函数周期性的五类经典题型.pptx

故 x∈(－1，0)∪(1，3)．
2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程
f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝
．
解析：因为 f(x)为奇函数并且 f(x－4)＝－f(x)．（对称轴）
2)，即 f(x＋3)＝－f(x)，所以 f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，进而 f(2 016)＝f(336×6)＝f(0)＝3－1
＝13.
答案：13
4.已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当
x>12时，fx＋21＝fx－21，则 f(6)＝
1.x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)＝x－[x]的最小正周期是
．
（绘画此类函数图像）
解析：如图，当 x∈[0,1)时，画出函数图像，
再左右扩展知 f(x)为周期函数．
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答案：1
类型四：周期+奇偶性
1.若函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在[－1，
又因为 f(－x)＝－f(x)，所以 f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log 220)＝－f log 245＝ －1.
6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)= －f(x),当 0≤x≤1 时，
f (x) = x，则 f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5
a＋3b
的值为
．
解：由题意知 f(12)＝b＋3 4，f(32)＝f(－21)＝－21a＋1，从而b＋3 4＝－21a＋1，化简得 3a＋2b＝－ b＋2
2.又 f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝ 2 ，
b＝－2a，
a＝2，
所以
解得
3a＋2b＝－2，
b＝－4.
所以 a＋3b＝－10.
类型三：求周期
3]上的解集为( ) （数形结合，类似于正余弦函数图像）
A．(1，3)
B．(－1，1) D．(－
C．(－1，0)∪(1，3)
1，0)∪(0，1)
解析：选 C.f(x)的图象如图．
当 x∈[－1，0)时，由 xf(x)>0，得 x∈(－1，0)；
当 x∈[0，1)时，由 xf(x)>0，得 x∈∅；
当 x∈[1，3]时，由 xf(x)>0，得 x∈(1，3)．
. （转化）
答案2
解析 当 x>21时，fx＋21＝fx－12，即 f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当 x<0 时，f(x)
＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.
5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且 x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋51，
(B) －0.5
(C) 1.5
(D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在 R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即 f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴，
故 y = f (x)是周期为 4 的周期函数。
3
学海无涯
所以 f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即 f(4－x)＝f(x)，且 f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 即 y＝f(x)的图象关于 x＝2 对称，并且是周期为 8 的周期函数． 因为 f(x)在[0，2]上是增函数， 所以 f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出 y＝f(x)的图象．
学海无 涯
周期性
类型一：判断周期函数 1.求下列函数是否为周期函数
（1）
，满足
（2）
，满足
（3）
，满足
（4） 答案：
，满足
（1）令
∴
∴
∴ T=2 周期函数
（2） ∴ T=4 周期函数
（3） （4）
∴ T=4
∴ T=8 类型二：求值
1.已知函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数 x≥0，都有 f(x
＋0＝－1.
2.若偶函数 y＝f(x)为 R 上的周期为6 的周期函数，且满足 f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，
则 f(－6)等于
．（对定义域的运用）
解析：∵y＝f(x)为偶函数，且 f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，
∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.
∴a＝1.
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
2
学海无 涯
ax＋1，－1≤x＜0，
7.设 2
f(x)是定义在
R
上且周期为
2
的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝xb＋x＋1 ，0≤x≤1，
其
中
a，b∈R.若
1 f(2)
＝f(32)，则
＋2)＝f(x)，且当 x∈[0,2)时 f(x)＝log2(x＋1)，则 f(－2 013)＋f(2 014)的值为( )
A．－1
B．－2
C．2
D．1
解析：选 A 因为 f(x)是奇函数，且周期为 2，所以 f(－2 013)＋f(2 014)＝－f(2 013)＋
f(2 014)＝－f(1)＋f(0)．又当 x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以 f(－2 013)＋f(2 014)＝－1
则 f(log220)＝
. （利用周期和奇函数改变范围）
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的
灵活性.
答 案 －1 解析 由 f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，
因为 4<log220<5，所以 0<log220－4<1，－1<4－log220<0.
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f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．
f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.
答案：－1
3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝3fxx－－1，1－x≤fx0－，2，
x>0， 则 f(2 016)＝
.
解析：x>0 时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，相加得 f(x＋1)＝－f(x－