计算方法8.1-8.2

第八章 差分方程概论
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第八章 差分方程概论
§ 8.1 有限差分离散化 § 8.2 离散近似 § 8.3 初值问题差分格式的有效性
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大气运动方程组是一组非线性偏微分方程组，用 来描述系统的状态及其运动和变化规律，这类方程通 常无法求出解析解，常常借助计算机采用数值方法求 它们的近似解，在这一过程中，首先要将微分方程离 散化。数值计算方法中，离散化的方法一般有三种：
正六角形网格：密度最低，精度也较差，程序设计也复 杂，实际应用中也很少采用。
正方形（矩形）网格：精度较高，程序设计简单，是应 用最为广泛的网格。
202立
以x-y平面的二维矩形网格为例，具体说明网格的建立， 最简单常用的是“等步长”差分分割。取适当的间隔△x, △y 的平行直线群进行分割。
f (x0)h
(1)n
f (n)(x0) hn O(hn) n!
(3)
(2)式保留线性项，变形为
f (x0)
f (x0 h) h
f (x0)
O(h)
(3)式保留线性项，变形为
(4)
f(x)在x0处向前差商
f (x0)
f (x0) f (x0 h) h
O(h)
(2)式 (3)式，得到
(3)把偏微分方程问题变成相应的泛函数极小问 题求解的方法，如利兹法，有限元法。
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§ 8.1 有限差分离散化
8.1.1 差商的概念
设f(x)在x0的某领域内具有直到n+1阶的连续导数，由Taylor 公式，有
f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
f
(n) (x0 ) n!
y
k
前差
u(x, y) u(x, y) u(x h, y) O(h)
x
h
(9)
u(x, y) u(x, y) u(x, y k ) O(k )
后差
y
k
u(x, y) u(x h, y) u(x h, y) O(h2 )
x
2h
u(x, y) u(x, y k ) u(x, y) O(k 2 )
f (x0 h) O(h2)
(7)
f(x)在x0处二阶差商
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同理，若设二元函数u(x,y)在(x,y)的某领域内有连续的n+1阶 偏导数，则由二阶Taylor展开式，有
u(x, y) u(x h, y) u(x, y) O(h)
x
h
(8)
u(x, y) u(x, y k ) u(x, y) O(k )
xy
4hk
u(x h, y k) u(x h, y k) O(h2 k 2 ) 4hk
以上差商与网格系统密切相关，h和k分别为x和y方向的步长
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8.1.2 解域离散化和差分网格的建立
一、解域离散化
采用数值方法求解控制方程时，都是想办法将控制 方程在空间区域上进行离散，然后求解得到的离散方程 组。要想在空间域上离散控制方程，必须使用网格将计 算域进行有规则的分割，分割的交点称为网格点，网格 点间的距离称为格距。如果给定边界条件及初始时刻的 气象要素值，就可计算出在这些格点上以后时刻的气象 要素值。由于大气运动是近似水平的，以下将主要说明 在二维平面上的网络分割。
(1)用差商代替微商，使偏微分方程变成差分方 程，而差分方程是一个代数方程。这样，微分方 程组变成代数方程组，然后求解线性代数方程组， 得到微分方程的数值解。这种方法称为“差分 法”。应用最为广泛。
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(2)谱方法：利用一些基函数（如球谐函数）， 把解展开成其有限项的线性组合，可以在一定意 义下近似满足方程和定解条件，再利用基函数的 特性（如正交性等），使方程化为展开系数和其 对时间微商的常微分方程组，然后用差商代微商 求数值解。
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常见的有规则的网格分割主要有三种：正方形网格 或矩形网格，正三角形网格和正六角形网格。
正三角形网络
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正方网络
正六角形
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在相同的区域范围内和相等的格距条件下，取正方 形、正三角形和正六角形网格，所能得到的格点数目之 比依次近似为5:8:4。
正三角形网格：密度最高，具有较高精度，但是由于程 序设计比较复杂，在实际应用中较少使用。
用
x xi ix,i 0,1,2,
y
yj
jy,
j
0,1,2,
两族直线将x-y平面的第一象 限剖分成矩形网格（如图） 其中的(xi, yj)（简写为(i, j)） 称为网格点， △x, △y为x, y 方向的网格距（相当于前面 的h, k）
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﹡(i,j+1) (i-﹡1,j) ﹡(i,j)﹡(i+1,j)
y
2k
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(10)
中心差
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2u x2
u(x
h, y) 2u(x, y) u(x h2
h,
y)
O(h2)
关于x的二阶中心差商
2u y2
u(x, y
k)
2u ( x, k2
y) u(x,
y
k)
O(k 2)
关于y的二阶中心差商
2u u(x h, y k) u(x h, y k)
(x
x0 )n
O[( x x0 )n ]
（截断误差）
(1)
令h x x0，上式写为
注：h为一较小数
f (x0 h) f (x0)
f (x0)h
f (n)(x0) hn O(hn) n!
(2)
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令h x0 x，(1)式又可写为
f (x0 h)
f (x0)
(5)
f(x)在x0处向后差商
f (x0)
f (x0 h) f (x0 h) O(h2) 2h
(6)
f(x)在x0处中心差商
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(2)式 (3)式，得到
f (x0
h)
f (x0 h) 2 f (x0) 2
f (x0) h2 2!
O(h2)
f (x0)
f (x0 h) 2 f (x0) h2
﹡
(i,j-1)
函数u(x,y)在(i,j)处的值可表示为
uij u(xi, y j ) u(ix, jy)
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以上是空间网格的建立。
同理，对时间也可建立分割，取适当的分割间隔△t，称为时 间步长，其分割点记为
tn nt
(n 0,1, )
如此建立了时间的网格系统。
注： △x ,△y, △t不能随意取，要根据实际问题和差分方法内