立体几何中的结论

三角形的四心

三角形的四心是指三角形的

重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合。

一、三角形的重心

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的重心的性质

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平

二、三角形的外心

三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点(或三角

形外接圆的圆心) 。

三角形的外心的性质

1、三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

3.OA=OB=OC=R

三角形的内心

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

三角形的内心的性质

1.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .

（S 为三角形的面积，a ，b ，c 为边长）

2.r=2S/(a+b+c)

3.在Rt△ABC 中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

4.S=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径)

三角形的垂心 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H 表示)。

三角形的垂心的性质 垂心与顶点的连线与对边垂直.

注意：（1）正三角形的四心合一，当正三角形的边长为a 时，其一边上的高为

h=a 23

面积为243a S = 内切圆的半径为a r

63=

外接圆的半径为a R 33=

内切园与外接园的半径的比为1:2

（2

一、棱锥的内切、外接球问题

1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。 解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，

正四面体棱长为

a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．

高为

设内切球半径为

r ，外接球半径为R ．

在BEO

Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，

二、球与棱柱的组合体问题

1、正方体

的内切球：

球与正方体的每个面都相切，如图3切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，

2、与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆

O 为正方形EFGH 的外接圆，

3、正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，

图3 图4 图5

例：在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.

解：由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线a CD 3= 223234a

a S ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∴ππ球表面积 练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱恰好接触但又不至于变形时的球的体积。 （3283

a π）

线面间的位置关系证明方法总结：

（一）证明线线平行

1、 定义：两条直线在一个平面内且不相交。

2、 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行。：

3、 线面垂直→线线平行：若两条直线同垂直于一个平面，那这两条直线平行。

4、 线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。

5、 面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

6、 三角形的中位线平行底边，平行四边形的对边，内错角相等，同位角相等，同房内角互补等。

（二）证明线线垂直

1、 证明两条线所成角为90度，直角三角形的两直角边、等腰三角形底边上的中线等。

2、 证明线面垂直，则线线垂直

3、 菱形的对角线互相垂直

（三）证明线面平行：

1、定义：证明线面没有公共点。

2、判定定理：平面外的一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。

3、面面平行性质定理：两平面平行，则一个面内任意一条直线平行于另一个平面。

（四）证明线面垂直：

1、定义：证明一直线垂直面内任意一条直线，则该直线垂直于平面。

2、判定定理1：证明直线垂直于平面内两条相交直线。

3、判定定理2：平行线中的一条垂直一个平面，则另一条也垂直这个平面。

4、面面平行性质：两平行平面中的一个平面与一条直线垂直，则另一个平面也与这条直线垂直。

5、面面垂直性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面。

6、面面垂直性质定理：两相交平面同时垂直于第三个平面，则他们的交线也垂直于第三个平面。

（五）证明面面平行

1、线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2、线面垂直→面面平行：垂直于同一直线的两个平面平行。

3、平行于同一平面的两个平面互相平行

（六）证明面面垂直

1、一个平面内的一条直线垂直另一个平面

2、两个平行平面中有一个垂直第三个平面，则另一个也垂直第三个平面。