9.5 梁的位移与挠曲线近似微分方程

为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
yC
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql 4 ql 3 y C1 , C1 8EI 6 EI l yC 2 y B 2 B 2 2 ql 4 ql 3 l , 128EI 48 EI 2 ql 3 C2 48EI
积分常数利用梁的边界条件及连续光滑条件来求得。
边界条件：梁横截面的已知位移条件或约束条件。
连续光滑条件：在相邻梁段的交接处即分段处， 相连两截面应具有相同的转角与挠度。
确定积分常数举例：

边界条件：
连续条件：
x0: A 0 x0: y A 0
x1 0, y A 0 x2 0, yB 0
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大 转角和最大挠度，梁的EI已知。
解: 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
A
)
F B
X A 0, YA F (), m A Fl (
x
l
yB
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
y
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d2y EI 2 M ( x) F (l x) dx dy 1 积分一次 EI EI F (l x) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIy F (l x) 3 Cx D 6
x1 a, x 2 b c左 c右 yc左 yc右
确定积分常数举例：
边界条件：
x 0 : y A x l : yB
连续条件： x l / 2时 : 0 C 左 C右 0 y C左 y C右
x 0 : y A 0 qla x l : y B 2 EA
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, x 0,
代入求解
A 0 yA 0
1 2 1 3 C Fl , D Fl 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F (l x) Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIy F (l x) Fl x Fl 6 2 6 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , ymax y B 2 EI 3 EI
y B y BP Pl 3 ql 4 y Bq 3EI 8EI
B BP Bq
pl 2 ql 3 2 EI 6 EI
yC
例 已知：悬臂梁受力如 图示，q、l、EI均为已知。 求C截面的挠度yC和转角C
解: 1）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形
[ y]
刚度满足要求。
2.提高梁刚度的措施：
1）选择合理的截面形状增大截面惯性矩
2）改善结构形式，减小弯矩数值
3）采用超静定结构
小
结
基本要求： 掌握弯曲的概念和实例，梁的计算简图，掌握纯弯曲的正应力 公式，弯矩与挠曲线曲率间的关系，抗弯刚度，抗弯截面模量， 纯弯曲理论的推广，熟练掌握梁按正应力的强度计算。 掌握矩形截面梁的剪应力，工字形截面梁的剪应力，梁按剪应 力的强度校核，提高弯曲强度的措施。 掌握梁的变形和位移，挠度和转角，梁的挠曲线及其近似微分 方程，用积分法求梁的挠度转角，根据叠加法求梁的挠度转角， 梁的刚度校核，提高梁的刚度措施。 重点： 梁按正应力的强度计算，梁按剪应力的强度校核。 难点： 梁的刚度校核。
讨
论
积分法求变形有什么优缺点？
9.7 叠加法求梁的变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加法。 即叠加法是： 分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在 同一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。
直接查表： pl 3 Pl 2 y BP BP 3EI 2 EI ql 4 ql 3 y Bq Bq 8 EI 6 EI 由叠加法得：
略去高阶小量，得
d2y 2 dx 1
所以
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
由弯矩的正负号规定可得，当y坐标向下时，弯 矩的符号与挠曲线的二阶导数异号，所以挠曲线的 近似微分方程为：
d y M ( x) 2 EI z dx
EIZ——抗弯刚度 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
2
9.6 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
d y M ( x) EI z dx 2
2
d2y EI z 2 M ( x) dx
积分一次得转角方程为：
dy EI z EI z M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
EI z y M ( x)dxdx C x D
4）确定积分常数：
x 0, y0 yA 0
x L, yL yB 0
得：
D0
M0 2 M0L 所以 EIz θ x 2L 6 M0 3 M0L EIz y x x 6L 6
M0L C 6
5）求θ A，θ B。
M0L （ A 0 6 EI Z M0L B L （ 3EI Z
9.5 梁的位移与挠曲线近似微分方程
1.基本概念:
转角
挠度 挠曲线 1、弯曲变形的表示方法：
y
（1）挠度y：截面形心在y 方向的位移;
x
y
x
挠曲线方程：
y y( x )
（2）转角θ:某横截面绕 自己的中性轴转动的角度。 转角方程：
由于小变形，截面形心在x方向的 位移忽略不计挠度转角关系为：
dy tan dx
y (x)
表明：挠曲线上某点切线的斜率等于该点横截面的转角。
2.挠曲线的近似微分方程：

推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
由数学知识可知：
d2y 1 dx 2 dy 2 3 [1 ( ) ] dx
）
）
中点的挠度： M0 1 3 M0L 1 L EIz y ( ) ( L) ( L) 2 6 2 6 2
M 0 L2 L y( ) () 2 16 EIz
6）刚度校核：
y' 0(即θ 0处) L x 3
M0 2 M0L x 0 2L 6
y max
M0L
2
9 3EI Z
4 EI z
解： 1）外力分析：
M0 M0 RA (), R B ( ) L L
2）内力分析：(M方程) 3）挠曲线方程和转角方程：
d2 y M0 EIz 2 x L dx
M0 M(x) x 0 x L L
M0 2 EIz θ x C 2L M0 源自文库 EIz y x Cx D 6L
yC 1
3）将结果叠加
yB 2
yC 2
yC
y
i 1
2 i 1
2
Ci
41ql 4 384 EI
7 ql 3 48 EI
C

Ci
讨
论
叠加法求变形有什么优缺点？
9.8 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
1.刚度条件
y max [ y ],

max
[ ]
例、 已知EIZ，M0，L，求θ A，θ B，及中点的挠 ML2 度； 若 y ，试校核刚度。