上海市2021学年高二数学9月月考试题(含解析)
2021年高二数学上学期9月月考试卷 理(含解析)
2021年高二数学上学期9月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2， 2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是 =，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题．分析：先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0），因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，得到|PF|=2b，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）∵抛物线为y2=4cx，∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，∵∴E为FP的中点∴OE为△PFF'的中位线，∵O为FF'的中点∴OE∥PF'∵|OE|=a∴|PF'|=2a∵PF切圆O于E∴OE⊥PF∴PF'⊥PF，∵|FF'|=2c∴|PF|=2b设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a由勾股定理 y2+4a2=4b2∴4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）∴e2﹣e﹣1=0∵e＞1∴e=．故选B．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．解答：解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题考查的知识点是特称命题，存在性问题，其中将问题转化为函数图象与x轴交点个数，是解答的关键．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；规律型．分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．解答：解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，]∪[1，+∞）点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：分别设出A，B，由￢p是￢q的必要不充分条件，得出不等式组，解出即可．解答：解：由命题P可知：﹣1≤x≤5，设A={x|﹣1≤x≤5}，因为命题q可知：1﹣m≤x≤m+1，设B={x|1﹣m≤x≤m+1}，∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4，∴m的范围是：[4，+∞）．点评：本题考查了充分必要条件，四种命题的关系，是一道基础题．21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD 的面积根据n的范围确定面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=﹣12n2+64＞0，解得．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．所以．所以AC的中点坐标为．由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=﹣2．所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配33411 8283 芃34219 85AB 薫40193 9D01 鴁yM g32071 7D47 絇37514 928A 銊25096 6208 戈28946 7112 焒521440 53C0 叀<]。
2021年高二9月月考数学(平行班)试题 含答案
绝密★启用前2021年高二9月月考数学（平行班）试题 含答案注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（60分）1、已知点，则点关于原点对称的点的坐标为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设对称点为，所以两点的中点为原点，所以有考点：空间点的坐标2、点P (x,2,1)到点A (1,1,2)、B (2,1,1)的距离相等，则x 等于（ ）A.12B.1C.32D.2【答案】B【解析】根据两点间距离公式可知 B.考点：空间中两点间距离.3、执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89【答案】B【解析】由算法流程图所提供的信息可以看出50552101110321>=⨯=+⋅⋅⋅+++=c ,因输出的结果是,故应选B.考点：算法流程图的识读和理解.4、已知圆:,过轴上的点向圆引切线，则切线长为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】因圆心,故,应选B.考点：直线与圆的位置关系及运用.5、执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，第一次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，不满足输出的条件，再次执行循环体后：，满足输出条件,故选项为C.考点：程序框图.6、把89化成五进制数的末位数字为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】89÷5=17417÷5=323÷5=03故89（10）=324（5）末位数字为4考点：进制转化7、已知多项式f（x）＝2x7＋x6＋x4＋x2＋1，当x＝2时的函数值时用秦九韶算法计算V 2的值是（ ）A ．1B ．5C ．10D ．12【答案】C【解析】()()()()()()()21111f x x x x x x x x =++++，当x=2时的函数值时用秦九韶算法计算：考点：秦九韶算法8、下列选项中，正确的赋值语句是（ ）A ．A ＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1)B ．5＝AC ．A ＝AA ＋A －2D ．4＝2＋2【答案】C【解析】由赋值语句的定义可知A 、B 、D 均错,故选C.考点：赋值语句.9、直线过点，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为直线过点，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线过且平行于轴时，直线斜率取最小值；当直线过，时，直线直线斜率取最大值，所以直线的斜率的取值范围是，故选A ．考点：直线的斜率．10、下图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是A． B．C． D．【答案】D【解析】并由流程图中故循环的初值为1终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴当i≥11，应满足条件，退出循环填入“i≥11”考点：循环结构11、若实数满足的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】令，即，表示一条直线；又方程可化为，表示圆心为，半径的圆；由题意直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，∴，即的取值范围为.故选A.考点：可转化为直线与圆的位置关系的问题.12、圆上的动点到直线的最小距离为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，圆心为（2,2），半径r=1，由圆心到直线的最小距离公式可得，所以圆上动点到直线的最小距离为．考点：考查圆上动点到直线的最小距离.评卷人 得分二、填空题（20分）13、已知，则两点间的距离的最小值是_____________________．【答案】【解析】由条件得225)()1()21(2222+-=-+--+--=t t t t t t t AB ，当时，|AB|的最小值为．考点：两点间距离公式的计算 .14、执行下面的程序输出的结果是 ．【答案】15【解析】程序执行中的数据变化如下：1,0,14,1,2,24,3,3,i s s i s i ==≤==≤== 不成立，输出考点：程序语句15、比较大小：403（6） 217（8）【答案】>【解析】∵403（6）=3+0×6+4×62=3+144=147（10）217（8）=7+1×8+2×82=7+8+128=143（10）又∵147＞143.∴403（6）＞217（8）考点：十进制与其它进制之间的转化16、已知圆关于直线对称，则的最小值为．【答案】【解析】由题设直线过圆心,即,因故应填.考点：直线与圆的标准方程和基本不等式的运用．【易错点晴】本题考查的是直线与圆的位置关系、基本不等式的运用等知识和方法的综合运用.解答时先依据题设条件将问题圆关于直线对称进行等价转化直线过圆心.这是解答本题的一个重要的环节.从而为求的最小值提供条件.运用这一条件时,要对所求表达式和条件进行巧妙变形,这是解答本题的难点,因此要引起足够的重视.三、解答题（17题10分共70分）17、已知点及圆，若直线过点且被圆截得的线段长为，求直线的一般式方程．【答案】直线的方程为，或试题分析：根据弦长和半径，可求出圆心到直线的距离为2当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为：即由点到直线的距离公式即可求出的值，从而得直线的方程,然后再考虑斜率不存在时的情况.试题解析：圆的圆心为，半径;当直线的斜率不存在时，弦长，符合题意，这时;当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即，点C到直线AB的距离公式得，得，此时直线的方程为；所以直线的方程为，或考点：弦长公式；点到直线的距离.【解析】18、（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数.（2）用秦九韶算法计算函数时的函数值.【答案】（1）84（2）62试题分析：（1）根据辗转相除法的运算原则，结合1764=840×2+84，840=84×10+0，此时余数为0，除数即为两个数的最大公约数，可得答案；（2）先将多项式改写成如下形式：f（x）=（（（2x+3）x+0）x+5）x-4，将x=2代入并依次计算的值，即可得到答案试题解析：（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数.1764=840×2+84840=84×10+0所以840与1764的最大公约数是84（2）根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f（x）=（（（2x+3）x+0）x+5）x-4 从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=2时的值：v0=2，v1=2×2+3=7，v2=7×2+0=14，v3=14×2+5=33，v4=33×2-4=62所以，当x=2时，多项式的值等于62考点：用辗转相除计算最大公约数；秦九韶算法【解析】19、求圆心在直线上，且过点的圆的标准方程．【答案】.试题分析：因为圆过两点，所以圆心在直线的垂直平分线上，求出直线的垂直平分线方程，与题设直线联立方程组即可求出圆心坐标，从而根据两点间的距离公式求出圆的半径，圆的标准方程即可得解。
高二数学上学期9月月考试题含解析 试题
HY 中学2021-2021学年高二数学上学期9月月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设a ，b ，c R ∈，且a b >，那么以下不等式一定成立的是〔 〕A. 2c 0a b >-B. ()2a b c0- C. a c b c +>-D.22 ac bc >【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质或者者举反例逐一分析得解.【详解】对于选项A,20,0,a b c ->≥所以2c 0a b≥-，所以该选项错误；对于选项B, 20,0,a b c ->≥所以()2a b c0-，所以该选项正确；对于选项C,()2a c b c a b c +--=-+不一定大于零，所以该选项错误； 对于选项D,222()0ac bc a b c -=-≥，所以22 ac bc ≥，所以该选项错误. 应选：B【点睛】此题主要考察不等式的性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设010,15,A 30a b ===，那么此三角形〔 〕 A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求sin B ，与sin A 比拟的大小，判断B 能否取相应的锐角或者钝角. 【详解】由010,15,A 30a b ===及正弦定理，得1015sin 30sin B =，3sin sin 4B A =>，B可取锐角；当B 为钝角时，sin sin()B A π>-，由正弦函数在(,)2ππ递减，B A π<-，可取.应选C.【点睛】此题考察正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.3.不等式23121x x x +-≥-的解集为〔 〕A. (][),12,-∞-⋃+∞B. (]1,1,22⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. (]1,1,22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ D. [)11,2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用分式不等式和高次不等式的解法解不等式得解.【详解】由题得2310,21x x x +--≥-所以220,21x x x --≥-所以2)(1)0,21x x x -+≥-（所以210(21)(2)(1)0x x x x -≠⎧⎨--+≥⎩，所以1122x x -≤<≥或. 应选：D【点睛】此题主要考察分式不等式和高次不等式的解法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3+a 11+a 13＝9，那么S 17＝〔 〕 A. 51 B. 57C. 42D. 39【答案】A 【解析】 【分析】根据求出9a 的值，再利用等差数列的性质求17S .【详解】由题得11119210123(8)39a d a d a d a d a +++++=+==， 所以93a =，所以1791717351S a ==⨯=. 应选：A【点睛】此题主要考察等差数列的性质和前n 项和的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.5.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，那么2020a 的值是〔 〕 A. 2 B. -3C. 12-D.13【答案】D 【解析】 【分析】先通过列举找到数列的周期，再利用数列的周期求值.【详解】由题得23451111121311323,,,2111213231123a a a a +-+-==-==-====-++-， 所以数列的周期为4， 所以202041=3a a =. 应选：D【点睛】此题主要考察递推数列和数列的周期，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.6.假设不等式ax 2+ax ﹣1≤0的解集为实数集R ，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. 0≤a≤4 B. ﹣4＜a ＜0C. ﹣4≤a＜0D. ﹣4≤a≤0 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0a =和0a ≠时，求出不等式的解集为R 时实数a 的取值范围． 【详解】0a =时，不等式210ax ax +-化为10-，解集为实数集R ；0a ≠时，应满足0a <⎧⎨⎩，所以240a a a <⎧⎨+⎩， 解得40a -<；综上，实数a 的取值范围是40a -． 应选：D ．【点睛】此题考察了含有字母系数的不等式恒成立问题和二次不等式的恒成立问题，是根底题．7.某船只在海面上向正向行驶了xkm 迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了km ，此时发现离出发点恰好3km ，那么x 的值是〔 〕 A. 3 B. 6 C. 3或者6 D. 4或者6【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出x 的值． 【详解】设出发点为A ，向东航行到B 处后改变航向到达C ，那么AB x =，3AC =，BC =30ABC ∠=︒，由正弦定理可得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即3sin30=︒，sin BAC ∴∠． 60BAC ∴∠=︒或者120︒，〔1〕假设60BAC ∠=︒，那么90ACB ∠=︒，ABC ∆为直角三角形， 26AB AC ∴==，〔2〕假设120BAC ∠=︒，那么30ACB ∠=︒，ABC ∆为等腰三角形，3AB AC ∴==．应选：C ．【点睛】此题主要考察正弦定理在解三角形中的应用，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.8.假设关于x 的不等式〔m+1〕x 2﹣mx ﹣1＞0的解集为〔1，2〕，那么m ＝〔 〕 A.32B. 32-C. 34-D.34【答案】B 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到方程组，再解方程组即得m 的值.【详解】由题得101211121m m m m ⎧⎪+<⎪⎪+=⎨+⎪⎪⨯=-⎪+⎩，所以32m =-.应选：B【点睛】此题主要考察一元二次不等式解集的性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2S 4＝a 4S 2，那么20191S S =〔 〕A. 1B. ﹣1C. 2021D. ﹣2021【答案】A 【解析】 【分析】先由得到公比q=-1,再求20191S S 的值得解. 【详解】由题得23311111111()()a q a a q a q a q a q a a q +++=+， 即233q(1)(1)q q q q q +++=+， 所以232(1)(1)q q q q q +++=+， 所以1q =-.所以20191201911(1(1))S 11=1S a a --+=.应选：A【点睛】此题主要考察等比数列的通项和前n 项和公式的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.10.在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB =，sinC 6=，那么BC BD =〔 〕 A. 2 B. 3【答案】A 【解析】 【分析】ABD ∆中，由余弦定理222cos 2AB AD BD A AB AD+-=可求cos A ，然后结合同角平方关系可求sin A ，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AB BCC A=，可求BC 即得解. 【详解】由题意可设AB AD x ==，BD =， ABD ∆中由余弦定理可得，2222222413cos 223x x xAB AD BD A AB ADx +-+-===，(0,)A π∈，sin A ∴=sin C =ABC ∆中，由正弦定理可得，sin sinAB BCC A=，=BC ∴=那么2xBC BD ==， 应选：A ．【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是纯熟应用根本公式.11.在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，假设90S >，100S <，那么在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是〔 〕A. 11S aB. 88S aC. 55S aD. 99S a【答案】C 【解析】【分析】由题意知5600a a ＞，＜ ．由此可知569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 【详解】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ， 所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S Sa a a a a ，，，>>><<， 而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞ ，所以在在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 应选C ．【点睛】此题考察等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.12.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，假设ABC ∆的外接圆半径为3，那么ABC∆的周长的取值范围为〔 〕 A. (]2,4 B. (]4,6C. ()4,6D. (]2,6【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理与余弦定理化简条件得C ，再根据正弦定理得c ，最后根据余弦定理求+a b最大值，由三角形三边关系确定+a b 范围，即得ABC ∆的周长的取值范围. 【详解】因为()()222cos cos ab c a B b A abc+-⋅+=，所以()2cos cos abcosC sinA B sinB A absinC ⋅+=，()2sin cosC A B sinC ⋅+=，21cosC =，3C π=, c 223sin π== 因此()()()()22222222223344a b a b c a b abcosC a b ab a b ab a b ++=+-=+-=+-≥+-⨯=.即()22244a b a b +≤+≤，,因为2a b c +>=,所以(]4,6a b c ++∈,选B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，假设a ＝3，c ＝7，C=60°，那么边长b ＝_________. 【答案】8 【解析】 【分析】由余弦定理得到b 的方程，解方程即得解. 【详解】由余弦定理得2149=9+232b b -⨯⨯， 即23400b b --=， 所以b=8或者-5〔舍〕. 故答案为：8【点睛】此题主要考察余弦定理解三角形，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.14.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n+1＝2S n 〔n ∈N *〕，那么a n ＝____________.【答案】211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，， 【解析】 【分析】利用项和公式求解即可.【详解】由题得1122(2)n nnn a S a S n +-=⎧⎨=≥⎩，两式相减得+1=32)n n a a n ≥（，即+1=32)n na n a ≥（， n=1时，2212,23a a a =∴=≠， 所以数列{a n }从第2项起是等比数列，所以n-2=232)n a n ⋅≥（， 所以数列的通项为211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，. 故答案为：211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，， 【点睛】此题主要考察项和公式求数列的通项，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.15.数列{}n a 满足()1223,2,4n n a a a a n N *+==-=∈ ，那么数列{}na 的通项公式为__________．【答案】2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数【解析】 【分析】由题得到该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，再求数列的通项得解.【详解】因为()1223,2,4n n a a a a n N*+==-=∈，所以该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，当n 为奇数时，1=3+1)42n 12n n a +-⨯=+（， 当n 为偶数时，=2+1)42n 22n na -⨯=-（.故数列的通项为2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数.故答案为：2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数【点睛】此题主要考察数列通项的求法，意在考察学生对该知识的理解掌握程度.ABC ∆中，120C =︒，tan 5tan A B =，那么sin sin AB的值是______.1 【解析】 【分析】根据C 的值利用余弦定理得到a b c 、、的一个关系式；再将tan 5tan A B =化切为弦得到第二个a b c 、、的关系式，两式联立消去c ，从而得到a b 、的关系式，化简可得ab的值，即为sin sin AB的值. 【详解】由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，那么222c a b ab =++；又因为tan 5tan A B =，所以sin cos 5sin cos A B B A =，化简得222323a c b -=； 两式联立消2c 得22250a ab b --=，那么2()250a a bb --=，解得ab=；由正弦定理可知：sin =sin A aB b. 【点睛】解三角形的问题中，出现了有关正切的条件，要注意将其转化为正、余弦的形式去处理，因为这对后面去使用正、余弦定理睬更加的便捷.三、解答题：一共70分。
2021年高二9月月考数学理试题
tHO 3tH O3 tH O 3tH O 3 B ．C ．D ．H2021年高二9月月考数学理试题数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 函数在点处的导数是（ ）Ａ． Ｂ． 1 Ｃ． 0 Ｄ． 2．函数，已知在时取得极值，则=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．（0，3）C ．（1，4）D ．4．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）A ．B ．C ．D ．5、、已知函数的导函数的图像如右图，则（ ）A ．函数有1个极大值点，1个极小值点B ．函数有2个极大值点，2个极小值点C ．函数有3个极大值点，1个极小值点D ．函数有1个极大值点，3个极小值点6．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）7．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）.A.假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角都大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角至多有两个大于60度.8．定积分等于（）ＡＢＣＤ9．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”。
那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若成立，则成立Ｂ．若成立，则成立Ｃ．若成立，则当时，均有成立Ｄ．若成立，则当时，均有成立10．已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。
11. 计算：= __________.12．已知，，则的最小值为13、如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共有____________个顶点。
上海市2021高三数学上学期9月月考试题(含解析)
高三数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.方程4260x x --=的解为______． 【答案】2log 3x = 【解析】 【分析】换元20x t =>，可得出260t t --=，解此方程，求出正数t 的值，即可得出x 的值. 【详解】令20x t =>，由4260x x --=，可得260t t --=，解得3t =或2t =-（舍去）. 即23x =，解得2log 3x =. 故答案为：2log 3x =.【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题的关键就是利用换元法将方程变为二次方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2.设复数11z i =+，()22z xi x =+∈R ，若12z z ⋅∈R ，则x 的值等于______． 【答案】2- 【解析】 【分析】利用复数的乘法将复数12z z ⋅表示为一般形式，结合题意得出其虚部为零，由此可解出实数x 的值. 【详解】11z i =+，()22z xi x =+∈R ，()()()()121222z z i xi x x i ∴⋅=++=-++，12z z R ⋅∈，20x ∴+=，解得2x =-，因此，2x =-.故答案为：2-.【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.函数()2f x =______． 【答案】[)0,1 【解析】【分析】根据被开方数非负、分母不为零、真数大于零列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得()10lg 310lg1310x x x ->⎧⎪+≥=⎨⎪+>⎩，即10311x x ->⎧⎨+≥⎩，解得01x ≤<.因此，函数()y f x =的定义域为[)0,1. 故答案为：[)0,1.【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列出关于自变量的不等式组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 4.已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为______．【答案】36x y =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据增广矩阵得出二元一次方程组，解出即可.【详解】由题意可知，线性方程组为320x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=-⎩.因此，该线性方程组的解为36x y =⎧⎨=-⎩.故答案为：36x y =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查线性方程组的求解，同时也考查了增广矩阵定义的应用，根据增广矩阵得出线性方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 5.在二项式252()x x-展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字作答）【答案】80- 【解析】试题分析：二项式的通项251031552()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为335(2)80C -=-.考点：二项式定理.6.已知双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2，那么________.【答案】【解析】【详解】由题意双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2,可得该渐近线的斜率为12-,由于该双曲线的渐近线方程为y kx =±, 故12k =, 故答案为12. 7.圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】【解析】试题分析：那么圆锥的母线，所以侧面积为考点：圆锥的侧面积8.设无穷等比数列{}n a 的公比12q =-，11a =，则()2462lim n n a a a a →∞++++=______．【答案】23- 【解析】 【分析】求出2a 的值，然后利用等比数列的求和公式求出2462n a a a a ++++，由此可计算出所求极限值.【详解】由等比数列的定义可知2112a a q ==-， 222214n n a q a +==，所以，数列{}2n a 是以212a =-为首项，以14为公比的等比数列，24621112124113414n n n a a a a ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴++++==-- ⎪⎝⎭-.因此，()2462212lim lim 1343n n n n a a a a →∞→∞⎡⎤⎛⎫++++=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：23-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了等比数列求和，解题时要熟悉几种常见的数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.9.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且AK =，则AFK △的面积为__________．【答案】8 【解析】抛物线C ：28y x =的焦点为()2,0F ,准线与x 轴的交点为()2,0K -设A 点坐标为28y y ，⎛⎫⎪⎝⎭，则有22222222288y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++=⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得216y = AFK ∴的面积为14482⨯⨯=10.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______． 【答案】710【解析】 【分析】先求出这10个数的值，找出其中小于8的数的个数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意知，这10个数分别为1、2-、4、8-、16、32-、64、128-、256、512-，其中小于8的数为1、2-、4、8-、32-、128-、512-，共7个，因此，从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是710. 故答案为：710. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率的计算，同时也考查了等比数列定义的应用，解题的关键就是求出题中所涉及的数，考查计算能力，属于中等题.11.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，110(){2011ax x f x bx x x +-≤<=+≤≤+，，，，其中a b R ∈，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 【答案】－10 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，所以31()()22f f =-，且(1)(1)f f -=，故11()()22f f =-，从而121211212b a +=-++，322a b +=-①.由(1)(1)f f -=，得212b a +-+=，故2b a =-. ② 由①②得2a =，4b =-，从而310a b +=-.点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.12.定义函数348122(){1()222x x f x x f x --≤≤=>，则函数()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为 . 【答案】【解析】当时，，，可知当时，；当时，，则，，当时，；当时，，则，，当时，；所以()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为.考点：函数的零点. 二、选择题13.“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解方程tan 1x =-，得出x 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件关系.【详解】解方程tan 1x =-，得()4x k k Z ππ=-+∈，因此，“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.14.函数1(0)y x =<的反函数是 （ ）A. 0)y x =<B. 0)y x =<C. 2)y x =>D. 2)y x =>【答案】D 【解析】【详解】因为1(0)y x =<，所以2y >，可得2)x y =>，,x y互换可得函数1(0)y x <的反函数是2)y x =>，故选：D.15.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A. 12-B.2C. D.12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则53 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质。
2021年高二数学上学期9月月考试卷 文(含解析)
2021年高二数学上学期9月月考试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（） A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 1612．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2，2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是 =，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 16考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2 ），根据正三角形的性质 =tan30°=求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后求得这个正三角形的边长．解答：解：设其中一个顶点是（x，2 ）因为是正三角形所以 =tan30°=即解得x=12所以另外两个顶点是（12，4 ）与（12，﹣4 ）则这个正三角形的边长为故选B．点评：本题主要考查抛物线的应用．利用抛物线性质解决解三角形问题的关键．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 ．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题结果即可．解答：解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，注意否定的形式．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：求出p的等价条件，利用q是p的充分条件，确定m的取值范围．解答：解：由x2﹣7x+10≤0，解得2≤x≤5，即p：2≤x≤5．，设A={x|2≤x≤5}∵命题q可知：m≤x≤m+1，设B={x|m≤x≤m+1}，∵q是p的充分条件，∴B⊆A，，解得：2≤m≤4．∴m的取值范围是2≤m≤4．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．考点：椭圆的标准方程；正弦定理．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，根据椭圆的定义可知：点C的轨迹是椭圆（去掉左右顶点）．解答：解：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，满足椭圆的定义．设椭圆方程为，则a′=5，c′=4，∴=3，则轨迹方程为（x≠±5），图形为椭圆（不含左，右顶点）．点评：本题考查了椭圆的定义，属于基础题．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．27172 6A24 樤t36464 8E70 蹰UeX- ]g33954 84A2 蒢29404 72DC 狜6。
上海市某校2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题(有答案)
上海市某校2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题一、填空题1. 函数在处取得最大值，则________2. 已知等差数列{a n}满足a1＝1，a3＝5，那么数列{a n}的前8项和S8＝________．3. 已知向量,为单位向量，且夹角为60∘,则________.4. 若增广矩阵的线性方程组的解为，则实数________5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为________.6. 在中,,,为斜边上靠近点的三等分点,为边的中点,则的值为________.7. 已知，，，均为锐角，则________.8. 圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若，且，则向量在向量方向上的投影为________.9. 方程所有解的和为________10. 设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确是________（填写序号）①的图象过点；②在上单调递减；③的一个对称中心是；④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.11. 如图所示，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形上再连接正方形……如此无限重复下去，设正方形面积为，三角形面积为.当第一个正方形的边长为2时，则这些正方形和三角形的面积的总和为________.12. 在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.二、单选题已知，，且 // ，那么()A.10B.5C.D.已知，则的值为()A. B. C. D.如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则()A. B. C. D.在平面直角坐标系中，定义（）为点到点的变换，我们把它称为点变换，已知，，，是经过点变换得到一组无穷点列，设，则满足不等式最小正整数的值为()A.9B.10C.11D.12三、解答题关于的方程组请对方程组解的情况进行讨论.已知，且向量与不共线.（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与的夹角的钝角，求实数的取值范围.数列满足，，.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.已知，，函数．（1）求的最小正周期；（2）求在内的零点的个数；（3）将的图像先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中，得到的图像，若在上恒满足，求所有可取的值．对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”.（1）若，，判断数列、是否是“折叠数列”，如果是，指出的值；如果不是，请说明理由；（2）若，求所有的实数，使得数列是折叠数列；（3）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论.参考答案与试题解析上海市某校2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题一、填空题1.【答案】________，√,2 【考点】三角函数中的恒等变换应用 辅助角公式 【解析】由辅助角公式化简函数式，结合题意在x =θ处取得最大值，知sin (θ+π4)=1即可求出θ，进而求sin θ 【解答】y =sin x +cos x =√2(sin x cos π4+cos x sin π4)=√2sin (x +π4)在x =θ处取得最大值，即sin (θ+π4)=1 θ+π4=2kπ+π2，有θ=2kπ+π4则故答案为：√22 2.【答案】64【考点】等差数列的通项公式 【解析】先求得d ，再求得S ． 【解答】依颢意d =马∼ai _2−+=2．所以S ．=8×1+=×2=64． 3—122 故答案为：64 3. 【答案】 、5【考点】 向量的模 【解析】由题意可得|e →1|=1|e 2→|=1,e 1→⋅e 1→=12，再代入向量的模长计算公式即可． 【解答】因为向量为单位向量，所以|e 1→|=|1.|e 2→|=1，所以e 1→⋅e 2→||e 1|→||e 2→||cos 60∘=12故答案为：√3 4.【答案】 2【考点】集合的确定性、互异性、无序性 区间与无穷的概念 不等式的基本性质【解析】根据增广矩阵的概念直接求解． ________．(237) 【解答】由增广矩阵为01m Ⅰ的线性方程组的解为{x =2y =1,则0×2+2×1=m 得m =2故答案为：2． 5. 【答案】 3−、5 【考点】 正弦定理 解三角形【解析】先利用三角形内角和为π，根据sin A =sin (B +C )可以求出sin A ，再由正弦定理求出b ，即可利用三角形面积公式 S =12ab sin C 求出．【解答】由题可知，在△ABC 中，sin A =sin (B +C )=sin (π3+π4)=sin π3cos π4+cos π3sin π4=√32×√22+12×√22=√6+√24由正弦定理可得a sin A=b sin Bb =a sin A ×sin B =2√6+√24×√32=3√2−√6 S =12ab sin C =12×2×(3√2−√6)×√22=3−√3故答案：3−√3 6. 【答案】________、18 3【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】由已知条件，先线性表示向量AP →,AO →，再由向量的数量积的运算律运算可得答案 【解答】由已知可知：AC →=0,AO →=12(AB →+AC →)AP →=AB →+BP →=AB →+13BC →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →所以AP →⋅AO →=(23AB →+13AC →)⋅12(AB →+AC →)=13AB →2+16AC →2+12AB →⋅AC →=13×42+13×22=183故答案为：1837.【答案】________，10、5−12,39 【考点】方根与根式及根式的化简运算 区间与无穷的概念 不等式的基本性质【解析】通过已知角的余弦函数值，求出对应角的正弦函数值，再利用两角和差的余弦公式即可． 【解答】因为α,β均为锐角，所以α+β∈(0,π)2a ∈(0,π)，由cos (α+β)=−13cos 2α=−513易知sin (α+β)=√1−(−13)2=2√23sin 2α=√1−(−513)2=1213所以 故答案为：10√2−12398.【答案】3【考点】平面向量数量积向量加减混合运算及其几何意义【解析】根据向量关系，即可确定⋅ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果 【解答】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →+AC →=2AO →故可得4BC 是以角A 为直角的直角三角形． 又因为|OA →|=|AC →|，且外接圆半径是2， 故可得BC =20A =2AC =4则AB =√BC 2−AC 2=2√3cos ∠ABC =AB BC=√32故向量BA →在向量BC →方向上的投影为AB ×cos ∠ABC =2√3×√32=3故答案为：3． 9.【答案】 4【考点】余弦函数的图象 【解析】先令f (x )=cos πxg (x )=|log 2|x −1|，求出f (x )的周期和对称轴，g (x )的对称轴，画出图像，观察交点个数，利用 对称性即可得解． 【解答】令f (x )=cos πx ，则其周期为2ππ=2，其中一个对称轴为x =1令g (x )=log 2|x −1|，则其对称轴为x =1，画出f (x ),g (x )的图像如下： 风观察图像可得：函数f (x )和函数g (x )有4个交点，并且都关于x =1对称分布，所以原方程所有跟的和为4． 故答案为：4． 10.【答案】 ③【考点】函数的概念及其构成要素函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数f (x )的解析式．再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可． 【解答】函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,π2))的最小正周期是π，所以ω=2ππ=2，则f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )=2sin (2x +φ)图象关于直线x =2π3对称，所以对称轴为2x+φ=π2+kπ,k∈Z，代入可得2×2π3+φ=π2+kπ,k∈Z，解得φ=−5π6+kπ,k∈Z因为ρ∈(0,π2)，所以当k=1时，φ=π6，则f(x)=2sin(2x+π6)对于○，当x=0时，f(0)=2sinπ6=1f(x)的图象不过点(0,32)，所以⑩不正确；对于②，f(x)=2sin(2x+π6)的单调递减区间为π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,λ∈Z当k=0时π6≤x≤2π3，又因为π12÷π6，则f(x)在[π12:2π3]上不是减函数，所以②错误；对于③，f(x)=2sin(2x+π6)的对称中心为2x+π6=kπ,λ∈Z，解得x=−π12+kπ2,k∈Z，当k=1时，x=5π12，所以(5π12,0)是f(x)的一个对称中心，所以③正确；对于④，将f(x)=2sin(2x+π6)向右平移π6个单位长度，可得y=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)，所以不能得到y=2sin2x的图象，所以④错误综上可知，正确的为③．故答案为：③．11.【答案】10【考点】数列的求和数列的极限【解析】先由题意，求出S1,T1，得到正方形的面积构成以4为首项，以12为公比的等比数列，三角形的面积T1,T2,T3,⋯,T n构成以1为首项，以12为公比的等比数列，根据等比数列的前”项和公式，以及极限的运算法则，即可得出结果．【解答】因为第一个正方形的边长为2，所以S1=22=4因此第一个三角形的直角边长为√2，其面积为：T1=12×√22=1由题意，正方形的面积S1,S2,S,⋯,S n构成以4为首项，以12为公比的等比数列；所以其前：项和为4×[1−(12)n−1]=8[1−(12)n−1]=8−(12)n−1三角形的面积T 1,T 2,T 3,⋯,T n ,⋯构成以1为首项，以12为公比的等比数列； 所以其前几项和为11|1−(12)n−11−12=2−(12)n−2因此这些正方形和三角形的面积的总和为：故答案为：10． 12.【答案】 ′2【考点】平面向量的基本定理及其意义 向量加减混合运算及其几何意义 【解析】通过表示MN →=12(AB →+DC →)，再利用MN →⋅(AD →−BC →)=32可计算出CD →2=1，再计算出(AB →−CD →)2可得答案 【解答】由于M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，故MN →=12(AB →+DC →)AD →−BC →=AD →+CB →=CD →+AB →，所以MN →⋅AD →−BC →)=12(AB →−CD →)⋅(AB →+CD →)=32，所以AB →2−CD →2=3，所以CD →2=1，而2MN →=AB →−CD →，所以(2MN ¯)2=(AB →−CD →)2，即4=4+1−2AB →⋅CD →，故AB →⋅CD →=12，故答案为121点加青】本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大 二、单选题【答案】 D【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义 勾股定理【解析】根据向量平行，利用向量共线的坐标表示即可求k ． 【解答】由a →⋅b →知：4×5+2k =0，解得k =−10 故选：D 【答案】 B【考点】二倍角的正弦公式三角函数中的恒等变换应用 【解析】根据诱导公式、倍角正弦公式得sin (π2−α)⋅cos (π2+α)=−sin 2α2，结合万能公式求出sin 2α即可求最终值． 【解答】sin (π2−α)⋅cos (π2+α)=−sin 2α2sin 2α=2tan α1+tan 2α=35∴ s ln (π2−α)⋅cos (π2+α)=−310 故选：B 【答案】 B【考点】向量加减混合运算及其几何意义 向量的减法及其几何意义 向量的加法及其几何意义 【解析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD →,BM →，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果． 【解答】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD →=tBC →=t (AC →−AB →) 因为M 是线段AD 的中点，所以：又BM →=λAB →−μAC →，所以λ=−12(t +1)μ=12t 所以λ+μ=−12 故选：B ．【答案】 C【考点】数量积的坐标表达式 【解析】可以先求得a 1（当然可求得a 2,a 3,a 4,⋯，然后归纳出a n ，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得a n =x x 2+y n 2，从而可以得a n−1=2a n ，说明数列{a n }是等比数列，求得通项公式a n 后求和，由S n >2020得解． 【解答】由定义知{x 1=1y 1=0,{x 2=1y 2=1{x 3=0,y 3=2，即P 2(1,1),P 3(0,2)a 1=P 1P 2¯⋅P 1P 3¯=(0,1)⋅(−1,1)=1观察可得，a n =P n P n+1¯⋅P n−1P n+2¯=(x n+1−x n ,y n+1−y n )⋅(x n+2−x n+1,y n+2−y n+1)=(−y n ,x n )⋅(−y n+1,x n+1)=y n y n y n+1+x n x n+1=y n (x n +y n )+x n (x n −y n )=x n 2+y n 2+y n 2a n+1=x n+12+y n+12=(x n −y n )2+(x n +y n )2=2(x x 2+y n 2)=2a n…数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1．∴ a n =2r−1a 1+a 2+⋯+a n =1+2+22+⋯+2n−1=2n −1，由2n −1>2020，解得n ≥11．即Р的最小值为11. 故答案为：C 三、解答题 【答案】当m ≠−1且m ≠3时，方程组有唯一解，即{x =−2(m+3)n+1,y =−4m+1,当m =3时，方程组有无穷多解；即{x =−3t −6y =t (t ∈R )；当 m =−1时，此方程组无解 【考点】 数学归纳法根的存在性及根的个数判断 分段函数的应用【解析】分情况m =−1,m =3m ≠−1且m ≠3三种情形进行讨论，计算即可． 【解答】解：根据题意，方程组{x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0的解，D =|1−2−2m|=−2m +6(n −2)=4m −12=4(m −3) 所以，当m =−1时，D =0Dx ≥0，方程组无解；当m =3时，D =Dx =D 1=0，方程组有无穷多个解，即{x =−3t −6,y =t (t ∈R ) 当m ≠−1且m ≠3时，D ≠0，方程组有唯一的解{x =2(n+3)m+1y =−2m+1【答案】 （1）（2）÷1<k <1且k ≠0 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）因为a →与b →的夹角为45∘，所以可求得a →⋅b →=√22．展开(2a →−b →)⋅(a →+b →)代入a →⋅b →=√22即可求得结果． （2）由向量ka →+b →与a −b →的夹角的钝角，可得(ka →+b →)⋅(a →a →b →)<0且不反向共线，展开解k 即可． 【解答】（1）：⋅a →与b ¯的夹角为45∘a →⋅b →=|a →|||→|cos 45∘=1×√22=√22．(2a →−b →)⋅(a →+b →)=2a →2+a →⋅b →−b →2=2+√22−1=1+√22（2）：向量ka →+b →与ka →−b →的夹角为钝角， ka →+bka →⋅b →<，且不能反向共线，k 2a →2−b →2=k 2−1<0，解得−1<k <1,k ≠0 实数k 的取值范围是−1<k <1且k ≠0 【答案】（1）证明见解析； （2）S n =(2n−1)⋅3n−14【考点】由递推关系证明数列是等差数列 数列的求和 【解析】（1）将所给的等式两边同时除以n (n +1)，再将所得到的等式变形即可完成证明； （2）由（1）求解出{a n }的通项公式，然后求解出{b n }的通项公式，最后利用错位相减法求解出S n 【解答】（1）因为na n+1=(n +1)a n +n (n +1)，所以nan+1n (n+1)=(n+1)a nn (n+1)+n (n+1)n (n+1)所以an+1n+1=a n n+1，所以an+1n+1−a n n=1，所以数列是等差数列；所以ann =1+(n −1)⋅1=n ，所以a n =n 2所以（2）b n =3a 1=a 1=1所以S n =1⋅31+2⋅32+3⋅33+⋯+n ⋅3n ，所以S n =1⋅32+2⋅33+3334+⋯+n ⋅3n−1所以−2S n =31+32+33+⋯+3n −n ⋅3n+1，所以−2S n =3(1−3n )1−3−n ⋅3n+1所以S n =3(1−3n )4+n2⋅3n−1=34+2n−14⋅3n=(2n−1)n−1+34【答案】 （1）π； （2）13；（3）0<≤________．或∞=8k+=e(keN)．【考点】数量积的坐标表达式 【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．（2）令f (x )=0，求解三角函数值，结合范围推出结果即可．（3）利用函数的图象变换化简函数的解析式，利用函数的最值列出不等式求解即可． 【解答】（1）因为a →=(2sin (2x +π6),1)b →=(12,sin 2x −12cos 2x)，且f (x )=a →⋅b →所以f (x )=sin (2x +π6)+sin 2x −12cos 2x =√32sin 2x +12cos 2x +1−cos 2x 2−12cos 2x=√32sin 2x −12cos 2x +12=sin (2x −π6)+12∴ f (x )的最小正周期T =2π2=π（2）令f (x )=0得sin (2x −π6)=−12，2x −π6=2kπ+7π6或2kπ−π6 ．x =kπ+2π3或k (k ∈Z,x ∈[−10,10])当x =kπ时，k =−3,−2,⋯,2,3，有7个值 当x =kπ+2π3时，k =−3−2,…有6个值即：f (x )在[−10,10]内的零点的个数为13．（3）依题意，g (x )=sin (ωx −π6)(ω>0)g (π4)是g (x )在[0,π4]上的最大值当0≤x ≤π4时，−π6≤ωx −π6≤π4ω−π6，下面分情况讨论：①当π4ω−π6≤π2，即0<a ≤83时，g (x )在[0,π4]上单调递增，符合题意②当π4ω−π6>π2，即a >83时，为了满足题意，必须保证g (π4)=1π4ω−π6=2kπ+π2(k >0,k ∈Z ) 小ω=8k +83(k ∈N ′)综上：②所有可取的值为0<ω≤83或ω=8k +83(k ∈N ′)【答案】（1）{a n }是“m 一折叠数列”，m =8{b n }不是“m 一折叠数列”； （2）q =0或q =1或q =−1； （3）存在，证明见解 析．【考点】 数列递推式 【解析】（1）根据题设定义知“m 一折叠数列”：数列在1≤n ≤2m −1内关于n =m 对称，即证明a n =|25n −200|b n =n 2−2019n −1是否关于某一个正整数对称即可；（2）由题意知{q =q 5q 2=q 5求解即可；（2）结合题设，应用三角函数x B =cos πp 求证即可．【解答】（1）=m ≤N ，使得对任意1≤2m −1(k ∈N ast )都成立，知：{x n }在1≤n ≤2m −1内关于n =m 对称即可1、a n ={200−25n,1≤n <825n −200,n ≥8(n ∈N ′)有{a n }在1≤n ≤2×8−1=15内关于=n =8对称，故m =8，即是“8−折叠数列2、b n =n 2−2019n −1(n ∈N ast )有{b n }在1≤n ≤2018内关于n =20192对称，m =20192∈N ′，即不是“—折叠数列（2）由（1）知：若x n =q n (n ∈N ′)是3一折叠数列，有： {q =q 5q 2=q 3解之得：q =−1或q =0)或q =1 （3）给定________p =N ′{x n }都是pm −折叠数列，即{x n 有多条对称轴，其中关于n =pm对称，设x n=cosπx，即pπx=mπ有对称轴为x=pmm∈N′且周期为2pp…在周期(1,2p]内，有对称轴x=p:(1,2p]与[p,2]]上值的个数相同，单调递增，则{x n}的各项中有p+1个不同的值，而[P,2p]加x B=cosπxp…给定常数p∈N′存在数列{x n}，使得对所有m∈N′{x n}都是pm−折叠数列且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值．。
2021年高二上学期9月月考数学试题含答案
2021年高二上学期9月月考数学试题含答案考试范围：必修5第一、二章考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为A B C D2．已知是等比数列，，则公比=A．B．C．2 D．3．若 ABC中，sin A:sin B:sin C=2:3:4，那么cos C=A. B. C. D.4．设数是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A．1 B．2 C．D．45．在各项均为正数的等比数列中，若，则……等于A. 5B. 6C. 7D.86．在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=600C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=4507．在中，若，则的形状一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形8．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（）A B C D9．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则（）A B C D10．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）A. B. C. D.二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知为等差数列，，，则____________12. 已知数列｛an ｝的前n项和是, 则数列的通项an=__13．在△ABC中,若a2+b2<c2,且sin C =,则∠C =14．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，=，那么b =15．在钝角△ABC 中，已知a=1,b=2,则最大边c 的取值范围是____________ 。
三、解答题：（本大题分6小题共75分） 16.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长．17．（本小题满分12分）等比数列中， ，，求 ．18. （本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．19．（12分）已知是等差数列，其中 （1）求的通项; （2）求的值。
2021年高二9月月考 数学(理)试题 含答案
绝密★启用前2021年高二9月月考 数学（理）试题 含答案A ．不能作出这样的三角形B ．能作出一个锐角三角形C ．能作出一个直角三角形D ．能作出一个钝角三角形4. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( ) A ．－72 B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－365. 在等差数列中则的最大值等于（ ）A. 3B. 6C.9D. 366. 等差数列中,已知,,,则为 （ ） A ． B ． C ． D ．7. 已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则的值为（ ） A 、 B 、— C 、或— D 、 8. 数列满足，设，则（ ）A ．B ．C ．D ．9. 已知数列满足：,,（）,若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.10. 已知数列为等差数列，若且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（ ） A.11 B.19 C.20 D.21第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明二、填空题11. 已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则____________. 12. 设等差数列的前项和为，若，则的最大值为__________。
13. 等差数列的公差，且()1sin sin sin cos cos cos sin 72623262323232=+-+-a a a a a a a a ，仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是14. 等差数列的前项和为，若，则的值是三、解答题15. 已知是等差数列，其中（1）求的通项;（2）数列从哪一项开始小于0;（3）求值。
16. 设等比数列的前n项和为S n，已知（1）求数列的通项公式；（2）在a n与a n+1，之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列的前n项和T n．17. 已知公差不为0的等差数列的首项，设数列的前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式及；（2）求.18. 在中,角,,所对的边分别为,,,,.(Ⅰ)求及的值;(Ⅱ)若,求的面积.19. 设同时满足条件：①；② (，是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值，并证明此时为“嘉文”数列.参考答案一、单项选择 1.【答案】C 【解析】 2.【答案】Ｂ【解析】根据等差数列通项及性质，可得选B 。
2021年高二9月第一次月考 数学(理)试题 含答案
2021年高二9月第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{an }满足a1>0，an＋1an＝12，则数列{an}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不确定2．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( )A．4 B．2C．1 D．－23．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米4．数列{a n}中，a n＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A．103 B．1081 8C．10318D．1085．在△ABC中，已知sin C＝2sin Acos B，那么△ABC一定是()．A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形6．已知数列{a n}的前n项和S n＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于()A ．16B ．8C ．4D ．不确定7．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11B ．99C ．120D ．1218．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n ，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2 011的值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．29．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1a n＝n ＋1n ，则a 2 012＝( ) A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 01310.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos (B ＋C)＋3＝0，则角B 的大小为 A.π6 B.π4 C.π3 D.5π611．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．1612.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知c ＝2，C ＝π3，S △ABC＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6B ．5C ．4D ．1＋2 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列54，109，17a ＋b，a －b 25，…中，有序数对(a ，b)可以是__________．14．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3，则△ABC 的面积为________． 15已知数列{a n }满足a n ＝a n －13a n －1＋1，a 1＝1，则a n ＝________. 16．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，tan A ＋tan B ＝3－3tan Atan B ，a ＝2，c ＝19.(1)求tan(A ＋B)的值；(2)求△ABC 的面积．20. （12分）已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝n a n(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和公式T n . 21.（12分）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝2，S △ABC ＝2.(1)求tan A 的值；(2)若sin B ＝2cos Asin C ，求BC 的长．22．(12分)已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N＋)，求数列{b n}的前n项和T n.高二数学试题(理)答案4.解析：根据题意结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n 2－292n ＋3 ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋3＋29×298. ∴n ＝7时，a n ＝108为最大值．答案：D5.解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Acos B ， ∴sin Acos B －cos Asin B ＝0，即sin(A －B)＝0，又∵0<A<π，0<B<π，∴A ＝B ，故选B.答案 B6.解析：由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn(a 、b ∈R)，可得数列{a n }是等差数列，S 25＝(a 1＋a 25)·252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8. 答案：B7.解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：C 8.解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π2 011＝Π1＝2.答案：D12.解析： 由S △ABC ＝12absin π3＝34ab ＝3，得ab ＝4.根据余弦定理知4＝a 2＋b 2－2abcos π3＝(a ＋b)2－3ab ，所以a ＋b ＝4.故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6，选A.答案： A13.解析：从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝16，a －b ＝26，解上式得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝21，b ＝－5. 答案：(21，－5)14.解析 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35， sin A ＝1－cos 2A ＝45， AB →·AC →＝AB·AC·cos A ＝3，AB·AC ＝5，△ABC 的面积等于12AB·AC·sin A ＝2. 答案 215.解析： 取倒数：1a n ＝3a n －1＋1a n －1＝3＋1a n －1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，1a n ＝1a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)⇒a n ＝13n －2. 答案： 13n －216.解析：如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝302．答案：30 2＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23·4n ＋n 2＋n －23. 19.解析 (1)∵tan A ＋tan B ＝3－3tan Atan B ＝3(1－tan Atan B)，∴tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝ 3. (2)由(1)知A ＋B ＝60°，∴C ＝120°.∵c 2＝a 2＋b 2－2abcos C.∴19＝4＋b 2－2×2×b ⎝⎛⎭⎫－12，∴b ＝3. ∴S △ABC ＝12absin C ＝12×2×3×32＝332. 20.解：(1)∵S n ＝1－a n ，①∴S n ＋1＝1－a n ＋1，②②－①得，a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1＝12a n (n ∈N *)， 又n ＝1时，a 1＝1－a 1，∴a 1＝12. ∴a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ，n ∈N *. (2)∵b n ＝n a n＝n·2n (n ∈N *)， ∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .③∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1.④③－④得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1， 整理得，T n ＝(n －1)2n ＋1＋2，n ∈N *.21.解 设在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(1)∵AB →·AC →＝2，∴bccos A ＝2，又S △ABC ＝2，∴12bcsin A ＝2，∴tan A ＝2. (2)∵tan A ＝2，∴cos A ＝55， 由于sin B ＝2cos Asin C ，∴cos A ＝sin B 2sin C ＝b 2c， ∴b ＝255c ，又bccos A ＝2，即55bc ＝2， 故c ＝5，b ＝2. 从而a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝5. ∴a ＝5，∴BC ＝ 5.22.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2， 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n(n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).。
2021年高二上学期9月月考数学试题 含答案
2021年高二上学期9月月考数学试题含答案评卷人得分一、选择题6.已知数列{a n}满足a n+1＝，则数列{a n}是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列7.已知数列{a n}中，a n－1＝ma n+1(n＞1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于( )A.0B.C.2D.58.已知等差数列{a n}中，a2+a8＝16，则a5的值为( )A.8B.10C.16D.249.如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7等于( )A.14B.21C.28D.3510.在△ABC中,若sinA>sinB,则A与B的大小关系为( )A.A>BB.A<>C.A≥BD.A,B的大小关系不能确定11.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则数列{a n}的公差d等于( )A.2B.3C.6D.712.已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n－1，则此数列奇数项的前n项的和是（）.A.(2n＋1－1)B.(2n＋1－2) C.(22n－1) D.(22n－2)评卷人得分二、填空题13.已知等差数列{an }的公差为1,且a1+a2+a3+…+a99=99,则a3+a6+a9+…+a99的值是__________.14.等比数列{a n}中，a2 006和a2 012是方程x2+x－1＝0的两根，则a2 007a2 011＝__________.15.一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为__________米．16.在△ABC中,若B=30°,AB=,A C=2,则△ABC的面积是_____________________.评卷人得分三、解答题17.在△ABC中，（1）若b＝3，c＝1，A＝60°，试求a；（2）若a＝，b＝1，c＝2，试求A．18.在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA．（1）求AB的值；（2）求sin(2A－)的值.19.在海港A正东39n mile处有一小岛B，现甲船从A港出发以15n mile/h的速度驶向B岛，同时乙船以6n mile/h的速度向北偏西30°的方向驶离B岛，不久之后，丙船则向正东方向从B岛驶出，当甲乙两船相距最近时，在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60°方向，问此时甲丙两船相距多远？20.在数列{a n}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求a2 012；（3）2 012是否为数列{a n}中的项？21.在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n.22.已知数列{an }是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn =an·3n,求数列{bn}的前n项和的公式.高二数学参考答案一、选择题1.答案：B解析：由余弦定理a2＝b2+c2－2bc cos A，得c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍去)．2.答案：D解析：由余弦定理的推论，得cos C＝，所以选项D不成立．3.答案：A解析：由正弦定理得，＝，所以sin C＝，所以C＝60°，或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形；当C＝120°时，A＝B＝30°，△ABC为等腰三角形，故选A．4.答案：D解析：由正弦定理得，b＝.5.答案：B解析：由sinA＝sinC知，在△ABC中有A＝C．6.答案：A解析：由a n+1＝，知a n+1－a n＝＞0，所以a n+1＞a n，即从第2项起，每一项都大于它的前一项．7.答案：B解析：a2＝ma3+1，则3＝5m+1，故m＝.8.答案：A解析：a2+a8＝2a5＝16，则a5＝8.9.答案：C解析：a3+a4+a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28.10.答案：A解析：因为sinA>sinB,所以>,则a>b.又在三角形中,大边对大角,则A>B.11.答案：B解析：设公差为d，则有解得d＝3.12.答案：C解析：由题易知，数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，公比q＝2.∴奇数项的前n项和为S′＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝.二、填空题13.答案：66解析：由已知a1+a2+a3+…+a99=99,有99a1+(1+2+…+98)=99,99a1+-99=0,∴99(a1+48)=0.∴a1=-48,d=1.∴a3+a6+a9+…+a99=a3+(a3+3)+(a3+6)+ …+［a3+(33-1)×3］=33a3+3(1+2+3+…+32)=33a3+3×=33×(-46+48)=66.14.答案：－1解析：由题意，得a2 006a2 012＝－1.又{a n}是等比数列，故a2 007a2 011＝a2 006a2 012＝－1.15.答案：解析：如图，AC=20，∠BCA=30°，∠BAC=90°，则AB＝AC tan 30°＝，BC＝，故AB+BC＝，即树干原来的高度为米．16.答案：或解析：由正弦定理得=,∴sinC==.又∵AB＞AC,∴C=60°或120°.=AC·AB·sinA=×2×sin90°=;当C=60°时,S△ABC当C=120°时,S=AC·AB·sinA=×2×sin30°=.△ABC三、解答题17.答案：（1）a＝.（2）A＝60°.解析：（1）由余弦定理，得a2＝b2+c2－2bc cos A＝32+12－2×3×1×cos 60°＝7，所以a＝.（2）由余弦定理的推论，得cos A＝＝，所以A＝60°.18.答案：（1）AB＝2.（2）sin(2A－)＝.解析：（1）在△ABC中，根据正弦定理，，于是AB＝BC＝2BC＝2.（2）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝，于是sinA＝＝.从而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝cos2A－sin2A＝，所以sin(2A－) ＝sin2Acos－cos2Asin ＝.19.答案：甲乙两船相距最近时，甲丙两船相距21海里.解析：设在行驶t h后，甲船到达C处，乙船到达D处，丙船到达E处，此时甲乙两船相距最近，依题意得：CD2＝CB2＋BD2－2CB·BD·cos60°＝(39－15t)2＋36t2－6t(39－15t)＝351t2－1 404t＋1521＝351(t－2)2＋117，所以，当t＝2时，CD2最小，即CD取得最小值，也即此时甲乙两船相距最近，作DF⊥AB，则∠BDF＝30°，∠DBE＝120°，所以∠BDE＝30°，∠DEB＝180°－120°－30°＝30°，故△BDE为等腰三角形.所以，BE＝BD＝6t＝6×2＝12(n mile)，CE＝BC＋BE＝39－15t＋12＝51－15×2＝21(n mile).答：甲乙两船相距最近时，甲丙两船相距21海里.20.答案：（1）a n＝4n－2.（2）a2 012＝8 046.（3）xx不是数列{a n}中的项．解析：（1）设a n＝kn+b(k≠0)，则有解得k＝4，b＝－2.故a n＝4n－2.（2）a2 012＝4×2 012－2＝8 046.（3）令2 012＝4n－2，解得n＝N*，故2 012不是数列{a n}中的项．21.答案：（1）数列{a n}的通项公式a n＝2×2n－1＝2n. （2）S n＝b1+b2+…+b n＝解析：（1）先求出公比，再代入等比数列的通项公式；（2）先确定数列{b n}的通项公式，再利用裂项法求S n. 解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，依题意，得解得q＝2.故数列{a n}的通项公式a n＝2×2n－1＝2n.（2）由（1），得log2an＝n，log2a n+1＝n+1，∴b n＝.∴S n＝b1+b2+…+b n＝….22.答案：(1) an=2n.(2)解析：解：(1)设数列{an }的公差为d,则由a1+a2+a3=3a2=12,得a2=4,∴d=a2-a1=4-2=2,从而an=2n.(2)由bn =an·3n=2n·3n,∴Sn=2·3+4·32+…+(2n-2)·3n-1+2n·3n. ①又3Sn=2·32+4·33+…+(2n-4)·3n-1+(2n-2)·3n+2n·3n+1, ②将①-②，得-2Sn=2(3+32+…+3n)-2n·3n+1=3(3n-1)-2n·3n+1.∴75;o 39429 9A05 騅%34964 8894 袔35048 88E8 裨!x40322 9D82 鶂26118 6606 昆29244 723C 爼21122 5282 劂。
2021年高二9月综合检测数学试题 含答案
2021年高二9月综合检测数学试题含答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关2．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是()A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样3．用秦九韶算法求一元n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，一个反复执行的步骤是()A.⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a 0v k ＝v k －1x ＋a n －k k ＝1，2，…，nB.⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a nv k ＝v k －1x ＋a k k ＝1，2，…，nC.⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k k ＝1，2，…，nD.⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a 0v k ＝v k －1x ＋a k k ＝1，2，…，n4．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是 ( ) A ．至多有2只不成对 B ．恰有2只不成对 C ．4只全部不成对 D ．至少有2只不成对 5．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.5y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.256．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 为( )． A ．120 B ．720 C ．1 440 D ．5 040 7．最小二乘法的原理是 ( )．A ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]最小 B ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )2]最小C ．使得∑i ＝1n[y i 2－(a ＋bx i )2]最小D ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]2最小8．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为( )．A.12B.23C.32D.129．一个电路板上装有甲、乙两根保险丝，甲保险丝熔断的概率为0.085，乙保险丝熔断的概率为0.074，两根同时熔断的概率为0.063，则至少有一根熔断的概率为（ ） A ．0.159 B ．0.085 C ．0.096 D ．0.07410．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1、P 2、P 3，则( ) A ．P 1＜P 2＜P 3 B ．P 1＝P 2＜P 3 C ．P 1＜P 2＝P 3 D ．P 3＝P 2＜P 1 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．下列说法：①必然事件的概率为1； ②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买1000张这种彩票一定能中奖；③某事件的概率为1.1；④对立事件一定是互斥事件；⑤在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型．其中正确的说法是.12．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物只．13．将八进制数127(8)化成二进制数为________．14．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)按右图所示的程序框图操作：(1)写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{a n}，请写出数列{a n}的通项公式；(2)如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{2n}的前7项？(3)如何变更B框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{3n－2}的前7项？16．(本小题满分13分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．17．(本小题满分13分)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．18．(本小题满分14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．19．(本小题满分14分)为了了解九年级学生中女生的身Array高(单位：cm)情况．某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率？20．(本小题满分14分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．必修3综合检测卷参考解答一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D D B D B C A 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11.①②12. 1xx 13. 1 010 111(2) 14. 7 25三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．(本小题满分12分)解：(1)输出的数依次为1，3，5，7，9，11，13；数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N*且n≤7．(2)将A框内的语句改为“a＝2”即可．(3)将B框内的语句改为“a＝a＋3”即可．16．(本小题满分13分)解设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.则{0≤x≤24，且0≤y≤24，且|x－y|≤6.作出如图所示的区域．本题中，区域D的面积S1＝242，区域d的面积S2＝242－182.∴P＝d的面积D的面积＝242－182242＝716.即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为7 16.17．(本小题满分13分)解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班；(2)x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差为：110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)(181,176)(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178)(178,173)(178,176)(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；∴P(A)＝410＝2 5.18．(本小题满分14分)解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2 和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号 为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)， (4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事 件的概率为P 1＝316.故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316. 19．(本小题满分14分)解 (1)M ＝10.02＝50，m ＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2；N ＝1，n ＝m M ＝250＝0.04.(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如图所示：(3)在153.5～157.5范围内最多．估计身高在161.5以上的概率为P ＝1050＝0.2.20．(本小题满分14分)解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000.则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： (A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6，9.2，8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.*@/33393 8271 艱Cs22592 5840 塀Y/k35094 8916 褖29821 747D 瑽tW26695 6847 桇。
2021年高二上理科数学9月月考试卷
2021年高二上理科数学9月月考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1.已知命题p ：∀x ∈R ，x>sin x ，则p 的否定（ ) A ．﹁p ： B ．﹁p ： C ．﹁p ： D ．﹁p ：2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ) A.13 B.33 C.12 D.323.已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为( )A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－24.若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A. B. C. D.5. 已知双曲线C ：的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A. B. C. D.6. 已知在空间四边形OABC 中，，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A. B. C. D.7.若直线与圆O ：没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．08.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤59. 正方体中，二面角的大小为( )A．90°B．60°C．120°D．45°10.已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x＜3x，命题q：∀x∈(0,1)，，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(﹁q) C．(﹁p)∧q D．p∧(﹁q)11.“或”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两点．若，则（）A.1B.C.D.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知命题p：|x2－x|≠6，q：x∈N，且“p且q”与“﹁q”都是假命题，则x 的值为________．14.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成的角的余弦值是________．15.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.16.已知为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（）.（1）．的内切圆的圆心必在直线上；（2）．的内切圆的圆心必在直线上；（3）．的内切圆的圆心必在直线OP上；（4）．的内切圆必通过点.其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）17.设p：实数满足，其中a＞0，命题q：实数满足.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求点A到平面PCD的距离．19.已知双曲线的两焦点为.(1)若点M在双曲线上，且，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C的方程．20.椭圆的两个焦点为，点P在椭圆C上，且，，.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L过圆的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程.21.在棱长为2的正方体中，E、F分别为和的中点．(1)求证：EF∥平面；(2)在棱上是否存在一点P，使得二面角P－AC－B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆的左、右焦点分别是，Q 是椭圆外的动点，满足.点P 是线段与该椭圆的交点，点T 在线段上，并且满足.（Ⅰ）设为点P 的横坐标，证明； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△的面积S=.若存在，求∠的正切值；若不存在，请说明理由.数学答案：1—5 CDAAA 6—10 BBCCC 11—12 BB13.3 14.105 15.2216.(1)(4) 17.解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )·(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得2＜x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2＜x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.(2)法一：﹁p 是﹁q 的充分不必要条件， 即﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ﹁p ，设A ＝{x |﹁p }，B ＝{x |﹁q }，则AB . 又A ＝{x |﹁p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |﹁q }＝{x ≤2或x ＞3}， 则0＜a ≤2，且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.法二：∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件， ∴﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ﹁p ， 与它等价的命题是q ⇒p 且p q . 令M ＝{x |p }，N ＝{x |q }，则NM ，结合(1)在数轴上表示不等式如图，从而⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤23a ＞3，∴1＜a ≤2， ∴实数a 的取值范围是(1,2]．18.解：(1)证明：如图所示，以O 为坐标原点，OC →、OD →、OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .则A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0，0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．所以OP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)， OP →·AD →＝0，所以，PO ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，CP →＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 0＋z 0＝0－x 0＋y 0＝0，即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，得平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．又AC →＝(1,1,0)，从而点A 到平面PCD 的距离d ＝|AC →·n ||n |＝23＝233.19.解：(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ， MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4＜λ＜16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.20. 解：(1) ∵点P 在椭圆C 上，∴，a=3.在Rt △PF 1F 2中，353234314222212221=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==PF PF F F c 故椭圆的半焦距c=,从而b 2=a 2－c 2=, ∴椭圆C 的方程为.(2)已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5, ∴圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2). 由题意x 1x 2且 ……① ……② 由①－②得0928))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ……③又∵A 、B 关于点M 对称，∴x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得＝，即直线l 的斜率为，∴直线l 的方程为y －1＝（x+2），即. 此时方程（*）的 ，故所求的直线方程为.21.解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,2)、E (1,0,2)、F (0，2,1)．(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→＝(2,2,2)． ∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(2)设点P (2,2，t )(0<t ≤2)，平面ACP 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AP →＝0.∵AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(0,2，t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，2y ＋tz ＝0，取n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－2t . 易知平面ABC 的一个法向量BB 1→＝(0,0,2)，依题意知〈BB 1→，n 〉＝30°或〈BB 1→，n 〉＝150°，∴|cos 〈BB 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪－4t 2·2＋4t2＝32， 即4t 2＝34⎝⎛⎭⎫2＋4t 2，解得t ＝63. ∵63∈(0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP 的长为63时，二面角P －AC －B 的大小为30°.22.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力。
2020-2021学年上海市某校高二(上)9月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年上海市某校高二（上）9月月考数学试卷一.填空题1. 直线y＝x−1的单位法向量是________2. 已知点P(2, −3)，Q(3, 2)，直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是________．3. 直线x cosα+√3y+2＝0的倾斜角范围为________．4. 过点(−10, 10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为________5. 若直线l1:4x+y−4=0，l2:mx+y=0，l3:2x−3my−4=0不能构成三角形，则实数m的值是：________．6. 已知等腰三角形的底边所在直线过点P(2, 1)，两腰所在的直线为x+y−2＝0与7x−y+4＝0，则底边所在的直线方程是________＝-3________+7或________＝________7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2, 0)，B(0, 4)，若其欧拉线方程为x−y+2=0，则顶点C的坐标是________．8. 已知点P在直线x+2y−1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N(x0, y0)，且y0>x0+2，则y0x0的取值范围为________．9. 已知α，β∈R，直线xsinα+sinβ+ysinα+cosβ=1与xcosα+sinβ+ycosα+cosβ=1的交点在直线y=−x上，则sinα+cosα+sinβ+cosβ=________．10. 已知点A(−1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是________．二.选择题对于直线l:ax +ay −1a =0(a ≠0)，下列说法不正确的是（ ） A.无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变 B.无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限 C.无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限 D.当a 取不同数值时，可得到一组平行直线唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2, 0)，若将军从山脚下的点A(−，0)处出发，河岸线所在直线方程为x +2y ＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. B.5 C. D.已知直线l:x −my +√3m =0上存在点M 满足与两点A(−1, 0)，B(1, 0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是（ ） A.[−√6，√6] B.(−∞,−√66)∪(√66，+∞)C.(−∞,−√66]∪[√66，+∞)D.以上都不对设直线系M:x cos θ+(y −2)sin θ＝1，0≤θ≤2π，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点；②存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；③对于任意整数n ，n ≥3，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的是（ ） A.②③ B.①④ C.②③④ D.①②三.解答题已知直线l 的方程为2x −y +1＝0．（1）求过点A(3, 2)，且与直线l 垂直的直线l 1方程；（2）求过l 与l 1的交点B ，且倾斜角是直线l 倾斜角一半的直线l 2的方程．已知直线l1:3x+4y−7＝0与l2:3x+4y+8＝0．（1）若A(x1, y1)、B(x2, y2)两点分别在直线l1、l2上运动，求AB的中点D到原点的最短距离；（2）若M(2, 3)，直线l过点M，且被直线l1、l2截得的线段长为3，求直线l的方程．已知直线l:kx−y+1+2k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）9月月考数学试卷一.填空题1.【答案】（，-）或（-，）【考点】向量的概念与向量的模直线的斜率【解析】先求出直线y＝x−1的一个方向向量，再根据直线的方向向量和法向量的关系，两个向量垂直的性质，求出它的单位法向量．【解答】在直线y＝x−1上取2个点A(3, 3)，B(0, −1)，则直线y＝x−1的一个方向向量为＝(3, 4)．设它的一个法向量为(x, y)，则3x+4y＝0，再结合＝1，求得x＝，y＝-，或x＝-，y＝，2.【答案】[−43，12]【考点】两条直线的交点坐标【解析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．【解答】解：画出图象：∵k MQ=−2−20−3=43，k MP=−2−(−3)0−2=−12．要使直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则满足−12≤k MN≤43．∴−12≤−a≤43，∴−43≤a≤12．故答案为[−43，12]．3.【答案】[0,π6]∪[5π6,π)【考点】直线的倾斜角【解析】由于直线x cosα+√3y+2＝0的斜率为√3，设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，且−√33≤tanθ≤√33，由此求出θ的围．【解答】由于直线x cosα+√3y+2＝0的斜率为√3，由于−1≤cosα≤1，∴−√33≤√3≤√33．设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，故−√33≤tanθ≤√33．∴θ∈[0,π6]∪[5π6,π)．4.【答案】x+y＝0或x+4y−30＝0【考点】直线的截距式方程【解析】分直线经过原点和直线不经过原点两种情况，分别用两点式、截距式求得直线的方程，综合可得结论． 【解答】在x 轴上截距是在y 轴上截距的4倍的直线但它经过原点时，它的方程为 ＝，即x +y ＝0．当它不经过原点时，设它的方程为 ＝1，把点(−10, 10)代入可得＝1，求得a ＝，此时它的方程为 +＝1，即x +4y −30＝0．综上可得，要求的直线方程为x +y ＝0 或x +4y −30＝0， 5. 【答案】4、或−16、或−1、或23【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 两条直线的交点坐标【解析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m 的值． 【解答】解：①当直线l 1:4x +y −4=0 平行于 l 2:mx +y =0时，m =4． ②当直线l 1:4x +y −4=0 平行于 l 3:2x −3my −4=0时，m =−16， ③当l 2:mx +y =0 平行于 l 3:2x −3my −4=0时，−m =23m ，m 无解． ④当三条直线经过同一个点时，把直线l 1与l 2的交点(44−m , −4m 4−m )代入l 3:2x −3my −4=0得84−m−3m ×−4m 4−m−4=0，解得m =−1或23，综上，满足条件的m 为4、或−16、或−1、或23， 故答案为：4、或−16、或−1、或23． 6. 【答案】y ,x ,y ,x + 【考点】直线的一般式方程与直线的性质 【解析】设等腰三角形的底边所在直线斜率为k ，则＝，化简解得k ，利用点斜式即可得出． 【解答】设等腰三角形的底边所在直线斜率为k ，则由到角公式可得：＝，化为：3k 2+8k −3＝0，解得k ＝，或−3．∴ 底边所在的直线方程是：y −1＝(x −2)或y −1＝−3(x −2)，化为：y ＝−3x +7，或y ＝x +，7.【答案】 (−4, 0) 【考点】待定系数法求直线方程 【解析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标． 【解答】解：设C(m, n)，由重心坐标公式得， 三角形ABC 的重心为(2+m 3,4+n 3)， 代入欧拉线方程得：2+m 3−4+n 3+2=0，整理得：m −n +4=0 ① AB 的中点为(1, 2)，k AB =4−00−2=−2，AB 的中垂线方程为y −2=12(x −1)，即x −2y +3=0． 联立{x −2y +3=0x −y +2=0，解得{x =−1y =1．∴ △ABC 的外心为(−1, 1)．则(m +1)2+(n −1)2=32+12=10， 整理得：m 2+n 2+2m −2n =8 ②联立①②得：m=−4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是(−4, 0)．故答案为：(−4, 0)．8.【答案】−12<y0x0<−15【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】首先由直线x+2y−1=0与直线x+2y+3=0是平行线，得出PQ的中点N(x0, y0)满足的直线方程；再根据y0>x0+2对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合y0x0的几何意义求出其范围．【解答】解：根据题意作图如下因为PQ中点为N，则点M的坐标满足方程x+2y+1=0，又y0>x0+2，则点N在直线y=x+2的左上部，且由{y=x+2x+2y+1=0得N(−53, 13)，则k ON=−15，并且直线x+2y+1=0的斜率k=−12，而y0x0可视为点N与原点O连线的斜率，故−12<y0x0<−15．9.【答案】【考点】函数与方程的综合运用同角三角函数间的基本关系两条直线的交点坐标根的存在性及根的个数判断【解析】先由已知可设两直线的交点为(x0, −x0)，构造方程x0t+sinβ+−x0t+cosβ=1，且sinα，cosα为方程x 0t+sin β+−xt+cos β=1的两个根，即为方程t 2+(cos β+sin β)t +sin βcos β−x 0(cos β−sin β)=0的两个根．从而得出sin α+cos α+sin β+cos β的值． 【解答】解：由已知可设两直线的交点为(x 0, −x 0)，且sin α，cos α为方程x 0t+sin β+−xt+cos β=1，的两个根， 即为方程t 2+(cos β+sin β)t +sin βcos β−x 0(cos β−sin β)=0的两个根． 因此sin α+cos α=−(sin β+cos β)， 即sin α+cos α+sin β+cos β=0． 故答案为：0． 10. 【答案】 (1−√22，12) 【考点】直线的一般式方程 【解析】 先求得直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba , 0)，由−ba ≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M 和点A 重合，求得b =13；②若点M 在点O 和点A 之间，求得 b <12；③若点M 在点A 的左侧，求得b >1−√22，综合起来可得结论． 【解答】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为 S =12⋅AB ⋅OC =1，由于直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba , 0)，由−ba ≤0可得点M 在射线OA 上． 设直线和BC 的交点为 N ，则由{y =ax +b x +y =1，可得点N 的坐标为(1−b a+1, a+ba+1)，①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，则−ba =−1，且a+ba+1=12，解得a =b =13，②若点M 在点O 和点A 之间，则点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅yN =12，即12⋅(1+b a)⋅a+b a+1=12，解得a =b 21−2b>0，故b <12，③若点M 在点A 的左侧，则−ba <−1，b >a ，设直线y =ax +b 和AC 的交点为P ， 则由{y =ax +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b a−1, a−ba−1)，此时，NP =√(1−ba+1−1−ba−1)2+(a+ba+1−a−ba−1)2=√[−2(1−b)(a+1)(a−1)]2+[2a(b−1)(a+1)(a−1)]2 =√4(1+a 2)(1−b)2(a+1)2(a−1)2=2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2，此时，点C(0, 1)到直线y =ax +b 的距离等于√1+a 2，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即12⋅2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2√1+a 2=12，化简可得2(1−b)2=|a 2−1|．由于此时 0<b <a <1，∴ 2(1−b)2=|a 2−1|=1−a 2． 两边开方可得√2(1−b)=√1−a 2<1，则1−b <√2，即b >1−√22， 综合以上可得，b =13可以，且b <12，且b >1−√22，即b 的取值范围是(1−√22，12)， 故答案为：(1−√22，12)． 二.选择题【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的性质 【解析】直线l:ax +ay −1a =0(a ≠0)，化为：y =−x +1a 2，根据斜率与在y 轴上的截距的意义即可判断出正误． 【解答】直线l:ax +ay −1a =0(a ≠0)，化为：y =−x +1a 2，可得斜率k =−1，在y 轴上的截距为1a 2>0，因此无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、四象限，直线l 一定不经过第三象限，直线l 的倾斜角的大小不变，当a 取不同数值时，可得到一组平行直线． 【答案】 A【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】设点B(−2, 0)关于直线x +2y ＝3的对称点为B ′(m, n)，根据该直线是BB ′的中垂线可列出关于m 和n 的方程组，解之，再利用两点间距离公式求出|AB ′|即可．【解答】根据题意，作出如下所示的图形，设点B(−2, 0)关于直线x +2y ＝3的对称点为B ′(m, n)，则，解得，∴ B ′(0, 4)， ∴ “将军饮马”的最短总路程为|AB ′|＝＝．【答案】D【考点】直线的斜率【解析】设出M 的坐标，由k MA 与k MB 之积为3得到M 坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【解答】解：设M(x, y)，由k MA ⋅k MB =3，得y x+1⋅y x−1=3，即y 2=3x 2−3．联立{x −my +√3m =0y 2=3x 2−3，得(1m 2−3)x 2+2√3m x −6=0． 要使直线l:x −my +√3m =0上存在点M 满足与两点A(−1, 0)，B(1, 0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3， 则△=(2√3m )2+24(1m 2−3)≥0，即m 2≤12． 解得−√22≤m ≤√22． ∴ 实数m 的取值范围是[−√22，√22]． 故选：D ．【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】可令，可得直线系M表示圆x2+(y−2)2＝1的切线的集合，可判断①；对任意θ，存在定点(0, 2)不在直线系M中的任意一条上，可判断②；考虑圆x2+(y−2)2＝1的外切正n边形，可判断③；M中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，可判断④．【解答】由直线系M:x cosθ+(y−2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，可令，消去θ可得x2+(y−2)2＝1，故直线系M表示圆x2+(y−2)2＝1的切线的集合，故①不正确；因为对任意θ，存在定点(0, 2)不在直线系M中的任意一条上，故②正确；由于圆x2+(y−2)2＝1的外切正n边形，所有的边都在直线系M中，故③正确；M中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形ABC和ADE面积不相等，故④不正确．综上，正确的命题是②③．三.解答题【答案】设过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1方程为x+2y+m＝0；把点A(3, 2)代入方程可得：3+2×2+m＝0，解得m＝−7．∴要求的直线l1方程为x+2y−7＝0．联立，解得．∴过l与l1的交点B(1, 3)，设要求的直线l2的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为2α．∴tan2α＝＝2，(tanα>0)解得tanα＝，∴要求直线l2的方程为：y−3＝(x−1)，化为：y＝x+．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】（1）设过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1方程为x+2y+m＝0；把点A(3, 2)代入方程可得m．（2）联立，解得过l与l1的交点B，设要求的直线l2的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为2α．由题意可得：tan2α＝＝2，(tanα>0)，解得tanα，利用点斜式即可得出．【解答】设过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1方程为x+2y+m＝0；把点A(3, 2)代入方程可得：3+2×2+m＝0，解得m＝−7．∴要求的直线l1方程为x+2y−7＝0．联立，解得．∴过l与l1的交点B(1, 3)，设要求的直线l2的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为2α．∴tan2α＝＝2，(tanα>0)解得tanα＝，∴要求直线l2的方程为：y−3＝(x−1)，化为：y＝x+．【答案】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，化为：11k2+24k+4＝0，解得k＝−2，或-．∴直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】（1）设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，可得：＝，化简即可得出方程．可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离．（2）设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得交点，利用两点之间的距离公式进而得出结论．【解答】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，化为：11k2+24k+4＝0，解得k＝−2，或-．∴直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．【答案】(1)证明：直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，令x+2=0解得x=−2,y=1.故直线l过定点(−2, 1)．(2)解：直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则{k≥0，1+2k≥0，解得k的取值范围是k≥0．(3)解：依题意，直线l在x轴上的截距为−1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，∴A(−1+2kk, 0)，B(0, 1+2k)，又−1+2kk<0且1+2k>0，∴k>0，故S=12|OA||OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(4k+1k+4)≥12×(4+4)=4，当且仅当4k=1k ，即k=12时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x−2y+4=0．【考点】直线恒过定点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系基本不等式在最值问题中的应用直线的斜截式方程【解析】（1）直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，直线l过定点(−2, 1)．（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．【解答】(1)证明：直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，令x+2=0解得x=−2,y=1.故直线l过定点(−2, 1)．(2)解：直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则{k≥0，1+2k≥0，解得k的取值范围是k≥0(3)解：依题意，直线l在x轴上的截距为−1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，∴A(−1+2kk, 0)，B(0, 1+2k)，又−1+2kk<0且1+2k>0，∴k>0，故S=12|OA||OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(4k+1k+4)≥12×(4+4)=4，当且仅当4k=1k ，即k=12时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x−2y+4=0．。
2021年高二9月月考数学试题含答案
2021年高二9月月考数学试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.在下列命题中，真命题是（ ）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题2已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（ ）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( )A ．(－3,4)B ．(－3，－4)C ．(0，－3)D ．(－3,2)4.等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．5.不等式组⎩⎨⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( ) A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形6．原命题：“设、、，若则”的逆命题、否命题、逆否命题真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．命题：“若，则且”的逆否命题是 （ ）A.若，则B.若，则C.若，则D. 若，则8. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）9.已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10.已知命题p：“x∈R时，都有x2－x＋14<0”；命题q：“存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立”．则下列判断正确的是()A．p∨q为假命题B．p∧q为真命题C．綈p∧q为真命题D．綈p∨綈q是假命题11. 设为实数且则的最小值是 ( )12.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．不等式的解集为14.已知命题：，，则形式的命题是15．已知椭圆上的一点到焦点的距离为2,是线段的中点,为原点,则等于16.点若直线始终平分圆的周长，则 的最大值是三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.）17． （本小题满分12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a=6，e=； （2）焦点在y 轴上，c=3，e=．已知非负实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．19. （本小题满分12分）已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分12分）设命题：函数在上单调递增；命题：不等式对任意的恒成立。
2021年高二数学9月月考(含解析)
2021年高二数学9月月考（含解析）第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= （）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：数列是公比为2的等比数列，若，，即16，解得考点：等比数列的通项公式2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中, a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= （）A．5 B．7 C．6 D．4【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．3．复数的模为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：因为复数，则考点：复数的模的求法4．二项式的展开式中的系数是（）A．84 B．-84 C．126 D．-126【答案】B【解析】试题分析：：由于二项式的通项公式为令9-2r=3，解得 r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3•故答案为-84．．考点：二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数5．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=10，S20 =30，则S30 = （）A．50 B．60 C．80 D．90【答案】D【解析】试题分析：等差数列{a n}中，也成等差数列，易得S30 =90考点：等差数列性质6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：在锐角中，,由正弦定理得，又因为,所以是等边三角形，考点：正弦定理与三角形面积公式7．若则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】试题分析：;;,所以考点：定积分8．．函数在区间上的最大值和最小值分别为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：令则，当，，当比较三个数的大小，最大的是最大值，最小的是最小值，所以答案为A考点：函数的导数与最值9．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．648 C．328 D．360【答案】C【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）．考点：排列组合知识10．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（）A．35种 B．16种 C．20种 D．25种【答案】D【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有种方法，二是选甲，共有种方法，三是选乙，共有种方法，把这3个数相加可得结果为25考点：排列组合公式11．若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是（）A．a2+b2>2ab B．a+b≥2 C．+> D．+≥2【答案】D【解析】试题分析：答案A，时可取等号，答案B均为负数时不成立，答案C，均为负数时不成立答案D对，也可用特殊值法考点：基本不等式成立条件12．已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（）A．4 B．5 C． D．【答案】C【解析】试题分析：观察给出的各个不等式，不难得到，，，从而第4个不等式为，所以当时，正数，选C．考点：寻找规律，归纳推理13．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法为（）A．72 B．36 C．52 D．24【答案】B【解析】试题分析：当丙在第一或第五位置时,有2=24（种）方法;当丙在第二或第四位置时,有2=8（种）方法;当丙在第三位置时,有=4（种）方法,则不同的排法种数为24+8+4=36．考点：排列组合知识14．用数学归纳法证明“42n-1＋3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k＋1时为了使用归纳假设，对42k+1＋3k+2变形正确的是（）A．16（42k-1＋3k+1）-13×3k+1B．4×42k＋9×3kC．（42k-1＋3k+1）＋15×42k-1＋2×3k+1D．3（42k-1＋3k+1）-13×42k-1【答案】A【解析】试题分析：假设当，能被13整除，当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法15．．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）> 0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（）A．（－3,0）∪（3，＋∞）B．（－3,0）∪（0,3）C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（0,3）【答案】D【解析】试题分析：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h （x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴x＜-3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=-h（-3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．故答案为（-∞，-3）∪（0，3）．．考点：构造函数，函数的奇偶性单调性第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）16．a，b∈R，a＋bi＝（1＋2i）（1－i）（i为虚数单位），则a＋b的值为．【答案】4【解析】试题分析：因为a，b∈R，a＋bi＝（1＋2i）（1－i）（i为虚数单位），所以a＋bi=3+i,所以,所以a+b=4考点：复数的乘法及复数相等的条件17．的展开式中的第四项是________．【答案】－【解析】试题分析：根据二项展开式的通项公式考点：二项展开式的通项公式18．若dx＝6，则b＝________．【答案】【解析】试题分析：=2|=2,解得考点：定积分19．设f（n）＝1＋（n∈N*），则f（k＋1）－f（k）＝________．【答案】【解析】试题分析：,,所以，考点：寻求规律，数学归纳法20．在等比数列中，，则数列的通项公式_____________，设，则数列的前项和_____________．【答案】，【解析】试题分析：设等比数列{a n}的公比q，解得q=2，∴a n=a1q n-1=2×2n-1=2n，∴b n=log2a n=log22n=n，∴b1=1，∵b n=n是首项为1，公差为1的等差数列，考点：等差数列和等比数列的性质和求和公式三、解答题（题型注释）21．（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）= ． （2）用数学归纳法证明不等式． 【答案】见解析 【解析】试题分析：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n 0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立 试题解析：证明：（1）①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边= 左边=右边．②假设n=k 时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=+（k+4） =等式成立．综上1+2+3+…+（n+3）= 成立．（2）证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立． ②假设当n=k （k≥2）时成立，即 那么当n=k+1时，左边=11211131211++<++++++k k k k∵4k 2+4k ＜4k 2+4k+1，可得 ， 即：1212211211121122+=++<+++=+++=++k k k k k k k k k k k．这就是说n=k+1时不等式也成立．综上①②可知不等式对所有的n ∈N *考点：数学归纳法证明不等式 22．（1）设，求证: （2）已知正数．．x 、y 满足2x+y=1，求的最小值及对应的x 、y 值．（3）已知实数满足， 的最大值及对应的x 、y 、z 值． 【答案】（1）见解析； （2），时有最小值为。
上海市金山中学2021-2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)
上海市金山中学2021-2022高二数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题（第1-6每题4分；第7-12每题5分） 1.与()3,4a =-同向的单位向量为b =______. 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先由题意设()3,4b a a =-，0a >，根据模为1，即可求出结果. 【详解】因为b 与()3,4a =-同向，所以设()3,4b a a =-，0a >，又b 为单位向量，所以229161b a a =+=，解得15a =， 因此34,55b ⎛⎫-⎪⎝=⎭. 故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求向量的坐标，熟记向量模的计算公式，以及向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.2.已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 【答案】【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-． 考点：向量共线坐标表示的应用． 3.已知{}|2,A x y x x R ==+∈，{}2|1,B y y x x R ==-+∈，则A B =______.【答案】[]2,1- 【解析】 【分析】先分别化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果.【详解】因为{}{}|2,|2A x y x x R x x ==+∈=≥-，{}{}2|1,|1B y y x x R y y ==-+∈=≤，因此[]2,1AB =-.故答案为：[]2,1-【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 4.若向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，则2a b +=______.【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的模的计算公式，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】因为向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，所以3cos1503462a b a b ⎛⎫⋅==⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，222441216462a b a b a b +=++⋅=+-⋅=.故答案为：2【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于基础题型. 5.已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为_________． 【答案】【解析】 试题分析：设点，，因此，得，得点．考点：平面向量的坐标表示．6.向量2411a b ()()，，，==．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 【答案】-3【解析】【详解】试题分析：∵(2,4),(1,1)a b ==，∴()26,2a b b ⋅==，又∵()b a b λ⊥+，∴()2()0b a b a b bλλ⋅+=⋅+=，∴620λ+=，∴3λ=-考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题 7.在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，则AB AC ⋅=______. 【答案】9 【解析】 【分析】先由题意，得到0CA CB ⋅=，再由()AB AC CB CA AC ⋅=-⋅，结合题中数据，即可求出结果.【详解】因为在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，所以0CA CB ⋅=， 因此()29AB AC CB CA AC CB CA CA ⋅=-⋅=-⋅+=. 故答案为：9【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.8.平面上不共线的四点O 、A 、B 、C 满足1344OC OA OB =+，则AB BC=______. 【答案】4 【解析】 【分析】先由题中条件，得到1144OC OB OA OB -=-，推出14BC BA =，从而可得出结果. 【详解】因为1344OC OA OB =+，所以1144OC OB OA OB -=-，即14BC BA =，因此4ABBC=【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.9.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅=______.【答案】8 【解析】 【分析】先由题意，得到AD AC AB =-，BD AD AB =-，求出两向量的坐标，即可得出结果. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，所以AB AD AC +=， 又()2,4AB =，()1,3AC =，因此()1,1AD AC AB =-=--， 所以(3,5)BD AD AB =-=--，所以(1)(3)(1)(5)8AD BD ⋅=-⋅-+-⋅-=. 故答案为：8【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.10.若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围是________. 【答案】12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设出P 点坐标，代入所求表达式，化简后求得表达式的取值范围.【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，依题意设()[](),0,1P x x x ∈，而()()0,1,1,0B D ，所以()()()(),,11,AP PB PD x x x x x x ⎡⎤⋅+=⋅--+--⎣⎦()()()2,12,1221242x x x x x x x x =⋅--=-=-+，函数[]()2420,1y x x x =-+∈对称轴14x =，开口向下，故1x =时有最小值2-；14x =时，有最大值14.故取值范围为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 11.已知函数()()2lg 1xf x x x =+>，且()yg x =与()11y fx -=+互为反函数，则()g x =______.【答案】()2lg 11xx x +->【解析】 【分析】先由()y g x =与()11y fx -=+互为反函数，得到()1()g x f x +=，进而可求出结果.【详解】因为()y g x =与()11y f x -=+互为反函数，所以()1()g x f x +=；又()()2lg 1xf x x x =+>，所以()()()12lg 11xg x f x x x =-=+->.故答案为：()2lg 11xx x +->【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.12.已知函数()22224x ax af x x x a+-=+-在定义域内恒正，则实数a 的取值范围是______. 【答案】118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【解析】 【分析】根据题意，分别讨论分子分母对应的方程是同解方程，分子分母对应的方程不是同解方程两种情况，根据二次函数性质，列出不等式的，求解，即可得出结果.【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式，对应的函数图像都是开口向上的抛物线；若分子分母对应的方程是同解方程，则有12422a aa ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即12a =；若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证函数()22224x ax a f x x x a+-=+-在定义域内恒正，则需要分子分母的判别式都小于0；即24(2)0142(4)0a a a ⎧-⋅-<⎨-⋅⋅-<⎩，解得13280a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，即1832a -<<-；当132a =-，由21208x x ++≠得，函数()f x 定义域为14x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，则222024x ax a x x a +->+-可化为221132160128x x x x -+>++，即22115162560124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，显然在定义域内恒成立；所以132a =-满足题意；综上，实数a 的取值范围是118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭. 故答案为：118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型.二、选择题（每题5分）13.平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A. a ，b 方向相同 B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C. λ∃∈R ，b a λ=D. 存在不全为零的实数私1λ，2λ，120a b λλ+=【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理，即非零向量a 与向量b 共线的充要条件是必存在唯一实数λ，使得b a λ=成立，即可得到答案.【详解】若,a b 均为零向量，则显然符合题意， 且存在不全为零的实数12,λλ，使得120a b λλ+=； 若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a λ=， 即0a b λ-=，符合题意，故选D.【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件，在解题的过程中，需要明确向量共线包括方向相同与方向相反，不一定非得有零向量，再者要注意零向量与任何向量是共线的，要理解向量共线的充要条件，即可得到结果.14.设(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则实数a ，b 满足的关系式为（ ）A. 453a b -=B. 543a b -=C. 4514a b +=D.5412a b +=【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =，根据向量数量积，分别求出OA 与OB 在OC 方向上的投影，进而可求出结果.【详解】因为(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点， 所以(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =， 因此OA 在OC 方向上的投影为cos ,16OA OC OA OA OC OA OA OC⋅⋅<>=⋅==；OB 在OC 方向上的投影为cos ,16OB OC OB OB OC OB OB OC⋅⋅<>=⋅==又OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，=，即453a b -=. 故选：A【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量数量积的定义与几何意义即可，属于常考题型.15.已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A. 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.16.已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.下列关于lim n n S →+∞的结论，正确的是（ ） A. lim 1n n S →+∞=- B. lim 2015n n S →+∞= C. ()()()*2016,12016lim 1.2017nn n S n N n →+∞⎧≤≤⎪=∈⎨-≥⎪⎩ D. 以上结论都不对【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当2017n ≥时，2016120153n n S -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由极限的运算法则，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，所以122016...1a a a ====，201723a =-，201829a =-，… ， 所以当2017n ≥时，2016201620162113311201620161201513313n n n n S ---⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 因此20161lim lim 201520153n n n n S -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：B【点睛】本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型. 三、解答题： 17.如果由矩阵1112m x m y m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的关于x ，y 的二元一次方程组无解，求实数m的值.【答案】1m = 【解析】 【分析】先由题意，得到()()11D m m =+-，()21x D m =-+，()21y D m =+，对满足0D =的m 进行讨论，即可得出结果. 【详解】由题意可得：方程组为12mx y x my m +=-⎧⎨+=+⎩，()()1111m D m m m ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，()11212x D m m m -⎛⎫==-+ ⎪+⎝⎭，()21112y m D m m -⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭， 当1m =-时，0x y D D D ===，方程组有无数个解； 当1m =时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，方程组无解. 所以1m =.【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.18.在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a BC a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积. 【答案】(1)3C π=;(2)1825-. 【解析】试题分析：（1）先根据行列式定义得()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-，再根据正弦定理化角为边得222c a b ab =+-，最后根据余弦定理求角C 的大小；（2）先根据正弦定理求a ，再根据两角和正弦公式求sin B ，最后根据三角形面积公式求面积. 试题解析：（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-； 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；（2）由4sin 5A =，c =，且sin sin a c A C =，∴85a =；由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=∴1sin 2ABC S ca B ∆==. 19.已知()2111111af x xx =-，()x R ∈.（1）当1a =时，求方程()0f x =的解集；（2）若方程()0f x =有且只有一个实数解，求实数a 的值并解该方程. 【答案】（1）{}1,1-（2）当1a =-，或3a =-时，解都为-1【解析】 【分析】先由题意计算行列式，得到2()(1)(1)2f x a x a x =++--，（1）由1a =，将方程()0f x =化为2220x -=，求解，即可得出结果；（2）根据题意，得方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，分别讨论10a +=与10a +≠两种情况，即可得出结果.【详解】因为()22211111111111111ax xf x xa x xx --=-=-+ ()()2222()()112x x a x x a x a x =---++=++--，（1）当1a =时，方程()0f x =可化为2220x -=，解得1x =±， 所以方程的解集为{}1,1-；（2）由题意可得，方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解， 当10a +=，即1a =-时，方程可化为220x --=，解得1x =-；当10a +≠，即1a ≠-时，只需2(1)8(1)0a a ∆=-++=，即2690a a ++=，解得3a =-，此时方程为：22420x x ---=，即2210x x ++=，解得1x =-； 综上，当1a =-或3a =-时，方程的解都是1-.【点睛】本题主要考查求方程的解，以及由方程根的个数求参数，熟记一元二次方程的解法，以及行列式的计算方法即可，属于常考题型.20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%.（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店a 元，写出在第()1,2,,36i i =⋅⋅⋅个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.（3）每月的还款额a 为多少元（精确到0.01元）？【答案】（1）4020元；（2）表达式为3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%+-+-=i a n 元；（3）121.69元 【解析】 【分析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即4000元，又按月利率0.5%，即可求出结果；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，根据题意，14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，进而得出1(10.5%)-=+-i i y y a ，整理，即可得出结果；（3）由题意得到360=y ，由（2）的结果，即可求出结果. 【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即6000400032⨯=， 又按月利率0.5%，到第一个月底的欠款数应为()400010.5%4020+=元， 即到第一个月底，欠款余额为4020元；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，则有14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，3232(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-+-y y a a a a ，……11(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)...(10.5%)--=+-=+-+--+-n n i i y y a a a a整理得：3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%+-=+-=i i y a n ；（3）由题意可得：360=y ，所以363(10.5%)14000(10.5%)00.5%+-+-=a ，因此36364000(10.5%)0.5%121.69(10.5%)1+⋅=≈+-a 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式，即可求解，属于常考题型.21.在直角坐标平面中，已知点()11,2P ，()222,2P，()333,2P ，…，(),2nnP n ，其中n 是正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，…，n A 为1n A -关于点n P 的对称点.（1）求向量02A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =.求以曲线C 为图像的函数在(]1,4上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标.【答案】（1）()2,4（2）()()lg 14g x x =--（3）()4213n n ⎛⎫- ⎪⋅⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先设点0(,)A x y ，由题意求出1(2,4)--x y A ，进而得到()22,4++x A y ，从而可求出向量02(2,4)=A A ；（2）先由题意，得到()y f x =是由曲线C 按向量02A A 平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；（3）先由1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点，得到212--=n n n n P P A A ，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）设点0(,)A x y ，因为1A 为0A 关于点()11,2P 的对称点，所以1(2,4)--x y A ， 又2A 为1A 关于点()222,2P 的对称点，所以()()()242,84----x A y ，即()22,4++x A y ， 因此02(2,4)=A A ； （2）由（1）02(2,4)=A A ，因为点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，所以()f x 的图像由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到，因此，设曲线C 是函数()y g x =的图像，因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以()g x 也是以3为周期的周期函数， 当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，所以当(]2,1∈-x 时，()()lg 24=+-g x x ；于是，当(]1,4x ∈时，()()lg 14g x x =--；（3）由题意，1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点. 所以在21--∆n n n A A A 中，1n P -为21n n A A --的中点，n P 为1-n n A A 的中点， 所以212--=n n n n P P A A ，因此()00224212341...2...--=+++=+++n n n n n A A A A A A A A PP P P P P ，()()()2431221,2243,22...(1),22-⎡⎤=--+--++---⎣⎦n n n n()()()22314(14)2421,21,2...1,2,,143+-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎡⎤=+++== ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭nn n n n .【点睛】本题主要考查平面向量的综合，熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.。
上海市2021学年高二数学9月月考试题(含解析)
上海市2021-2021学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】 【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。
【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。
【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。
3.已知向量(2,1)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为________ 【答案】25- 【解析】 【分析】a 在向量b 方向上的投影为a b b，即可求解.【详解】向量a 在向量b 方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b aa bb-+<>====- 【点睛】a 在向量b 方向上的投影a b b， b 在向量a 方向上的投影a b a，可以直接使用，基础题。
4.已知点P 是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-，若212P P PP λ=，则实数λ=________ 【答案】23- 【解析】 【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。
【详解】解：1213PP PP =-⟹122213PP PP PP PP +=-+⟹12223PP PP =⟹21223P P PP =- 故：λ=23-【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题。
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上海市2021-2021学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】 【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。
【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。
【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。
3.已知向量(2,1)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为________ 【答案】25- 【解析】 【分析】a 在向量b 方向上的投影为a b b，即可求解.【详解】向量a 在向量b 方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b aa bb-+<>====- 【点睛】a 在向量b 方向上的投影a b b， b 在向量a 方向上的投影a b a，可以直接使用，基础题。
4.已知点P 是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-，若212P P PP λ=，则实数λ=________ 【答案】23- 【解析】 【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。
【详解】解：1213PP PP =-⟹122213PP PP PP PP +=-+⟹12223PP PP =⟹21223P P PP =- 故：λ=23-【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题。
5.已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，且它们的夹角为120°，则向量2a b +与向量a 夹角的大小为________【答案】π- 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积以及夹角公式，计算即可。
【详解】解：()()2222224cos120413a b a b aa b b+=+=++=()21121222cos1202cos 2,131312a b a a a b a b a a b a⎛⎫+- ⎪++⎭<+>====-+又∵ 向量夹角的范围为[]0,π ，∴向量2a b +与向量a夹角的大小为π- 【点睛】此题考查向量求模和向量的数量积公式，以及学生的计算能力，属于基础题。
6.已知正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，AC AM BD λμ=+，则λμ+=________【答案】53【解析】 【分析】找一组基向量分别表示出,,AC AM BD ，再用待定系数法即可求得。
【详解】解：令,,AB a AD b ==则1,,=2AC a b AM a b BD b a =+=+-，有∵AC AM BD λμ=+，∴11+=+22a b a b b a a b λμλμλμ+=+--（）（）()+()， ∴=11+=12λμλμ-⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：4=31=3λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴5+=3λμ 【点睛】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．7.已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n，n ＋1)，n∈N *，则n= . 【答案】2 【解析】 【分析】把要求零点函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．8.若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、4-适当排序后可构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p q +=________ 【答案】26 【解析】 【分析】a ，b 是函数f （x ）＝x 2−px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，可得a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p＞0，q ＞0，△＝p 2−4q ＞0．不妨设a ＜b ．由于a ，b ，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得−4，a ，b 或b ，a ，−4成等差数列，a ，−4，b 或b ，−4，a 成等比数列，即可得出．【详解】解：∵a ，b 是函数f （x ）＝x 2−px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点， ∴a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p ＞0，q ＞0，△＝p 2−4q ＞0． 不妨设a ＜b ．由于a ，b ，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ∴−4，a ，b 或b ，a ，−4成等差数列，a ，−4，b 或b ，−4，a 成等比数列， ∴b −4＝2a ，ab ＝（−4）2， 解得a ＝2，b ＝8． ∴p ＝10，q ＝16． 满足△≥0． 则p ＋q ＝26． 故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】 【分析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32，故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．10.若数列{}n a 满足110a =，11810n n a a n +=++（*n ∈N ），记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则n →∞=________ 【答案】16【解析】 【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入n →∞求得答案． 【详解】解：由11810n n a a n +=++，得110a =， 又110a =，∴2118110a a -=⨯+，3218210a a -=⨯+，…118(1)10n n a a n --=-+，累加得：[]2118(1)1812(1)10(1)1092n n n a a n n n n n ⨯-=++++-+-=+=+．3n ===则16n n →∞→∞== 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋅⋅⋅，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，那么2222123nna a a a a +++⋅⋅⋅+（3n ≥）是斐波那契数列的第________项 【答案】1n + 【解析】 【分析】利用21n n n a a a ++=+，结合叠加法，即可得出结论． 【详解】解：∵21n n n a a a ++=+， ∴2111()n n n n n n n n a a a a a a a a +--=+=+，21121112()n n n n n n n n a a a a a a a a -------=+=+，…232221a a a a a =+，∴22221121n n n n a a a a a a +-=++++，∴22221231nn na a a a a a +++++=故答案为：1n +．【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题．12.已知数列{}n a 满足*(,01)n n a n k n N k =⋅∈<<，给出下列命题：①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当k1k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项. 请写出正确的命题的序号__________． 【答案】③④ 【解析】分析：由于()()1111n n n n n kn k a a n k n+++⋅+==⋅，再根据k 的条件讨论即可得出. 详解：①当12k =时，12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，()111112212n n n n n a n a nn ++⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∴==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，当1n =时，12a a =，因此数列{}n a 不是递减数列，故①不正确；②当112k <<时，()()1111n n nn n k n ka a n k n+++⋅+⋅∴==⋅，由于()111122n k k k n n+<<<+< 因此数列{}n a 一定有最大项，故②不正确；③当102k <<时，()()1111112n n nn n k n k a n a n k nn+++⋅+⋅+∴==<≤⋅，1n n a a +∴<，因此数列{}n a 为递减数列，正确；④当k1k -为正整数时，()()11111n n nn n k n k a a n k n+++⋅+⋅===⋅，因此数列{}n a 必有两项相等的最大项，故正确. 综上可知：只有③④正确. 故答案为：③④.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二.选择题13.若0x >，则函数121y x x =++的最小值为（）121211【答案】B 【解析】 分析】构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解。