大学物理实验 复摆实验讲义

复 摆

【实验目的】

(1)研究复摆的物理特性; (2)用复摆测定重力加速度;

(3)用作图法和最小二乘法研究问题及处理数据。

【仪器用具】

复摆,光电计时器,电子天平,米尺等。

【实验原理】

1.复摆的振动周期公式

在重力作用下,绕固定水平转轴在竖直平面内摆动的刚体称为复摆(即物理摆).设一复摆 (见图1-1)的质量为m ,其重心G 到转轴O 的距离为h ,g 为重力加速度,在它运动的某一时刻t,参照平面(由通过O 点的轴和重心G 所决定)与铅垂线的夹角为0,相对于O 轴的恢复力矩为

M=-mgh sin θ （1.1）

图 1-1复摆示意图

根据转动定理, 复摆(刚体)绕固定轴O 转动,有

M=I β (1.2)

其中M 为复摆所受外力矩，I 为其对O 轴的转动惯量，β为复摆绕O 轴转动的角加速度, 且

22dt

d θβ=

则有

M=I

2

2dt d θ

（1.3） 结合式(1.1)和式(1.3),有

I 22dt

d θ

+mgh sin θ=0 (1.4) 当摆角很小的时候, sin θ≈θ, ,式(1.4)化为

22dt d θ

+

θI

mgh =0 (1.5) 解得

θ=A cos(ωt+θ0) (1.6)

式中A ，θ由初条件决定;ω是复摆振动的角频率，ω＝I mgh /， 则复摆的摆动周期

T=2πmgh

I

（1.7）

2.复摆的转动惯量，回转半径和等值单摆长

由平行轴定理,I=I G +mh 2,式中I G 为复摆对通过重心G 并与摆轴平行的轴的转动惯量, (1.7)

式可写为 T=2πmgh

mh I G 2

+ （1.8）

可见, 复摆的振动周期随悬点O 与质量中心G 之间的距离h 而改变。还可将I =I G +mh 2改写

2

2G 2I mR mh mR =+= (1.9)

式中R G =

m I G 为复摆对G 轴的回转半径, 同样也有R=m

I

， R 称为复摆对悬点O 轴的回转半径。复摆周期公式也可表示为

T=2π

g

h h R G

+2 （1.10） 事实上, 总可以找到一个单摆,它的摆动周期等于给定的复摆的周期,令

L ＝h h

R G

+2 （1.11） 则 T= 2π

g

L

(1.12) 式中L 称为复摆的等值单摆长。这样, 就它的振动周期而论,一个复摆的质量可以被认为集中到一个点上, 这个点距悬点(支点)的距离为

L ＝h h

R G

+2 则这个点被称为复摆的振动中心。

3.复摆的共辄性

图1－2给出一个复摆的示意图,假如它的振动中心在C 点, 悬点(支点)在O 点。C 点和 O 点有下列特性:如果这个摆绕过C 点的一个新轴摆动,且该新轴平行于过O 点的轴,它的周期不变。而O 变成了新的振动中心,这个悬点O 和振动中心C 被称作互为共轭, 即这个复摆以O 为悬点和以C 为悬点时有相同的周期,分别用T 1和T 2表示,且T I =T 2， 还有1h OG =, CG =h 2 从公式 (1.10)得到

04222

2

=+−G R gh T h π

(1.13)

式（1.13）是h 的二次方程，有两个根h 1和h 2，它们之间有以下关系

h 1h 2=R 2G (1.14)

2122

4T g

h h π+=

(1.15)

图1-2 复摆共轭性示意图

很容易得到L=h l +h 2, 此结果表示式(1.13)的两个根h 1和h 2之和恰等于复摆的等值单摆长。(注意：这里一般h1≠h2)

4. 利用复摆测定重力加速度g

（1）公式（1.8）可以直接得到复摆振动周期T 与h (摆动轴到重心距离)的关系

mgT 2 h=4π2I G +4π 2mh 2

改变h ,有相应的T 。T 2h 与h 2成直线关系,由直线斜率可求出g 。 (2) 还可由公式(1.8)

12112mgh mh I T G

+=π T 2 =2

2

2

2mgh mh I G +π 将两式中I G 消去，则有

22

212

2

221124h h T h T h g −−=π

分项得到

)

(2)(24212

2212122

212h h T T h h T T g −−+++=

π （1.16）

利用式(1.16)可以较精确地测定g 。

在(1.16)中,令 A ＝)(2212221

h h T T ++ B ＝)

(2212

2

21h h T T −− 可以看到：A 项是能被精确测定的, B 项则不能被精确测定, 因为其中包含了对重心位置的测定。不过,当T1≈T2时，B 项的分子很小,而又可使分母|h l -h 2|比较大,这一不能被精确测定的B 项的数值很小,从而对g 的影响不大。我们也可将B 项看作是由于两悬点间距离OC 不等于等值单摆长L 而作的修正。

(3) 利用复摆周期与摆轴位置的关系图求g 。

图1-3给出一个质量分布均匀的复摆的周期T 与h 的关系图。 T-h 图是两条对称曲线, T 有极小值.由公式(1.10), 对h 求微商,有

图1-3质量分布均匀的复摆的周期T 与h 的关系图

1

22

21G R R dT

h dh gh g g gh π−

⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎜⎟⎝

⎠⎝⎠G ⎟ （1. 17）

由极值的位置可得

R G ＝ h

也是图中两条曲线的极小值之间的距离，且 h 1+h 2=EF=2R G 。

取一周期为T 值（H 点）处引一直线MN 平行于横轴，交两条对称曲线于A 、、、B C D 四点，把这四点分成A 、C 和D 、两组，在摆杆上每一组中两点都位于质心G （图2所示）的两旁，并与质心处在同一直线上，不难看出：点B A 和、和C B D 具有共轭性，

，1AH HD h ==2BH HC h ==，1AC BD h h 2==+＝L 0为复摆在相应周期下的等值摆长，即