
§4
状态观测器的极 点配置
§5
线性系统理论(绪论)
008
绪论
5、线性系统理论的研究对象
p研究对象为线性系统：
实际系统理想化模型， 可用线性微分方程或差分方程来描述。 p研究动态系统，动力学系统：
用一组微分方程或差分方程来描述，
对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。 数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。
009
绪论
例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量 u1和
u2以及任意两个有限常数 c1和 c2，必有： L ( c1u1 + c 2 u 2 ) = c1 L (u1 ) + c 2 L (u 2 )
数学处理上的简便性，可使用的数学工具： 数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数 实际系统——非线性的，有条件地线性化。
线性定常系统——方程中每个系数均为常数。
故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。
给定传递函数
闭环特性分析
与给定指标比较
004
绪论
1950年代 , 是控制理论的“混乱时期”。
1960年代 , 产生了“现代控制理论”（状态空间法）。 庞特里亚金极大值原理 贝尔曼 动态规划法 可控、可观性理论
卡尔曼
极点配置
观测器
内模原理 至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1895年，赫尔维茨稳定性分析——代数判据。
1945年， 波特频率法。 1948年，伊万思根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
003
补
补
补
绪论
2、古典控制理论的局限性
①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。 ②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性， 难以解决多输入多输出系统（耦合）。 ③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。
郑大钟 线性控制理论6.11
P P12 p T P 22 P12
其中，P∈R（n*n），p12∈R（n*m），P22∈R（m*m） 分别为如下矩阵黎卡提代数方程的解阵：
PA A P CQC - PBR
T T T -1
B P 0
T 1
P12 F A P12 C QH PBR P 22 F F P 22 - H QH - P12 BR
T
t
) dt
( x Q x u R u )dt
0
对标准形式无限时间时不变LQ调节问题，最优控制具有 形式
u (t ) R
1
B P x (t )
T
其中，n*n正定对称矩阵P为如下矩阵黎卡提方程的解阵 ： T 1 T P ( A I ) ( A I ) P Q PBR B P 0 导出指定指数衰减度的无限时间时不变LQ问题的最优控制为
T T T
B P12 0
T T
-1
B P12 0
则最优跟踪控制u*(.)为
u * t ） -K 1 x - K （
* * 2
z,
K1 R
*
1 1
B B
T
P, P12
K
* 2
R
T
最优性能值J*为：
J* x 0 Px z 0 P 22 z 0 2x
T T T 0
P12 z 0
-1
3、频率域条件的几何解释 结论：对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节 系统的频率域条件在几何上表示为，开环频率响应 g（ jw ） k * jwI - A ） b 在复平面上由 0 变化到 的曲 （ 线必不进入单位圆 -1， j 0） 内，且曲线 g 0 ( jw ) 和单位圆 -1， j 0） （ （ 只有有限个相切点（图）。
其中，P∈R（n*n），p12∈R（n*m），P22∈R（m*m） 分别为如下矩阵黎卡提代数方程的解阵：
PA A P CQC - PBR
T T T -1
B P 0
T 1
P12 F A P12 C QH PBR P 22 F F P 22 - H QH - P12 BR
T
t
) dt
( x Q x u R u )dt
0
对标准形式无限时间时不变LQ调节问题，最优控制具有 形式
u (t ) R
1
B P x (t )
T
其中，n*n正定对称矩阵P为如下矩阵黎卡提方程的解阵 ： T 1 T P ( A I ) ( A I ) P Q PBR B P 0 导出指定指数衰减度的无限时间时不变LQ问题的最优控制为
T T T
B P12 0
T T
-1
B P12 0
则最优跟踪控制u*(.)为
u * t ） -K 1 x - K （
* * 2
z,
K1 R
*
1 1
B B
T
P, P12
K
* 2
R
T
最优性能值J*为：
J* x 0 Px z 0 P 22 z 0 2x
T T T 0
P12 z 0
-1
3、频率域条件的几何解释 结论：对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节 系统的频率域条件在几何上表示为，开环频率响应 g（ jw ） k * jwI - A ） b 在复平面上由 0 变化到 的曲 （ 线必不进入单位圆 -1， j 0） 内，且曲线 g 0 ( jw ) 和单位圆 -1， j 0） （ （ 只有有限个相切点（图）。
线性系统理论绪论
随着控制理论被应用到更加复杂的系统和与其他学科 的互相渗透,产生了模糊控制,智能控制等理论. 主要研究如能源系统控制,交通运输系统控制,人口控制, 各种车间调动问题等.
方法有分散最优控制法,多级递阶控制法等. • 自动控制原理属于经典控制理论. • 现代线性系统理论属于现代控制理论.
• 控制理论目标
4、多变量频域方法
该方法是以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和计 算方法，以分析和综合线性时不变系统。
平行和独立地发展了两类分析综合方法：
1. 频率域方法：把经典频率响应方法推广到MIMO系统
2. 多项式矩阵方法：采用传递函数矩阵的矩阵分式描述系统。
1. 了解基本控制原理 2.以数学表达它们，使其最终能用以计算进入 系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。
• 经典控制理论的发展过程
1.早期主要设计原则 2.早期次要设计原则 3.分析方法
• 经典控制理论的局限性
1.仅适用线性定常系统 2.仅适用于单输入单输出系统 3.系统设计问题通常用尝试法进行,依赖于经 验.
–线性系统理论的其他分支，大都是在状态空间法的 影响和推动下形成和发展起来的.
2、线性系统的几何理论 把线性系统的研究转化为状态空间相应几何问题，进行描述、 分析和综合。 主要数学工具: 以几何形式表述的线性代数，基本思想是把能控性和能观测性等 系统结构特性表述为不同的状态子空间的几何属性。 几何理论的代表作:
线性系统理论
绪论
任课教师 孙洁
• 成绩评定: 平时成绩+期末考试成绩. • 学习目的: 了解掌握线性系统理论中的基本概念和基 本理论,能用所学知识分析与综合(设计)简单的线性 或非线性,连续或离散控制系统.
• 参考教材:
方法有分散最优控制法,多级递阶控制法等. • 自动控制原理属于经典控制理论. • 现代线性系统理论属于现代控制理论.
• 控制理论目标
4、多变量频域方法
该方法是以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和计 算方法，以分析和综合线性时不变系统。
平行和独立地发展了两类分析综合方法：
1. 频率域方法：把经典频率响应方法推广到MIMO系统
2. 多项式矩阵方法：采用传递函数矩阵的矩阵分式描述系统。
1. 了解基本控制原理 2.以数学表达它们，使其最终能用以计算进入 系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。
• 经典控制理论的发展过程
1.早期主要设计原则 2.早期次要设计原则 3.分析方法
• 经典控制理论的局限性
1.仅适用线性定常系统 2.仅适用于单输入单输出系统 3.系统设计问题通常用尝试法进行,依赖于经 验.
–线性系统理论的其他分支，大都是在状态空间法的 影响和推动下形成和发展起来的.
2、线性系统的几何理论 把线性系统的研究转化为状态空间相应几何问题，进行描述、 分析和综合。 主要数学工具: 以几何形式表述的线性代数，基本思想是把能控性和能观测性等 系统结构特性表述为不同的状态子空间的几何属性。 几何理论的代表作:
线性系统理论
绪论
任课教师 孙洁
• 成绩评定: 平时成绩+期末考试成绩. • 学习目的: 了解掌握线性系统理论中的基本概念和基 本理论,能用所学知识分析与综合(设计)简单的线性 或非线性,连续或离散控制系统.
• 参考教材:
线性多变量系统线性系统理论完整
x(t)
x2
(t)
x
n
(t
)
状态空间 状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同 于状态的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 , , xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t),u2 t , , u p (t)
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法
二是多项式矩阵方法
1/2,4/5
1.3 本书的论述范围
1：状态空间法 2：多项式矩阵法
2/2,5/5
第一部分: 线性系统时间域理论
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不
能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
L
iL Uc R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
线性系统理论课件1
单变量定常系统
x(t ) Ax(t ) bu(t ), x(t 0 ) x0 , y (t ) cx(t ), t 0.
常用三元组{A,b,c}表示.
上面定常系统的拉氏变换为:
X ( s) ( sI A) 1 x(0 ) ( sI A) 1 bU ( s),
集合的积: 设A1 ,A2 ,…,
有D中唯一一个元素d与之对应, 则称ƒ是集合
A1A2…An 到 集 合 D 的 一 个 映 射 ; d 称 为 (a1,a2,…,an)在映射ƒ之下的像, (a1,a2,…,an) 称
为d在映射ƒ之下的原像.
ƒ : A1A2…AnD
or
ƒ : (a1,a2,…,an) d
线性控制系统教程
张志方 孙常胜 编著 科学出版社
预备知识
-函数 把具有下列性质的量称为-函数，记为(t)
t 0,
t 0,
(1)
t dt 1.
-函数的导数
t
d t t t lim 0 dt
设u(t)为定义在实轴R上的连续函数，则
将f(t)的定义域扩充成在t=0的任一邻域内也有定义， 并把积分 F ( s) f t e st dt 0 称为L -变换
L [ (t )] L [
(k )
0
t e st dt 1
0
(t )]
( k ) t e st dt
t
f ( , x)d
t0
t
t0
f ( , x)d x0 (t 0 )
线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)
f
2
(
x,u,
e
线性系统理论第二版课程设计
线性系统理论第二版课程设计前言线性系统理论作为控制理论的重要基础学科，对于理解和应用控制理论具有不可替代的作用。
本文主要介绍了线性系统理论第二版的课程设计，包括设计背景、设计目标、设计内容、设计步骤以及相关注意事项等方面的内容。
希望能够对正在学习线性系统理论的同学们提供帮助。
设计背景线性系统理论是控制理论的重要基础学科，其研究的对象是线性系统，包括状态空间描述、传递函数描述、稳定性分析和控制器设计等方面的内容。
随着控制理论在现代工程中的广泛应用，线性系统理论也成为了控制工程专业的必修课程。
线性系统理论第二版是基于第一版的基础上进行更新和完善的版本。
新版本主要对一些重要概念和方法进行了详细阐述，增加了一些实例以及应用案例，力求让学生更加深入地理解线性系统理论的相关内容。
为了使学生有效地掌握线性系统理论的知识和技能，需要进行相关的课程设计。
本设计旨在帮助学生深入理解课程内容，掌握相关技能，并且为未来的研究和实践打下扎实的基础。
设计目标本课程设计的目标是通过实践教学的方式，帮助学生深入理解线性系统理论的相关知识和技能，并能够灵活应用到实际问题中。
具体的设计目标包括：1.熟练掌握线性系统的状态空间描述方式和传递函数描述方式，能够进行状态空间和传递函数之间的转化；2.掌握线性系统的稳定性分析方法，能够理解极点和极点分布的概念，并能够进行稳定性判断；3.学习控制器的设计方法，并能够灵活应用到实际问题中；4.通过案例分析的方式，将理论知识与工程实践相结合，提高学生的综合素质和创新能力。
设计内容本课程设计包括三部分内容：任务一、任务二和任务三。
其中，任务一和任务二为必修任务，任务三为选修任务，可以根据学生情况进行选择。
任务一：线性系统的状态空间描述与传递函数描述的转化任务一旨在帮助学生掌握线性系统的状态空间描述方式和传递函数描述方式，并能够进行状态空间和传递函数之间的转化。
具体的任务要求如下：1.给定一个线性系统，分别用状态空间描述方式和传递函数描述方式表示；2.对于给定的状态空间描述和传递函数描述，进行状态空间和传递函数之间的转化；3.对于转化后的状态空间描述和传递函数描述，进行参数调整，并比较两种描述方式的优缺点。
线性系统理论(郑大忠)第2章
基此，选取电容端电压uc和流经电感的电流iL作 为电路状态变量组。 显然，uc和iL必满足状态变量定义中所指出的线 性无关极大组属性。
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
2013/11/22
线性系统理论
18
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
2013/11/22
线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
2013/11/22
线性系统理论
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第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
2013/11/22
线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2
线性系统理论(郑大钟第二版)第3章
x (t ) = e At x (0) = diag (e λ1t , eλ2t ,L , e λnt ) x (0)
x (t ) = Px = [ν 1 ν 2 L ν n ]diag (e λ1t , e λ2t ,L , eλnt ) x (0) = [ν 1eλ1t ν 2 eλ2t L ν n eλn t ] x (0)
3. Φ (t1 ± t2 ) = Φ (t1 ) ⋅Φ (±t2 ) = Φ (±t2 ) ⋅Φ (t1 )
(Φ (t )) k = Φ (kt )
1 2 2 Ak k 1 2 2 Ak k t1 + L)( I + At2 + A t2 + L + t2 + L) Φ (t1 ) ⋅Φ (t2 ) = ( I + At1 + A t1 + L + k! k! 2 2 2 3 t2 2 1 2 1 2 t2 3 2 t1 3 t1 = I + A(t1 + t2 ) + A ( + t1t2 + ) + A ( + t1 t2 + t1t2 + ) + L 2! 2! 3! 2! 2! 3! 1 1 = I + A(t1 + t2 ) + A2 (t1 + t2 ) 2 + A3 (t1 + t2 )3 + L = Φ (t1 + t2 ) 2! 3!
= ( I + At + L +
Ak −1 k −1 t + L) A = Φ (t ) ⋅ A (k − 1)!
k
2. Φ (0) = I
将 t = 0代入 Φ (t ) = I + At + 1 A2t 2 + L + A t k + L 即可证。
x (t ) = Px = [ν 1 ν 2 L ν n ]diag (e λ1t , e λ2t ,L , eλnt ) x (0) = [ν 1eλ1t ν 2 eλ2t L ν n eλn t ] x (0)
3. Φ (t1 ± t2 ) = Φ (t1 ) ⋅Φ (±t2 ) = Φ (±t2 ) ⋅Φ (t1 )
(Φ (t )) k = Φ (kt )
1 2 2 Ak k 1 2 2 Ak k t1 + L)( I + At2 + A t2 + L + t2 + L) Φ (t1 ) ⋅Φ (t2 ) = ( I + At1 + A t1 + L + k! k! 2 2 2 3 t2 2 1 2 1 2 t2 3 2 t1 3 t1 = I + A(t1 + t2 ) + A ( + t1t2 + ) + A ( + t1 t2 + t1t2 + ) + L 2! 2! 3! 2! 2! 3! 1 1 = I + A(t1 + t2 ) + A2 (t1 + t2 ) 2 + A3 (t1 + t2 )3 + L = Φ (t1 + t2 ) 2! 3!
= ( I + At + L +
Ak −1 k −1 t + L) A = Φ (t ) ⋅ A (k − 1)!
k
2. Φ (0) = I
将 t = 0代入 Φ (t ) = I + At + 1 A2t 2 + L + A t k + L 即可证。
线性系统
L(c1u1 + c2 u 2 ) = c1 L(u1 ) + c2 L(u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：一是进行仿真的需要；二是预报或预测实际系统的某些状 系统模型的作用：一是进行仿真的需要； 态发展态势；三是对系统综合或设计控制器的需要。 态发展态势；三是对系统综合或设计控制器的需要。 ②模型类型的多样性：并不是所有系统都可以采用数学模型来表征，有的只能 模型类型的多样性：并不是所有系统都可以采用数学模型来表征， 采用语言、数据、图表或计算机程序来表述，有的只能用逻辑关系、 采用语言、数据、图表或计算机程序来表述，有的只能用逻辑关系、映射关系 或数学方程来表示。 或数学方程来表示。 ③数学模型的基本性：数学模型就是用数学语言（代数方程、微分、差分方程 数学模型的基本性：数学模型就是用数学语言（代数方程、微分、 等）描述的一类系统模型，并不能反映系统的实际结构。 描述的一类系统模型，并不能反映系统的实际结构。 ④建立数学模型的途径：一是机理（物理学定律等）建模途径；二是系统辨识 建立数学模型的途径：一是机理（物理学定律等）建模途径； （引入典型激励信号）的途径； 引入典型激励信号）的途径； ⑤系统建模的准则：必须在系统模型的简单性和分析结果的准确性之间作出适 系统建模的准则： 当的折衷。 当的折衷。
Ra
i f = const
e(t)
J, F
La
上式可表为形如
& X = AX + Bu Y = CX + Du
2/7,6/50
连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1 u2
x1 x2
y1 y2
输出部件
线性系统理论
自主控制系统的应用迅速增长
The use of autonomous systems is rapidly increasing
居家自动化
CD播放器控制
•激光头定位控制 •驱动器速度控制
过程控制
电力控制
制造自动化
汽车自动控制
自适应巡行控制
智能车辆高速公路系统
空中交通控制
未来空战系统
集成控制技术 资源共享 因特网 信息集成 信息技术 控制技术 网络控制技术
工厂自动化 计算机集成制造系统（CIMS） 计算机集成过程系统（CIPS）
三、现代控制理论发展的主要标志
卡尔曼：
状态空间法 卡尔曼： 能控性与能观性 庞特里雅金：极大值原理
学出版社, 2002 Kailath T. Linear Systems. Prentice-Hall, 1980
九、作业与成绩
通常，每两周布置一次作业
最终考试成绩占总成绩的70％ 平时成绩占总成绩的30％
现代控制理论诞生
目前状况
控制已经成为一个具有坚实理论基础和广泛
应用的领域. 几乎所有实用的控制器是由数字计算机实现 的.
教育: 自动控制课程象野火般迅速传播，已经 成为工程师教育的重要组成部分. 应用: 控制概念已经很好地应用于很多领域.
应用
Full automatic flight
including take off and landing is a development that naturally follows autopilots. Autonomous flight is a challenging problem because it requires automatic handling of a wide variety of tasks--hybrid control New York Times, 1947
线性系统理论郑大钟5稳定性课件
挑战
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
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线性系统
线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。
若表征系统的数学描述为L 系统模型
L (c1u1 c2u 2 ) c1L (u1) c2L (u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷
系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
所组成的一个列向量
x1 (t)
x(t)
x2 (t)
xn
(t
)
状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态 的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 ,, xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t), u2 t ,, u p (t)
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性
状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
动态系统的分类
从机制的角度 1.连续变量动态系统CVDS 从特性的角度 1.线性系统
2.离散事件动态系统DEDS
2.非线性系统
从作用时间 1.连续时间系统 连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 类型的角度 2.离散时间系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。
动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。
1.输入变量组
u
系统变量可区分为三类形式 2.内部状态变量组
3.输出变量组
y x
系统动态过程的数学描述 1.白箱描述:内部描述(状态方程和输出方程) 2.黑箱描述: 外部描述(输入, 输出变量组的关系)
能控或不能观测的部分。
内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。
状态和状态空间的定义
u1
yq
状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 u2 能完全表征其时间域行为的一个最小
x1, x2,, xn
y2
内部变量组
up
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1(t), x2 t,, xn (t)
主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 综合理论 发展过程: 经典线性系统理论→现代线性系统理论 主要学派: 状态空间法
几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法
二是多项式矩阵方法
第一部分: 线性系统时间域理论
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析 和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的两类数学描述
u1
y1
u2
x1, x2,, xn
y2
up
yqΒιβλιοθήκη (1) 系统的外部描述u1
y1
外部描述常被称作为输出—输入描述
u2
x1, x2 ,, xn
y2
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述: u p
yq
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
大系统理论 （广度） 智能控制理论 （深度）
线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以 线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制 系统。
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象
系统是系统控制理论的研究对象 系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体
线性系统理论
郑大钟 清华大学出版社
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论
第二部分 线性系统的复频率域理论
第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第一章 绪论
控制理论发展概况： 第一阶段 20世纪40—60年代 经典控制理论 第二阶段 20世纪60—70年代 现代控制理论 第三阶段 20世纪70—
g(s)
y(s) u(s)
sn
bn1sn1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不
线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是 物理系统。
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述
（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。