湖南张家界2019中考试卷-数学

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2019年湖南省张家界市中考数学试题(原卷+解析)含答案

2019年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）2019的相反数是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣2．（3分）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元．A．6×1010B．0.6×1010C．6×109D．0.6×1093．（3分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a2+a3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a65．（3分）下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为76．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D 到AB的距离等于（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）因式分解：x2y﹣y＝．10．（3分）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是．11．（3分）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：该班学生平均每人捐书本．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y＝的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA＝60°，则k的值是．13．（3分）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多步．14．（3分）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．（5分）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．16．（5分）先化简，再求值：（﹣1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．18．（6分）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？19．（6分）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？20．（6分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）21．（7分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．22．（8分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（1）本次随机调查的学生人数是人；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．2019年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是﹣2019．故选：B．2．【解答】解：600亿＝6×1010．故选：A．3．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．故选：C．4．【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5；A错误；a2+a3＝a2+a3；B错误；（a+b）2＝a2+b2+2ab；C错误；（a3）2＝a3×2＝a6；D正确；故选：D．5．【解答】解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确．故选：D．6．【解答】解：解不等式2x﹣2≤0，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：B．7．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，DC＝AD，∴CD＝8×＝2，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2．故选：C．8．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．【解答】解：原式＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．10．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°，故答案为：48°11．【解答】解：该班学生平均每人捐书＝6（本），故答案为：6．12．【解答】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，∵∠COA＝60°∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°又∵菱形OABC的周长是8，∴OC＝OA＝AB＝BC＝2，在Rt△COD中，OD＝OC＝1，∴CD＝，∴C（1，），把C（1，）代入反比例函数y＝得：k＝1×＝，故答案为：．13．【解答】解：设长为x步，宽为（60﹣x）步，x（60﹣x）＝864，解得，x1＝36，x2＝24（舍去），∴当x＝36时，60﹣x＝24，∴长比宽多：36﹣24＝12（步），故答案为：12．14．【解答】解：连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．【解答】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019＝1+﹣1﹣2×﹣1＝﹣1；16．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝0时，原式＝﹣1．17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得，FG＝2．18．【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，50x＝9800，x＝196，∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，10y≤30，∴y≤3；购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；19．【解答】解：（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5；∵a3＝15，a4＝a3+d＝15+5＝20，a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案为：5；25．（2）∵a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……∴a n＝a1+（n﹣1）d故答案为：n﹣1．（3）根据题意得，等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：a n＝﹣5﹣2（n﹣1），则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，解之得：n＝2019∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．20．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400，∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．21．【解答】解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵OA＝OB，BE＝DE，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴．∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2×＝12，∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝12﹣＝12﹣4π．22．【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数＝15÷25%＝60人；故答案为：60；（2）60﹣15﹣18﹣9＝18（人），补全条形统计图如图1所示：（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360°×＝108°，故答案为：108；（4）画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝＝．23．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝AB sin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．。

2019年初中毕业升学考试(湖南张家界卷)数学【含答案及解析】

2019年初中毕业升学考试（湖南张家界卷）数学【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. ﹣2017的相反数是（）A．﹣2017_________B．2017_________ C． D．2. 正在修建的黔张常铁路，横跨渝、鄂、湘三省，起于重庆市黔江区黔江站，止于常德市武陵区常德站．铁路规划线路总长340公里，工程估算金额375000000000元．将数据37500000000用科学记数法表示为（）A．0.375×1011_________B．3.75×1011_________C．3.75×1010_________D．375×1083. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A．30°_________B．45°_________C．55°_________D．60°4. 下列运算正确的有（）A． B． C． D．5. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．6_________B．12_________C．18_________D．246. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“美”字所在面相对的面上标的字是（）A．丽_________B．张_________C．家_________D．界7. 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（）A． B． C． D．8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与（m≠0）的图象可能是（）A．_________B．C．_________D．二、填空题9. 不等式组的解集是_________．10. 因式分【解析】=_________．11. 如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数是_________．12. 已知一元二次方程的两根是m，n，则=_________．13. 某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级甲班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表：那么这50名学生平均每人植树_________棵．14. 如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为_________．三、解答题15. 计算：．16. 先化简，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．17. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．18. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？19. 位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）20. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：_________，___________；（2）计算：；（3）计算：.21. 在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．22. 为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（洪家关），B（天门山），C（大峡谷），D（黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为_________；（2）在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为_________；（3）请将两个统计图补充完整；（4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为_________．23. 已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2019湖南张家界中考数学试卷及答案解析

2019年湖南张家界中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．1．（2019湖南张家界T1）2019的相反数是（）A. 2019 B ．2019-C ．20191D ．20191-答案：B解析：本题考查了相反数的概念，2019的相反数是-2019，因此本题选B ．2．（2019湖南张家界T2）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元.A ．6×1010B ．0.6×1010C ．6×109D ．0.6×109答案：A解析：本题考查了科学记数法，600亿=60000000000=6×1010，因此本题选A ．3．（2019湖南张家界T3）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D答案：C解析：本题考查了三视图的主视图知识，选项A 中的几何体的主视图是正方形，既是轴对称图形也是中心对称图形；选项B 中的几何体的主视图是矩形，既是轴对称图形也是中心对称图形；选项C 中的几何体的主视图是等腰三角形，是轴对称图形不是中心对称图形；选项D 中的几何体的主视图是圆，既是轴对称图形也是中心对称图形；因此本题选C ．4．（2019湖南张家界T4）下列运算正确的是（）A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 2+a 3＝a 5C ．(a +b )2＝a 2+b 2D ．(a 3)2＝a 6答案：D解析：本题考查了整式的运算，选项A 中，a 2•a 3＝a 5，错误；选项B 中，a 2+a 3不是同类项，不能合并，错误；选项C 中，(a +b )2＝a 2+2ab+b 2，错误；选项D 中，(a 3)2＝a 6，正确.因此本题选D ．5．（2019湖南张家界T5）下列说法正确的是（）A ．“打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件；B ．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨；C ．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定；D ．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7．答案：D解析：本题考查了随机事件、概率的意义、方差和众数.“打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，选项A 错误；“明天的降水概率为65%”意味明天下雨的可能性较大，并不表示明天一定下雨，选项B 错误；两组数据平均数相同，则方差小的更稳定，选项C 错误；数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7是正确的，因此本题选D ．6．（2019湖南张家界T6）不等式组⎩⎨⎧->≤-1022x x 的解集在数轴上表示为（）答案：B解析：本题考查了一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，先解这个不等式组的解集为-1＜x ≤1，只有选项B 符合条件，因此本题选B ．7．（2019湖南张家界T7）如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ,8=AC ,AD DC 31=,BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C 解析：本题考查了角平分线的性质，过点D 作DE ⊥AB 于E,∵8=AC ,AD DC 31=,∴CD=2,∵BD 平分ABC ∠，∴DC=DE=2,即点D 到AB 的距离等于2，因此本题选C ．8．（2019湖南张家界T8）在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形111C B OA ,依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方201920192019C B OA ,那么点 2019A 的坐标是（）A ．（22，22-）B ．（1，0）C ．（22-，22-） D ．（0，1-）答案：A解析：本题考查了旋转的坐标变化规律，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后点A 1坐标为（22，22），绕点O 顺时针旋转90°后点A 2坐标为（1，0），绕点O 顺时针旋转135°后点A 3坐标为（22，-22），绕点O 顺时针旋转180°后点A 2坐标为（0，-1），绕点O 顺时针旋转225°后点A 3坐标为（-22，-22），绕点O 顺时针旋转270°后点A 3坐标为（-1，0），绕点O 顺时针旋转315°后点A 3坐标为（-22，22），绕点O 顺时针旋转360°后点A 2坐标为（0，1），……，而2019÷8=252……3，所以点 2019A 的坐标是（22，-22），因此本题选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．9．（2019湖南张家界T9）因式分解:y y x -2＝答案：y(x+1)(x-1)解析：本题考查了因式分解，x 2y-y=y(x+1)(x-1)，因此本题填y(x+1)(x-1)．10．（2019湖南张家界T10）已知直线∥b ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A ，C 分别落在直线,b 上，若∠1＝18°，则∠2的度数是．a a答案：480解析：本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角线段知∠2=180+300=480，因此本题填480．11．（2019湖南张家界T11）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：该班学生平均每人捐书本．答案：6解析：本题考查了加权平均数，6407107453=⨯++⨯+⨯=Λx ，因此本题填6． 12．（2019湖南张家界T12）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在反比例函数y ＝x k 的图像上，已知菱形的周长是8，∠COA ＝60°，则k 的值是 .答案：3解析：本题考查了直角三角形性质、勾股定理和反比例函数系数k 的确定，由菱形的周长是8知边长为2，过点C 作CD ⊥OA 于D ，在Rt △OCD 中，由∠COA ＝60°，根据直角三角形的性质求得OD=1,CD=3，得到点C 坐标为（1，3），代入反比例函数表达式求得k=3，因此本题填3．13．（2019湖南张家界T13）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多步. 答案：12解析：本题以传统文化为背景考查了一元二次方程的应用，设矩形的长为x 步，则宽为（60-x ）步，根据题意得x(60-x)=864，解得x 1=24（舍去）,x 2=36,所以60-x=24步，所以36-24=12步，因此本题填12．14．（2019湖南张家界T14）如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan ∠APD= .答案：2解析：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和三角函数的概念等，由正方形ABCD 和点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，易证△ABE ≌△BCF,证得AE ⊥BF,延长BF 交AD 的延长线于点G,可证△BCF ≌△GDF,∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质AD=DP=21AG,∴∠APD=∠DAE=∠AEB ，∴tan ∠APD=tan ∠AEB=2.因此本题填2．三、解答题：本大题共小题，合计分．15．（2019湖南张家界T15）（本小题满分5分）计算：20190145cos 212)14.3(）（-+︒--+-π. 解析：本题考查了实数的运算，先进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和乘方运算，再进行二次根式和有理数加减运算．答案：解：原式=1+22212⨯---1=-1. 16．（2019湖南张家界T16）先化简，再求值：212)1232(2-+-÷---x x x x x ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．解析：本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则化简，再选取使分式运算有意义的x 的值代入求值．答案：解：212)1232(2-+-÷---x x x x x =11)1(2212-=--⋅--x x x x x ，当x=0时，原式=-1.（x 不能取1和2）17．（2019湖南张家界T17）如图，平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB至点E ，使BE=AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ．（1）求证：BF=CF;（2）若BC=6,DG=4,求FG 的长．解析：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．（1）由平行四边形的性质证△BEF ≌△CDF ，得证；（2）由平行线得到△ADG ∽△CFG ，根据相似三角形的性质得到成比例线段求解.答案：解：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AE ∥CD,AB=CD,∴∠EBF=∠DCF,∠BEF=∠CDF,∵AB=BE, ∴BE=CD,∴△BEF ≌△CDF,∴BF=CF ；（2）∵AD ∥BC,∴△ADG ∽△CFG,∴DG FG AD CF =,即463FG =,FG=2.18．（2019湖南张家界T18）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵.（1）购买两种树苗的总金额为9000元，求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案?解析：本题考查了一次方程组和一元一次不等式的应用．（1）设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵，根据题意列二元一次方程组求解；（2）设购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(10-a)棵，根据题意列一元一次不等式求解.答案：解：（1）设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵，根据题意得⎩⎨⎧=+-=90002030402y x x y ，解得⎩⎨⎧==240140y x .答购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵. （2）设购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(10-a)棵，根据题意得30x+20(10-x)≤230,解得x ≤3，所以可能有三种购买方案，即购买甲种树苗1棵，乙种树苗9棵或购买甲种树苗2棵，乙种树苗8棵或购买甲种树苗3棵，乙种树苗7棵.19．（2019湖南张家界T19）阅读下面的材料:按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为1a ,排在第二位的数称为第二项, 记为2a ,依次类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a .所以,数列的一般形式可以写成: 1a ,2a ,3a ,…, n a ,….一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示. 如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中11=a ，74=a ,公差为2=d .根据以上材料，解答下列问题:(1) 等差数列5，10，15，…的公差d 为，第5项是．(2) 如果一个数列1a ，2a ，3a ，…, n a …,是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到： d a a =-12,d a a =-23,d a a =-34,…,d a a n n =--1,….所以d a a +=12d a d d a d a a 2)(1123+=++=+=,d a d d a d a a 3)2(1134+=++=+=,……由此,请你填空完成等差数列的通项公式:+=1a a n ( )d .(3) 4041-是不是等差数列9,7,5---…的项?如果是,是第几项?解析：本题是一道阅读理解题，考查了学生的阅读理解能力．（1）阅读材料，理解等差数列和公差的概念，发现给出的等差数列的公差为5，第5项是25；（2）阅读给出的几个等式，发现数列中的数等于a 1加上公差乘以序号减1，所以a n =a 1+(n-1)d ；（3）找到公差d ，利用（2）的结论写出第n 个数，建立方程，若有解就是数列中的数，否则就不是.答案：解：（1）5,25；（2）n-1；（3）是.设是第n 个数，由（2）得-5-2（n-1）=-4041,解得n=2019,即第2019项是-4041.20．（2019湖南张家界T20）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山.在一次检修维护中，检修人员从索道上A 处开始，沿A —B —C 路线对索道进行检修维护.如图：已知500=AB 米，800=BC 米，AB 与水平线1AA 的夹角是︒30，BC 与水平线1BB 的夹角是︒60．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA 1是多少米？（结果精确到1米）解析：本题考查了解直角三角形的实际应用．过点B 作BD ⊥AA 1于D,BE ⊥CA 1于E,构造矩形，在Rt△ABD 和Rt △BCE 中分别求出BD,CE,最后利用线段和差求解.答案：解：过点B 作BD ⊥AA 1于D,BE ⊥CA 1于E,则四边形DBEA 1是矩形，∴BD=A 1E,在Rt △ABD 中，∵∠A=300,∴BD=21AB=250,在Rt △BCE 中，∵sin600=BCCE ,∴CE=800340023=⨯,∴CA 1=CE+A 1E=4003+250≈943(米）.21．（2019湖南张家界T21）如图，AB 为⊙O 的直径，且AB=34,点C 是AB 上的一动点(不与A,B 重合），过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ，点 E 是BD 的中点，连接EC.(1) 求证：EC 是⊙O 的切线；(2) 当∠D ＝30°时，求图中阴影部分面积.解析：本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、三角形和扇形面积的计算．（1）连接OC,BC,OE,由直径得到900的圆周角，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一般得到相等线段，进而证得△OBE ≌△OCE ，由切线的性质得到900角，证得∠OCE=900,得证；（2）先求四边形OBEC 的面积，把阴影部分面积转化为四边形与扇形面积的差来求.答案：解：（1）连接OC,BC,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=900,∵点 E 是BD 的中点，∴CE=BE,∵OB=OC,OE=OE,∴△OBE ≌△OCE,∵BD 是⊙O 的切线，∴∠OBE=∠OCE=900,∴EC 是⊙O 的切线；（2）∵∠D ＝30°,∠OBD=900,∴∠A=600,∴∠BOC=1200,∵AB=34,∴OB=23,BE=4,∴S 阴影=ππ438360)32(1203242122-=⨯⨯-⨯⨯⨯.22．（2019湖南张家界T22）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A:文明礼仪，B:生态环境，C:交通安全，D:卫生保洁”四个主题，为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图。

2019年湖南省张家界市中考数学试题

绝密★启用前湖南省张家界市2019年中考数学试题第I 卷（选择题)评卷人得分一、单选题1．-2019的相反数是（）A．2019B．-2019C．12019D．12019-【答案】A 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：2019的相反数是﹣2019．故选：B．【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.2．为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为()美元．A.10610⨯ B.100.610⨯ C.9610⨯ D.90.610⨯【答案】A 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】600亿=60000000000，所以600亿用科学记数法表示为6×1010，【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念结合各几何体的主视图逐一进行分析即可.【详解】A、主视图是正方形，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；B、主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；C、主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意；D、主视图是圆，圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了立体图形的主视图，轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．下列运算正确的是()A.236·a a a = B.235a a a +=C.222()a b a b +=+ D.()236a a =【答案】D 【解析】根据同底数幂乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则逐一进行计算即可.【详解】A、23235a a a a +⋅==，故A 选项错误；B、2a 与3a +不是同类项，不能合并，故B 选项错误；C、()222a b a b 2ab +=++，故C 选项错误；D、()23326a a a ⨯==，正确，故选D．【点睛】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.5．下列说法正确的是()A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7【答案】D 【解析】【分析】根据必然事件的意义、概率的意义、方差的意义、中位数和众数的概念逐一进行判断即可.【详解】A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A 选项错误；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B 选项错误；C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C 选项错误；D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确，故选D．【点睛】本题考查了概率、方差、众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识的概念、意义以6．不等式组2201x x -⎧⎨>-⎩的解集在数轴上表示为()A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，根据结果进行判断即可.【详解】解不等式2x 20- ，得：x 1 ，不等式x 1>-的解集是x 1>-，则不等式组的解集为1x 1-< ，在数轴上表示如图所示：，故选B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.7．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于()A.4B.3C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E，根据已知求出CD 的长，再根据角平分线的性质进【详解】如图，过点D 作DE AB ⊥于E，AC 8=，1DC AD 3=，1CD 8213∴=⨯=+，C 90∠︒=，BD 平分ABC ∠，DE CD 2∴==，即点D 到AB 的距离为2，故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是()A.,22⎛-⎝⎭ B.(1,0) C.,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.(0,1)-【答案】A 【解析】【分析】根据旋转的性质分别求出点A 1、A 2、A 3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.四边形OABC 是正方形，且OA 1=，()A 0,1∴，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，∴点A 1的横坐标为1sin 452⨯︒=，点A 1的纵坐标为1cos 452⨯︒=，1A ,22⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，继续旋转则()2A 1,0，3A 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，A 4(0，-1)，A 5,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，A 6(-1，0)，A 722,22⎛-⎝⎭，A 8(0，1)，A 922,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，......，发现是8次一循环，所以20198252÷= (3)∴点2019A 的坐标为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.第II 卷（非选择题)评卷人得分二、填空题9．因式分解：x 2y﹣y=_____．【答案】y（x+1）（x﹣1）．【解析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．【详解】解：原式=y（x 2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．10．已知直线a b ∥，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30BAC ︒∠=)，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118︒∠=，则2∠的度数是______．【答案】48︒【解析】【分析】根据平行线的性质结合三角板的角的度数即可求得答案.【详解】a b ，21CAB 183048∠∠∠︒︒︒∴=+=+=，故答案为：48︒.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.11．为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：捐书(本)345710人数5710117该班学生平均每人捐书______本．【答案】6【解析】【分析】【详解】该班学生平均每人捐书3547510711107640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(本)，故答案为：6．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在反比例函数ky x=的图象上，已知菱形的周长是8，60COA ︒∠=，则k 的值是______．【解析】【分析】过点C 作CD OA ⊥，垂足为D，先求出OCD 30∠︒=，OC 2=，继而求得点C的坐标，再把(C 代入反比例函数ky x=即可求得答案.【详解】过点C 作CD OA ⊥，垂足为D，COA 60∠︒=，OCD 906030∠︒︒︒∴=-=，又菱形OABC 的周长是8，OC OA AB BC 2∴====，在RtΔCOD 中，1OD OC 12==，CD ∴==，(C ∴，把(C 代入反比例函数ky x=得：k 1==，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.13．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．【答案】12【解析】【分析】设长为x 步，宽为(60-x)步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得.【详解】设长为x 步，宽为(60-x)步，x(60-x)=864，解得，x 1=36，x 2=24(舍去)，∴当x=36时，60-x=24，∴长比宽多：36-24=12(步)，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.14．如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan APD ∠=______．【答案】2【解析】【分析】连接AF，先证明RtΔABE≌RtΔBCF，可得BAE CBF ∠∠=，继而证明A、P、F、D 四点共圆，由圆周角定理可得AFD APD ∠∠=，进而根据正切的定义即可求得答案.【详解】连接AF，E，F 分别是正方形ABCD 边BC，CD 的中点，CF BE ∴=，AD2DF=，在ΔABE 和ΔBCF 中，AB BC ABE C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴RtΔABE≌RtΔBCF(SAS)，BAE CBF ∠∠∴=，又BAE BEA 90∠∠︒+=，CBF BEA 90∠∠︒∴+=，BPE APF 90∠∠︒∴==，ADF 90∠︒=，ADF APF 180∠∠︒∴+=，∴A、P、F、D 四点共圆，AFD APD ∠∠∴=，ADtan APD tan AFD 2DF∠∠∴===，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，正切等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.评卷人得分三、解答题15．计算：02019(3.14)1|2cos 45(1)π︒-+--+-．【答案】-1.【解析】【分析】按顺序先分别进行0次幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，乘方运算，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】()()020193.14π1|2cos451︒-+--+-=11212--⨯-=-1.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.16．先化简，再求值：22321122x x x x x --+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．【答案】11x -，-1.【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后选择使原式有意义的数值代入化简后的结果进行计算即可.【详解】原式()2x 12x 3x 2x 2x 2x 2---⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭=()2x 1x 2x 2x 1--⋅--1x 1=-，由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x≠2且x≠1，所以x=0，当x 0=时，原式1=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键.17．如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ．(1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)FG=2.【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD CD ，AD BC =，进而得ΔEBF ΔEAD ∽，根据相似三角形的性质即可求得答案；(2)由平行四边形的性质可得AD CD ，进而可得ΔFGC ΔDGA ∽，根据相似三角形的性质即可求得答案.【详解】(1)四边形ABCD 是平行四边形，AD CD ∴，AD BC =，ΔEBF ΔEAD ∴∽，∴BF BE AD EA=，∵BE=AB，AE=AB+BE，BF 1AD 2∴=，11BF AD BC 22∴==，BF CF ∴=；(2)四边形ABCD 是平行四边形，AD CD ∴，ΔFGC ΔDGA ∴∽，FG FC DG AD ∴=，即FG 142=，解得，FG 2=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.18．某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？【答案】(1)购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；(2)见解析.【解析】【分析】(1)设购买甲种树苗x 棵，购买乙种树苗(2x-40)棵，根据购买两种树苗的总金额为9000元列方程进行求解即可；(2)设购买甲树苗y 棵，乙树苗(10-y)棵，根据总费用不超过230元列不等式进行求解即可.【详解】(1)设购买甲种树苗x 棵，购买乙种树苗(2x 40)-棵，由题意可得，30x+20(2x 40)=9000-，50x=9800，x=196，∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；(2)设购买甲树苗y 棵，乙树苗(10y)-棵，根据题意可得，()30y 2010y 230+- ，10y 30 ，y 3∴ ，∵y 为自然数，∴y=3、2、1、0，有四种购买方案，购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系、不等关系是解题的关键.19．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为1a ，排在第二位的数称为第二项，记为2a ，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a ．所以，数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中1a 1=，2a 3=，公差为3a 2=．根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5，10，15，…的公差d 为______，第5项是______．(2)如果一个数列1a ，2a ，3a ，…，n a …，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：21a a =d -，32a a d -=，43a a d -=，…，n n 1a a d --=，…．所以21a =a +d ，()3211a a d a d d a 2d =+=++=+，()4311a a d a 2d d a 3d =+=++=+，……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：n 1a =a +(______)d．(3)4041-是不是等差数列5-，7-，9-…的项？如果是，是第几项？【答案】(1)5；25；(2)1n -；(3)-4041是等差数列5-，7-，9-…的项，它是此数列的第2019项．【解析】【分析】(1)根据公差的定义进行求解可得答案，继而根据等差数列的定义即可求得第5项；(2)2a ，3a ，4a 与1a 和d 的关系即可求得答案；(3)根据题意先求出通项公式，继而可求得答案.【详解】(1)根据题意得，d=105=5-；3a 15=，43a =a +d=15+5=20，54a =a +d=20+5=25，故答案为：5；25．(2)21a a d=+()3211a a d a d d a 2d =+=++=+，()4311a a d a 2d d a 3d =+=++=+，……()n 1a a n 1d ∴=+-，故答案为：n 1-；(3)根据题意得，等差数列5-，7-，9-…的项的通项公式为：n a =52(n 1)---，则52(n 1)=4041----，解之得：n=2019，4041∴-是等差数列5-，7-，9-…的项，它是此数列的第2019项．【点睛】本题考查的是阅读理解题，涉及了规律型——数字的变化类、一元一次方程的应用等知识，弄清题意，根据题中的概念以及方法进行求解是关键.20．天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A 处开始，沿A ﹣B ﹣C 路线对索道进行检修维护．如图：已知500AB =米，800BC =米，AB 与水平线1AA 的夹角是30︒，BC 与水平线1BB 的夹角是60︒．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度1CA 是多少米？(结果精确到1米，1.732≈)【答案】检修人员上升的垂直高度1CA 为943米．【解析】【分析】如图，过点B 作1BH AA ⊥于点H，在RtΔABH 中先求出BH 的长，继而求出A 1B 1的长，一次方程的应用等知识，弄清是法运算，最后选择使原式有意义有在1RtΔBB C 中，根据三角函数求出B 1C 的长，即可求得结论.【详解】如图，过点B 作1BH AA ⊥于点H．在RtΔABH 中，AB 500=，BAH 30∠︒=，11BH AB 50025022∴==⨯=(米)，11A B BH 250∴==(米)，在1RtΔBB C 中，BC 800=，1CBB 60∠︒=，11B C sin CBB sin60BC 2∠︒∴===，1B C BC 80022∴==⨯=，∴检修人员上升的垂直高度1111CA CB A B 250943=+=≈(米)答：检修人员上升的垂直高度1CA 为943米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.21．如图，AB 为O 的直径，且AB =C 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．(1)求证：EC 是O 的切线；(2)当30D ︒∠=时，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为4π．【解析】【分析】(1)如图，连接BC，OC，OE，证明ΔOCE ΔOBE ≅，可得OCE OBE ∠∠=，进而根据BD 是O 的切线，得到ABD 90∠︒=，继而得到OCE ABD 90∠∠︒==，即可求得结论；(2)先求出四边形OBEC 的面积，继而根据阴影部分面积为OBEC BOC S S -四边形扇形进行求解即可得.【详解】(1)如图，连接BC，OC，OE，AB 为O 的直径，ACB 90∠︒∴=，在RtΔBDC 中，BE ED =，DE EC BE ∴==，OC OB =，OE OE =，()ΔOCE ΔOBE SSS ∴≅，OCE OBE ∠∠∴=，BD 是O 的切线，ABD 90∠︒∴=，OCE ABD 90∠∠︒∴==，OC 为半径，∴EC 是O 的切线；(2)OA OB =，BE DE =，AD OE ∴，D OEB ∠∠∴=，D 30∠︒=，OEB 30∠︒∴=，EOB 60∠︒=，BOC 120∠︒∴=，AB =OB ∴=BE 6∴==．∴四边形OBEC 的面积为ΔOBE 12S 262=⨯⨯⨯=，∴阴影部分面积为(2OBEC BOC 120πSS 4π360⋅⨯-=-=四边形扇形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.22．为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A ：文明礼仪，B ：生态环境，C ：交通安全，D ：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．(1)本次随机调查的学生人数是______人；(2)请你补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“B ”所在扇形的圆心角等于______度；(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．【答案】(1)60；(2)见解析；(3)108；(4)14．【解析】【分析】(1)用A 的人类除以A 所占的百分比即可求得答案；(2)求出c 的人数，补全统计图即可；(3)用360度乘以B 所占的比例即可得；(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可.【详解】(1)本次随机调查的学生人数1525%60=÷=人，故答案为：60；(2)6015189=18---(人)，补全条形统计图如图1所示：(3)在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角1836010860︒︒=⨯=，故答案为：108；(4)画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率41164==．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.23．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标；(4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．试卷第21页，总23页【答案】(1)抛物线的表达式为：243y xx =-+，顶点(2,1)D -；(2)证明见解析；(3)点33,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)存在，12AQ QC +的最小值为4．【解析】【分析】(1)设交点式()()y a x 1x 3=--，利用待定系数法进行求解即可；(2)先证明四边形ADBM 为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；(3)先求出直线BC 的解析式，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N，设点()2P x,x 4x 3-+，则点N (x,x+3)-，根据ΔPBC 1S PN OB 2=⨯可得关于x 的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；(4)存在，如图，过点C 作与y 轴夹角为30︒的直线CF 交x 轴于点F，过点A 作AH CF ⊥，垂足为H，交y 轴于点Q，此时1HQ CQ 2=，则1AQ QC 2+最小值=AQ+HQ=AH ，求出直线HC、AH 的解析式即可求得H 点坐标，进行求得AH 的长即可得答案.【详解】(1)函数的表达式为：()()()2y a x 1x 3a x 4x 3=--=-+，即：3a=3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：2y x 4x 3=-+，则顶点D(2,1)-；(2)OB OC 3==，OBC OCB 45∠∠︒∴==，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，试卷第22页，总23页∴AM MB ABsin45︒===，又∵D(2，-1)，=∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM 为菱形，又∵AMB 90∠︒=，∴菱形ADBM 为正方形；(3)设直线BC 的解析式为y=mx+n，将点B、C 的坐标代入得：303m n n +=⎧⎨=⎩，解得：13m n =-⎧⎨=⎩，所以直线BC 的表达式为：y=-x+3，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N，设点()2P x,x 4x 3-+，则点N (x,x+3)-，则()()22ΔPBC 133S PN OB x 3x 4x 3x 3x 222=⨯=-+-+-=--，302-<，故ΔPBC S 有最大值，此时3x 2=，故点33P ,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)存在，理由：如图，过点C 作与y 轴夹角为30︒的直线CF 交x 轴于点F，过点A 作AH CF ⊥，垂足为H，交y 轴于点Q，此时1HQ CQ 2=，则1AQ QC 2+最小值=AQ+HQ=AH ，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=FO CO ，利用待定系数法可求得直线HC 的表达式为：y 3=+…①，试卷第23页，总23页∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO •tan∠FAQ=3，∴Q(0, 3)，利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：y x 33=-+…②，联立①②并解得：1x 4-=，故点13333H ,44⎛-+ ⎝⎭，而点A(1,0)，则AH 4+=，即1AQ QC 2+的最小值为4．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键.。

人教版2019年湖南张家界中考数学试题(解析版)

{来源}2019年安徽省中考数学试卷{适用范围:3．九年级}{标题}2019年安徽省中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分． {题目}1．（2019湖南张家界T1）2019的相反数是（）A. 2019 B ．2019- C ．20191 D ．20191-{答案}B{解析}本题考查了相反数的概念，2019的相反数是-2019，因此本题选B ． {分值}3分{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．（2019湖南张家界T2）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元. A ．6×1010B ．0.6×1010C ．6×109D ．0.6×109{答案}A{解析}本题考查了科学记数法，600亿=60000000000=6×1010，因此本题选A ． {分值}3分{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}3．（2019湖南张家界T3）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D{答案}C{解析}本题考查了三视图的主视图知识，选项A中的几何体的主视图是正方形，既是轴对称图形也是中心对称图形；选项B中的几何体的主视图是矩形，既是轴对称图形也是中心对称图形；选项C中的几何体的主视图是等腰三角形，是轴对称图形不是中心对称图形；选项D中的几何体的主视图是圆，既是轴对称图形也是中心对称图形；因此本题选C．{分值}3分{章节:[1-29-2]三视图}{考点:中心对称图形}{考点:简单几何体的三视图}{考点:轴对称图形}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}4．（2019湖南张家界T4）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．(a+b)2＝a2+b2D．(a3)2＝a6{答案}D{解析}本题考查了整式的运算，选项A中，a2•a3＝a5，错误；选项B中，a2+a3不是同类项，不能合并，错误；选项C中，(a+b)2＝a2+2ab+b2，错误；选项D中，(a3)2＝a6，正确.因此本题选D．{分值}3分{章节:[1-14-2]乘法公式}{考点:整式加减}{考点:同底数幂的乘法}{考点:幂的乘方}{考点:完全平方公式}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019湖南张家界T5）下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨；C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定；D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7．{答案}D{解析}本题考查了随机事件、概率的意义、方差和众数.“打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，选项A错误；“明天的降水概率为65%”意味明天下雨的可能性较大，并不表示明天一定下雨，选项B错误；两组数据平均数相同，则方差小的更稳定，选项C错误；数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7是正确的，因此本题选D．{分值}3分{章节:[1-25-1-2]概率}{考点:中位数}{考点:众数}{考点:方差}{考点:事件的类型} {考点:概率的意义} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}6．（2019湖南张家界T6）不等式组⎩⎨⎧->≤-1022x x 的解集在数轴上表示为（）{答案}B{解析}本题考查了一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，先解这个不等式组的解集为-1＜x ≤1，只有选项B 符合条件，因此本题选B ． {分值}3分{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}7．（2019湖南张家界T7）如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ,8=AC ,AD DC 31=,BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1{答案}C{解析}本题考查了角平分线的性质，过点D 作DE ⊥AB 于E,∵8=AC ,AD DC 31=,∴CD=2,∵BD 平分ABC ∠，∴DC=DE=2,即点D 到AB 的距离等于2，因此本题选C ． {分值}3分{章节:[1-12-3]角的平分线的性质} {考点:角平分线的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019湖南张家界T8）在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形111C B OA ,依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方201920192019C B OA ,那么点 2019A 的坐标是（） A ．（22，22-） B ．（1，0） C ．（22-，22-） D ．（0，1-）{答案}A{解析}本题考查了旋转的坐标变化规律，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后点A 1坐标为（22，22），绕点O 顺时针旋转90°后点A 2坐标为（1，0），绕点O 顺时针旋转135°后点A 3坐标为（22，-22），绕点O 顺时针旋转180°后点A 2坐标为（0，-1），绕点O 顺时针旋转225°后点A 3坐标为（-22，-22），绕点O 顺时针旋转270°后点A 3坐标为（-1，0），绕点O 顺时针旋转315°后点A 3坐标为（-22，22），绕点O 顺时针旋转360°后点A 2坐标为（0，1），……，而2019÷8=252……3，所以点 2019A的坐标是（22，-22），因此本题选A ． {分值}3分{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:坐标系内的旋转} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分． {题目}9．（2019湖南张家界T9）因式分解:y y x 2＝ {答案}y(x+1)(x-1){解析}本题考查了因式分解，x 2y-y=y(x+1)(x-1)，因此本题填y(x+1)(x-1)． {分值}3分{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}10．（2019湖南张家界T10）已知直线∥b ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A ，C 分别落在直线,b 上，若∠1＝18°，则∠2的度数是．{答案}480{解析}本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角线段知aa∠2=180+300=480，因此本题填480． {分值}3分{章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:两直线平行内错角相等} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}11．（2019湖南张家界T11）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：该班学生平均每人捐书本．{答案}6{解析}本题考查了加权平均数，6407107453=⨯++⨯+⨯= x ，因此本题填6．{分值}3分{章节:[1-20-1-1]平均数} {考点:加权平均数（频数为权重）} {类别:常考题} {难度:2-简单}12. {题目}12．（2019湖南张家界T12）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在反比例函数y ＝xk 的图像上，已知菱形的周长是8，∠COA＝60°，则k 的值是 .{答案}3{解析}本题考查了直角三角形性质、勾股定理和反比例函数系数k的确定，由菱形的周长是8知边长为2，过点C作CD⊥OA于D，在Rt△OCD中，由∠COA＝60°，根据直角三角形的性质求得OD=1,CD=3，得到点C坐标为（1，3），代入反比例函数表达式求得k=3，因此本题填3．{分值}3分{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:勾股定理}{考点:含30度角的直角三角形}{考点:反比例函数的解析式}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}13．（2019湖南张家界T13）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多步.{答案}12{解析}本题以传统文化为背景考查了一元二次方程的应用，设矩形的长为x步，则宽为（60-x）步，根据题意得x(60-x)=864，解得x1=24（舍去）,x2=36,所以60-x=24步，所以36-24=12步，因此本题填12．{分值}3分{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{考点:一元二次方程的应用—面积问题}{类别:数学文化}{难度:3-中等难度}{题目}14．（2019湖南张家界T14）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD= .{答案}2{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和三角函数的概念等，由正方形ABCD和点E，F分别为BC，CD边的中点，易证△ABE≌△BCF,证得AE⊥BF,延长BF交AD的延长线于点G,可证△1AG,∴∠APD=∠BCF≌△GDF,∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质AD=DP=2DAE=∠AEB，∴tan∠APD=tan∠AEB=2.因此本题填2．{分值}3分{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}{考点:矩形的性质}{考点:正切} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题型:3-解答题}三、解答题：本大题共小题，合计分． {题目}15．（2019湖南张家界T15）（本小题满分5分）计算：20190145cos 212)14.3(）（-+︒--+-π.{解析}本题考查了实数的运算，先进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和乘方运算，再进行二次根式和有理数加减运算． {答案}解：原式=1+22212⨯---1=-1. {分值}5分{章节:[1-28-2-1]特殊角} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:绝对值的性质} {考点:乘方运算法则} {考点:零次幂}{考点:特殊角的三角函数值}{题目}16．（2019湖南张家界T16）先化简，再求值：212)1232(2-+-÷---x x x x x ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．{解析}本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则化简，再选取使分式运算有意义的x 的值代入求值．{答案}解：212)1232(2-+-÷---x x x x x =11)1(2212-=--⋅--x x x x x ，当x=0时，原式=-1.（x 不能取1和2）{分值}5分{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:分式的混合运算} {考点:代数式求值}{题目}17．（2019湖南张家界T17）如图，平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB至点E ，使BE=AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ．（1）求证：BF=CF;（2）若BC=6,DG=4,求FG 的长．{解析}本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．（1）由平行四边形的性质证△BEF ≌△CDF ，得证；（2）由平行线得到△ADG ∽△CFG ，根据相似三角形的性质得到成比例线段求解.{答案}解：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AE ∥CD,AB=CD,∴∠EBF=∠DCF,∠BEF=∠CDF,∵AB=BE, ∴BE=CD,∴△BEF ≌△CDF,∴BF=CF ；（2）∵AD ∥BC,∴△ADG ∽△CFG,∴DG FG AD CF =,即463FG=,FG=2. {分值}5分{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}{难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:全等三角形的性质} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:相似三角形的性质} {考点:由平行判定相似} {考点:平行四边形边的性质}{题目}18．（2019湖南张家界T18）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵.（1）购买两种树苗的总金额为9000元，求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案?{解析}本题考查了一次方程组和一元一次不等式的应用．（1）设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵，根据题意列二元一次方程组求解；（2）设购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(10-a)棵，根据题意列一元一次不等式求解.{答案}解：（1）设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵，根据题意得⎩⎨⎧=+-=90002030402y x x y ，解得⎩⎨⎧==240140y x .答购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵. （2）设购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(10-a)棵，根据题意得30x+20(10-x)≤230,解得x ≤3，所以可能有三种购买方案，即购买甲种树苗1棵，乙种树苗9棵或购买甲种树苗2棵，乙种树苗8棵或购买甲种树苗3棵，乙种树苗7棵.{分值}6分{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:一元一次不等式的应用} {考点:二元一次方程组的应用}{题目}19．（2019湖南张家界T19）阅读下面的材料:按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为1a ,排在第二位的数称为第二项, 记为2a ,依次类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a .所以,数列的一般形式可以写成: 1a ,2a ,3a ,…, n a ,….一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示. 如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中11=a ，74=a ,公差为2=d .根据以上材料，解答下列问题:(1) 等差数列5，10，15，…的公差d 为，第5项是．(2) 如果一个数列1a ，2a ，3a ，…, n a …,是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：d a a =-12,d a a =-23,d a a =-34,…,d a a n n =--1,…. 所以d a a +=12d a d d a d a a 2)(1123+=++=+=, d a d d a d a a 3)2(1134+=++=+=,……由此,请你填空完成等差数列的通项公式:+=1a a n ( )d . (3) 4041-是不是等差数列9,7,5---…的项?如果是,是第几项?{解析}本题是一道阅读理解题，考查了学生的阅读理解能力．（1）阅读材料，理解等差数列和公差的概念，发现给出的等差数列的公差为5，第5项是25；（2）阅读给出的几个等式，发现数列中的数等于a 1加上公差乘以序号减1，所以a n =a 1+(n-1)d ；（3）找到公差d ，利用（2）的结论写出第n 个数，建立方程，若有解就是数列中的数，否则就不是.{答案}解：（1）5,25；（2）n-1；（3）是.设是第n 个数，由（2）得-5-2（n-1）=-4041,解得n=2019,即第2019项是-4041. {分值}6分{章节:[1-3-1]从算式到方程} {难度:3-中等难度} {类别:新定义}{考点:规律－数字变化类}{题目}20．（2019湖南张家界T20）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山.在一次检修维护中，检修人员从索道上A 处开始，沿A —B —C 路线对索道进行检修维护.如图：已知500=AB 米，800=BC 米，AB 与水平线1AA 的夹角是︒30，BC 与水平线1BB 的夹角是︒60．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA 1是多少米？（结果精确到1米）{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．过点B 作BD ⊥AA 1于D,BE ⊥CA 1于E,构造矩形，在Rt △ABD 和Rt △BCE 中分别求出BD,CE,最后利用线段和差求解.{答案}解：过点B 作BD ⊥AA 1于D,BE ⊥CA 1于E,则四边形DBEA 1是矩形，∴BD=A 1E,在Rt △ABD 中，∵∠A=300,∴BD=21AB=250,在Rt △BCE 中，∵sin600=BCCE,∴CE=800340023=⨯,∴CA 1=CE+A 1E=4003+250≈943(米）.{分值}6分{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:解直角三角形的应用－仰角} {考点:特殊角的三角函数值}{题目}21．（2019湖南张家界T21）如图，AB 为⊙O 的直径，且AB=34,点C 是AB 上的一动点(不与A,B 重合），过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ，点 E 是BD 的中点，连接EC. (1) 求证：EC 是⊙O 的切线；(2) 当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积.{解析}本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、三角形和扇形面积的计算．（1）连接OC,BC,OE,由直径得到900的圆周角，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一般得到相等线段，进而证得△OBE ≌△OCE ，由切线的性质得到900角，证得∠OCE=900,得证；（2）先求四边形OBEC 的面积，把阴影部分面积转化为四边形与扇形面积的差来求.{答案}解：（1）连接OC,BC,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=900,∵点 E 是BD 的中点，∴CE=BE,∵OB=OC,OE=OE,∴△OBE ≌△OCE,∵BD 是⊙O 的切线，∴∠OBE=∠OCE=900,∴EC 是⊙O的切线；（2）∵∠D＝30°,∠OBD=900,∴∠A=600,∴∠BOC=1200,∵AB=34,∴OB=23,BE=4,∴S 阴影=ππ438360)32(1203242122-=⨯⨯-⨯⨯⨯.{分值}7分{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:切线的性质}{考点:切线的判定}{考点:扇形的面积}{考点:全等三角形的判定SSS}{考点:直径所对的圆周角}{题目}22．（2019湖南张家界T22）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A:文明礼仪，B:生态环境，C:交通安全，D:卫生保洁”四个主题，为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图。

湖南省张家界2019年中考[数学]考试真题与答案解析

湖南省张家界2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1.的倒数是（）12020A. B. C. D. 12020-1202020202020-答案：C2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A. B. C. D.答案：A3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.2235a a a +=()325a a =22(1)1a a +=+2(2)(2)4a a a +-=-答案：D4.下列采用的调查方式中，不合适的是（）A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查．B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．答案：B5.如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为ABCD O BCD ∠120︒BOD ∠（）A. B. C. D. 100︒110︒120︒130︒答案：C 6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程（）A. B. C. D. 2932x x +=-9232x x -+=9232x x +-=2932x x -=+答案：B7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三2680x x -+=角形的底边长为（）A. 2B. 4C. 8D. 2或4答案：A8.如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接，6y x =-8y x =,AC BC 则的面积为（）ABCA. 6B. 7C. 8D. 14答案：B 二、填空题9.因式分解：_____．29x -=答案：()()33x x +-10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为___________元．答案：2.11×10811.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）AOB ∠OA 38AOB ︒∠=OB 从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E 处，则的度数是OB DEB ∠_______度．答案：76°12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____．答案：5913.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到ABCD 位置，使得点B 落在对角线上，则阴影部分的面积是______．CEFG CF1-14.观察下面的变化规律：，……212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯根据上面的规律计算：__________．222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯ 答案：20202021三、解答题15.计算：．201|1|2sin 45(3.14)2π-︒⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭答案：4-16.如图，在矩形中，过对角线的中点O 作的垂线，分别交ABCD BD BD EF ,AD BC 于点．,E F（1）求证：；△≌△DOE BOF （2）若，连接，求四边形的周长．6,8AB AD ==,BE DF BFDE 答案：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，AD BC ∥DO BO =∴，EDO FBO ∠=∠又∵，EF BD ⊥∴，=90E O D FO B ∠=∠︒在△DOE 和△BOF 中，，=90E D O FB OD O B OE O D FO B ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩∴．()△≌△DOE BOF ASA （2）由（1）可得，，，ED BF ED BF =∴四边形BFDE 是平行四边形，在△EBO 和△EDO 中，，=90D O B OE O D FO B E O E O⎧=⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩∴，△△E B O E D O ≅∴，ED EB =∴四边形BFDE 是菱形，根据，设，可得，6,8AB AD ==AE x =8B E E D x ==-在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得：，222BE AB AE =+即，()2228-=6x x +解得：，74x =∴，725844B E =-=∴四边形的周长=．BFDE 254=254⨯17.先化简，再求值：，其中．2242211211x x x x x x --⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭x =答案：，1．221x -18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A ：69分及以下，B ：70~79分，C ：80~89分，D ：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：D 组成绩的具体情况是：分数（分）9395979899人数（人）23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D 组成绩的中位数是_________分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？答案：（1）见图；（2）97；（3）690人．19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．答案：第一批购进的消毒液的单价为10元．20.阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，,a b min{,}a b a b <min{,}a b a =a b …，如：．min{,}a b b =min{4,2}2,min{5,5}5-=-=根据上面的材料回答下列问题：（1）______；min{1,3}-=（2）当时，求x 的取值范围．2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭答案：（1）﹣1 ；（2）x≥13421.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，9m/s 拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A 处测得“南天一柱”底部C 的俯角为，继续飞行到达B 处，这时测得“南天一柱”底部C 的俯角为，已知“南37︒6s 45︒天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：150m ，，）sin370.60︒≈cos370.80︒≈tan370.75︒≈答案：安全22.如图，在中，，以为直径作，过点C 作直线交Rt ABC 90ACB ︒∠=AB O CD AB 的延长线于点D ，使．BCD A ∠=∠（1）求证：为的切线；CD O （2）若平分，且分别交于点，当时，求的长．DE ADC ∠,AC BC ,E F 2CE =EF 答案：（1）证明：如图，连接OC∵为的直径，∴，即∠A+∠ABC=AB O ACB 90∠=︒90︒又∵OC=OB ，∴∠ABC=∠OCB∵，∴∠BCD+∠OCB=，即∠OCD=BCD A ∠=∠90︒90︒∵OC 是圆O 的半径，∴CD 是的切线．O （2）解：∵平分，∴∠CDE=∠ADEDE ADC ∠又∵，∴，即∠CEF=∠CFEBCD A ∠=∠A ADE BCD CDF ∠∠∠∠+=+∵∠ACB=，，∴CE=CF=290︒2CE ==23.如图，抛物线交x 轴于两点，交y 轴于点C ．直线26y ax x c =-+, A B 5y x =-+经过点．,B C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线相交于点P ，连接，判定的形状，BC ,AC AP APC △并说明理由；（3）在直线上是否存在点M ，使与直线的夹角等于的2倍？若BC AM BC ACB ∠存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）的为直角三角形，解析略；（3）存在使265y x x =-+APC △AM与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M 1（），M 2（，BC ACB ∠1317,66236）．76。

2019年湖南省张家界市中考数学试卷(答案解析版)

2019年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.2019的相反数是（）A. 2019B.C.D.2.为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元．A. B. C. D.3.下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A. 打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨C. 两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D. 数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为76.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.因式分解：x2y-y=______．10.已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=18°，则∠2的度数是______．11.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，140该班学生平均每人捐书______本．12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y=的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA=60°，则k的值是______．13.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．14.如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD=______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）15.如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D=30°时，求阴影部分面积．四、解答题（本大题共8小题，共51.0分）16.计算：（3.14-π）0+|-1|-2cos45°+（-1）2019．17.先化简，再求值：（-1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．18.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF=CF；（2）若BC=6，DG=4，求FG的长．19.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？20.阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1=1，a2=3，公差为d=2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，a n-a n-1=d，…．所以a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+（______）d．（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？21.天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A-B-C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB=500米，BC=800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）22.为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（1）本次随机调查的学生人数是______人；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于______度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．23.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC=3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2019的相反数是-2019．故选：B．由相反数的定义即可得到答案．本题运用了相反数的知识点，准确掌握定义是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：600亿=6×1010．故选：A．运用科学记数法的知识可解．本题运用了科学记数法的知识点，掌握好n与数位之间的关系是解此题的关键．3.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．故选：C．根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可得答案．本题考查了几何体的三视图以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】D【解析】解：a2•a3=a2+3=a5；A错误；a2+a3=a2+a3；B错误；（a+b）2=a2+b2+2ab；C错误；（a3）2=a3×2=a6；D正确；故选：D．根据同底数幂的乘法法则，完全平方公式，幂的乘方公式进行运算即可；本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确．故选：D．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．本题考查了概率及其应用，正确理解概率的意义是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：解不等式2x-2≤0，得：x≤1，则不等式组的解集为-1＜x≤1，故选：B．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7.【答案】C【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=8，DC=AD，∴CD=8×=2，∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2．故选：C．过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，-），…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252 (3)∴点A2019的坐标为（，-）故选：A．探究规律，利用规律解决问题即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．9.【答案】y（x+1）（x-1）【解析】解：原式=y（x2-1）=y（x+1）（x-1），故答案为：y（x+1）（x-1）．首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是掌握提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．10.【答案】48°【解析】解：∵a∥b，∴∠2=∠1+∠CAB=18°+30°=48°，故答案为：48°根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．11.【答案】6【解析】解：该班学生平均每人捐书=6（本），故答案为：6．根据加权平均数的定义计算可得．本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．12.【答案】【解析】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，∵∠COA=60°∴∠OCD=90°-60°=30°又∵菱形OABC的周长是8，∴OC=OA=AB=BC=2，在Rt△COD中，OD=OC=1，∴CD=，∴C（1，），把C（1，）代入反比例函数y=得：k=1×=，故答案为：．菱形OABC的周长为8，可得边长为2，过C作x轴的垂线，构造直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，可以求出表示C点坐标的线段的长，从而确定点C的坐标，再依据点C在反比例函数的图象上，代入关系式可以求出k的值．此题综合利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理、菱形的性质以及反比例函数图象上的点的坐标特征等知识，难度不大，但考查的知识较多．13.【答案】12【解析】解：设长为x步，宽为（60-x）步，x（60-x）=864，解得，x1=36，x2=24（舍去），∴当x=36时，60-x=24，∴长比宽多：36-24=12（步），故答案为：12．根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长．14.【答案】2【解析】解：连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BPE=∠APF=90°，∵∠ADF=90°，∴∠ADF+∠APF=180°，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD=∠APD，∴tan∠APD=tan∠AFD==2，故答案为：2．首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BPE=90°，证明A、P、F、D四点共圆，得∠AFD=∠APD，可得结论．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明∠APF=90°．15.【答案】解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△BDC中，∵BE=ED，∴DE=EC=BE，∵OC=OB，OE=OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE=∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∴∠OCE=∠ABD=90°，∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵OA=OB，BE=DE，∴AD∥OE，∴∠D=∠OEB，∵∠D=30°，∴∠OEB=30°，∠EOB=60°，∴∠BOC=120°，∵AB=4，∴OB=2，∴．∴四边形OBEC的面积为2S△OBE=2×=12，∴阴影部分面积为S四边形OBEC-S扇形BOC=12-=12-4π．【解析】（1）连接BC，OC，OE，由E是BD的中点，可得CE=BE，证明△OCE≌△OBE，得∠OCE=∠OBE=90°，则结论得证；（2）阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积．此题综合考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．16.【答案】解：（3.14-π）0+|-1|-2cos45°+（-1）2019=1+-1-2×-1=-1；【解析】分别计算出（3.14-π）0=1，|-1|=-1，2cos45°=2×=，+（-1）2019=1即可求解；本题考查实数的运算；熟练掌握零指数幂的运算，特殊三角函数值是解题的关键．17.【答案】解：原式=（-）÷=•=，当x=0时，原式=-1．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD=BC，∴△EBF∽△EAD，∴==，∴BF=AD=BC，∴BF=CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，∴△FGC∽△DGA，∴=，即=，解得，FG=2．【解析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥CD，AD=BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质列式计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19.【答案】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x-40）棵，由题意可得，30x+20（2x-40）=9000，50x=9800，x=196，∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10-y）棵，根据题意可得，30y+20（10-y）≤230，10y≤30，∴y≤3；购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x-40）棵，由题意可得，30x+20（2x-40）=9000；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10-y）棵，根据题意可得，30y+20（10-y）≤230，根据y的范围确定购买方案即可；本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；能够准确列出方程，根据题意确定不等式是解题的关键．20.【答案】5 25 n-1【解析】解：（1）根据题意得，d=10-5=5；∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25．（2）∵a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……∴a n=a1+（n-1）d故答案为：n-1．（3）根据题意得，等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：a n=-5-2（n-1），则-5-2（n-1）=-4041，解之得：n=2019∴-4041是等差数列-5，-7，-9…的项，它是此数列的第2019项．（1）根据公差定义进行计算得d，再推算第5项便可；（2）由a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：a n=a1+（n-1）d．（3）先根据样例求出通项公式，再将-4041代入通项公式求出n，若n为正整数就可以断定-4041是此等差数列的某一项，反之则不是．本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．21.【答案】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB=500，∠BAH=30°，∴BH=AB=（米），∴A1B1=BH=250（米），在Rt△BB1C中，BC=800，∠CBB1=60°，∴，∴B1C==400，∴检修人员上升的垂直高度CA1=CB1+A1B1=400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．【解析】测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．22.【答案】60 108【解析】解：（1）本次随机调查的学生人数=15÷25%=60人；故答案为：60；（2）60-15-18-9=18（人），补全条形统计图如图1所示：（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角=360°×=108°，故答案为：108；（4）画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率==．（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；（2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可；（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．23.【答案】解：（1）函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），即：3a=3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3，则顶点D（2，-1）；（2）∵OB=OC=4，∴∠OBC=∠OCB=45°，AM=MB=AB sin45°==AD=BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB=90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=-x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2-4x+3），则点H（x，-x+3），则S△PBC=PH×OB=（-x+3-x2+4x-3）=（-x2+3x），∵-＜0，故S△PBC有最大值，此时x=，故点P（，-）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ=CQ，AQ+QC最小值=AQ+HQ=AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y=x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为-，则直线AH的表达式为：y=-x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y=-x+…②，联立①②并解得：x=，故点H（，），而点A（1，0），则AH=，即：AQ+QC的最小值为．【解析】（1）函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），即可求解；（2）AM=MB=ABsin45°==AD=BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB=90°，即可求解；（3）S△PBC=PH×OB，即可求解；（4）过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ=CQ，AQ+QC最小值=AQ+HQ=AH，即可求解．本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形性质、图形的面积计算等，其中（4），过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，则HQ=CQ，是本题的难点．。

湖南省张家界市2019年中考数学试题

科目：数学（初中）（试题卷）注意事项：1、答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号写在答题卡和该试题卷的封面上，并将准考据号下边相应的信息点用2B 铅笔涂黑。

2、考生作答时，选择题和非选择题均须写在答题卡上，在底稿纸和本试题卷上答题无效。

考生在答题卡上按以下要求答题：（1）选择题部分用 2B 铅笔把对应题目的答案标号所在方框涂黑，改正时用橡皮擦洁净，不留印迹。

（2）非选择题部分（包含填空题和解答题）请按题号用 0.5 毫米黑色墨水署名笔书写，不然作答无效。

（3）保持字体工整、字迹清楚、卡面洁净、不折叠。

3、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4、本试题卷共 5 页。

如缺页，考生须申明，不然结果自负。

姓名准考据号机密 ★ 启用前湖南省张家界市 2019 年一般初中学业水平考试一试卷数学一、选择题（本大题共 8 个小题，每题 3 分，满分 24 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 ) 1. 2019 的相反数是（）A. 2019B ． 2019C．1 1D ．201920192. 为了有力反击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，保护我国正当权益和世界多边贸易正常次序，经国务院同意，决定于 2019年 6月 1 日起，对原产于美国的600 亿美元入口商品加征关税，此中600 亿美元用科学记数法表示为（）美元 .101099A ． 6×10B ． 0.6 ×10C ． 6×10D ． 0.6 ×103. 以下四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）AB CD4. 以下运算正确的选项是（）A ． a 2?a 3＝ a 6B ． a 2+a 3＝ a 5C ．( a+b) 2＝ a 2+b2D ． (a 3)2 ＝a 6 5. 以下说法正确的选项是（）A ．翻开电视机，正在播放“张家界新闻 ”是必定事件；B ．天气预告说“明日的降水概率为 65%”，意味着明日必定下雨；C ．两组数据均匀数同样，则方差大的更稳固；D ．数据 5，6，7，7，8的中位数与众数均为 7．2x 2 0 ）6. 不等式组1 的解集在数轴上表示为（x17. 如图，在ABC 中， C90 , AC 8, DCAD ,BD 均分 ABC ，则点 D 到 AB3的距离等于（）湖南省张家界市 2019 年一般初中学业水平考试数学试卷第 1 页（共 5 页）A ．4B ．3C ．2D ．18. 在平面直角坐标系中，将边长为1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后获得正方形 OA 1 B 1C 1 ,依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次获得正方形 OA 2019 B 2019 C 2019 ,那么点A 2019 的坐标是（）A ．（2 ， 2 ） B ．（ 1， 0）22C ．（2 2 ）D ．（ 0，1），22二、填空题（本大题共6 个小题，每题 3 分，满分 18 分）9. 因式分解 : x 2 yy ＝．10. 已知直线 a∥ b ，将一块含 30°角的直角三角板 ABC 按以下图方式搁置（ ∠ BAC=30°），而且极点 A ，C 分别落在直线 a ,b上，若 ∠ 1＝ 18°，则 ∠ 2 的度数是．11. 为了建设 “书香校园 ”，某校七年级的同学踊跃捐书，下表统计了七（ 1 ）班 40 名学生的捐书状况：捐书（本） 3 4 5 7 10 人数5 710117该班学生均匀每人捐书本．12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的极点 O 为坐标原点，极点 A 在 x 轴的正半轴上，极点 C 在反比率函数y ＝ k的x图像上，已知菱形的周长是8，∠ COA ＝ 60°，则 k 的值是.13. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，此中有一个数学识题： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？依据题意得，长比宽多步 .14. 如图：正方形 ABCD 的边长为 1，点 E ， F 分别为 BC ，CD 边的中点，连结 AE ，BF交于点 P ，连结 PD ，则 tan ∠ APD =.湖南省张家界市 2019 年一般初中学业水平考试数学试卷第 2 页（共 5 页）三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 58 分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题地区内作答，一定写出运算步骤、推理过程或文字说明，高出答题地区的作答无效）15.（本小题满分 5 分）计算： (3.14 ) 02 1 2 cos45 （20191）.16.（本小题满分 5 分）先化简，再求值：2x 3 x 2 2x 10， 1，2 三个数中选择一个适合的( 1)x，而后从x 2 2数代入求值．17.（本小题满分 5 分）如图，平行四边形 ABCD 中，连结对角线 AC，延伸 AB 至点E，使 BE=AB，连结 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G．（1）求证： BF=CF ;（2）若 BC=6,DG =4,求 FG 的长．18.（本小题满分 6 分）某社区购置甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30 元，乙种树苗每棵20 元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少 40棵.（ 1）购置两种树苗的总金额为9000 元，求购置甲、乙两种树苗各多少棵？（ 2）为保证绿化成效，社区决定再购置甲、乙两种树苗共10 棵，总花费不超出230 元，求可能的购置方案 ?19.（本小题满分 6 分）阅读下边的资料 :依据必定次序摆列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项 ,记为a1 ,排在第二位的数称为第二项, 记为a2 ,挨次类推，排在第n 位的数称为第 n 项，记为a n.因此,数列的一般形式能够写成: a1, a2 , a3 , , a n , .一般地，假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差往常用 d 表示.如：数列1，3，湖南省张家界市2019 年一般初中学业水平考试数学试卷第3页（共 5 页）5， 7，为等差数列，此中a1 1 ， a47 ,公差为d 2 .依据以上资料，解答以下问题:(1) 等差数列 5， 10，15，的公差d为，第5项是．(2)假如一个数列 a1， a2， a3， , a n ,是等差数列，且公差为d，那么依据定义可获得：a2 a1 d , a3 a2 d , a4 a3 d , , a n a n 1 d , .因此a2 a1 da3 a2 d (a1 d) d a1 2d ,a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d ,由此 ,请你填空达成等差数列的通项公式: a n a1( ) d .(3) 4041 能否是等差数列5, 7, 9 的项 ?假如是 ,是第几项 ?20. （本小题满分 6 分）天门山索道是世界最长的高峰客运索道，位于张家界天门山.在一次检修保护中，检修人员从索道上A 处开始，沿 A—B— C 路线对索道进行检修保护 .如图：已知AB 500米，BC 800 米，AB与水平线AA1的夹角是 30 ，BC与水平线BB1的夹角是 60 ．求：本次检修中，检修人员上涨的垂直高度CA1是多少米？（结果精准到 1 米）21.（本小题满分 7 分）如图， AB 为⊙ O 的直径，且AB= 4 3 ,点 C 是 AB 上的一动点 (不与 A,B 重合），过点 B 作⊙O 的切线交 AC 的延伸线于点 D ，点 E 是 BD 的中点，连结 EC.(1)求证： EC 是⊙ O 的切线；(2)当∠ D＝ 30°时，求图中暗影部分面积 .湖南省张家界市2019 年一般初中学业水平考试数学试卷第4页（共 5 页）22．（本小题满分8 分）为了响应市政府呼吁，某校展开了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“ A:文明礼仪， B:生态环境， C:交通安全， D:卫生保洁”四个主题，为认识活动展开状况，学校随机抽取了部分学生进行检查，并依据检查结果绘制了以下条形统计图和扇形统计图。

2019年湖南省张家界市中考数学试卷(含答案解析)

2019年湖南省张家界市中考数学试卷(含答案解析)一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）2019的相反数是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣2．（3分）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元．A．6×1010B．0.6×1010C．6×109D．0.6×1093．（3分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a2+a3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a65．（3分）下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为76．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D 到AB的距离等于（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）因式分解：x2y﹣y＝．10．（3分）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是．11．（3分）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：捐书（本）345710人数5710117该班学生平均每人捐书本．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y＝的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA＝60°，则k的值是．13．（3分）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多步．14．（3分）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．（5分）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．16．（5分）先化简，再求值：（﹣1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．18．（6分）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？19．（6分）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？20．（6分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）21．（7分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．22．（8分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（1）本次随机调查的学生人数是人；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．2019年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）2019的相反数是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣【分析】由相反数的定义即可得到答案．【解答】解：2019的相反数是﹣2019．故选：B．【点评】本题运用了相反数的知识点，准确掌握定义是解题的关键．2．（3分）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元．A．6×1010B．0.6×1010C．6×109D．0.6×109【分析】运用科学记数法的知识可解．【解答】解：600亿＝6×1010．故选：A．【点评】本题运用了科学记数法的知识点，掌握好n与数位之间的关系是解此题的关键．3．（3分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可得答案．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．故选：C．【点评】本题考查了几何体的三视图以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a2+a3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a6【分析】根据同底数幂的乘法法则，完全平方公式，幂的乘方公式进行运算即可；【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5；A错误；a2+a3＝a2+a3；B错误；（a+b）2＝a2+b2+2ab；C错误；（a3）2＝a3×2＝a6；D正确；故选：D．【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式是解题的关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7【分析】事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．【解答】解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确．故选：D．【点评】本题考查了概率及其应用，正确理解概率的意义是解题的关键．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣2≤0，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D 到AB的距离等于（）A．4B．3C．2D．1【分析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，DC＝AD，∴CD＝8×＝2，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）因式分解：x2y﹣y＝y（x+1）（x﹣1）．【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是掌握提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．10．（3分）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是48°．【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°，故答案为：48°【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．11．（3分）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：捐书（本）345710人数5710117该班学生平均每人捐书6本．【分析】根据加权平均数的定义计算可得．【解答】解：该班学生平均每人捐书＝6（本），故答案为：6．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y＝的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA＝60°，则k的值是．【分析】菱形OABC的周长为8，可得边长为2，过C作x轴的垂线，构造直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，可以求出表示C点坐标的线段的长，从而确定点C的坐标，再依据点C在反比例函数的图象上，代入关系式可以求出k 的值．【解答】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，∵∠COA＝60°∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°又∵菱形OABC的周长是8，∴OC＝OA＝AB＝BC＝2，在Rt△COD中，OD＝OC＝1，∴CD＝，∴C（1，），把C（1，）代入反比例函数y＝得：k＝1×＝，故答案为：．【点评】此题综合利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理、菱形的性质以及反比例函数图象上的点的坐标特征等知识，难度不大，但考查的知识较多．13．（3分）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多12步．【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．【解答】解：设长为x步，宽为（60﹣x）步，x（60﹣x）＝864，解得，x1＝36，x2＝24（舍去），∴当x＝36时，60﹣x＝24，∴长比宽多：36﹣24＝12（步），故答案为：12．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长．14．（3分）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝2．【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BPE＝90°，证明A、P、F、D四点共圆，得∠AFD＝∠APD，可得结论．【解答】解：连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明∠APF＝90°．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．（5分）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．【分析】分别计算出（3.14﹣π）0＝1，|﹣1|＝﹣1，2cos45°＝2×＝，+（﹣1）2019＝1即可求解；【解答】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019＝1+﹣1﹣2×﹣1＝﹣1；【点评】本题考查实数的运算；熟练掌握零指数幂的运算，特殊三角函数值是解题的关键．16．（5分）先化简，再求值：（﹣1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝0时，原式＝﹣1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得，FG＝2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（6分）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，根据y的范围确定购买方案即可；【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，70x＝9800，x＝140，∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，10y≤30，∴y≤3；购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；【点评】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；能够准确列出方程，根据题意确定不等式是解题的关键．19．（6分）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是25．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？【分析】（1）根据公差定义进行计算得d，再推算第5项便可；（2）由a2＝a1+d，a3＝a1+2d，a4＝a1+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：a n＝a1+（n﹣1）d．（3）先根据样例求出通项公式，再将﹣4041代入通项公式求出n，若n为正整数就可以断定﹣4041是此等差数列的某一项，反之则不是．【解答】解：（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5；∵a3＝15，a4＝a3+d＝15+5＝20，a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案为：5；25．（2）∵a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……∴a n＝a1+（n﹣1）d故答案为：n﹣1．（3）根据题意得，等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：a n＝﹣5﹣2（n﹣1），则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，解之得：n＝2019∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．【点评】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．20．（6分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）【分析】测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．21．（7分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．【分析】（1）连接BC，OC，OE，由E是BD的中点，可得CE＝BE，证明△OCE≌△OBE，得∠OCE＝∠OBE＝90°，则结论得证；（2）阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积．【解答】解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵OA＝OB，BE＝DE，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴．∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2×＝12，∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝12﹣＝12﹣4π．【点评】此题综合考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．22．（8分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（1）本次随机调查的学生人数是60人；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于108度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．【分析】（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；（2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可；（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数＝15÷25%＝60人；故答案为：60；（2）60﹣15﹣18﹣9＝18（人），补全条形统计图如图1所示：（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360°×＝108°，故答案为：108；（4）画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即可求解；（2）AM＝MB＝AB sin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，即可求解；（3）S△PBC＝PH×OB，即可求解；（4）过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝AB sin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．【点评】本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形性质、图形的面积计算等，其中（4），过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，则HQ＝CQ，是本题的难点．。

2019年湖南省张家界市中考数学试卷

2019年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 2019的相反数是（）A.2019B.−2019C.12019D.−120192. 为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元．A.6×1010B.0.6×1010C.6×109D.0.6×1093. 下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A.B.C.D.4. 下列运算正确的是（）A.a2⋅a3＝a6B.a2+a3＝a5C.(a+b)2＝a2+b2D.(a3)2＝a65. 下列说法正确的是（）A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C.两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D.数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为76. 不等式组{2x −2≤0x >−1的解集在数轴上表示为（） A.B.C.D.7. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90∘，AC ＝8，DC =13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于（）A.4B.3C.2D.18. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是( )A.(√22, −√22) B.(1, 0)C.(−√22, −√22) D.(0, −1)二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）因式分解：x 2y −y ＝________．已知直线a // b，将一块含30∘角的直角三角板ABC按如图所示方式放置(∠BAC＝30∘)，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18∘，则∠2的度数是________．为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y=k的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA=60∘，则k的值x是________．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多________步．如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝________．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）计算：(3.14−π)0+|√2−1|−2cos45∘+(−1)2019．先化简，再求值：(2x−3x−2−1)÷x2−2x+1x−2，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为________，第5项是________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2−a1＝d，a3−a2＝d，a4−a3＝d，…，a n−a n−1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+(________)d．（3）−4041是不是等差数列−5，−7，−9…的项？如果是，是第几项？天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A−B−C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30∘，BC与水平线BB1的夹角是60∘．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732）如图，AB为⊙O的直径，且AB=4√3，点C是AB^上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)当∠D=30∘时，求阴影部分面积．为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（1）本次随机调查的学生人数是________人；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于________度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)过点A(1, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀这（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12个最小值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2019年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】相反数【解析】由相反数的定义即可得到答案．【解答】解：2019的相反数是−2019．故选B.2.【答案】A【考点】科学记数法–表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】600亿＝600×108＝6×1010．3.【答案】C【考点】简单几何体的三视图中心对称图形轴对称图形【解析】根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可得答案．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误．故选C.4.【答案】D【考点】同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方完全平方公式【解析】根据同底数幂的乘法法则，完全平方公式，幂的乘方公式进行运算即可；【解答】a2⋅a3＝a2+3＝a5；A错误；a2+a3＝a2+a3；B错误；(a+b)2＝a2+b2+2ab；C错误；(a3)2＝a3×2＝a6；D正确；5.【答案】D【考点】方差众数概率的意义中位数算术平均数随机事件【解析】事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．【解答】A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确．6.【答案】B【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解不等式2x−2≤0，得：x≤1，则不等式组的解集为−1<x≤1，7.【答案】C【考点】角平分线的性质【解析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，DC=13AD，∴CD＝8×11+3=2，∵∠C＝90∘，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2．8.【答案】A【考点】坐标与图形变化-旋转规律型：点的坐标【解析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴A(0, 1)，∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，∴A1(√22, √22)，A2(1, 0)，A3(√22, −√22)，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252⋯3，∴点A2019的坐标为(√22, −√22).故选A.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）【答案】y(x+1)(x−1)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】原式＝y(x2−1)＝y(x+1)(x−1)，【答案】48∘【考点】平行线的性质【解析】根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】∵a // b，∴∠2＝∠1+∠CAB＝18∘+30∘＝48∘，【答案】6加权平均数【解析】根据加权平均数的定义计算可得．【解答】=6（本），该班学生平均每人捐书3×5+4×7+5×10+7×11+10×740【答案】√3【考点】菱形的性质勾股定理待定系数法求反比例函数解析式【解析】菱形OABC的周长为8，可得边长为2，过C作x轴的垂线，构造直角三角形，利用30∘角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，可以求出表示C点坐标的线段的长，从而确定点C的坐标，再依据点C在反比例函数的图象上，代入关系式可以求出k的值．【解答】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，∵∠COA=60∘，∴∠OCD=90∘−60∘=30∘.又∵菱形OABC的周长是8，∴OC=OA=AB=BC=2.OC=1，在Rt△COD中，OD=12∴CD=√22−12=√3，∴C(1, √3)，把C(1, √3)代入反比例函数y=k得：xk=1×√3=√3.故答案为：√3.【答案】12【考点】一元二次方程的应用数学常识【解析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．【解答】设长为x步，宽为(60−x)步，x(60−x)＝864，解得，x1＝36，x2＝24（舍去），∴当x＝36时，60−x＝24，∴长比宽多：36−24＝12（步），【答案】2【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定解直角三角形【解析】首先证明△ABE≅△BCF，再利用角的关系求得∠BPE＝90∘，证明A、P、F、D四点共圆，得∠AFD＝∠APD，可得结论．【解答】连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，ADDF=2，在△ABE和△BCF中，{AB=BC∠ABE=∠C BE=CF，∴Rt△ABE≅Rt△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90∘，∴∠CBF+∠BEA＝90∘，∴∠BPE＝∠APF＝90∘，∵∠ADF＝90∘，∴∠ADF+∠APF＝180∘，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD=ADDF=2，三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）【答案】(3.14−π)0+|√2−1|−2cos45∘+(−1)2019＝1+√2−1−2×√22−1＝−1；【考点】实数的运算特殊角的三角函数值零指数幂【解析】1即可求解；【解答】(3.14−π)0+|√2−1|−2cos45∘+(−1)2019＝1+√2−1−2×√22−1＝−1；【答案】原式＝(2x−3x−2−x−2x−2)÷(x−1)2x−2=x−1x−2⋅x−2(x−1)2=1x−1，当x＝0时，原式＝−1．【考点】分式的化简求值【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【解答】原式＝(2x−3x−2−x−2x−2)÷(x−1)2x−2=x−1x−2⋅x−2(x−1)2=1x−1，当x＝0时，原式＝−1．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // CD，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴BFAD =EBEA=12，∴BF=12AD=12BC，∴BF＝CF；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // CF，∴△FGC∽△DGA，∴FGDG =FCAD，即FG4=12，解得，FG＝2．【考点】平行四边形的性质相似三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定（1）根据平行四边形的性质得到AD // CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // CD，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴BFAD =EBEA=12，∴BF=12AD=12BC，∴BF＝CF；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // CF，∴△FGC∽△DGA，∴FGDG =FCAD，即FG4=12，解得，FG＝2．【答案】设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x−40)棵，由题意可得，30x+20(2x−40)＝9000，70x＝9800，x＝140，∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；设购买甲树苗y棵，乙树苗(10−y)棵，根据题意可得，30y+20(10−y)≤230，10y≤30，∴y≤3；购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；【考点】一元一次不等式的实际应用二元一次方程组的应用——行程问题【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x−40)棵，由题意可得，30x+20(2x−40)＝9000；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗(10−y)棵，根据题意可得，30y+20(10−y)≤230，根据y的范围确定购买方案即可；【解答】设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x−40)棵，由题意可得，30x+20(2x−40)＝9000，70x＝9800，x＝140，∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；设购买甲树苗y棵，乙树苗(10−y)棵，∴y≤3；购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；【答案】5,25n−1根据题意得，等差数列−5，−7，−9…的项的通项公式为：a n＝−5−2(n−1)，则−5−2(n−1)＝−4041，解之得：n＝2019∴−4041是等差数列−5，−7，−9…的项，它是此数列的第2019项．【考点】规律型：图形的变化类规律型：点的坐标规律型：数字的变化类【解析】（1）根据公差定义进行计算得d，再推算第5项便可；（2）由a2＝a1+d，a3＝a1+2d，a4＝a1+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：a n＝a1+(n−1)d．（3）先根据样例求出通项公式，再将−4041代入通项公式求出n，若n为正整数就可以断定−4041是此等差数列的某一项，反之则不是．【解答】根据题意得，d＝10−5＝5；∵a3＝15，a4＝a3+d＝15+5＝20，a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案为：5；25．∵a2＝a1+da3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，……∴a n＝a1+(n−1)d故答案为：n−1．根据题意得，等差数列−5，−7，−9…的项的通项公式为：a n＝−5−2(n−1)，则−5−2(n−1)＝−4041，解之得：n＝2019∴−4041是等差数列−5，−7，−9…的项，它是此数列的第2019项．【答案】检修人员上升的垂直高度CA1为943米．解直角三角形的应用-其他问题【解析】测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．【解答】如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30∘，∴BH=12AB=12×500=250（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60∘，∴B1CBC =sin∠CBB1=sin60=√32，∴B1C=√32BC=√32×800=400√3（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400√3+250≈943（米）【答案】(1)证明：如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90∘.在Rt△BDC中，∵BE=ED，∴DE=EC=BE.∵OC=OB，OE=OE，∴△OCE≅△OBE(SSS)，∴∠OCE=∠OBE.∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90∘，∴∠OCE=∠ABD=90∘.∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线.(2)∵OA=OB，BE=DE，∴AD // OE，∴∠D=∠OEB.∵∠D=30∘，∴∠OEB=30∘，∠EOB=60∘，∴∠BOC=120∘.∴AD=2AB=8√3.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即48+BD2=192，解得BD=12，∴BE=1BD=6，2∴四边形OBEC的面积为2S△OBE=2×1×6×2√3=12√3，2∴阴影部分面积S阴影=S四边形OBEC−S扇形BOC=12√3−120⋅π×(2√3)2=12√3−4π．360【考点】求阴影部分的面积圆周角定理扇形面积的计算切线的判定勾股定理含30度角的直角三角形全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】（1）连接BC，OC，OE，由E是BD的中点，可得CE＝BE，证明△OCE≅△OBE，得∠OCE＝∠OBE＝90∘，则结论得证；（2）阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积．【解答】(1)证明：如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90∘.在Rt△BDC中，∵BE=ED，∴DE=EC=BE.∵OC=OB，OE=OE，∴△OCE≅△OBE(SSS)，∴∠OCE=∠OBE.∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90∘，∴∠OCE=∠ABD=90∘.∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线.(2)∵OA=OB，BE=DE，∴∠D=∠OEB.∵∠D=30∘，∴∠OEB=30∘，∠EOB=60∘，∴∠BOC=120∘.∵AB=4√3，∴AD=2AB=8√3.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即48+BD2=192，解得BD=12，∴BE=12BD=6，∴四边形OBEC的面积为2S△OBE=2×12×6×2√3=12√3，∴阴影部分面积S阴影=S四边形OBEC−S扇形BOC=12√3−120⋅π×(2√3)2360=12√3−4π．【答案】6060−15−18−9＝18（人），补全条形统计图如图1所示：108画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率=416=14．【考点】列表法与树状图法条形统计图扇形统计图【解析】（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；（2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可；（3）用360∘乘以“B”所占的比例即可；（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．【解答】故答案为：60；60−15−18−9＝18（人），补全条形统计图如图1所示：在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360∘×1860=108∘，故答案为：108；画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率=416=14．【答案】函数的表达式为：y＝a(x−1)(x−3)＝a(x2−4x+3)，即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2−4x+3，则顶点D(2, −1)；∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45∘，AM＝MB＝ABsin45∘=√2=AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90∘，∴四边形ADBM为正方形；将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝−x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P(x, x2−4x+3)，则点H(x, −x+3)，则S△PBC=12PH×OB=32(−x+3−x2+4x−3)=32(−x2+3x)，∵−32<0，故S△PBC有最大值，此时x=32，存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30∘的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ=12CQ，AQ+12QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为√3，直线HC的表达式为：y=√3x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为−√33，则直线AH的表达式为：y=−√33x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y=−√33x+√33⋯②，联立①②并解得：x=1−3√34，故点H(1−3√34, 3+√34)，而点A(1, 0)，则AH=3+√32，即：AQ+12QC的最小值为3+√32．【考点】二次函数综合题【解析】（1）函数的表达式为：y＝a(x−1)(x−3)＝a(x2−4x+3)，即可求解；（2）AM＝MB＝ABsin45∘=√2=AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90∘，即可求解；（3）S△PBC=12PH×OB，即可求解；（4）过点C作与y轴夹角为30∘的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ=12CQ，AQ+12QC最小值＝AQ+HQ＝AH，即可求解．【解答】函数的表达式为：y＝a(x−1)(x−3)＝a(x2−4x+3)，即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2−4x+3，则顶点D(2, −1)；∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45∘，AM＝MB＝ABsin45∘=√2=AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90∘，∴四边形ADBM为正方形；将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝−x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P(x, x2−4x+3)，则点H(x, −x+3)，则S△PBC=12PH×OB=32(−x+3−x2+4x−3)=32(−x2+3x)，∵−32<0，故S△PBC有最大值，此时x=32，故点P(32, −34)；存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30∘的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ=12CQ，AQ+12QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为√3，直线HC的表达式为：y=√3x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为−√33，则直线AH的表达式为：y=−√33x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y=−√33x+√33⋯②，联立①②并解得：x=1−3√34，故点H(1−3√34, 3+√34)，而点A(1, 0)，则AH=3+√32，即：AQ+12QC的最小值为3+√32．。