函数的单调性(习题课)PPT优选课件
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《函数单调性习题》课件
解答题2
证明函数$f(x) = frac{1}{x}$在区间 $(0, +infty)$上是减函数。
THANKS
单调性的数学表达
设$f(x)$在区间$I$上可导，若$f'(x) > 0$（或$f'(x) < 0$），则函数$f(x)$在区 间$I$上单调递增（或递减）。
函数单调性的性质
1 2
3
函数的单调性与导数的关系
如果函数在某区间上单调递增（或递减），则其导数在此区 间上非负（或非正）。
单调性的传递性
若函数$f(x)$在区间$I$上单调递增，且$g(x)$在区间$J$上 单调递增，且$I subseteq J$，则复合函数$f(g(x))$在区间 $I$上也单调递增。
定义法是通过比较函数在某区间内的任意两点之间的函数值来判定函数的单调性，虽然较为繁琐，但 基础且常用。
复合函数单调性判断
需细心分析
复合函数的单调性判断需要仔细分析函数的内外层函数，根据内外层函数的增减性来判断复合函数的单调性。
03
函数单调性习题解析
单调性判断题解析
总结词
掌握判断函数单调性的基本方法
单调性与经济问题
总结词：经济问题
详细描述：在经济领域中，单调性也有着重要的应用。例如 ，股票价格的涨跌、供需关系的变化等，都可以通过单调性 来分析和预测。
单调性与物理问题
01
总结词：物理问题
02
详细描述：在物理学中，单调性 被广泛应用于各种现象的解释和 预测，如物体的运动轨迹、声音 的传播等。
05
单调性在图像上的识别
通过观察函数图像的走势，可以大致判断出函数的单调性。如果在某个区间内，图像始终上升或 始终下降，则说明函数在此区间上单调递增或递减。
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
函数的单调性优质课课件
利用定义判断函数单调性的例题
总结词
通过比较任意两点间函数值的大小来判断函数的单调性。
详细描述
选取定义域内任意两点$x_1$和$x_2$（假设$x_1 < x_2$），如果对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则函数在此区间内 单调递增（或递减）。例如，对于函数$f(x) = x^2$， 在区间$(-infty, 0)$上任取两点$x_1 < x_2$，有$f(x_1) = x_1^2 < x_2^2 = f(x_2)$，因此函数在区间$(-infty, 0)$上单调递增。
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过求导数判断函数的单调性，是解决此类问题的常用方法。
首先求出函数的导数，然后根据导数的正负判断函数的增 减性。例如，对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2$，求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x$，令$f'(x) > 0$，解得$x < 0$或$x > 2$，因此函数在区间$(-infty, 0)$和$(2, +infty)$上单调递 增，在区间$(0, 2)$上单调递减。
定义法
总结词
通过比较任意两点函数值判断函数单调性
详细描述
在区间内任取两点x1、x2，比较f(x1)与f(x2)的大小，若f(x1) < f(x2)，则函数 在此区间内单调递增；若f(x1) > f(x2)，则函数在此区间内单调递减。
图像法
总结词
通过观察函数图像判断函数单调 性
详细描述
通过观察函数图像的上升或下降 趋势，判断函数的增减性。如果 图像上升，则函数单调递增；如 果图像下降，则函数单调递减。
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
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03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数函数的单调性课件
2023函数函数的单调性课件pptcontents •引言•函数的单调性•判定函数单调性的方法•应用•习题与练习•总结目录01引言课程简介课程名称函数函数的单调性适用对象高中数学及大学数学初学者课程目标掌握函数单调性的概念、分类、判定方法及其应用帮助学生学习函数单调性的基本知识和判定方法，能够正确判断函数的单调性，并解决相关问题。
函数单调性是函数的重要性质之一，对于理解函数的变化规律、解决函数的相关问题具有重要意义，同时也是学习微积分、概率统计等学科的基础。
目的意义目的和意义1教学方法23通过讲解、演示和图示等方法，使学生理解函数单调性的概念和判定方法。
理论教学通过典型例题的分析和求解，使学生掌握函数单调性的应用和解题技巧。
案例教学教师与学生进行互动，及时了解学生的学习情况并调整教学策略。
互动教学02函数的单调性函数的定义定义域自变量的取值范围对应关系给定自变量x，可以确定唯一因变量y函数关系一种对应关系，即对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应。
函数的图形表示直角坐标系以x为横轴，y为纵轴，描绘函数图形函数图形展现函数与自变量之间的变化关系单调递增单调递减单调区间当自变量x增大时，函数值y反而减小单调递增或递减的区间03单调性的定义02 01当自变量x增大时，函数值y也增大03判定函数单调性的方法最基础的判定方法总结词定义法是通过在函数定义域内任意取两个自变量，比较其对应的函数值大小，进而判断函数的单调性。
一般情况下，需要证明函数在定义域内满足以下条件：若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$，此时函数为增函数；若$f(x_1)<f(x_2)$，则$x_1<x_2$，此时函数为减函数。
详细描述总结词适用于较复杂函数的判定方法详细描述导数法是通过求出函数的导数，然后根据导数值的正负情况来判断函数的单调性。
函数在某区间内导数值大于0时，函数在该区间内单调递增；导数值小于0时，函数在该区间内单调递减。
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
函数的单调性(习题课)课件
应用实例
1
例题分析
分析一些典型的应用实例，如何用单
求最值
2
调性解题。
通过函数的单调性，可以求函数的极
值和最值。
3
优化算法
讨论单调性在一些优化算法中的应用， 如二分查找法。
总结
单调性的重要性和应用 价值
总结单调性的重要性，对数学 和实际问题的研究有何帮助。
学习方法和技巧
分享一些学习函数单调性的方 法和技巧，如何更快地掌握这 个概念。
函数的单调性(习题课)ppt 课件
本次课程将教你们如何判断函数的单调性。单调性是数学中一个重要的概念， 它与函数的性质有关。学习这个概念将有助于我们更好地理解函数。
概述
单调性是指函数在定义域内自变量增大，函数值增大或减小的现象。函数的 单调性是函数的一种性质。掌握函数的单调性可以帮助我们更好地研究函数 的性质，对于解题和建模都有一定的帮助。
2
导数
通过函数的导数，可以更精确地判断函数的单调性。
3
高中数学常见函数的单调性
复习一些常见的函数的单调性。
求解单调区间
定义
若函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，则称I为f(x)的单调区间。
求解方法
讨论f(x)的导数正负号和零点，确定单调区间的端点。
例题答案解析
说明如何利用导数确定单调递增或单调递减的区间。
牢记注意事项
总结一些学习单调性时需要注 意的点，如何避免常见的错误。
单调递增函数
定义
如果x1 < x2，那么有f(x1) <= f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增函数。
判断方法
如果函数f(x)在定义域内单调递增，则它的导数f'(x)大于等于0。
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
相关主题
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的问题，只需严格 按照定义的步骤就 可以了。
(x1
x2)2 2
43x22
0
f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 , 即 f ( x 1 ) f ( x 2 )
2020/10/18
所以f(x)在(－∞,0)上是减函数 5
题型二：图象法对单调性的判断
例2：指出下列函 数的单调区间：
1yx21 2yx22x3
y f ( x ) g ( x )是 [0 ,1] 上的增函数，
当 x 0时， y min ＝ 2－ 1 当 x 1时， y max 2
2020/10/18
13
题型四：利用函数单调性解题
例3：已知：f(x)是定 解：依题f(意 x1， ) f(x21)
义在[－1,1]上的增函数，可 转 化 为 不 等 式 组
1、函数单调性的 定义是什么？
2、证明函数单调 性的步骤是什么？
证明函数单调性应该按 下列步骤进行： 第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论
2020/10/18
3
复习准备
1、函数单调性的 定义是什么？
2、证明函数单调 性的步骤是什么？
数值列表法（不常用）、 图象法、 定义法
2020/10/18
10
题型三：利用已知函数单调性进行判断
练习：求函数
f(x) x2x6
的单调区间。
答案： (－∞, －3]单减区间 [2,+∞)单增区间
2020/10/18
注意：求单调区间时，一定 要先看定义域。
11
题型四：函数单调性解题应用
例1：已知函数 y=x2－2ax＋a2－1在 (－∞,1)上是减函数， 求a的取值范围。
函数的单调性
2020/10/18
1
复习准备
1、函数单调性的 定义是什么？
对于给定区间D上的函 数f(x)，若对于D上的任意两 个值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是D上 的增（减）函数，区间D称为 f(x)的增（减）区间。
2020/10/18
2
复习准备
7
题型三：利用已知函数单调性判断
例3：判断函数
(x2)2 y x2 4x
在(1,+∞)上的单调性。
解 ：y
1 （x
4 2)2
4
,
而 当x 1时 ，u ( x 2)2 4 为正数且增函数，
4 （x＋2）2
4
递
减
，
故
原
函
数
在(1, ） 上 为 减 函 数 。
结论1：y＝f(x)(f(x) 恒不为0），与 y 1
的单调性相反。
f (x)
2020/10/18
8
题型三：利用已知函数单调性进行判断
例4：设f(x)在定义 域A上是减函数，试 判断y＝3－2f(x)在A
上的单调性，并说 明理由。
解：y=3－2f(x)在A上是增函数， 因为：
任取x1，x2∈A，且x1<x2, 由f(x)在A上为减函数，所以
结论2：
f(x1)>f(x2),故－2 f(x1)<－2f(x2) 所以3－2 f(x1)<3－2f(x2)即有
2020/10/18
6
题型二：图象法对单调性的判断
例2：指出下列函 数的单调区间：
1yx21 2yx22x3
如果函数的图象 比较好画，我们就 画图象观察——图 象法
2020/10/18
利用图象法求单调区间的时候， 应特别注意某些特殊点，尤其 是图象发生急转弯的地方。用 它们将定义域进行划分，再分 别考察。
y＝f(x)与y＝kf(x) y1<y2,由定义可知，y＝3－2f(x) 在A上为增函数。
当k>0时，单调性相同；
当k<0时，单调性相反。
2020/10/18
9
题型三：利用已知函数单调性进行判断
结论3：若f(x)与g(x)在 结论4：若f(x) 在R上是增函数，
R上是增函数，则
g(x)在R上是减函数，则
数，并证明你的结论； 如果x∈（0，＋∞）， 函数f(x)是增函数还是 减函数？
证明函数单调性
f(x 1)f(x 2) ( x 1 3 1 ) ( x 2 3 1 )
(x 2x 1)x (1 2x 1x 2x 2 2)
又 (x x2 2 x x1 1) (0x ,1x 2 2)24 3x 2 2
f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). 解不等式
解 ： f(x)yf(x)f(y) f(4)f(2)f(2)2 f(8)f(4)f(2)3
3、现在已经学过的 判断函数单调性有 些什么方法？
2020/10/18
4
题型一：用定义证明函数的单调性
例1、判断函数
解：f (x) x3 1在(，0)上
f(x)=－x3+1在(－∞,0) 是减函数，证明如下：
上是增函数还是减函 在 ( ， 0 ) 上x 1 任 ,x 2 ,且 x 1 取 x 2
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x11
求x的取值范围。
1 x2 11
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
x 1 x2 1
0 x2 0 x2 2
保证实施的是等价 转化
x 0或x 1
2020/10/18
1x 2 14
题型四：利用函数单调性解题
例4：已知f(x)在其定 义域R＋上为增函数，
12
题型四：利用函数单调性解题
例2：已知x∈[0,1],则 解：令 f ( x ) 2 x 2
函数
y2x21x
g
(
x
)
1 x则
的最大值为_______ f ( x )是 [ 0 ,1 ]上的增函数，
最小值为_________ g ( x )是 [ 0 ,1 ]上的减函数
利用函数的单调性
求函数的值域，这是 求函数值域和最值的 又一种方法。
f(x)+g(x)也是增函数。 f(x) －g(x)也是增函数
结论5：若f(x)(其中 f(x)>0)在某个区间上 为增函数，则
nf(x ),fn (x ) (n 1 )
也是增函数
ห้องสมุดไป่ตู้
结论6：复合函数f[g(x)]由 f(x)和g(x)的单调性共同决定。 它们之间有如下关系：
f(x)
g(x)
f[g(x)]
练习：如果 f(x)=x2－(a－1)x+5 在区间（0.5，1） 上是增函数，那么 f(2)的取值范围是什 么？
答案：[7,＋∞） 2020/10/18
解 ： yx2 2axa2 1 的减区间是 ， （ a],－ 显然，（ ， 1)－ （－ ，a], 即a1
解此类由二次函数单调性求 参数范围的题，最好将二次 函数的图象画出来，通过图 象进行分析，可以将抽象的 问题形象化。