信号与系统第四章课后习题答案

e U (t ) - e
1 e -2 s 1 - e -2 s U (t - 2) « = s +1 s +1 s +1
(5) sin(p t )U (t ) - sin[p (t - 1)]U (t - 1) sin(p t )U (t ) «
p s +p 2
2
e - sp sin[p (t - 1)]U (t - 1) « 2 s +p 2
A Bs+B 1 Bs+B + 1 2 2 = + 1 2 2 s ( s + 1) + 4 s ( s + 1) + 4 通分可得 [( s + 1)2 + 4] + B1s 2 + B2 s (1 + B1 ) s 2 + ( B2 + 2) s + 5 s+5 原式= = = 2 2 2 s[( s + 1) + 4] （ s s + 2s + 5) s ( s + 2 s + 5) 得： ì1 + B1 = 0 í î B2 + 2 = 1 Þ ì B1 = -1 í î B2 = -1
解：
1- e-4 s (4) 5s 2 s+5 (8) 2 s ( s + 2 s + 5)
s3 + s 2 + 1 (2) ( s + 1)( s + 2) 先用长除法把假分式化成多项式+真分式的形式： s-2 s + 3s + 2 s 3 + s 2 + 1
2
s 3 + 3s 2 + 2 s - 2s 2 - 2s + 1 - 2s 2 - 6s - 4 4s + 5 得： s3 + s 2 + 1 4s + 5 = s-2+ ( s + 1)( s + 2) ( s + 1)( s + 2) A B = s-2+ + ( s + 1) ( s + 2)
p e - sp p (1 - e- s ) sin(p t )U (t ) - sin[p (t - 1)]U (t - 1) « 2 = 2 s + p 2 s2 + p 2 s +p 2
(6) (1 - e - t )U (t ) U (t ) « 1 s e -tU (t ) « 1 s +1
(6)
s ( s + 2)( s + 4) A B = + ( s + 2) ( s + 4) s g( s + 2) = -1 ( s + 2)( s + 4) s =-2 s g( s + 4) =2 ( s + 2)( s + 4) s =-4
用部分分式展开法求A和B A= B= \
s -1 2 = + ( s + 2)( s + 4) ( s + 2) ( s + 4)
\ cos tU (t ) «
e -2 s s cos(t - 2)U (t - 2) « 2 s +1 s -3 2s e 1 se 3 cos(3t - 2)U (3t - 2) « g 3 = 2 3 ( s )2 + 1 s + 9 3
2s
(2) d (4t - 2)
d (t ) « 1 d (t - 2) « e -2 s
e - a e - t cos wtU (t ) «
源自文库
s +1 ( s + 1)2 + w 2
e - a ( s + 1) ( s + 1) 2 + w 2
(2) 2d (t ) - 3e -7tU (t ) 查表得：
d (t ) « 1
e - atU (t ) «
1 s+a
\根据拉氏变换的线性性质： 3 2d (t ) - 3e-7tU (t ) « 2 s+7
其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 f (t ) = F [ ] = (-e-2t + 2e -4t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
-1
(8)
s+5 s ( s 2 + 2 s + 5) s+5 A B1s + B2 = = + s[( s + 1)2 + 4] s ( s + 1)2 + 4 A= s+5 gs = 1 s[( s + 1) 2 + 4)] s =0
(3) (2 cos t + sin t )U (t ) 查表得： s s + w2 w sin wtU (t ) « 2 s + w2 \ 根据拉氏变换的线性性质： 2s 1 2s + 1 (2 cos t + sin t )U (t ) « 2 + 2 = 2 s +1 s +1 s +1 cos wtU (t ) «
s+5 1 s +1 = s ( s 2 + 2 s + 5) s ( s + 1) 2 + 4 s+a Q e - at cos wtU (t ) « (s + a)2 + w 2 s +1 \ F -1[ ] = e - t cos 2tU (t ) 2 ( s + 1) + 4 \ 最后： f (t ) = F -1[
用部分分式展开法求A和B A= B= 4s + 5 g( s + 1) =1 ( s + 1)( s + 2) s =-1 4s + 5 g( s + 2) =3 ( s + 1)( s + 2) s =-2
s3 + s 2 + 1 1 3 \ = s-2+ + ( s + 1)( s + 2) ( s + 1) ( s + 2) 其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 F [ ] = d '(t ) - 2d (t ) + (e- t + 3e-2t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
也可以用 MATLAB 编程对分式进行分解，调用语句 residue。 4.25 已知 LTI 系统微分方程为 y ''(t ) + 3 y '(t ) + 2 y (t ) = f '(t ) + 3 f (t ) 。求在下列两种 情况下系统的全响应。
2
(4) e -tU (t ) - e- (t -2)U (t - 2) 根据拉氏变换的时移特性：f (t - t0 )U (t - t0 ) « e - st0 F ( s ) \ e- tU (t ) « e
-t - ( t - 2)
1 s +1
e -2 s U (t - 2) « s +1
- ( t - 2)
4.6 求下列信号的单边拉氏变换
(1) cos(3t - 2)U (3t - 2) p (3) sin(2t - )U (t ) 4
解：
(2) d (4t - 2) (4)(t - 1)U (t )
(1) cos(3t - 2)U (3t - 2) 根据拉氏变换时移特性和时频展缩特性： f (t - t0 )U (t - t0 ) « e - st0 F ( s ) f (at ) « 1 s F( ) a a s s2 +1
(5) sin(p t )U (t ) - sin[p (t - 1)]U (t - 1)
(1) e- ( t + a ) cos wtU (t ) = e - a e - t cos wtU (t ) 查表得：e- at cos wtU (t ) « s+a (s + a)2 + w 2
\ e-t cos wtU (t ) «
A= B1 =
B2 =
1 d2 s+3 B2 = [ g( s + 1)3 ] =1 2 3 2 ds ( s + 2)( s + 1) s =-1 s+3 -1 2 -1 1 = + + + 3 3 2 ( s + 2)( s + 1) ( s + 2) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) 1 又 Q e - atU (t ) « s+a 根据时域微分特性 1 te - atU (t ) « ( s + a)2 2 t 2 e - atU (t ) « ( s + a )3 s+3 \ f (t ) = F -1[ ] = (-e -2t + t 2 e - t - te - t + e - t )U (t ) 3 ( s + 2)( s + 1) \
(10)
s+5 ] = (1 - e -t cos 2t )U (t ) 2 s ( s + 2 s + 5)
s+3 ( s + 2)( s + 1)3 B3 A B1 B2 = + + + 3 2 ( s + 2) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) s+3 g( s + 2) = -1 ( s + 2)( s + 1)3 s =-2 s+3 g( s + 1)3 =2 3 ( s + 2)( s + 1) s =-1 d s+3 [ g( s + 1)3 ] = -1 3 ds ( s + 2)( s + 1) s =-1
1 1 \ (1 - e - t )U (t ) « s s +1
(7) e -t [U (t ) - U (t - 2)] 1 e - tU (t ) « s +1 e -2 s e -2( s +1) e U (t - 2) = e ge U (t - 2) « e g = s +1 s +1 1 e -2( s +1) (1 - e-2( s +1) ) -t \ e [U (t ) - U (t - 2)] « = s +1 s +1 s +1
(4)(t - 1)U (t ) 1 tU (t ) « 2 s (t - 1)U (t ) «
U (t ) « 1 1 s2 s
1 s
4.10 求下列函数的拉氏逆变换
s3 + s 2 + 1 (2) ( s + 1)( s + 2) s (6) ( s + 2)( s + 4) s+3 (10) ( s + 2)( s + 1)3
-1
其中： 根据拉氏变换的时域微分性质 f (1) (t ) « sF ( s ) - f (0- ) \d '(t ) « s (默认f (0- ) = 0)
1- e -4 s (4) 5s 2 1 e -4 s = 2- 2 5s 5s 根据4.5(10)的结果： 1 tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e -4 s （t - 4） gU (t - 4) « 2 s -4 s 1 -1 1- e \ f (t ) = F [ ] = [tU (t ) （t - 4） gU (t - 4)] 5s 2 5
4.5 求下列信号的单边拉氏变换。
(1) e - (t + a ) cos wtU (t ) (3) (2 cos t + sin t )U (t ) (7) e -t [U (t ) - U (t - 2)] (9) 2d (t - t0 ) + 3d (t )
解：
(2) 2d (t ) - 3e -7 tU (t ) (4) e -tU (t ) - e - (t -2)U (t - 2) (6) (1 - e -t )U (t ) (8) U (t ) - 2U (t - 1) + U (t - 2) (10) (t - 1)U (t - 1)
-t -2 - ( t - 2) -2
(8) U (t ) - 2U (t - 1) + U (t - 2) 1 U (t ) « s 根据时移特性： e- s U (t - 1) « s e -2 s U (t - 2) « s 1 e - s e -2 s 1 \ U (t ) - 2U (t - 1) + U (t - 2) « - 2 + = (1 - 2e- s + e-2 s ) s s s s
(9) 2d (t - t0 ) + 3d (t ) 根据时移特性：
d (t - t0 ) « e - st0
\ 2d (t - t0 ) + 3d (t ) « 2e - st0 + 3
(10) (t - 1)U (t - 1) 根据复频域微分特性： (-t ) n f (t ) « F ( n ) ( s ) 1 1 -tU (t ) « ( ) ' = - 2 s s 1 \tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e- s (t - 1)U (t - 1) « 2 s
s s 1 -2 4 1 -2 d (4t - 2) « ge = e 4 4
p (3) sin(2t - )U (t ) 4 p p = [sin 2t cos - cos 2t sin ] U (t ) 4 4 2 = (sin 2t - cos 2t )U (t ) 2 根据拉氏变换的线性性质 2 sin 2tU (t ) « 2 s +4 s cos 2tU (t ) « 2 s +4 2 2 2 s 2 2-s \ (sin 2t - cos 2t )U (t ) « ( 2 - 2 )= g 2 2 s +4 s +4 2 s2 + 4