勾股数序列
100以内的勾股数
100以内的勾股数：i=3j=4k=5i=5j=12k=13i=6j=8k=10i=7j=24k=25i=8j=15k=17i=9j=12k=15i=9j=40k=41i=10j=24k=26i=11j=60k=61i=12j=16k=20i=12j=35k=37i=13j=84k=85i=14j=48k=50i=15j=20k=25i=15j=36k=39i=16j=30k=34i=16j=63k=65i=18j=24k=30i=18j=80k=82i=20j=21k=29i=20j=48k=52i=21j=28k=35i=21j=72k=75i=24j=32k=40i=24j=45k=51i=24j=70k=74i=25j=60k=65i=27j=36k=45i=28j=45k=53i=30j=40k=50i=30j=72k=78i=32j=60k=68i=33j=44k=55i=33j=56k=65i=35j=84k=91i=36j=48k=60i=36j=77k=85i=39j=52k=65i=39j=80k=89i=40j=42k=58i=40j=75k=85i=42j=56k=70i=45j=60k=75i=48j=55k=73i=48j=64k=80i=51j=68k=85i=54j=72k=90i=57j=76k=95i=60j=63k=87i=65j=72k=97勾股数的常用套路所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。
勾 股 数 序 列
勾股数序列山东定陶一中刘述省序言两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。
ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ²－ｎ²，ｃ＝ｍ²＋ｎ²则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。
然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。
这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。
2002年，本人找到了一种极其初等的方法。
初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。
（当然，由于勾股数的无限多，只能列出一定范围内的）。
此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。
学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。
自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。
下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。
并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。
真正让勾股定理走进普通人之中。
正文先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。
故约定：a＜b＜c . a² + b² = c²且a b c 互质。
因ａ² = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在ｃ－ｂ上。
并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。
（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数）以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。
k＝１时，a²＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。
设a = 2m +1，则b = (a²－１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1素勾股数序列如下：a b c 说明：1. a列从上到下依次多2 ，b列从上到下依次多加4 .3 4 55 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。
7 24 259 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a 为妹。
勾股数规律的探究
勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。
如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。
下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。
九宫格中的勾股数理
九宫格中的勾股数理
九宫格是由九个格子组成的方形网格，它们被编号为1到9。
在数学中，勾股数是指满足勾股定理的三个正整数。
勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于另外两边平方和。
在九宫格中，可以构造出许多勾股数。
其中最常见的是3-4-5三元组，也就是说在九宫格中，如果将1、2、3编号为第一行，4、5、6编号为第二行，7、8、9编号为第三行，那么在同一行或同一列或同一对角线上取出任意三个数，如果它们的平方和等于另一个数的平方，那么这三个数就是一个勾股数。
例如，取出第一行的1、2、3，它们的平方和为14，而第二行的5的平方是25，所以1、2、3和5就是一个勾股数。
再例如，取出第一列的1、4、7，它们的平方和为66，而第三行的9的平方是81，所以1、4、7和9就是一个勾股数。
通过在九宫格中不断寻找勾股数，可以发现许多有趣的规律和性质。
例如，九宫格中可以构造出无穷多个勾股数，而且每个勾股数都可以被唯一地表示为不同三元组的平方和。
此外，九宫格中还存在着一些特殊的勾股数，如5-12-13和7-24-25等，它们在勾股数中起到了重要的作用。
因此，九宫格中的勾股数理具有很高的研究价值和教育意义，它不仅可以帮助学生深入理解勾股定理，还可以启发学生的数学思维和创新能力。
- 1 -。
勾股数的第n个规律公式
勾股数的第n个规律公式勾股数是指满足勾股定理的三个正整数（a，b，c），其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理可以表示为a^2 + b^2 = c^2。
根据勾股定理的规律，我们可以推导出勾股数的一些特征和公式。
在这篇文章中，我们将探讨勾股数的第n个规律公式。
我们来看一下勾股数的前几个规律。
最简单的勾股数是(3, 4, 5)，接下来是(5, 12, 13)，然后是(8, 15, 17)，(7, 24, 25)，(9, 40, 41)，以及(11, 60, 61)等等。
可以观察到，这些勾股数的斜边c都是一个奇数，并且a和b之间的差距逐渐增大。
我们可以通过数学推导来得出勾股数的第n个规律公式。
假设第n 个勾股数为(a, b, c)，其中a和b都是奇数，c是一个奇数。
根据前面的观察，我们可以假设 a = 2m + 1，b = 2m + 2n + 1，c = 2m + 2n + 2，其中m和n都是非负整数。
根据勾股定理，我们可以得到(a, b, c)满足的条件：(2m + 1)^2 + (2m + 2n + 1)^2 = (2m + 2n + 2)^2。
将这个等式展开并化简，可以得到4n^2 + 4n + 1 = 4m(m + n + 1)。
进一步化简得到n(n + 1) = m(m + n + 1)。
通过观察我们可以发现，当m = n时，等式成立。
所以，第n个勾股数的规律公式可以表示为(a, b, c) = (2n + 1, 2n + 2n + 1, 2n + 2n + 2)，其中n为非负整数。
通过这个规律公式，我们可以计算出任意一个勾股数。
例如，当n = 1时，我们可以得到(3, 4, 5)；当n = 2时，我们可以得到(5, 12, 13)；当n = 3时，我们可以得到(7, 24, 25)。
通过逐步增加n的值，我们可以计算出更多的勾股数。
勾股数的规律公式不仅可以用于计算勾股数，还可以用于解决一些几何问题。
100以内的勾股数规律整理
派 生
×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7 ×8 ×9 ×10 ×11 ×12 ×13 ×14 ×15 ×16 ×17 ×18 ×19
a=6，b=8， a=6，b=8，c=10 a=9，b=12， a=9，b=12，c=15
3²-1=8 (n=3) 3²+1=10
(n=4 4²-1=15 (n=4) 4²+1=17 +1=17
生
a=32,b=60, a=32,b=60,c=68 32,b=60 a=40,b=75, a=40,b=75,c=85 40,b=75
m奇n偶 b=45,a=28,c=53 45,a=28,c= b=45,a=28,c=53 m=7,n=2 m奇n偶 77,a=36,c= ,a=36,c=85 b=77,a=36,c=85 m=9,n=2 m奇n偶 a=33,b=56,c=65 33,b=56,c= a=33,b=56,c=65 m=7,n=4 m奇n偶 a=65,b=72,c=97 65,b=72,c= a=65,b=72,c=97 m=9,n=4 m奇n偶 a=13,b=84,c=85 13,b=84,c= a=13,b=84,c=85 m=7,n=6 奇数±奇数= ∵奇数±奇数=偶数 偶数±偶数= 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数= 奇数±偶数=奇数 奇数×偶数= 奇数×偶数=偶数 奇数×奇数= 奇数×奇数=奇数 又∵ =(m+n)² 斜边 m²+n²=(m+n)²- 2mn 直角边 2mn 为偶数 =(m+n)(m直角边 m²-n²=(m+n)(m-n) 三边不能同偶 同偶基本勾 同偶， 三边不能 同偶 ， 同偶基本勾 股数就不互质了 就不互质了， 股数就不互质了， m+n≠ 即 m+n≠偶数 不能同奇数、不能同偶 ∴m、n 不能同奇数、不能同偶 ∴m、n 为一奇一偶
勾股数的规律
所谓勾股数,就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时,我们就称这一组数为勾股数;
那么,组成一组勾股数的三个正整数之间,是否具有一定的规律可寻呢下面我们一起来观察几组勾股数：
规律一：在勾股数3,4,5、5,12,13、7,24,259,40,41中,我们发现
由3,4,5有：32=9=4+5
由5,12,13有：52=25=12+13
由7,24,25有：72=49=24+25
由9,40,41有：92=81=40+41.
即在一组勾股数中,当最小边为奇数时,它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和;因此,我们把它推广到一般,从而可得出以下公式：
∵2n+12=4n2+4n+1=2n2+2n+2n2+2n+1
∴2n+12+2n2+2n2=2n2+2n+12n为正整数
勾股数公式一：2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1n为正整数
规律二：在勾股数6,8,10、8,15,17、10,24,26中,我们发现
由6,8,10有：62=36=2×8+10
由8,15,17有：82=64=2×15+17
由10,24,26有：102=100=2×24+26
即在一组勾股数中,当最小边为偶数时,它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍,推广到一般,从而可得出另一公式：∵2n2=4n2=2n2-1+n2+1
∴2n2+n2-12=n2+12n≥2且n为正整数
勾股数公式二：2n,n2-1,n2+1n≥2且n为正整数
利用以上两个公式,我们可以快速写出各组勾股数;。
100以内的勾股数
100以内的勾股数100以内的勾股数：i=3 j=4 k=5i=5 j=12 k=13i=6 j=8 k=10i=7 j=24 k=25i=8 j=15 k=17i=9 j=12 k=15i=9 j=40 k=41i=10 j=24 k=26i=11 j=60 k=61i=12 j=16 k=20i=12 j=35 k=37i=13 j=84 k=85i=14 j=48 k=50i=15 j=20 k=25i=15 j=36 k=39i=16 j=30 k=34i=16 j=63 k=65i=18 j=24 k=30i=18 j=80 k=82i=20 j=21 k=29i=20 j=48 k=52i=21 j=28 k=35i=21 j=72 k=75i=24 j=32 k=40i=24 j=45 k=51i=24 j=70 k=74i=25 j=60 k=65i=27 j=36 k=45i=28 j=45 k=53i=30 j=40 k=50i=30 j=72 k=78i=32 j=60 k=68i=33 j=44 k=55i=33 j=56 k=65i=35 j=84 k=91i=36 j=48 k=60i=36 j=77 k=85这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n2-1, c=n2+1也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10)n=4时(a,b,c)=(8,15,17)n=5时(a,b,c)=(10,24,26)n=6时(a,b,c)=(12,35,37)... ...这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>= 2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：n=2时(a,b,c)=(8,15,17)n=3时(a,b,c)=(12,35,37)n=4时(a,b,c)=(16,63,65)... ...========Edward补充========对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如：n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5)n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5）=========ShangJingbo补充=======还有诸如此类的勾股数，20、21、29；119、120、169；696、697、985；4059、4060、5741；23660、23661、33461；137903 137904 195025803760 803761 11366894684659 4684660 6625109常见的几种通式：(1) （3，4，5）, （6，8，10）… …3n,4n,5n (n是正整数)第3 / 4页(2) （5，12，13）,（7，24，25）, （9，40，41）… …2n ＋1, 2n^2 ＋2n, 2n^2 ＋2n ＋1 (n是正整数)(3) (8，15，17), (12，35，37) … …2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数)(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n均是正整数，m>n)观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
勾 股 数 序 列
勾股数序列山东定陶一中刘述省序言两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。
ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ²－ｎ²，ｃ＝ｍ²＋ｎ²则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。
然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。
这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。
2002年，本人找到了一种极其初等的方法。
初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。
（当然，由于勾股数的无限多，只能列出一定范围内的）。
此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。
学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。
自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。
下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。
并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。
真正让勾股定理走进普通人之中。
正文先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。
故约定：a＜b＜c . a² + b² = c²且a b c 互质。
因ａ² = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在ｃ－ｂ上。
并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。
（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数）以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。
k＝１时，a²＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。
设a = 2m +1，则b = (a²－１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1素勾股数序列如下：a b c 说明：1. a列从上到下依次多2 ，b列从上到下依次多加4 .3 4 55 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。
7 24 259 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a 为妹。
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；1536 39；15112 113；16 30 34；16 63 6517144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；2432 40；24 45 51；24 70 74；24 143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；4042 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57176 185；57 540 543；58 840 842；60 6387；60 80 100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549100 105 145；100240260；100 495 505；100621629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第243组： 110 600 610第244组： 111 148 185第245组： 111 680 689第246组： 112 180 212第247组： 112 210 238第248组： 112 384 400第249组： 112 441 455第250组： 112 780 788第251组： 114 152 190第252组： 114 352 370第253组： 115 252 277第254组： 115 276 299第255组： 116 837 845第256组： 117 156 195第257组： 117 240 267第258组： 117 520 533第259组： 117 756 765第260组： 119 120 169第261组： 119 408 425第262组： 120 126 174第263组： 120 160 200第264组： 120 182 218第265组： 120 209 241第266组： 120 225 255第267组： 120 288 312第268组： 120 350 370第269组： 120 391 409第270组： 120 442 458第271组： 120 594 606第272组： 120 715 725第273组： 120 896 904第274组： 121 660 671第275组： 123 164 205第276组： 123 836 845第277组： 124 957 965第278组： 125 300 325第279组： 126 168 210第280组： 126 432 450第281组： 126 560 574第282组： 128 240 272第283组： 128 504 520第284组： 129 172 215第285组： 129 920 929第286组： 130 144 194第287组： 130 312 338第288组： 130 840 850第289组： 132 176 220第290组： 132 224 260第291组： 132 351 375第292组： 132 385 407第293组： 132 475 493第294组： 132 720 732第295组： 133 156 205第296组： 133 456 475第297组： 135 180 225第298组： 135 324 351第299组： 135 352 377第300组： 135 600 615第301组： 136 255 289第302组： 136 273 305第303组： 136 570 586第304组： 138 184 230第305组： 138 520 538第306组： 140 147 203第307组： 140 171 221第308组： 140 225 265第309组： 140 336 364第310组： 140 480 500第311组： 140 693 707第312组： 140 975 985第313组： 141 188 235第314组： 143 780 793第315组： 143 924 935第316组： 144 165 219第317组： 144 192 240第318组： 144 270 306第320组： 144 420 444第321组： 144 567 585第322组： 144 640 656第323组： 144 858 870第324组： 145 348 377第325组： 145 408 433第326组： 147 196 245第327组： 147 504 525第328组： 150 200 250第329组： 150 360 390第330组： 150 616 634第331组： 152 285 323第332组： 152 345 377第333组： 152 714 730第334组： 153 204 255第335组： 153 420 447第336组： 153 680 697第337组： 154 528 550第338组： 154 840 854第339组： 155 372 403第340组： 155 468 493第342组： 156 320 356第343组： 156 455 481第344组： 156 495 519第345组： 156 667 685第346组： 159 212 265第347组： 160 168 232第348组： 160 231 281第349组： 160 300 340第350组： 160 384 416第351组： 160 630 650第352组： 160 792 808第353组： 161 240 289第354组： 161 552 575第355组： 162 216 270第356组： 162 720 738第357组： 165 220 275第358组： 165 280 325第359组： 165 396 429第360组： 165 532 557第361组： 165 900 915第362组： 168 224 280第364组： 168 315 357第365组： 168 374 410第366组： 168 425 457第367组： 168 490 518第368组： 168 576 600第369组： 168 775 793第370组： 168 874 890第371组： 170 264 314第372组： 170 408 442第373组： 171 228 285第374组： 171 528 555第375组： 171 760 779第376组： 174 232 290第377组： 174 832 850第378组： 175 288 337第379组： 175 420 455第380组： 175 600 625第381组： 176 210 274第382组： 176 330 374第383组： 176 468 500第384组： 176 693 715第386组： 177 236 295第387组： 180 189 261第388组： 180 240 300第389组： 180 273 327第390组： 180 299 349第391组： 180 385 425第392组： 180 432 468第393组： 180 525 555第394组： 180 663 687第395组： 180 800 820第396组： 180 891 909第397组： 182 624 650第398组： 183 244 305第399组： 184 345 391第400组： 184 513 545第401组： 185 444 481第402组： 185 672 697第403组： 186 248 310第404组： 186 952 970第405组： 189 252 315第406组： 189 340 389第408组： 189 840 861第409组： 190 336 386第410组： 190 456 494第411组： 192 220 292第412组： 192 256 320第413组： 192 360 408第414组： 192 494 530第415组： 192 560 592第416组： 192 756 780第417组： 195 216 291第418组： 195 260 325第419组： 195 400 445第420组： 195 468 507第421组： 195 748 773第422组： 196 315 371第423组： 196 672 700第424组： 198 264 330第425组： 198 336 390第426组： 198 880 902第427组： 200 210 290第428组： 200 375 425第430组： 200 609 641第431组： 201 268 335第432组： 203 396 445第433组： 203 696 725第434组： 204 253 325第435组： 204 272 340第436组： 204 560 596第437组： 204 595 629第438组： 204 855 879第439组： 205 492 533第440组： 205 828 853第441组： 207 224 305第442组： 207 276 345第443组： 207 780 807第444组： 207 920 943第445组： 208 306 370第446组： 208 390 442第447组： 208 660 692第448组： 208 819 845第449组： 210 280 350第450组： 210 416 466第452组： 210 720 750第453组： 213 284 355第454组： 215 516 559第455组： 215 912 937第456组： 216 288 360第457组： 216 405 459第458组： 216 462 510第459组： 216 630 666第460组： 216 713 745第461组： 216 960 984第462组： 217 456 505第463组： 217 744 775第464组： 219 292 365第465组： 220 231 319第466组： 220 459 509第467组： 220 528 572第468组： 220 585 625第469组： 222 296 370第470组： 224 360 424第471组： 224 420 476第472组： 224 768 800第474组： 225 272 353第475组： 225 300 375第476组： 225 540 585第477组： 225 924 951第478组： 228 304 380第479组： 228 325 397第480组： 228 665 703第481组： 228 704 740第482组： 230 504 554第483组： 230 552 598第484组： 231 308 385第485组： 231 392 455第486组： 231 520 569第487组： 231 792 825第488组： 232 435 493第489组： 232 825 857第490组： 234 312 390第491组： 234 480 534第492组： 235 564 611第493组： 237 316 395第494组： 238 240 338第496组： 240 252 348第497组： 240 275 365第498组： 240 320 400第499组： 240 364 436第500组： 240 418 482第501组： 240 450 510第502组： 240 551 601第503组： 240 576 624第504组： 240 700 740第505组： 240 782 818第506组： 240 884 916第507组： 240 945 975第508组： 243 324 405第509组： 245 588 637第510组： 245 840 875第511组： 246 328 410第512组： 248 465 527第513组： 248 945 977第514组： 249 332 415第515组： 250 600 650第516组： 252 275 373第518组： 252 405 477第519组： 252 539 595第520组： 252 561 615第521组： 252 735 777第522组： 252 864 900第523组： 255 340 425第524组： 255 396 471第525组： 255 612 663第526组： 255 700 745第527组： 256 480 544第528组： 258 344 430第529组： 259 660 709第530组： 259 888 925第531组： 260 273 377第532组： 260 288 388第533组： 260 624 676第534组： 260 651 701第535组： 260 825 865第536组： 261 348 435第537组： 261 380 461第538组： 264 315 411第540组： 264 448 520第541组： 264 495 561第542组： 264 702 750第543组： 264 770 814第544组： 264 950 986第545组： 265 636 689第546组： 266 312 410第547组： 266 912 950第548组： 267 356 445第549组： 270 360 450第550组： 270 648 702第551组： 270 704 754第552组： 272 510 578第553组： 272 546 610第554组： 273 364 455第555组： 273 560 623第556组： 273 736 785第557组： 273 936 975第558组： 275 660 715第559组： 276 368 460第560组： 276 493 565第562组： 279 372 465第563组： 279 440 521第564组： 280 294 406第565组： 280 342 442第566组： 280 351 449第567组： 280 450 530第568组： 280 525 595第569组： 280 672 728第570组： 280 759 809第571组： 280 960 1000第572组： 282 376 470第573组： 285 380 475第574组： 285 504 579第575组： 285 684 741第576组： 285 880 925第577组： 287 816 865第578组： 288 330 438第579组： 288 384 480第580组： 288 540 612第581组： 288 616 680第582组： 288 741 795第584组： 290 696 754第585组： 290 816 866第586组： 291 388 485第587组： 294 392 490第588组： 295 708 767第589组： 296 555 629第590组： 297 304 425第591组： 297 396 495第592组： 297 504 585第593组： 300 315 435第594组： 300 400 500第595组： 300 455 545第596组： 300 589 661第597组： 300 720 780第598组： 300 875 925第599组： 301 900 949第600组： 303 404 505第601组： 304 570 646第602组： 304 690 754第603组： 305 732 793第604组： 306 408 510第606组： 308 435 533第607组： 308 495 583第608组： 308 819 875第609组： 309 412 515第610组： 310 744 806第611组： 310 936 986第612组： 312 416 520第613组： 312 459 555第614组： 312 585 663第615组： 312 640 712第616组： 312 910 962第617组： 315 420 525第618组： 315 572 653第619组： 315 624 699第620组： 315 756 819第621组： 318 424 530第622组： 319 360 481第623组： 320 336 464第624组： 320 462 562第625组： 320 600 680第626组： 320 768 832第628组： 322 480 578第629组： 324 432 540第630组： 324 693 765第631组： 324 945 999第632组： 325 360 485第633组： 325 780 845第634组： 327 436 545第635组： 328 615 697第636组： 330 440 550第637组： 330 560 650第638组： 330 792 858第639组： 333 444 555第640组： 333 644 725第641组： 335 804 871第642组： 336 377 505第643组： 336 385 511第644组： 336 448 560第645组： 336 527 625第646组： 336 540 636第647组： 336 630 714第648组： 336 748 820第650组： 339 452 565第651组： 340 357 493第652组： 340 528 628第653组： 340 816 884第654组： 341 420 541第655组： 342 456 570第656组： 344 645 731第657组： 345 460 575第658组： 345 756 831第659组： 345 828 897第660组： 348 464 580第661组： 348 805 877第662组： 350 576 674第663组： 350 840 910第664组： 351 468 585第665组： 351 720 801第666组： 352 420 548第667组： 352 660 748第668组： 352 936 1000第669组： 354 472 590第670组： 355 852 923第672组： 357 476 595第673组： 360 378 522第674组： 360 480 600第675组： 360 546 654第676组： 360 598 698第677组： 360 627 723第678组： 360 675 765第679组： 360 770 850第680组： 360 864 936第681组： 363 484 605第682组： 363 616 715第683组： 364 585 689第684组： 364 627 725第685组： 365 876 949第686组： 366 488 610第687组： 368 465 593第688组： 368 690 782第689组： 369 492 615第690组： 369 800 881第691组： 370 888 962第692组： 372 496 620第693组： 372 925 997第694组： 375 500 625第695组： 375 900 975第696组： 376 705 799第697组： 378 504 630第698组： 378 680 778第699组： 380 399 551第700组： 380 672 772第701组： 380 912 988第702组： 381 508 635第703组： 384 440 584第704组： 384 512 640第705组： 384 720 816第706组： 385 552 673第707组： 387 516 645第708组： 387 884 965第709组： 390 432 582第710组： 390 520 650第711组： 390 800 890第712组： 392 630 742第713组： 392 735 833第714组： 393 524 655第716组： 396 528 660第717组： 396 672 780第718组： 396 847 935第719组： 399 468 615第720组： 399 532 665第721组： 400 420 580第722组： 400 561 689第723组： 400 750 850第724组： 402 536 670第725组： 405 540 675第726组： 406 792 890第727组： 407 624 745第728组： 408 506 650第729组： 408 544 680第730组： 408 765 867第731组： 408 819 915第732组： 411 548 685第733组： 414 448 610第734组： 414 552 690第735组： 416 612 740第736组： 416 780 884第738组： 420 441 609第739组： 420 513 663第740组： 420 560 700第741组： 420 637 763第742组： 420 675 795第743组： 420 832 932第744组： 420 851 949第745组： 423 564 705第746组： 424 795 901第747组： 425 660 785第748组： 426 568 710第749组： 429 460 629第750组： 429 572 715第751组： 429 700 821第752组： 429 728 845第753组： 429 880 979第754组： 432 495 657第755组： 432 576 720第756组： 432 665 793第757组： 432 810 918第758组： 435 580 725第760组： 440 462 638第761组： 440 525 685第762组： 440 825 935第763组： 441 588 735第764组： 444 592 740第765组： 447 596 745第766组： 448 720 848第767组： 448 840 952第768组： 450 544 706第769组： 450 600 750第770组： 451 780 901第771组： 453 604 755第772组： 455 504 679第773组： 455 528 697第774组： 456 608 760第775组： 456 650 794第776组： 456 855 969第777组： 459 612 765第778组： 460 483 667第779组： 462 616 770第780组： 462 784 910第782组： 464 870 986第783组： 465 620 775第784组： 468 595 757第785组： 468 624 780第786组： 471 628 785第787组： 473 864 985第788组： 474 632 790第789组： 475 840 965第790组： 476 480 676第791组： 476 765 901第792组： 477 636 795第793组： 480 504 696第794组： 480 550 730第795组： 480 640 800第796组： 480 693 843第797组： 480 728 872第798组： 480 836 964第799组： 481 600 769第800组： 483 644 805第801组： 483 720 867第802组： 486 648 810第804组： 492 656 820第805组： 495 660 825第806组： 495 840 975第807组： 498 664 830第808组： 500 525 725第809组： 501 668 835第810组： 504 550 746第811组： 504 672 840第812组： 504 703 865第813组： 504 810 954第814组： 507 676 845第815组： 510 680 850第816组： 510 792 942第817组： 513 684 855第818组： 516 688 860第819组： 519 692 865第820组： 520 546 754第821组： 520 576 776第822组： 520 765 925第823组： 522 696 870第824组： 522 760 922第826组： 528 605 803第827组： 528 630 822第828组： 528 704 880第829组： 531 708 885第830组： 532 624 820第831组： 533 756 925第832组： 534 712 890第833组： 537 716 895第834组： 540 567 783第835组： 540 629 829第836组： 540 720 900第837组： 540 819 981第838组： 543 724 905第839组： 546 728 910第840组： 549 732 915第841组： 552 736 920第842组： 555 572 797第843组： 555 740 925第844组： 558 744 930第845组： 560 588 812第846组： 560 684 884第848组： 561 748 935第849组： 564 752 940第850组： 567 756 945第851组： 570 760 950第852组： 573 764 955第853组： 576 660 876第854组： 576 768 960第855组： 579 772 965第856组： 580 609 841第857组： 580 741 941第858组： 582 776 970第859组： 585 648 873第860组： 585 780 975第861组： 588 784 980第862组： 591 788 985第863组： 594 608 850第864组： 594 792 990第865组： 595 600 845第866组： 597 796 995第867组： 600 630 870第868组： 600 800 1000第870组： 615 728 953第871组： 616 663 905第872组： 616 735 959第873组： 620 651 899第874组： 621 672 915第875组： 624 715 949第876组： 638 720 962第877组： 640 672 928第878组： 650 720 970第879组： 660 693 957第880组： 680 714 986第881组： 696 697 985。
勾 股 数 序 列
勾股数序列山东定陶一中刘述省序言两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。
ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ²－ｎ²，ｃ＝ｍ²＋ｎ²则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。
然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。
这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。
2002年，本人找到了一种极其初等的方法。
初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。
（当然，由于勾股数的无限多，只能列出一定范围内的）。
此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。
学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。
自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。
下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。
并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。
真正让勾股定理走进普通人之中。
正文先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。
故约定：a＜b＜c . a² + b² = c²且a b c 互质。
因ａ² = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在ｃ－ｂ上。
并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。
（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数）以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。
k＝１时，a²＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。
设a = 2m +1，则b = (a²－１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1素勾股数序列如下：a b c 说明：1. a列从上到下依次多2 ，b列从上到下依次多加4 .3 4 55 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。
7 24 259 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a 为妹。
勾股数顺口溜
勾股数顺口溜
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
勾股数顺口溜为勾三股四弦五，5月12记一生，连续偶数6，8，10，八月十五在一起。
1
3，4，5：勾三股四弦五
5，12，13：5月12记一生（13）
6，8，10：连续的偶数
8，15，17：八月十五在一起（17）
特殊勾股数：
连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
2
勾股数，又名毕氏三元数。
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。
3
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
常见勾股数及公式
常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 4551；24 70 74；24 143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364365；28 45 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480481；32 60 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288290；35 84 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 7585；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128160；96 180 204；96 247 265；96 280 296100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组：102 136 170第224组：102 280 298第225组：102 864 870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 330 346第229组：104 672 680第230组：105 140 175第231组：105 208 233第232组：105 252 273第233组：105 360 375第234组：105 608 617第235组：105 784 791第236组：108 144 180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第255组：116 837 845第256组：117 156 195第257组：117 240 267第258组：117 520 533第259组：117 756 765第260组：119 120 169第261组：119 408 425第262组：120 126 174第263组：120 160 200第264组：120 182 218第265组：120 209 241第266组：120 225 255第267组：120 288 312第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 第285组：129 920 929 第286组：130 144 194 第287组：130 312 338 第288组：130 840 850 第289组：132 176 220 第290组：132 224 260 第291组：132 351 375 第292组：132 385 407 第293组：132 475 493 第294组：132 720 732 第295组：133 156 205 第296组：133 456 475 第297组：135 180 225 第298组：135 324 351 第299组：135 352 377 第300组：135 600 615 第301组：136 255 289 第302组：136 273 305 第303组：136 570 586 第304组：138 184 230 第305组：138 520 538 第306组：140 147 203 第307组：140 171 221 第308组：140 225 265 第309组：140 336 364 第310组：140 480 500 第311组：140 693 707 第312组：140 975 985 第313组：141 188 235 第314组：143 780 793 第315组：143 924 935 第316组：144 165 219第322组：144 640 656 第323组：144 858 870 第324组：145 348 377 第325组：145 408 433 第326组：147 196 245 第327组：147 504 525 第328组：150 200 250 第329组：150 360 390 第330组：150 616 634 第331组：152 285 323 第332组：152 345 377 第333组：152 714 730 第334组：153 204 255 第335组：153 420 447 第336组：153 680 697 第337组：154 528 550 第338组：154 840 854 第339组：155 372 403 第340组：155 468 493 第341组：156 208 260 第342组：156 320 356 第343组：156 455 481 第344组：156 495 519 第345组：156 667 685 第346组：159 212 265 第347组：160 168 232 第348组：160 231 281 第349组：160 300 340 第350组：160 384 416 第351组：160 630 650 第352组：160 792 808 第353组：161 240 289 第354组：161 552 575 第355组：162 216 270 第356组：162 720 738 第357组：165 220 275 第358组：165 280 325 第359组：165 396 429 第360组：165 532 557 第361组：165 900 915 第362组：168 224 280 第363组：168 270 318 第364组：168 315 357 第365组：168 374 410第371组：170 264 314 第372组：170 408 442 第373组：171 228 285 第374组：171 528 555 第375组：171 760 779 第376组：174 232 290 第377组：174 832 850 第378组：175 288 337 第379组：175 420 455 第380组：175 600 625 第381组：176 210 274 第382组：176 330 374 第383组：176 468 500 第384组：176 693 715 第385组：176 960 976 第386组：177 236 295 第387组：180 189 261 第388组：180 240 300 第389组：180 273 327 第390组：180 299 349 第391组：180 385 425 第392组：180 432 468 第393组：180 525 555 第394组：180 663 687 第395组：180 800 820 第396组：180 891 909 第397组：182 624 650 第398组：183 244 305 第399组：184 345 391 第400组：184 513 545 第401组：185 444 481 第402组：185 672 697 第403组：186 248 310 第404组：186 952 970 第405组：189 252 315 第406组：189 340 389 第407组：189 648 675 第408组：189 840 861 第409组：190 336 386 第410组：190 456 494 第411组：192 220 292 第412组：192 256 320 第413组：192 360 408 第414组：192 494 530第420组：195 468 507 第421组：195 748 773 第422组：196 315 371 第423组：196 672 700 第424组：198 264 330 第425组：198 336 390 第426组：198 880 902 第427组：200 210 290 第428组：200 375 425 第429组：200 480 520 第430组：200 609 641 第431组：201 268 335 第432组：203 396 445 第433组：203 696 725 第434组：204 253 325 第435组：204 272 340 第436组：204 560 596 第437组：204 595 629 第438组：204 855 879 第439组：205 492 533 第440组：205 828 853 第441组：207 224 305 第442组：207 276 345 第443组：207 780 807 第444组：207 920 943 第445组：208 306 370 第446组：208 390 442 第447组：208 660 692 第448组：208 819 845 第449组：210 280 350 第450组：210 416 466 第451组：210 504 546 第452组：210 720 750 第453组：213 284 355 第454组：215 516 559 第455组：215 912 937 第456组：216 288 360 第457组：216 405 459 第458组：216 462 510 第459组：216 630 666 第460组：216 713 745 第461组：216 960 984 第462组：217 456 505 第463组：217 744 775第469组：222 296 370 第470组：224 360 424 第471组：224 420 476 第472组：224 768 800 第473组：224 882 910 第474组：225 272 353 第475组：225 300 375 第476组：225 540 585 第477组：225 924 951 第478组：228 304 380 第479组：228 325 397 第480组：228 665 703 第481组：228 704 740 第482组：230 504 554 第483组：230 552 598 第484组：231 308 385 第485组：231 392 455 第486组：231 520 569 第487组：231 792 825 第488组：232 435 493 第489组：232 825 857 第490组：234 312 390 第491组：234 480 534 第492组：235 564 611 第493组：237 316 395 第494组：238 240 338 第495组：238 816 850 第496组：240 252 348 第497组：240 275 365 第498组：240 320 400 第499组：240 364 436 第500组：240 418 482 第501组：240 450 510 第502组：240 551 601 第503组：240 576 624 第504组：240 700 740 第505组：240 782 818 第506组：240 884 916 第507组：240 945 975 第508组：243 324 405 第509组：245 588 637 第510组：245 840 875 第511组：246 328 410 第512组：248 465 527第518组：252 405 477 第519组：252 539 595 第520组：252 561 615 第521组：252 735 777 第522组：252 864 900 第523组：255 340 425 第524组：255 396 471 第525组：255 612 663 第526组：255 700 745 第527组：256 480 544 第528组：258 344 430 第529组：259 660 709 第530组：259 888 925 第531组：260 273 377 第532组：260 288 388 第533组：260 624 676 第534组：260 651 701 第535组：260 825 865 第536组：261 348 435 第537组：261 380 461 第538组：264 315 411 第539组：264 352 440 第540组：264 448 520 第541组：264 495 561 第542组：264 702 750 第543组：264 770 814 第544组：264 950 986 第545组：265 636 689 第546组：266 312 410 第547组：266 912 950 第548组：267 356 445 第549组：270 360 450 第550组：270 648 702 第551组：270 704 754 第552组：272 510 578 第553组：272 546 610 第554组：273 364 455 第555组：273 560 623 第556组：273 736 785 第557组：273 936 975 第558组：275 660 715 第559组：276 368 460 第560组：276 493 565 第561组：276 805 851第567组：280 450 530 第568组：280 525 595 第569组：280 672 728 第570组：280 759 809 第571组：280 960 1000 第572组：282 376 470 第573组：285 380 475 第574组：285 504 579 第575组：285 684 741 第576组：285 880 925 第577组：287 816 865 第578组：288 330 438 第579组：288 384 480 第580组：288 540 612 第581组：288 616 680 第582组：288 741 795 第583组：288 840 888 第584组：290 696 754 第585组：290 816 866 第586组：291 388 485 第587组：294 392 490 第588组：295 708 767 第589组：296 555 629 第590组：297 304 425 第591组：297 396 495 第592组：297 504 585 第593组：300 315 435 第594组：300 400 500 第595组：300 455 545 第596组：300 589 661 第597组：300 720 780 第598组：300 875 925 第599组：301 900 949 第600组：303 404 505 第601组：304 570 646 第602组：304 690 754 第603组：305 732 793 第604组：306 408 510 第605组：306 840 894 第606组：308 435 533 第607组：308 495 583 第608组：308 819 875 第609组：309 412 515 第610组：310 744 806第614组：312 585 663 第615组：312 640 712 第616组：312 910 962 第617组：315 420 525 第618组：315 572 653 第619组：315 624 699 第620组：315 756 819 第621组：318 424 530 第622组：319 360 481 第623组：320 336 464 第624组：320 462 562 第625组：320 600 680 第626组：320 768 832 第627组：321 428 535 第628组：322 480 578 第629组：324 432 540 第630组：324 693 765 第631组：324 945 999 第632组：325 360 485 第633组：325 780 845 第634组：327 436 545 第635组：328 615 697 第636组：330 440 550 第637组：330 560 650 第638组：330 792 858 第639组：333 444 555 第640组：333 644 725 第641组：335 804 871 第642组：336 377 505 第643组：336 385 511 第644组：336 448 560 第645组：336 527 625 第646组：336 540 636 第647组：336 630 714 第648组：336 748 820 第649组：336 850 914 第650组：339 452 565 第651组：340 357 493 第652组：340 528 628 第653组：340 816 884 第654组：341 420 541 第655组：342 456 570 第656组：344 645 731 第657组：345 460 575 第658组：345 756 831 第659组：345 828 897第664组：351 468 585 第665组：351 720 801 第666组：352 420 548 第667组：352 660 748 第668组：352 936 1000 第669组：354 472 590 第670组：355 852 923 第671组：357 360 507 第672组：357 476 595 第673组：360 378 522 第674组：360 480 600 第675组：360 546 654 第676组：360 598 698 第677组：360 627 723 第678组：360 675 765 第679组：360 770 850 第680组：360 864 936 第681组：363 484 605 第682组：363 616 715 第683组：364 585 689 第684组：364 627 725 第685组：365 876 949 第686组：366 488 610 第687组：368 465 593 第688组：368 690 782 第689组：369 492 615 第690组：369 800 881 第691组：370 888 962 第692组：372 496 620 第693组：372 925 997 第694组：375 500 625 第695组：375 900 975 第696组：376 705 799 第697组：378 504 630 第698组：378 680 778 第699组：380 399 551 第700组：380 672 772 第701组：380 912 988 第702组：381 508 635 第703组：384 440 584 第704组：384 512 640 第705组：384 720 816 第706组：385 552 673 第707组：387 516 645 第708组：387 884 965第714组：393 524 655 第715组：396 403 565 第716组：396 528 660 第717组：396 672 780 第718组：396 847 935 第719组：399 468 615 第720组：399 532 665 第721组：400 420 580 第722组：400 561 689 第723组：400 750 850 第724组：402 536 670 第725组：405 540 675 第726组：406 792 890 第727组：407 624 745 第728组：408 506 650 第729组：408 544 680 第730组：408 765 867 第731组：408 819 915 第732组：411 548 685 第733组：414 448 610 第734组：414 552 690 第735组：416 612 740 第736组：416 780 884 第737组：417 556 695 第738组：420 441 609 第739组：420 513 663 第740组：420 560 700 第741组：420 637 763 第742组：420 675 795 第743组：420 832 932 第744组：420 851 949 第745组：423 564 705 第746组：424 795 901 第747组：425 660 785 第748组：426 568 710 第749组：429 460 629 第750组：429 572 715 第751组：429 700 821 第752组：429 728 845 第753组：429 880 979 第754组：432 495 657 第755组：432 576 720 第756组：432 665 793 第757组：432 810 918第763组：441 588 735 第764组：444 592 740 第765组：447 596 745 第766组：448 720 848 第767组：448 840 952 第768组：450 544 706 第769组：450 600 750 第770组：451 780 901 第771组：453 604 755 第772组：455 504 679 第773组：455 528 697 第774组：456 608 760 第775组：456 650 794 第776组：456 855 969 第777组：459 612 765 第778组：460 483 667 第779组：462 616 770 第780组：462 784 910 第781组：464 777 905 第782组：464 870 986 第783组：465 620 775 第784组：468 595 757 第785组：468 624 780 第786组：471 628 785 第787组：473 864 985 第788组：474 632 790 第789组：475 840 965 第790组：476 480 676 第791组：476 765 901 第792组：477 636 795 第793组：480 504 696 第794组：480 550 730 第795组：480 640 800 第796组：480 693 843 第797组：480 728 872 第798组：480 836 964 第799组：481 600 769 第800组：483 644 805 第801组：483 720 867 第802组：486 648 810 第803组：489 652 815 第804组：492 656 820 第805组：495 660 825 第806组：495 840 975第811组：504 672 840 第812组：504 703 865 第813组：504 810 954 第814组：507 676 845 第815组：510 680 850 第816组：510 792 942 第817组：513 684 855 第818组：516 688 860 第819组：519 692 865 第820组：520 546 754 第821组：520 576 776 第822组：520 765 925 第823组：522 696 870 第824组：522 760 922 第825组：525 700 875 第826组：528 605 803 第827组：528 630 822 第828组：528 704 880 第829组：531 708 885 第830组：532 624 820 第831组：533 756 925 第832组：534 712 890 第833组：537 716 895 第834组：540 567 783 第835组：540 629 829 第836组：540 720 900 第837组：540 819 981 第838组：543 724 905 第839组：546 728 910 第840组：549 732 915 第841组：552 736 920 第842组：555 572 797 第843组：555 740 925 第844组：558 744 930 第845组：560 588 812 第846组：560 684 884 第847组：560 702 898 第848组：561 748 935 第849组：564 752 940 第850组：567 756 945 第851组：570 760 950 第852组：573 764 955 第853组：576 660 876 第854组：576 768 960 第855组：579 772 965第858组：582 776 970 第859组：585 648 873 第860组：585 780 975 第861组：588 784 980 第862组：591 788 985 第863组：594 608 850 第864组：594 792 990 第865组：595 600 845 第866组：597 796 995 第867组：600 630 870 第868组：600 800 1000 第869组：612 759 975 第870组：615 728 953 第871组：616 663 905 第872组：616 735 959 第873组：620 651 899 第874组：621 672 915 第875组：624 715 949 第876组：638 720 962 第877组：640 672 928 第878组：650 720 970 第879组：660 693 957 第880组：680 714 986 第881组：696 697 985。
100以内的勾股数
100以内的勾股数：i=3j=4k=5i=5j=12k=13i=6j=8k=10i=7j=24k=25i=8j=15k=17i=9j=12k=15i=9j=40k=41i=10j=24k=26i=11j=60k=61i=12j=16k=20i=12j=35k=37i=13j=84k=85i=14j=48k=50i=15j=20k=25i=15j=36k=39i=16j=30k=34i=16j=63k=65i=18j=24k=30i=18j=80k=82i=20j=21k=29i=20j=48k=52i=21j=28k=35i=21j=72k=75i=24j=32k=40i=24j=45k=51i=24j=70k=74i=25j=60k=65i=27j=36k=45i=28j=45k=53i=30j=40k=50i=30j=72k=78i=32j=60k=68i=33j=44k=55i=33j=56k=65i=35j=84k=91i=36j=48k=60i=36j=77k=85i=39j=52k=65i=39j=80k=89i=40j=42k=58i=40j=75k=85i=42j=56k=70i=45j=60k=75i=48j=55k=73i=48j=64k=80i=51j=68k=85i=54j=72k=90i=57j=76k=95i=60j=63k=87i=65j=72k=97勾股数的常用套路所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股数序列山东定陶一中刘述省序言两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。
ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ2－ｎ2，ｃ＝ｍ2＋ｎ2 则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。
然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。
这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。
2002年，本人找到了一种极其初等的方法。
初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。
（当然，由于勾股数的无限多，只能列出一定范围内的）。
此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。
学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。
自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。
下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。
并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。
真正让勾股定理走进普通人之中。
正文先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。
故约定：a＜b＜c . a2 + b2 = c2且a b c 互质。
因ａ2 = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在ｃ－ｂ上。
并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。
（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数）以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。
k＝１时，a2＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。
设a = 2m +1，则b = (a2 －１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1素勾股数序列如下：a b c 说明：1. a列从上到下依次多2 ，b列从上到下依次多加4 .3 4 55 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。
7 24 259 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a为妹。
可编口诀如下：11 60 6113 84 85 妹妹方一方，姐弟和相当；15 112 11317 144 145 姐大弟一年，三人勾股弦。
19 180 181.。
ｋ＝２时，ａ2＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ2－１，ｃ＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。
第一，要保证a b c 互质。
这里a 已经确定是偶数，b 就不能再是偶数，所以知m 是偶数。
第二，要保证b ＞a 。
这里换算为m2 —1 ＞2m 。
得到m ＞1+2。
以上两点结合起来，就确定了m 的取值。
m为大于等于4的偶数。
m从4开始依次取偶数，即得到d2素勾股数序列如下：a b c8 15 17 说明：1. a列从上到下依次多4 , b 列从上到下依次多加8.12 35 3716 63 65 2. 各列个位数五个数一循环。
20 99 10124 143 145 3. b 比m 2 少1 ，c 比m 2 多1 .28 195 19732 255 25736 323 32540 399 401.。
k =3时，d3素勾股数不存在。
因为如果k=3，则a b c 有公约数3. 推导如下：若a2 = 3（2b+3），则a中有3因子，设a =3m，则b =（3m2－３）/2, b 中也有3因子，c = b + 3 自然也有3因子。
于是a b c 有公约数3. 于之前的约定a b c 是素勾股数相矛盾，故知d3 素勾股数不存在仿照上面的方法很容易推导出，k取4，5，6，7时，相应的d4，d5，d6，d7素勾股数均不存在。
k = 8时, a 2 = 8 (2 b + 8) = 16 (b + 4) . 设a = 4 m , 则b = m2 －４，ｃ＝ｂ＋８.仍然注意考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质，知ｍ为奇数．第二，保证ｂ＞ａ，即解ｍ2－４＞４ｍ，得ｍ＞２（１＋2）．所以ｍ从5开始依次取奇数，就得到ｄ８素勾股数序列如下：ａｂｃ20 21 29 说明：1. a 列从上到下依次多8 ，b 列从上到下依次多加8 .28 45 5336 77 85 2. 各列个位数五个数一循环。
44 117 12552 165 173 3. b 比m 2 少4 ，c 比m 2 多4 .60 221 22968 285 29376 357 36584 437 445.。
k＝９时，ａ2＝９（２ｂ＋９）．设ａ＝３ｍ，ｂ＝（ｍ2－９）／２，ｃ＝ｂ＋９.仍要考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质。
即b中不含3因子且b是正整数，故知m为奇数且不含3因子。
第二，保证b＞a ，即解m2－９＞６ｍ．得ｍ＞３（１＋2）．所以ｍ依次取大于等于９的奇数同时还要去掉３的倍数．就得到d9素勾股数序列如下: ａｂｃ33 56 65 说明：1. a 列从上到下本来应该依次多6，由于隔两行去掉了m 是3的倍数那一行，39 80 89 所以依次多6，12，6，12 。
b 列的规律也因此而变。
57 176 18569 260 269 2. 各列个位数五个数一循环也随之而变。
75 308 31787 416 425 3. b 的2倍 比 m 2 少9 ，c 的2 倍比 m 2 多 9 .93 476 485。
由于k 取10，11，12，13，14，15，16，17均不能保证a b c 的互质性，所以d10一直到d17素勾股数都不存在。
推导方法与d3的推导方法类似，不再 赘述。
k =18时，读者可以自己推导d18素勾股数的通项公式了吧？a ＝6ｍ，ｂ＝ｍ2－９，ｃ＝ｂ＋１８.其中ｍ从８开始取不含３因子的偶数。
ｋ从１9到24.又不存在相应的素勾股数序列了。
至此，本文最关键的问题已经显现，首先需要解决k 的取值要求，以确保dk 素勾股数存在；其次要解决dk 素勾股数的一般求法。
定理1 当k 中含有偶数个偶素数因子时，dk 素勾股数不存在。
证明：设k ＝n 22ｍ . (m 中不含2因子, n 为正整数)， 则由ａ2＝ｋ（２ｂ＋ｋ）＝n 22ｍ（２ｂ＋n 22ｍ），设ａ＝n 2ｔ，ｔ2＝２ｍ（ｂ＋122 n ｍ）。
知t 为偶数，再设ｔ＝２ｓ，ｓ2＝ｍ（ｂ／２＋－２n 22ｍ）．从而知b 也必须是偶数。
c 是偶数。
a b c不互质。
故dk 素勾股数不存在。
定理2 当k 中含有奇数个某奇素数因子时，dk 素勾股数不存在。
证明：设ｋ＝ ２ｎ－１ｐｍ ．（ｍ中不含ｐ因子，ｐ是奇素数，ｎ为正整数），则由a2＝ｋ（２ｂ＋ｋ）＝２ｎ－１ｐｍ（２ｂ＋２ｎ－１ｐｍ），可设ａ＝ｎｐｔ得到 ｔ2＝ｍ（２ｂ＋２ｎ－１ｐｍ）／ｐ，从而b 中含有p 因子，a b c 有公因子p . 不互质, 故dk 素勾股数不存在.以上两个定理说明了：k 可以取1，另外k 只能取2的奇数次方，取3，5，7，11等奇素数的偶次方，以及它们之间的乘积。
在不超过200的k 的可取值共有17个。
它们是1，2，8，9，18，25，32，49，50，72，81，98，121，128，162，169，200.再表述的具体严谨些：k 的取值中若有2因子，只能有奇数个2因子；若有奇素数因子，只能有偶数个某奇素数因子。
例如32，25，23*2，2435*3*2.由于k=1时通项已经给出 ，下面分三种具体情况给出知k 的值如何求dk 素勾股数的公式。
第一种情况：k ＝122-n （n 为正整数）时，由a2 = k (2b + k) =122-n （2b+122-n ）=n 22 （b +222-n ），可设 a =n 2 m ，则 b = m 2 － 222-n ，ｃ＝ｂ＋ｋ＝ｂ＋122-n ．公式已经给出,在具体取值中要注意两点：第一，要保证ａｂｃ互质，因为a 是偶数，而b 与c 同奇偶，故要求b 不能为偶数，即m 2 －222-n不能为偶数。
可知 n = 1 时，m 取偶数。
n ＞1 时，m 取奇数。
第二，要保证b ＞ a ，即m 2 －222-n ＞n 2 m ，解得 m ＞1n 2-（1 +2）.第二种情况：k = p 2 （p 是大于1的奇数 ）时，由a 2 = k （ 2 b + k ）= p 2 （ 2 b + p 2 ），可设a = p m ，则b = （ m 2 －ｐ2）/ 2 , c = b +p 2 . 公式已经给出,在具体取值中要注意两点：第一，要保证ａｂｃ互质, 因为a 中含有p 的所有因子，c 与b 之差是p 2，故要求b 中不能含有p 的任何素因子，进而知m 首先是奇数，其次m 中也不能含有p 的任何素因子。
第二，要保证b ＞ a ，即 m 2 －ｐ2＞ 2 p m ，解得 m ＞ p （1 +2）.第三种情况：k ＝122-n p 2 （n 为正整数, p 为大于1 的奇数）时, 由a2 = k (2b + k) =122-n p 2（2b+122-n p 2）=n22p 2 （b +222-n p 2 ）, 可设 a =n 2p m ，则 b = m 2 － 222-n p 2 ，ｃ＝ｂ＋ｋ＝ｂ＋122-n p 2 ．公式已经给出,在具体取值中要注意两点：第一，要保证ａｂｃ互质，因为a 是偶数，且a中含有p 的所有因子,c 与b 之差是122-n p 2，故要求b 不能为偶数，并且要求b 中不能含有p 的任何素因子, 进而知首先当n = 1 时m 是偶数,当n ＞1时m 是奇数，其次m 中也不能含有p 的任何素因子。
第二，要保证b ＞ a ，即m 2 －222-n p 2 ＞n 2p m ，解得 m ＞p n 12-（1 +2）.好了! 问题已经圆满解决,可以轻松一下试一试了。
例如 ｋ＝２００＝235*2仿照上面第三种情况可知，设a = 20 m ，b = m 2 －100 ，ｃ＝ｂ＋200 . m 取奇数并且不能取5的倍数。
又有m ＞10 （1 +2）,于是m 可以依次取值 27, 29 , 31, 33 , 37, 39 ,41, 43 ,47,……….(记住一定要将5的倍数的奇数去掉) ,分别带入上面的公式,就得到了d200素勾股数序列了。
（ 第一组数是 540 629 829 并且a 列至少递进40 才到下一组数）尾 声最后的工作是如何制作一个勾股数序列表。
首先规定：排列顺序以a 的从小到大排列，a 相同时以b 的从小到大排列。
ａ＜ｂ＜ｃ ，ａ2＋ｂ2＝ｃ2 ．其次由于勾股数是无限的，故列表应选择一个适当的范围。
下面就a 不超过100的勾股数序列表的制作过程说明如下。
第一步，先将范围内的所有素勾股数全部列出来 ，即d1 ，d2 ，d8 ，d9 ，d18 ，d25 ，d32 素勾股数满足ａ≤１00的全部列出。
第二步，再将范围内的所有素勾股数的倍数形成的新勾股数满足ａ≤１00的全部列出。
第三步，将以上所有勾股数按照规定的顺序排列出来，就得到了符合你所选范围内的一个不漏的勾股数序列表。