3、随机数与随机变量 - 欢迎光临北航经管学院!

3、随机数与随机变量
3.1随机数的生成与检验
3.1.1 随机数与伪随机数 仿真中最基本的随机数：U(0 , 1)
⎩⎨⎧≤≤=其它，,
0101)(x x f +其它各种分布的随机数均可通过对U(0,1)随机数的变换得到。

++习惯上，称其它分布的随机数为随机变量。

随机数的产生方法
手工
机械及电子装置
数学方法
+由数学方法生成的随机数是按一定算法递推生成的，由于在已知初值的情况下，其每一个所生成的数均是可预知的，故被称为伪随机数。

今后在不引起混淆的情况下，也简称之为随机数。

++现代仿真中所用的随机数均为伪随机数。

3.1.2随机数发生器
所谓随机数发生器即为用数学方法产生随机数的递推公式。

优良随机数发生器的品性
总体均匀，样本随机，序列独立；
足够长的周期；
生成速度快，占用内存少，完全可重复。

1 早期随机数发生器
平方取中随机数发生器
n n n x u x x 10=⎢⎣⎡=x 0为2k 位非负整数。

缺点
最终退化
2 线性同余随机数发生器
应用最广泛的随机数发生器之一，简称
generator)
x u ax x n n n /(==m 为模数，初值x 0均为非负整数。

称数列x n 重复值之间的最短长度为记为T 。

若T =m c ≠0的LCG 为乘同余发生器。

混合同余发生器的“满周期定理”
若满足下列三个条件，则混合同余发生器可达到满周期：
（1）c与m互素（可同时整除c与m的整数只有1）；
（2）对任意素数q，若q能整除m，则q也能整除a-1；
（3）若4能整除m，则4也能整除a-1。

为延长随机数发生器的周期，通常取
m=2b，b为所用计算机的字长减1。

优点
随机数周期尽可能大；
便于参数选取（能整除m的素数只有2）；
可利用“整数溢出”简化计算。

参数选取的基本原则
m = 2b
a= 4α+1
c= 2β+1
还有其他一些需考虑的因素，如怎样消除相关性，这一般需要选取较大的a（a<m），且a在二进制表示中，0，1无明显规律性。

一种在32
x n= ( 314159269 u n= x n-1/ 231
乘同余随机数发生器无法达到满周期，但可达到最大周期。

另一种在
x n= 16807
u n= x
3.1.3随机数发生器的性能检验
检验所生成的随机数是否较好地服从U(0,1)分布，且随机数列是否独立。

1 参数检验
检验随机数的数字特征，如均值、方差，及其它各阶矩等
对于U(0 , 1)
E
(U
参数检验的目的，就是检验所生成随机数的总体均值和方差是否近似为
+所谓“近似”，即统计上所说的“无显著差异”。

参数检验原理
设u 1，u 2
，
…，u n 为所生成的随机数。

建立统计假设：H 0: u i 独立，且同服从U (0 , 1)分布。

假设检验
样本均值与样本方差分别为
∑=1u n u i 由统计假设可以得到
s E u E )()(2==
由中心极限定理−=−=221Var s Var u νν渐近服从标准正态分布
检验方法
给定显著性水平（近似程度）准正态表，得到
则拒绝假设H
+Z
的含义
1-α/2
举例
2 均匀性检验
检验随机数是否均匀地分布在[0，1]区间上。

χ2检验
检验经验频数与理论频数有没有显著差异。

建立统计假设：
H0: 随机数
[0 , 1]
若H 0为真，则有
∑==m i n 12
(χ将[0,1] 随机生成n 个随机数，设随机数的实际个数，区间的随机数的理论频数。

显然，若
χ2 检验的区间分组
样本量
<50
50
100
>100
χ2 检验的适用性
大样本（通常不小于50）
K-S检验（柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫）
检验经验分布函数与U(0,1)分布函数之间有没有显著差异。

建立统计假设：
H0:经验分布函数F n (x)与U(0,1)分布
函数F(x)之间无显著差异。

经验分布
⎪⎩⎪⎨⎧≥−=<≤<=+)()1()()1(11,,2,1/0)(n i i n u x n i u x u
n i u x x F " 理论分布
⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000
)(x x x x x F
若H 0为真，则有
D n ~D (n )
{u (i )}是对随机数序列{u i }从小到大重新排列后得到的新序列（相同的随机数只保留一个）。

where
}
,max{−+=n
n n D D D )}()({max )()(i i n i n u F u F D −=+)}()({max )1()(−−−=i n i i n u F u F D
检验步骤
举例
3 独立性检验
检验随机数序列的统计相关性是否显著。

通常检查随机数序列的连续上升或下降规律。

示例:
0.08 0.09 0.23 0.29 0.42 0.55 0.58 0.72 0.89 0.91
0.11 0.16 0.18 0.31 0.41 0.53 0.71 0.73 0.74 0.84
0.02 0.09 0.30 0.32 0.45 0.47 0.69 0.74 0.91 0.95
0.12 0.13 0.29 0.36 0.38 0.54 0.68 0.86 0.88 0.91
（重新打乱顺序）
0.41 0.68 0.89 0.84 0.74 0.91 0.55 0.71 0.36 0.30
0.09 0.72 0.86 0.08 0.54 0.02 0.11 0.29 0.16 0.18
0.88 0.91 0.95 0.69 0.09 0.38 0.23 0.32 0.91 0.53
0.31 0.42 0.73 0.12 0.74 0.45 0.13 0.47 0.58 0.29
游程检验
游程
}分成多个子序列，使将随机数序列{u
n
得每个子序列中的值都是上升的，称每个子序列为一个（上升）游程。

示例
0.41, 0.68, 0.33, 0.35, 0.71, 0.74, 0.61, 0.55, 0.62, 0.36可分为5个游程，其长度分别为2，4，1，2，1。

检验方法
记长度为目分别为g 1、样本量n >4000=21n χ渐进服从χ2
其中
,,,,,(54321b b b b b b ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1809790444.4529][ij a
连贯性检验
升、降连
连续上升（升连）或下降（降连）的子序列。

示例
0.41, 0.68, 0.89, 0.74, 0.55, 0.36, 0.54, 0.72, 0.75, 0.08含4个升降连（+ + ---+ + + -），其长度分别为2，3，3，1。

连贯性检验原理
若u 1，U (0, 1)分布，则有
设T 为随机数序列所含的连的总数。

)(=T E 且统计量
Z 渐近服从N
检验方法
给定显著性水平到Z 1-α/2 ，若满足
则拒绝假设H 0建立统计假设：
H 0: u i 独立，且同服从
举例
扑克检验
检验顺序出现在几个随机数的第一个数字或同一个随机数前几个数字中重复数字的频率。

原理
假如u i 独立，且同服从U (0 , 1)分布，则有
设u i =0. a 1a 2a 3，
A k : a j 中有且仅有k 位数字相同。

01
.010/10)(27
.010/910)(72
.010/8910)(33332322311====××===××==A P p C A P p A P p
设实际发生频率为=2χ故可利用计算三种事件发生的理论频数
渐进服从
举例
3.2随机变量的生成
仿真中要用到各种分布的随机变量，它们一般都是以U(0,1)随机数为基础，通过适当的变换生成。

3.2.1 逆变法
原理
若
数F(x)的反函数，则
生成随机数的方法
, （1）产生独立的U(0,1)随机数u
1 u2, …, u n；
=F-1(u i) (i=1, 2, …, n)，则（2）令x
i
x1, x2, …, x n即为给定分布
F(x)的随机数序列。

1 均匀分布U (a ,b )随机数的生成)()/()()(b x a a b a x x F ≤≤−−=⎩⎨⎧≤≤−=其它
0)/(1)(b
x a a b x f 于是有
a U a
b U F X +−==−)()(1。