函数周期性的五类经典题型.pptx
《函数的周期性》课件
对于一些基本的周期函数，如正弦函数、余弦函数等，可以直接使 用其周期公式来求解。
计算法
通过计算函数在两个不同点上的值，然后比较这两个值是否相等来 确定函数的周期。
函数周期性的进一步研究
特征，如振幅、相位等。
周期函数的性质
02
研究周期函数的性质，如对称性、奇偶性等。
周期性理解
周期性是函数的一种特性，它描述了函数值重复出现的规律。周期函数在一个 周期内的变化规律与整个函数的变化规律相同。
周期性的分类
最小正周期
如果存在一个最小的正数$T$，使得 对于函数$f(x)$的定义域内的每一个 $x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称$T$ 为函数$f(x)$的最小正周期。
函数周期性的扩展知识
最小正周期的概念
最小正周期
对于函数$f(x)$，如果存在一个正数 $T$，使得当$x$取值在$T$的长度 内重复出现时，函数$f(x)$的值也重 复出现，则称$T$为函数$f(x)$的最 小正周期。
周期性
函数在某个固定周期内重复出现的性 质。
函数的最小正周期的求法
观察法
通过观察函数图像或性质，直接判断出函数的周期。
《函数的周期性》 ppt课件
xx年xx月xx日
• 函数的周期性概述 • 三角函数的周期性 • 函数周期性的判定 • 函数周期性的应用 • 函数周期性的扩展知识
目录
01
函数的周期性概述
周期性的定义
周期性定义
如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$的定义域内的每一个$x$，都 有$f(x+T)=f(x)$，则称函数$f(x)$为周期函数，非零常数$T$称为这个函数的 周期。
常见周期函数
函数的周期性ppt课件(自制)
(完整版)专题函数的周期性
专题函数的周期性一知识点精讲1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .(3) f x a的周期T2a .，贝U T xf x(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .(5) f(x a)1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T2a .(6) f(x a) 1 f(x)，则f1 f (x)x的周期T4a数.(7) f(x a) 1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T4a .(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数.(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数f (x)是2 b a为周期的周期函数.(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数.(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.二典例解析1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )A.0.5B. —0.5C.1.5D. —1.52. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为2 2的解析式。
函数周期性的五类经典题型
周期性函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 类型一：判断周期函数1.求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足类型二：求值 1.已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．12.若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．（对定义域的运用）3.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________. 4.已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝______. （转化） 5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. （利用周期和奇函数改变范围）6.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.57.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 类型三：求周期 1.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________． 类型四：周期+奇偶性1.若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) （数形结合，类似于正余弦函数图像）A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．类型五：综合1.偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝2x－x2，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是__________.2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．3.已知f(x)是R上最小正周期为4的奇函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[2,4]的解析式为________．4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为( )(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)25函数()f x对于任意实数x满足条件()()12f xf x+=，若()15,f=-则()()5f f=6设()f x是()+∞∞-,上的奇函数，()()x fxf-=+2，当0≤x≤1时，()xxf=，则f（7.5）等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5。
函数周期性的五类经典题型
函数周期性的五类经典题型周期性函数的定义很简单：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，那么我们称f(x)具有周期性，T称为f(x)的一个周期，kT（k为整数且不为0）也是f(x)的周期，其中最小正数周期称为f(x)的最小正周期。
有几种特殊的抽象函数也是周期函数，它们的周期分别是：①f(x)=f(x+a)，以T=a为周期；②f(x+a)=-f(x)，以T=2a为周期；③f(x+a)=±1，以T=2a为周期；④f(x+a)=f(x-a)，以T=2a为周期；⑤f(x+a)= (1-f(x))/(1+f(x))，以T=2a为周期；⑥f(x+a)=- (1+f(x))/(1-f(x))，以T=4a为周期；⑦f(x+a)=(1-f(x))/(1-f(x))，以T=4a为周期。
判断一个函数是否为周期函数时，需要看是否存在一个常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)成立。
例如对于函数sin(x)，它的周期为2π。
对于已知函数f(x)，如果其定义在(－∞，＋∞)上是奇函数，且对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)=log2(x+1)，那么f(－2013)+f(2014)=-1.偶函数y=f(x)是R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3)，那么f(-6)=f(0)=f(6)=7(a-1)。
对于定义在R上的函数f(x)，如果f(x)=3x，当x≤1时；f(x)=f(x-1)-f(x-2)，当x>1时，那么f(2016)=6045.已知函数f(x)的定义域为R，当x1时，f(x+2)=f(x-2)，且f(111+x)=f(111-x)，那么f(6)=f(-6)=f(114)=f(-114)=62.。
高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)
函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。
定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。
【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。
证明：。
特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。
【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。
证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。
函数的周期性优秀课件
思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔 2π 个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
.
s i n ( x 2 k )s i n x ( kZ )
i n ( x 2 k ) s i n x 思考2：设f(x)=sinx，则s
可以怎样表示？其数学意义如何？
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ 为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？ 对于函数 f(x) ，如果存在一个非 零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一 个值时，都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T就叫 做这个函数的周期.
思考 4 ：函数 y=3sin(2x ＋ 4) 的最小正 周期是多少？
A s i n ( w x + j) 思考5：一般地，函数 y=
( A? 0 ,w 0 ) 的最小正周期是多少?
思考 6 ：如果函数 y=f(x) 的周期是 T ，那 么函数y=f(ω x＋φ )的周期是多少？
理论迁移
例求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R x p in ( - ) ， x∈R ； （3） y = 2s 2 6 （4）y=|sinx| x∈R.
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周期函数？函数 f(x)=sinx （x≤0 ）是 否为周期函数？ 思考 2 ：函数 f(x)=sinx （ x>0 ）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ ） 是否为周期函数？ 思考 3 ：函数 f(x)=sinx ，x∈[0 ， 10π ] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
函数讲函数的奇偶性与周期性课件
函数讲函数的奇偶性与周期性课件pptxxx年xx月xx日CATALOGUE目录•函数奇偶性及周期性概述•奇函数与偶函数•周期函数的定义和性质•奇函数与偶函数举例•周期函数的举例及变式•奇偶性与周期性的扩展知识01函数奇偶性及周期性概述函数奇偶性的定义与性质奇函数对于函数f(x)，如果对于任意的x属于D，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)是奇函数。
要点一要点二偶函数对于函数f(x)，如果对于任意的x属于D，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)是偶函数。
恒等于0的函数对于函数f(x)，如果对于任意的x属于D，都有f(x)=0，那么f(x)是恒等于0的函数。
要点三对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x属于D，都有f(x+T)=f(x)，那么f(x)是周期函数。
周期函数对于周期函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x属于D，都有f(x+T)=f(x)，那么T是f(x)的最小正周期。
最小正周期函数周期性的定义与性质奇偶性与周期性的应用用奇偶性和周期性判断函数的图像对于一个函数f(x)，如果知道它的奇偶性和周期性，就可以根据这些性质大致判断出它的图像。
用奇偶性和周期性简化计算对于具有特定奇偶性和周期性的函数，我们可以利用这些性质来简化计算。
用奇偶性和周期性解决实际问题有时在解决实际问题时，需要用到函数的奇偶性和周期性。
02奇函数与偶函数奇函数定义与性质奇函数定义：对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都奇函数性质有f(-x)=-f(x)，那么称f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称；奇函数的定义域一定关于原点对称；奇函数的相反数函数是自身；如果奇函数f(x)在x=0有定义，那么f(0)=0。
偶函数定义：对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数。
偶函数性质偶函数的图象关于y轴对称；偶函数的定义域一定关于原点对称；偶函数的相反数函数是自身；如果偶函数f(x)在x=0有定义，那么f(0)=0。
函数的周期性--经典例题
函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。
周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。
函数的周期性--经典例题
函数的周期性--经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。
周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。
函数周期性的五类经典题型
解析：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．（对称轴）
所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
由y＝，得x2－2x＋y2＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，
画出函数f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象.
因为直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据函数图象xx，<k<.
2.已知f(x)是Rxx最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]xx与x轴的交点个数为________．
A．－1B．－2
C．2D．1
解析：选A 因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－f(2 013)＋f(2 014)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－1＋0＝－1.
2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．（对定义域的运用）
即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．
因为f(x)在[0，2]上是增函数，
所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象．
其图象也关于x＝－6对称，
周期函数PPT课件
由sin(x+2kπ)=sinx ; cos(x+2kπ)=cosx (k∈Z)
可知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期 函数，2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的 周期，最小正周期是 2π。
2021/3/25
4
注意：（1）周期T为非零常数。
（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意 一个x都成立。
f (x) Asin(x)
Asin[(x)2]
Asin[(x 2)] f (x 2)
yAsin(wx及 yAcos(wxxR
的 最 小 正 周 期 为 T2
3.例题讲解
例1 求下列函数的周期：
（1）y=3cosx; x∈R 2
（2）y=sin2x，x∈R；
(3)y2sin(1 2x6),xR4
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13
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -π
π
3π 5π x
-5π -3π
O
2π 4π 6π
-1
所 有 的 对 称 中 心 坐 标 为 ( k,0 )
所 有 的 对 称 轴 方 程 为 x k(k Z ) 2
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14
y y=cosx
2
2
1 22
x[k3,k]k ,Zy2为增函数 x[k4,k4]k ,Zy为减函数
44
则f(x)是周期为2a的周期函数.
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12
例2、已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
结论：定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋a)-f(x-b)=0或f(x＋a) =f(x-b)
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学海无 涯
f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．
f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.
答案：－1
3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝3fxx－－1，1－x≤fx0－，2，
x>0， 则 f(2 016)＝
.
解析：x>0 时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，相加得 f(x＋1)＝－f(x－
(B) －0.5
(C) 1.5
(D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在 R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即 f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴，
故 y = f (x)是周期为 4 的周期函数。
故 x∈(－1，0)∪(1，3)．
2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程
f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝
．
解析：因为 f(x)为奇函数并且 f(x－4)＝－f(x)．（对称轴）
3
学海无涯
所以 f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即 f(4－x)＝f(x)，且 f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 即 y＝f(x)的图象关于 x＝2 对称，并且是周期为 8 的周期函数． 因为 f(x)在[0，2]上是增函数， 所以 f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出 y＝由题意知 f(12)＝b＋3 4，f(32)＝f(－21)＝－21a＋1，从而b＋3 4＝－21a＋1，化简得 3a＋2b＝－ b＋2
2.又 f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝ 2 ，
b＝－2a，
a＝2，
所以
解得
3a＋2b＝－2，
b＝－4.
所以 a＋3b＝－10.
类型三：求周期
2)，即 f(x＋3)＝－f(x)，所以 f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，进而 f(2 016)＝f(336×6)＝f(0)＝3－1
＝13.
答案：13
4.已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当
x>12时，fx＋21＝fx－21，则 f(6)＝
＋0＝－1.
2.若偶函数 y＝f(x)为 R 上的周期为6 的周期函数，且满足 f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，
则 f(－6)等于
．（对定义域的运用）
解析：∵y＝f(x)为偶函数，且 f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，
∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.
∴a＝1.
. （转化）
答案2
解析 当 x>21时，fx＋21＝fx－12，即 f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当 x<0 时，f(x)
＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.
5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且 x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋51，
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
2
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ax＋1，－1≤x＜0，
7.设 2
f(x)是定义在
R
上且周期为
2
的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝xb＋x＋1 ，0≤x≤1，
其
中
a，b∈R.若
1 f(2)
＝f(32)，则
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周期性
类型一：判断周期函数 1.求下列函数是否为周期函数
（1）
，满足
（2）
，满足
（3）
，满足
（4） 答案：
，满足
（1）令
∴
∴
∴ T=2 周期函数
（2） ∴ T=4 周期函数
（3） （4）
∴ T=4
∴ T=8 类型二：求值
1.已知函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数 x≥0，都有 f(x
＋2)＝f(x)，且当 x∈[0,2)时 f(x)＝log2(x＋1)，则 f(－2 013)＋f(2 014)的值为( )
A．－1
B．－2
C．2
D．1
解析：选 A 因为 f(x)是奇函数，且周期为 2，所以 f(－2 013)＋f(2 014)＝－f(2 013)＋
f(2 014)＝－f(1)＋f(0)．又当 x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以 f(－2 013)＋f(2 014)＝－1
又因为 f(－x)＝－f(x)，所以 f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log 220)＝－f log 245＝ －1.
6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)= －f(x),当 0≤x≤1 时，
f (x) = x，则 f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5
3]上的解集为( ) （数形结合，类似于正余弦函数图像）
A．(1，3)
B．(－1，1) D．(－
C．(－1，0)∪(1，3)
1，0)∪(0，1)
解析：选 C.f(x)的图象如图．
当 x∈[－1，0)时，由 xf(x)>0，得 x∈(－1，0)；
当 x∈[0，1)时，由 xf(x)>0，得 x∈∅；
当 x∈[1，3]时，由 xf(x)>0，得 x∈(1，3)．
则 f(log220)＝
. （利用周期和奇函数改变范围）
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的
灵活性.
答 案 －1 解析 由 f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，
因为 4<log220<5，所以 0<log220－4<1，－1<4－log220<0.
1.x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)＝x－[x]的最小正周期是
．
（绘画此类函数图像）
解析：如图，当 x∈[0,1)时，画出函数图像，
再左右扩展知 f(x)为周期函数．
答案：1
类型四：周期+奇偶性
1.若函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在[－1，