体积与表面积的计算问题
(五年级下册数学)计算图形的表面积和体积练习题
表面积、体积计算题
一、计算图形的表面积和体积（每题8分，共16分）
8cm 8cm 12dm 2dm
五、解答应用题（第1、2、3题每题6分，其它每题5分，共38分）1．加工一个长方体铁皮油桶，长2.5分米，宽1.6分米，高3分米，至少要用多少平方分米铁皮？最多能装多少升油？
2．学校要挖一个长方形状沙坑，长4米，宽2米，深0.4米，它占地多少平方米？需要挖出多少立方米的黄沙？
3．做一个棱长是6分米的正方形无盖鱼缸，需要玻璃多少平方分米？它的容积是多少升？
4．把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长3.2分米，宽1分米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计）
5．一个长方体机油桶，长8分米，宽2分米，高6分米．如果每升机油重720克，可装机油多少千克？
6．在一个长20m，宽8m，深1.6m的长方体蓄水池的底面和四周贴瓷砖，瓷砖是边长为2dm的正方形，贴完共需瓷砖多少块？
7．一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器，里面装有5升水，将一个铁球浸没在水中，这时水深 1.5分米。
这个铁球的体积是多少？。
体积和表面积计算练习题
体积和表面积计算练习题在几何学中，计算物体的体积和表面积是一个常见的练。
通过这些练题，你可以巩固自己对体积和表面积的计算方法的理解。
本文将为你提供一些简单的练题，帮助你加深对这些概念的掌握。
练题1：长方体的计算1. 一个长方体的长为8厘米，宽为5厘米，高为3厘米。
请计算它的体积和表面积。
练题2：球体的计算2. 一个半径为4厘米的球体，请计算其体积和表面积。
练题3：金字塔的计算3. 一个金字塔的底边长为6厘米，高为8厘米。
请计算它的体积和表面积。
练题4：圆柱体的计算4. 一个圆柱体的底面半径为3厘米，高为10厘米。
请计算它的体积和侧面积。
练题5：立方体的计算5. 一个立方体的边长为7厘米。
请计算它的体积和表面积。
以上是一些常见的体积和表面积计算练题。
通过计算这些题目，你可以提高你的计算能力，并加深对几何体积和表面积的理解。
希望这些练题对你有所帮助！> 注意：在计算时，确保使用正确的单位。
例如，如果题目中给出的尺寸是以厘米为单位，那么计算结果也应该以厘米为单位。
参考答案：练题1：长方体的计算- 体积：长 ×宽 ×高 = 8厘米 × 5厘米 × 3厘米 = 120立方厘米- 表面积：2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高) = 2 × (8厘米 × 5厘米 + 8厘米 × 3厘米 + 5厘米 × 3厘米) = 2 × (40厘米² + 24厘米² + 15厘米²) = 2 × 79厘米² = 158厘米²练题2：球体的计算- 体积：4/3 × π × 半径³ = 4/3 × 3.14 × 4厘米³ ≈ 268.08立方厘米- 表面积：4 × π × 半径² = 4 × 3.14 × 4厘米² ≈ 200.96厘米²练题3：金字塔的计算- 体积：底边长 ×底边长 ×高 ÷ 3 = 6厘米 × 6厘米 × 8厘米 ÷ 3 = 96/3立方厘米 = 32立方厘米- 表面积：底边长 ×底边长 + 底边长 ×边长 + 边长 ×高 = 6厘米 × 6厘米 + 6厘米 × 8厘米 + 8厘米× √((6厘米/2)² + 8厘米²) ≈ 36厘米² + 48厘米² + 40.32厘米² ≈ 124.32厘米²练题4：圆柱体的计算- 体积：π × 半径² ×高 = 3.14 × 3厘米² × 10厘米≈ 94.2立方厘米- 侧面积：2 × π × 半径 ×高 = 2 × 3.14 × 3厘米 × 10厘米≈ 188.4厘米²练题5：立方体的计算- 体积：边长³ = 7厘米³ = 343立方厘米- 表面积：6 ×边长² = 6 × 7厘米² = 42厘米²．以上是每个练习题的计算过程和答案。
球体的表面积和体积计算练习题
球体的表面积和体积计算练习题球体是一种几何图形，由无限多个位于同一距离中心的点所组成。
球体通常被用于计算体积和表面积。
在本文中，我们将通过一系列练习题来练习计算球体的表面积和体积。
练习题1：已知一个球体的半径为5厘米，计算其表面积和体积。
解答：首先，我们需要了解球体的公式。
球体的表面积公式为：S = 4πr²，其中π为圆周率，r为半径。
球体的体积公式为：V = (4/3)πr³。
代入已知数据，我们可以计算出球体的表面积和体积：表面积S = 4π(5)² ≈ 314.16平方厘米，体积V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.60立方厘米。
练习题2：已知一个球体的表面积为201.06平方米，求其半径和体积。
解答：根据球体的表面积公式S = 4πr²，我们可以将已知的表面积代入公式中，并解方程以求得半径r。
201.06 = 4πr²r² = 201.06 / (4π)r² ≈ 16.08r ≈ √16.08 ≈ 4所以，球体的半径约为4米。
接下来，我们可以利用球体的体积公式V = (4/3)πr³来计算体积：V = (4/3)π(4)³ ≈ 268.08立方米。
练习题3：已知一个球体的体积为523.60立方厘米，求其半径和表面积。
解答：根据球体的体积公式V = (4/3)πr³，我们可以将已知的体积代入公式中，并解方程以求得半径r。
523.60 = (4/3)πr³r³ = 523.60 / ((4/3)π)r³ ≈ 83.68r ≈ ∛83.68 ≈ 4.99所以，球体的半径约为4.99厘米。
接下来，我们可以利用球体的表面积公式S = 4πr²来计算表面积：S = 4π(4.99)² ≈ 314.06平方厘米。
通过以上练习题，我们得以熟悉了如何计算球体的表面积和体积。
长方体和正方体的表面积和体积 应用题专项训练题75题 后面带详细答案
长方体与正方体的表面积和体积应用题专项训练75题1、计算下面图形的表面积。
（单位：厘米）2、将一根长52厘米的铁丝焊接成一个长6厘米、宽4厘米的长方体框架，这个长方体框架的表面积是多少平方厘米？3、将一根长72厘米的铁丝焊接成一个长9厘米、宽3厘米的长方体框架，这个长方体框架的表面积是多少平方厘米？4、将一根长84厘米的铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是多少平方厘米？5、小高老师要做一个长1.2米、宽45厘米、高1.5米的陈列箱，陈列箱除了正面用玻璃，其余各面都用木板。
小高老师需要准备多少平方米木板？6、舞蹈教室的长是8米，宽是6米，高是3.5米，现在要粉刷墙壁和天花板。
如果门窗和镜子的面积一共是22平方米，每平方米需要0.25千克涂料，那么粉刷这间教室一共需要多少千克涂料？7、小李老师想制作一个长1.2米、宽0.6米、高0.8米的长方体无盖玻璃缸，他至少需要准备多少平方米玻璃？120张6平方米的玻璃板最多可以做多少个这样的鱼缸？（接口处的用料忽略不计。
）8、有一个长方体，如果将它的高增加3厘米，那么它就会变成一个正方体，这时表面积会比原来增加96平方厘米。
这个长方体的表面积是多少平方厘米？9、如果把一个正方体木块一刀切成两个长方体后表面积增加了60平方厘米，那么这个木块的表面积是多少平方厘米？10、下面是一个长方体纸盒的展开图，原来这个纸盒的表面积是多少？11、一个长方体的底面是面积为4平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，这个长方体高是多少？表面积是多少？12、将一块棱长为8 厘米的正方体木料横切成两块完全一样的长方体木料，每块长方体木料的表面积是多少？13、一个长方体的棱长总和是72 厘米, 长是9 厘米, 宽是6 厘米。
这个长方体的表面积是多少平方厘米？14、好好的爸爸想制作一种长20 厘米、宽15 厘米、高10 厘米的长方体无盖玻璃鱼缸，165 张 2 平方分米的玻璃板最多可以做多少个这样的鱼缸？（接口处的用料忽略不计。
立方体的体积和表面积计算
立方体的体积和表面积计算立方体是一种常见的几何体，它具有六个相等的正方形面。
在初中数学中，我们经常会遇到计算立方体的体积和表面积的问题。
本文将重点介绍如何计算立方体的体积和表面积，并通过实例进行说明。
一、立方体的体积计算立方体的体积是指立方体所包含的三维空间的大小。
体积的计算公式为：V =边长 ×边长 ×边长，其中V表示体积，边长表示立方体的任意一条边的长度。
例如，如果一个立方体的边长为3厘米，那么它的体积可以通过以下计算得到：V = 3厘米 × 3厘米 × 3厘米 = 27立方厘米。
通过这个简单的例子，我们可以看出，计算立方体的体积只需要将边长相乘即可。
这是因为立方体的六个面都是相等的正方形，所以它的体积就等于边长的立方。
二、立方体的表面积计算立方体的表面积是指立方体所有面的总面积。
计算立方体的表面积需要分别计算六个面的面积，然后将它们相加。
由于立方体的六个面都是正方形，所以每个面的面积可以通过边长的平方来计算。
因此，立方体的表面积计算公式为：S = 6 ×边长×边长，其中S表示表面积。
举个例子，如果一个立方体的边长为4厘米，那么它的表面积可以通过以下计算得到：S = 6 × 4厘米 × 4厘米 = 96平方厘米。
通过这个例子，我们可以看出，计算立方体的表面积只需要将边长的平方乘以6即可。
这是因为立方体的六个面都是相等的正方形，所以它的表面积就等于每个面的面积乘以6。
三、应用举例现在我们通过一些实际问题来应用立方体的体积和表面积的计算。
例题一：一个立方体的体积为64立方米，求它的边长。
解析：根据立方体的体积计算公式，我们可以得到体积为64立方米的立方体的边长为4米。
因为4米 × 4米 × 4米 = 64立方米。
例题二：一个立方体的表面积为54平方厘米，求它的边长。
解析：根据立方体的表面积计算公式，我们可以得到表面积为54平方厘米的立方体的边长为3厘米。
完整版)五年级下册数学表面积和体积练习题
完整版)五年级下册数学表面积和体积练习题1、计算长方体钢材重量：长2米，横截面是边长为5厘米的正方形，每立方分米钢重7.8千克。
首先计算出长方体的体积为2m × 0.05m × 0.05m = 0.005立方米，然后将体积乘以钢的密度7.8千克/立方分米，得到钢材重量为0.005 × 7.8 =0.039千克。
2、一个棱长为5分米的正方体鱼缸，里面装满水，将水倒入一个底面积为48平方分米，高为6分米的长方体鱼缸里，求水深。
首先计算出正方体鱼缸的体积为0.05m × 0.05m ×0.05m = 0.立方米，然后将体积乘以水的密度1千克/立方分米，得到水的质量为0. × 1000 = 0.125千克。
将水倒入长方体鱼缸后，长方体鱼缸的底面积为48平方分米，高度为6分米，因此长方体鱼缸的体积为0.48立方米。
根据相似三角形的性质，可以得出两个鱼缸中水深的比例为5:12，因此水深为6分米 ×5/12 = 2.5分米。
3、将一块棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，求钢板的厚度。
由于锻造过程中损耗不计，因此钢坯的体积等于钢板的体积。
钢坯的体积为0.008立方米，钢板的体积为0.016m × 0.05m × h，其中h为钢板的厚度。
将两式相等，解得h=0.16厘米。
4、一个长方形铁皮长30cm，宽25cm，从四个角各切掉一个长为5cm的正方形，然后做成一个无盖的盒子，求铁皮的面积和盒子的容积。
首先计算出四个正方形的面积为4 ×0.05m × 0.05m = 0.01平方米，然后将这个面积从原来的长方形铁皮面积中减去，得到剩余的面积为0.75平方米。
这个面积即为盒子的表面积。
盒子的容积为(30cm-2×5cm)×(25cm-2×5cm)×5cm=2500立方厘米=0.0025立方米。
球体的体积与表面积关系
球体的体积与表面积关系球体是一种几何体，具有圆心和半径。
球体的体积与表面积是球体的两个重要属性，它们之间有一定的关系。
本文将探讨球体的体积与表面积的关系，并从几何角度解释其原因。
我们来定义球体的体积和表面积。
球体的体积是指球体所包围的空间大小，通常用单位立方米（m³）表示。
球体的表面积是指球体外部所覆盖的面积，通常用单位平方米（m²）表示。
假设球体的半径为r，根据球体的定义可知，球体的体积可以通过以下公式计算：V = (4/3)πr³同样地，球体的表面积可以通过以下公式计算：S = 4πr²现在，我们来探讨球体的体积与表面积之间的关系。
观察上述两个公式，我们可以发现球体的体积和表面积都与半径r有关。
但是，它们的关系并不是简单的线性关系，而是一种非线性关系。
首先来看球体的体积与半径r的关系。
从上述公式V = (4/3)πr³可以看出，球体的体积与半径r的立方成正比。
也就是说，当半径r 增加一倍时，球体的体积将增加8倍。
这是因为球体的体积是由半径的立方决定的，即半径的三次方。
所以，球体的体积增长速度比半径的增长速度要快得多。
接下来来看球体的表面积与半径r的关系。
从上述公式S = 4πr²可以看出，球体的表面积与半径r的平方成正比。
也就是说，当半径r 增加一倍时，球体的表面积将增加4倍。
这是因为球体的表面积是由半径的平方决定的，即半径的二次方。
所以，球体的表面积增长速度比半径的增长速度要慢一些，但仍然是正比关系。
球体的体积与表面积之间存在着一种非线性关系。
球体的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
这意味着当半径增加时，球体的体积增长得更快，而表面积增长得更慢。
例如，当半径从1米增加到2米时，球体的体积将增加8倍，而表面积只增加4倍。
这种非线性关系可以从几何角度进行解释。
球体的体积是由球体内部所包围的空间大小决定的，而表面积是由球体外部所覆盖的面积决定的。
关于外接球的表面积与体积计算问题
关于外接球的表面积与体积问题（二）一．选择题（共30小题）1．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4π B．9π C．12π D．16π2．已知三棱柱ABC﹣ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱111柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B． C． D．3．三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC ﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7π B．12π C．16π D．28π4．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B． C．32π D．5．已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．6．如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．7．设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，则球的表面积为（）BCDA﹣S﹣BCD A．16π B．64π C．π D．32π8．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π9．在封闭直三棱柱ABC﹣ABC，BC=8，AB=15，BC⊥AB若的球，V内有一个体积为111．AA=5，则V的最大值是（）1A． B． C． D．36π10．在正方体ABCD﹣ABCD中，M是线段AC的中点，若四面体M﹣ABD的外接111111球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2B．3C．4D．511．三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．16π12．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．21π13．已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC 的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4π B．π C．16π D．12π14．已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A． B．8π C．20π D．15．已知直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，侧面BCCB的面积为4，则直三11111棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为（）111A．4π B．8π C．16π D．32π16．如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A． B．6π C． D．12π17．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1 B． C． D．18．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4π B．6π C．8π D．10π19．在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A． B． C．24π D．6π20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．21．一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112π D．144π22．三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144π D．288π23．已知正三棱柱ABC﹣ABC的六个顶点在球O上，又知球O与此正三棱柱的211115个面都相切，求球O与球O的表面积之比（）21A．5：1B．2：1C．4：1D．：124．已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．25．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C．16π D．32π26．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A． B． C． D．则此棱锥的内切球与外接球体积为，的底面边长为，ABCD﹣P已知正四棱锥．27．的半径之比为（）A．1：2B．2：5C．1：3D．4：528．球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A． B．4π C．12π D．36π29．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8π B．12π C．16π D．32π30．已知在三棱锥P﹣ABC中，V=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平ABC ﹣P面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．关于外接球的表面积与体积问题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2017?全国模拟）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4π B．9π C．12π D．16π【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而222222的外接球的表面﹣ABCD，即可求出多面体+d=1+（﹣d），求出R=4ER=（）积．，则的距离为d【解答】解：设球心到平面ABCD，∠AEB=60°，EA=EB=3所在的平面与矩形∵△EABABCD所在的平面互相垂直，的距离为，ABCD∴E到平面22222，d）+d∴R=（）=1+（﹣2，∴d=，R=42=16π．4πR的外接球的表面积为E﹣ABCD∴多面体．D故选【点评】本题考查多面体E﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E﹣ABCD的外接球的半径是关键．2．（2017?大理州二模）已知三棱柱ABC﹣ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在111同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B． C． D．【分析】画出球的内接三棱柱ABC﹣ABC，作出球的半径，然后可求球的表面积．111【解答】解：设AA=h，则1∵棱柱的体积为，AB=2，∴∴h=1，∵AB=2，∴BC==，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP==则球的半径为OA，由题意OP=，∴OA==，3=π所以球的体积为：πR故选B．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．3．（2017?福州一模）三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7π B．12π C．16π D．28π【分析】由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：设球心为M，BC的中点为P，∵三角形BDC满足∠BDC=90°，∴P为三角形BDC的外心，设△ABC的外心为O，∵△ABC为等边三角形，∴MO⊥平面ABC，MP⊥平面BDC，∵二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，∴∠OPM=60°，在等边三角形ABC中，由AB=2，得AP=3，∴OP=1，在Rt△MOP中，可得MO=，在Rt△MOA中，得MA=．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查球的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．4．（2017?香坊区校级一模）已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B． C．32π D．【分析】三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，232，令f（x）=0，可得x=2﹣12x=72x，f′（x）﹣36x=36x===s．令f（x），DCF△即当x=2时，s最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的DCF△半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE﹣DCF，（如图）三棱柱ABE﹣DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，FC⊥CD三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s===．DCF△232，令f（x）﹣36x=0，可得x=2）令f（x=36x12x ﹣），f′（x=72x∴当x=2时，s最大DCF△此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半球半径R=，∴几何体外接球的体积为，故选：D．【点评】本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题．5．（2017?贵州模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．【分析】由三棱锥的对边相等可得三棱锥A﹣BCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．【解答】解：补体为底面边长为1，高为的长方体，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径r=1，球的体积，故选D．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题．6．（2017?临川区校级模拟）如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD==．2=π；该球的表面积为：4π×OD故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017?贵阳一模）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，则球的表面积为（）BCD﹣ABCD﹣S．A．16π B．64π C．π D．32π【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，求出球的直BCDBCD﹣AS﹣径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V=1，BCDA﹣∴=1，∴h=1，∴R=2，2=16π，4π?2∴球的表面积为故选A．【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（2017?南岗区一模）已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，222222，+OFR+OE，=DFROA连接，OC，有=AE222222，）=3OE+（﹣RR∴=（）+OE，，∴R=2=60π．∴三棱锥的外接球的表面积为4πR．故选A【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．9．（2017?呼和浩特二模）在封闭直三棱柱ABC﹣ABC内有一个体积为V的球，111若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA=5，则V的最大值是（）1A． B． C． D．36π【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣ABC内切球半径即可111【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．3=πR，此时球的体积为故选：B．【点评】本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球何时半径最大，属于基础题．10．（2017?大东区一模）在正方体ABCD﹣ABCD中，M是线段AC的中点，若四111111面体M﹣ABD的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．【解答】解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，2=36π，∴4πR∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=a，222，3﹣）2a（）由勾股定理可得3=+（∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．【点评】本题考查正方体棱长，考查四面体M﹣ABD的外接球表面积，确定球心的位置是关键．11．（2017?绵阳模拟）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．16π【分析】PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大，最大值是，求出PC=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP 就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时，PM=，在Rt△PBC中，PB?PC=BC?PM?PC=?PC=．三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=1，2=4π．的外接球的表面积为4πRABC∴三棱锥P﹣故选：B．【点评】题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12．（2017?湖北模拟）如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．21π【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积．【解答】解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取EF中点M，则MF=1，SF=，设该几何体外接球的球心为O，则OM⊥面ABCD，设OM=x，过O作OH⊥SF，交SF于H，则SH=，OH=MF=1，222，=OS∴OD=R2222，（）+x+=1即（）解得x=，∴R==，∴该空间几何体的外接球的表面积S==．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．13．（2017?楚雄州一模）已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4π B．π C．16π D．12π【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=R，∴=R，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴×××R×Rsin60°×R=，解得R=2，2=16π．S=4πR∴球O的表面积故选：C．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．14．（2017?临翔区校级一模）已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A． B．8π C．20π D．【分析】正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，求出小圆半径、三棱锥的高，可得球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正△ABC的边长为，所以小圆半径r=2，又因，所以三棱锥的高h=1，设球半径为R，则，，故选A．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．15．（2017?灵丘县校级三模）已知直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，侧面111BCCB 的面积为4，则直三棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为（）11111A．4π B．8π C．16π D．32π【分析】设BC=2x，BB=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，1111可得直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径为≥=，即可求出三棱柱ABC﹣ABC外接111111球表面积的最小值．【解答】解：设BC=2x，BB=2y，则4xy=4，1∵直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，111∴直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径为≥=，111∴直三棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为4π×2=8π．111故选：B．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣AB确定C外接球表面积的最小值，考查基本不111等式的运用，确定直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径的最小值是关键．111 16．（2017?广安模拟）如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A． B．6π C． D．12π【分析】由已知得PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，∴PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，∴这个球的半径为R==，2=4π×=6π．S=4πR∴该球的表面积是．B故选：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、【点评】四面体的性质及构造法的合理应用．B折成一个直二面角AC沿对角线ABCD（2017?郴州二模）将边长为的正方形．17．﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1B． C． D．【分析】先求出V，再求出四面体ABCD的表面积S=S+S+S+S，由BCD△ADCABDD﹣ABC△ABC△△四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果．【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO==1，且DO⊥平面ABC，∴V==，ABCD﹣BD==，AB=BC=AD=DC=，∴=，=1，∴四面体ABCD的表面积S=S+S+S+S BCD△△ADCABD△ABC△=2+，∴四面体ABCD的内切球的半径r===2﹣．故选：D．【点评】本题考查四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体内切球半径与其体积和表面积的关系式的合理应用．18．（2017春?简阳市期末）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4π B．6π C．8π D．10π【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，2=6πS=4πR则球的表面积故选B．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．19．（2016秋?晋中期末）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A． B． C．24π D．6π【分析】取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S﹣AC﹣B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．利用已知条件求出线段解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，【点评】．长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径．20．（2017春?陆川县校级期中）如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．【分析】利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：在三棱锥D﹣ABC中，，可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，则C﹣ABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，外接球的半径为：=1．外接球的体积为：=．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及最后思想计算能力．21．（2017春?山西月考）一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112π D．144π【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O，O，则球O的球心O为线段OO21212，由此能求出球O的表面积．RO的半径为，利用勾股定理求出R的中点，设球【解答】解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O，O，则球O的球心O为线段OO的中点，2211设球O的半径为R，222=28（）+则R=（），2=112π．S=4πR∴球O的表面积故选：C．【点评】本题球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，是中档题．22．（2017春?顺庆区校级月考）三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144π D．288π【分析】正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．∵三棱锥的棱长均为4，∴正方体的棱长是4，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，2=144π．6R=6，球的表面积为4π×∴2R=12，∴故选：C．【点评】巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．23．（2017春?东湖区校级月考）已知正三棱柱ABC﹣ABC的六个顶点在球O上，1111又知球O与此正三棱柱的5个面都相切，求球O与球O的表面积之比（）221A．5：1B．2：1C．4：1D．：1【分析】由题意得两球心是重合的，设球O的半径为R，球O的半径为r，则正21三棱柱的高为2r，AB=2r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O的球122222=R5r=R，即心，则（2r）+rR的半径为r【解答】解：设球O的为，球O12的球面上，ABCO的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球ABC∵三棱柱﹣1111．2r∴三棱柱的高（侧棱长）为=2rAB=2r所示：1的大圆截面如图O的底面与球CB﹣正三棱柱ABCA（）可得，BO11111正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O的球心，122222，∴球O与球O的表面积之比为5r5=R∴（2r）：+r1=R．，∴21故选：A【点评】本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题．24．（2017春?奉新县月考）已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，222222=9，+z+z=16并且x，+yy=9，x2222=17=x+z+y）设球半径为R，则有（2R，2=174R，∴2=17π．S=4πR∴球的表面积为故选B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．25．（2017春?高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C．16π D．32π【分析】如图，取BC中点D，连结AD、PD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，即∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，由tan∠APD=，得AP以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，即可求出半径．【解答】解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD=，∵AD=，∴．∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P ﹣ABC的外接球，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为2=4π；4πR故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的外接球，转化已知求出球的半径是关键，属于中档题．26．（2017春?高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A． B． C． D．【分析】利用AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，求出PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，∴PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为，故选A．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．27．（2017春?惠安县校级月考）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2B．2：5C．1：3D．4：5【分析】取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比．【解答】解：取BC中点E，由题意，正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，∴PE=，HP=2，从而四棱锥P﹣ABCD的表面积为S=+=8，V==，∴内切球的半径为r=．设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，222，+1=R﹣∴（2R）∴R=，∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．故选B．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P ﹣ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．的两半平面相切，﹣βlα﹣与锐二面角O春?建始县校级月考）球2017（．28．两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A． B．4π C．12π D．36π【分析】设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，利用三角函数、平面几何知识求解．【解答】解：设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得，∴，又二面角α﹣l﹣β为锐二面角，所以∠PRQ=60°，∠PRO=30°，∴OP=1，即球的半径为1，2=4π，故选B．球O的表面积为S=4πR【点评】本题考查了球的性质，空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于中档题．29．（2016?衡水万卷模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8π B．12π C．16π D．32π【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．2=16π．ABCD外接球的表面积为：4πR四面体故选：C．【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．30．（2016?河南模拟）已知在三棱锥P﹣ABC中，V=，∠APC=，∠BPC=，PA ABCP﹣⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S==，PBC△∴V=V==，PBCAP﹣ABC﹣∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，。
立体几何计算练习题体积与表面积
立体几何计算练习题体积与表面积在几何学中，计算立体图形的体积和表面积是非常重要的。
掌握这些计算方法不仅可以帮助我们理解立体图形的特性，更能应用到实际生活和工作中。
本文将介绍几个常见的立体几何计算练习题，涵盖了体积和表面积的计算方法，希望能够对读者有所帮助。
以下是几个练习题。
练习题一：正方体的体积和表面积计算正方体是最简单的立体图形之一，它的六个面都是正方形。
我们先来计算一个边长为a的正方体的体积和表面积。
体积的计算公式为 V = a^3，其中a表示正方体的边长。
例如，如果正方体的边长为5cm，那么它的体积就是 V = 5^3 = 125 cm^3。
表面积的计算公式为 S = 6a^2，其中a表示正方体的边长。
以边长为5cm的正方体为例，它的表面积就是 S = 6(5^2) = 150 cm^2。
练习题二：圆柱体的体积和表面积计算圆柱体是常见的立体图形，它的底面是一个圆，高度为h。
我们来计算一个半径为r、高度为h的圆柱体的体积和表面积。
体积的计算公式为V = πr^2h，其中π取近似值3.14。
例如，如果圆柱体的半径为3cm，高度为8cm，那么它的体积就是V ≈ 3.14(3^2)(8) ≈ 226.08 cm^3。
表面积的计算公式为S = 2πr^2 + 2πrh，其中π取近似值3.14。
以半径为3cm、高度为8cm的圆柱体为例，它的表面积就是S ≈ 2(3.14)(3^2) + 2(3.14)(3)(8) ≈ 188.64 cm^2。
练习题三：球体的体积和表面积计算球体是没有棱和角的立体图形，它的表面都是由一个半径为r的圆所构成。
我们来计算一个半径为r的球体的体积和表面积。
体积的计算公式为 V = (4/3)πr^3，其中π取近似值3.14。
例如，如果球体的半径为6cm，那么它的体积就是V ≈ (4/3)(3.14)(6^3) ≈ 904.32 cm^3。
表面积的计算公式为S = 4πr^2，其中π取近似值3.14。
圆锥体的体积与表面积应用题
圆锥体的体积与表面积应用题圆锥体是一种常见的几何体，具有独特的形状和性质。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算圆锥体的体积和表面积的情况。
本文将通过应用题的形式来介绍如何计算圆锥体的体积和表面积，并讨论其中的实际应用。
问题一：水杯设计假设你是一个设计师，你需要设计一个圆锥形的水杯，满足以下要求：1. 水杯的底面半径为5厘米，高度为10厘米；2. 水杯的顶部需要有一个小孔，用于方便饮水；3. 水杯的容量应该为300毫升。
首先，我们需要计算水杯的体积，即圆锥体的体积。
根据公式 V = (1/3)πr²h ，将半径 r = 5 厘米和高度 h = 10 厘米代入计算，得到水杯的体积为V = (1/3)π(5²)(10) ≈ 261.8毫升。
然而，计算出的体积与要求的容量不相符，所以我们需要重新设计水杯的参数。
假设我们将水杯的高度调整为15厘米，我们可以使用类似的计算方式得到新的体积为V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392.7毫升。
至于水杯顶部的小孔，我们可以在设计中，通过在锥顶处留下一个小孔来实现。
问题二：冰淇淋圆锥现在，我们来探讨一个有趣的实际应用情景。
假设你正在购买一份冰淇淋，你可以选择的形状有圆锥和圆筒。
在相同的尺寸和价格下，你最终选择了圆锥形状的冰淇淋。
你是如何做出这个决策的呢？首先，我们需要比较冰淇淋的体积。
假设冰淇淋的底面半径为 6 厘米，高度为 12 厘米，并使用相同单位的计量。
根据圆锥的体积公式 V = (1/3)πr²h 和圆筒的体积公式V = πr²h ，将参数代入计算，得到冰淇淋的圆锥体积为V = (1/3)π(6²)(12) ≈ 452.4立方厘米，而圆筒的体积为 V= π(6²)(12) ≈ 904.8立方厘米。
由此可见，圆锥形状的冰淇淋相较于圆筒形状的冰淇淋，拥有较小的体积，但价格却相同。
你或许会觉得圆锥形状的冰淇淋更具性价比。
球的体积与表面积
球的体积与表面积球是一种立体几何体，具有很多特点和属性。
其中，体积和表面积是球的两个重要参数，用于描述球的大小和形态。
本文将详细介绍球的体积和表面积的计算方法，并探讨一些与球相关的实际问题。
一、球的体积球的体积表示了球所占据的空间大小。
对于一个给定的球，其体积可以通过以下公式计算得出：V = (4/3)πr³其中V表示球的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的体积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的体积为：V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.6cm³二、球的表面积球的表面积表示了球的外部覆盖面积。
同样，对于一个给定的球，其表面积可以通过以下公式计算得出：A = 4πr²其中A表示球的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的表面积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的表面积为：A = 4π(5)² ≈ 314.16cm²三、球体积与表面积的关系从球的体积和表面积的计算公式可以看出，球的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
这意味着球的体积和表面积都与球的半径密切相关。
当球的半径增大时，其体积和表面积也会增大。
例如，当半径由5cm增加到10cm时，根据上述公式计算可以得到新球的体积为：V = (4/3)π(10)³ ≈ 4188.8cm³同时，新球的表面积为：A = 4π(10)² ≈ 1256.64cm²可以看出，新球的体积和表面积较原来的球都有所增大。
这一点在实际应用中十分重要，例如在建筑设计、物体容器容量计算等方面都会涉及到。
四、实际应用举例球的体积和表面积在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子说明其重要性：1. 建筑设计：在建筑设计中，对于球形结构（如球形穹顶、球形体育馆等），需要计算球的体积和表面积，以合理规划结构和空间。
表面积和体积练习题
求表面积：1、一个长方体的铁皮水箱，长和宽都是2.5dm，深6dm。
做这样一个水箱，至少需要铁皮多少平方分米？（水箱有盖）2、一个长方体罐头盒，底面长13cm、宽7cm，高8.5cm。
如果在盒的四周贴上商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少多少平方厘米？3、五年级同学向贫困地区捐款。
小刚把一个长50cm、宽40cm、高24cm的长方体纸箱各面都贴上了红纸作为捐款箱，除去上面捐款口的面积为350c㎡。
至少需要多少平方分米的红纸？4、一个长方体包裹，它的长、宽、高分别是4dm、3dm、2dm。
如果实际用纸是表面积的1.4倍，包装这个包裹至少要用多少平方分米的包装纸？5、一个房间长6m、宽3.5m、高3m，门窗面积是8㎡。
现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥漆。
如果每平方米需要水泥漆0.4kg，一共需要多少千克水泥漆？6、一个机器零件（如下图），要在它的前后两个面涂上红色防锈漆，其他漏出的面（底面不涂）涂上灰色防锈漆，涂红色防锈漆和灰色防锈漆的面积各是多少？7、一块正方体木料的棱长是40cm。
这块木料的表面积是多少平方厘米？求体积：1、修路队要给一段长150m、宽20m的水泥路面铺一层5cm厚的沥青，一共需要沥青多少立方米？2、一块正方体木料的棱长是40cm。
这块木料的体积是多少立方厘米？3、爸爸买回一块长方体形状的面包，面包长3dm、宽8cm、高5cm。
爸爸想把它平均分成5个长方体形状的小面包给五年人，每个人分到面包的体积是多少立方厘米？4、王大爷家要用砖砌一段长20m、宽25cm、高2.8m的院墙。
如果每立方米用砖500块，砌这段院墙一共要用多少块砖？5、某县在河道两旁修筑了亲水平台，亲水平台要安装如图所示的长方体、正方体水泥块各80块。
这些水泥块共要用水泥多少立方分米？合多少方？6、一个长方体的无盖玻璃鱼缸，长2m 、宽40cm、高80cm，（1）这个鱼缸的占地面积有多大？（2）做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？（3）这个鱼缸的体积是多少？7、某同学想测一块合金块的体积，他在量筒中放入了3块同等大的合金块，测量结果如图所示。
球的体积与表面积的计算
球的体积与表面积的计算在数学中，球是一个非常重要的几何体，它具有许多独特的性质和特点。
球的体积和表面积是我们经常需要计算的问题之一。
在本文中，我将向大家介绍如何计算球的体积和表面积，并通过一些实例来加深理解。
一、球的体积计算球的体积是指球内部所包含的空间大小。
我们可以使用以下公式来计算球的体积：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个数学常数，约等于3.14，r表示球的半径。
举个例子，如果一个球的半径为5厘米，那么我们可以使用上述公式来计算它的体积：V = (4/3) ×3.14 × 5³ ≈ 523.33立方厘米所以，这个球的体积约为523.33立方厘米。
二、球的表面积计算球的表面积是指球的外部曲面的总面积。
我们可以使用以下公式来计算球的表面积：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14，r表示球的半径。
让我们通过一个例子来计算球的表面积。
假设一个球的半径为10厘米，我们可以使用上述公式来计算它的表面积：A = 4 × 3.14 × 10² ≈ 1256平方厘米所以，这个球的表面积约为1256平方厘米。
三、实际应用举例球的体积和表面积的计算在日常生活中有许多实际应用。
例如，当我们购买一个水池或者鱼缸时，我们需要知道它的容量，这就需要计算出一个球形容器的体积。
另外，当我们制作一个球形蛋糕或者球形巧克力时，我们需要知道表面积来确定所需的材料。
举个例子，假设我们要制作一个直径为20厘米的巧克力球，我们可以先计算出它的体积：V = (4/3) × 3.14 × 10³ ≈ 4188.79立方厘米然后，我们可以计算出它的表面积：A = 4 × 3.14 × 10² ≈ 1256平方厘米通过这些计算，我们可以确定所需的巧克力量和材料，以便制作出完美的巧克力球。
长方体、正方体表面积与体积计算的应用- 题目
长方体、正方体表面积与体积计算的应用典题探究例1．一块长方体铁皮（厚度不计），四个角剪去边长为10厘米的正方形，焊成一个无盖的长方体铁皮盒可以盛油3升．已知这块长方形铁皮的长为40厘米，求长方形铁皮的面积．例2．有一房间，长8米，宽4米，高3.2米，要粉刷房子的顶面和四壁周围，除去门窗的面积28平方米，要粉刷的面积占整个房间顶面与四壁的百分之多少？例3．一个长方体木料的长和宽都是2分米，高是40厘米，这根木料的体积是_________；如果把这根木料锯成两个正方体，那么这两个正方体的表面积的和是_________．例4．挖一个长4米，宽3米，深3米的长方体水池，这个水池占地_________平方米．例5．用小棒和橡皮泥做一个长方体或正方体的框架，小棒不能折断或者接拼，下面是提供的材料：小棒长度1号袋2号袋3号袋4号袋9cm 8根10根3根2根7cm 4根3根8根12根4cm 4根3根5根2根（1）要使做成的长方体（或正方体）体积最大，应选用_________号袋的材料．（2）如果要将所做成的最大的长方体或正方体框架糊上纸，至少需要纸张多少平方厘米？演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共5小题）1．有一个长方体，长是a米，宽是b米，高是h米，若把它的高增加5米，则这个长方体的体积增加（）A．a bh+5 B．a b（h+5）C．5ab D．以上都不是2．一根长方体钢材，横截面积是120平方厘米，长40厘米，它的体积是（）立方厘米．A．48 B．480 C．4800 D．480003．一个装有水的长方体水槽，底面积为360平方米，水深12厘米，现将一个底面积为72平方厘米的长方体铁块竖放在水槽中，仍有部分露在外面，则现在水深（）厘米．A．15 B．30 C．5D．354．一个水箱，从里面量底面边长为6分米的正方形，水深0.35米，求箱里的水有（）升．A．126 B．1260 C．12.65．用两个棱长为1分米的小正方体拼成一个长方体，发生了什么变化？（）A．体积变大，表面积变小B．体积变小，表面积变大C．体积不变，表面积变大D．体积不变，表面积变小二．填空题（共15小题）6．往一个长60厘米，宽30厘米，高50厘米的鱼缸注30厘米高的水，注入的水体积是_________．7．只列式，不计算一个长方体玻璃箱，底边长是6分米，宽4分米．把一块石头放入这个玻璃箱完全沉没在水中后，水面升高了1.5分米．这块石头的体积是多少立方分米？8．一辆卡车车厢的底面积为4.8平方米．运送一种长方体形的包装箱，包装箱的棱长分别为0.6米，0.4米，0.5米，如果码放2层，这辆卡车最多能装_________个包装箱．9．一个长方体水箱的容积是200升，这个水箱的底面是一个边长为50厘米的正方形，水箱的高是_________厘米．10．一个长5分米，宽3分米，高4分米的石膏长方体，最好选用面积为_________平方分米的面为底面放置时最安全．它所占空间的大小是_________立方分米．11．要做一个长是6米，宽是4米，高是2米的无盖的玻璃鱼缸，至少需要玻璃_________．12．一个礼品盒的形状是长方体，长、宽、高分别是12cm，1dm和5cm．用纸将它包装起来，所需包装纸的面积最少是_________cm2．（粘接部分不计）13．做一根长5米的烟囱，它的横截面是边长2分米的正方形，至少要用_________平方米铁皮．14．一块正方体石料，棱长4分米，如果每立方分米2.7千克，这块石料重_________千克．15．一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是_________．16．（•岚山区模拟）用铁皮做一个长、宽、高分别是1.2米、5分米、40厘米的长方体箱子，这个箱子放在室内最少占地_________平方米．17．一间教室长15米，宽12米，高4米，门窗的面积占42平方米，如果要粉刷这间教室，粉刷的面积是得数平方米？（顶面不粉刷）18．60m3沙均匀铺在长10米，宽3米的长方体沙坑内，可以铺_________分米厚．19．将一个棱长为0.4分米的正方体框架改做成一个长6厘米、宽4厘米、高_________厘米的长方体框架，在长方体框架的表面糊一层硬纸，需硬纸_________．20．楼房外壁用于流水的水管是长方体．如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米．做一节水管，至少要用铁皮_________平方分米．三．解答题（共8小题）21．学校要修建一条长80米，宽6米的长方形人行道，需要铺上12厘米厚的水泥砂石，如果一辆运输车每次载重8立方米，需要运几次才能把人行道修建好？22．皓月集团的冷藏车厢是长方体形，外面长3.6米，宽2.4米，高2米，如果车厢的壁厚0.2米，则这个冷藏车厢的容积为多少立方米？23．有两个同样的长方体盒子，长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米．现在要把这两个盒子包装成一包，你能想出几种包装方法？分别算出各种方法所需包装的大小．（接口处不计）24．一个房间长5米，宽3米，高2.8米，现需粉刷四壁和天花板，扣除门窗的面积4.5平方米，求要粉刷的总面积有多大？这房间的体积有多大？25．要制作一个长4米，宽2.5米，高1.2米的无盖水箱，至少要用多少平方米铁皮？26．（•麟游县）一个建筑队挖地基，长40.5米，宽24米，深2米，挖出的土平均每4立方米重7吨，如果用载重4.5吨的一辆汽车把这些土的运走，需运多少次？27．（•海安县模拟）芳芳打算制作一个火柴盒，在下面的方格纸上分别设计了火柴盒的内盒与外盒两部分的展开图．（硬纸板的厚度忽略不计）（1）在上图中分别将火柴盒内盒和外盒的几个面用虚线分开．（2）芳芳设计的火柴盒的体积是多少立方厘米？（3）制作这样一个火柴盒，至少要用多少硬纸板？28．客厅的顶部长为6m，宽为4m，装了1盏直径是1m的圆形大灯，12盏面积分别是0.015m2的小彩灯，装灯之外部分需要再次粉刷，要粉刷的面积有多少平方米？B档（提升精练）一．选择题（共15小题）1．一个装有水的长方体水槽，底面积为360平方米，水深12厘米，现将一个底面积为72平方厘米的长方体铁块竖放在水槽中，仍有部分露在外面，则现在水深（）厘米．A．15 B．30 C．5D．352．一盒长方体盒装牛奶包装上标注“净含量650ml”，量得外包装长8厘米，宽5厘米，高15厘米．根据以上数据，你认为“净含量”的标注是（）A．真实的B．虚假的C．无法判断3．火柴盒有外盒（四个面），内盒（五个面）组成．如果硬纸板的厚度忽略不计，内、外盒的长都是4.5厘米，宽都是3.5厘米，高都是1.5厘米．求这9个面的面积之和，下面的算式（）是正确的．A．（4.5×3.5+4.5×1.5+3.5×1.5）×2 B．4.5×3.5×3+4.5×1.5×4+3.5×1.5×2C．（4.5×3.5+4.5×1.5+3.5×1.5）×2×24．一种长方体形状的盒装奶牛，从包装盒的外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米．它标注的净含量是240毫升，这样的标注是（）A．正确的B．错误的C．有可能正确5．（•锦江区）如图用丝带捆扎礼品盒（单位厘米），结头长15厘米，捆扎这个礼品盒需要准备（）分米的丝带比较合适．A．10 B．21.5 C．23 D．306．（•新邵县）一盒标有“净含量为600毫升”的长方体盒装酸奶，量得包装长8cm、宽5cm、高15cm，根据以上数据，你认为“净含量”的标注是（）A．虚假的B．真实的C．无法确定7．（•龙岗区）一个长是3分米，宽是2分米，体积是25.2立方分米的长方体木料，（）完全放入一个长是3.1分米，宽是2.1分米，高是4分米的长方体纸箱内（纸箱厚度忽略不计）．A．能B．不能C．不一定能D．条件不足，无法确定8．（•赣州）一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体包装箱里最多能装（）个棱长为2分米的正方体教具．A．6B．10 C．12 D．159．（•龙南县）一个里面空着的长方体容器，里面量长4分米，宽3分米，高2.5分米，将28升水倒入容器，结果是（）A．水装不满B．刚好装满C．水会溢出10．（•泉州）一个长方体容器，底面是正方形，盛水高1分米．放入7个质量一样的鸡蛋后，水面升高3厘米．要求一个鸡蛋的体积，只需再知道下面（）这一条信息．A．7个鸡蛋的表面积是多少B．长方体容器的表面积是多少C．长方体容器的高是多少D．长方体容器的底面周长是多少11．包装盒的长为48厘米，宽12厘米，高10厘米，圆柱形的饮料筒，底面半径3厘米，高10厘米，这个包装盒内最多能放（）盒饮料．A．64 B．32 C．16 D．812．甲、乙两个长方体水箱．甲水箱的长为4分米，宽为3分米，高为2分米，里面没有装水．乙水箱的长为3分米，宽为2分米，箱中盛有3分米深的水．现把乙水箱中的水向甲水箱中倒一部分，使两个水箱中的水的深度相同，这个相同的深度是（）A．分米B．1分米C．分米D．2分米13．一个圆柱体的玻璃缸里面有一些水，把一个底面积25平方厘米的长方体全部放入水中，玻璃缸中的水位上升4厘米，如果长方体沿着高露出水面6厘米，缸中的水面下降2厘米，则长方体的体积是（）立方厘米．A．100 B．150 C．250 D．30014．长方体玻璃容器，从里面量得长、宽、高分别是5、3、8分米．向这个容器中注水，当容器中的水所形成的长方体第二次出现相对的面是正方形时，水的体积是（）立方分米．A．75 B．45 C．60 D．无法确定15．（•中山模拟）一个游泳池的长是20米，宽10米，深2米，给它的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是（）平方米．A．520 B．420 C．320 D．120二．填空题（共13小题）16．（•惠州）小明今天生日，同学们送他2本影集，每本影集的长3分米，宽1.8分米，厚3厘米，将两本影集包装在一起，至少要_________平方分米的包装纸．（接头处不计）17．（•保靖县）一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是4厘米．它的表面积是_________，体积是_________．18．（•锦屏县）要挖一个长60米，宽40米，深3米的游泳池，共需挖出_________立方米的土，这个游泳池的占地面积是_________．19．（•灵石县模拟）把1米长的长方体截成三段，表面积增加了8cm2，这个长方体的体积是_________．20．（•巴中）小明家制作一个棱长是12m的长方体鱼缸，长、宽、高的比是3：2：1，这个鱼缸最多能容_________升水，至少占地_________㎡．21．（•浙江）一种正方体形状的物体棱长是2分米，要把4个这样的物体用纸包起来，最少要用纸平方厘米_________．（重叠处忽略不计）22．（•龙海市模拟）一个长方体玻璃鱼缸（鱼缸的上面没有玻璃），长5分米，宽3分米，高3.5分米．制作这个鱼缸至少需要_________平方分米的玻璃．23．（•蓬溪县模拟）展览馆大厅前有四根长方体柱子，柱高4.8米，底面是边长0.6米的正方形，外部全部贴上正方形瓷砖．市场上有两种规格的面砖，贴完这四根柱子至少要花费_________元．规格（厘米）单价（元）A：20×20 2B：30×30 3.624．（•玉环县）把3个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是_________立方厘米，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少_________平方厘米．25．（•延庆县）一个长方体仓库从里面量长9米，宽6米，高5米．放入棱长为1.5米的正方体木箱（每个正方体木箱水平放好），至多可以放进_________个．26．（•海淀区）有一个底面是正方形的长方体木块，已知侧面积是192平方厘米，高是16厘米，那么木块的体积是_________．27．（•蚌埠）王大爷家新盖了一间房子，原打算在北墙上开一个长1米、高7.5分米的窗户．后来他嫌小了，又把长和宽都增加了2分米．现在窗户的面积比原来增加了_________平方米．28．（•济南模拟）小明家有一个长方体的鱼缸，鱼缸的底是长为100厘米，宽为40厘米的长方形，里面放置一块棱长为10厘米的正方体石块，向鱼缸里加水，使水面没过石块．如果将石块取出，那么水面降低_________厘米．C档（跨越导练）一．填空题（共2小题）1．（•厦门）一个长方体木料的长和宽都是4分米，高是8分米，这根木料的体积是_________；如果把这根木料锯成两个正方体，那么这两个正方体的表面积的和是_________．2．（•长沙）棱长是4厘米的正方体的表面积是_________平方厘米，体积是_________立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体_________个．二．解答题（共6小题）3．一个工艺品盒的长是3分米，宽是2分米，高是1分米．现将3个这样的盒子包装在一起（仍为长方体）．有几种包装法，计算出最节省包装纸的一种包装法所用的包装纸的面积（重叠部分忽略不计）．4．如图，一个棱长为5的正方体，在它的上下、左右、前后各面中心挖去一个底面是1的正方形，高为2的长方体洞，求挖后此形体的表面积是多少？5．（•北京）一个长方体水箱里装有15cm高的水，聪聪把一个直径6cm的铁球放入水中，水面上升了0.6cm，弟弟把一块石块放进了水箱，石块没入水中后水面又上升了1.5cm，问这块石块的体积是多少？6．（•硚口区）王老师家买了一个金鱼缸，从外面量长8分米，宽4分米，高6.5分米，（1）如果要把鱼缸放在柜子上，要占多大的面积？（2）请你算一算，制作这个鱼缸要用多少玻璃？7．（•瑞安市）如图是由6个同样的小太阳能板拼成的，每个小太阳能板长12分米、宽2.5分米、高3分米．（1）这个大太阳能板的体积一共是多少立分米？（2）在它的四周和上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？8．（•四川）用一根长40分米的铁丝做一个长方体的框架，使它的高为4分米，长、宽的比是1：1，再把它五个面糊上纸，做成一个长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的纸？。
球体的体积与表面积几何形中的实际问题
球体的体积与表面积几何形中的实际问题球体是我们生活中经常接触到的几何形体之一。
它具有独特的特点，不仅在数学中有重要的地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
在本文中，我将探讨球体的体积和表面积与实际问题之间的关系，并介绍一些相关的实际应用。
一、球体的体积和表面积公式在讨论球体的实际问题之前，我们首先需要了解球体的体积和表面积的计算方法。
球体的体积公式为V = 4/3πr³，其中V表示体积，r表示球体的半径。
而球体的表面积公式为A = 4πr²，其中A表示表面积。
二、实际问题一：体积与容积的关系球体的体积与实际生活中的容积有着密切的关系。
例如，在建筑设计中，我们需要计算球形水池所能容纳的水量。
假设某个球形水池的半径为5米，我们可以通过体积公式V = 4/3πr³来计算它的容积。
将半径代入公式中，得到V = 4/3π(5³) ≈ 523.33立方米。
这个结果告诉我们，该球形水池最多可容纳523.33立方米的水。
三、实际问题二：表面积与涂料用量的关系球体的表面积与实际生活中的涂料用量也存在相关性。
例如，在汽车制造过程中，为了保护车身并增加外观效果，我们通常需要给车身喷涂一定的涂料。
如果我们知道某款汽车的半径为2米，可以利用表面积公式A = 4πr²计算出需要的涂料用量。
将半径代入公式中，得到A= 4π(2²) ≈ 50.27平方米。
这个结果告诉我们，为了喷涂该汽车的车身，大约需要50.27平方米的涂料。
四、实际问题三：球体的压力分布球体的压力分布在工程领域中也有重要应用。
例如，在石油钻井过程中，我们需要了解球形油藏的压力分布，以便合理进行开采。
球体的体积和压力之间存在关系，根据物理学原理，球体内部的压力是均匀分布的。
因此，我们可以通过计算球体的体积来了解油藏的压力情况，从而进行合理的钻井设计和开采方案。
五、实际问题四：球体的弹性变形球体的弹性变形也是实际问题中的一个重要方面。
空间立体的表面积与体积计算
空间立体的表面积与体积计算在数学中，空间立体是指具有三个维度的图形体。
计算空间立体的表面积和体积是数学中常见的问题，本文将介绍如何计算各种类型的空间立体的表面积和体积，并提供相应的计算公式。
一、立方体的表面积和体积计算立方体是最简单的空间立体之一，具有六个相等的正方形面。
计算立方体的表面积和体积非常简单，只需要知道它的边长即可。
假设立方体的边长为a，则立方体的表面积S可以通过公式S=6a²计算得出，其中a²表示a的平方。
同样地，立方体的体积V可以通过公式V=a³计算得出，其中a³表示a的立方。
二、长方体的表面积和体积计算长方体是另一种常见的立体形状，它具有六个面，其中有两对相等的矩形面。
长方体的表面积S可以通过公式S=2ab+2ac+2bc计算得出，其中a、b、c分别表示长方体的三个相邻边的长度。
长方体的体积V可以通过公式V=abc计算得出，其中a、b、c同样表示长方体的三个相邻边的长度。
三、圆柱体的表面积和体积计算圆柱体包含一个底面和一个侧面，底面是一个圆，侧面是一个矩形。
圆柱体的表面积S可以通过公式S=2πr²+2πrh计算得出，其中r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高度。
圆柱体的体积V可以通过公式V=πr²h计算得出，其中r同样表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高度。
四、球体的表面积和体积计算球体是一种特殊的立体形状，它的表面是由无数个等距离的点构成的。
球体的表面积S可以通过公式S=4πr²计算得出，其中r表示球的半径。
球体的体积V可以通过公式V=(4/3)πr³计算得出，其中r表示球的半径。
总结：通过以上几个例子，我们可以看出计算空间立体的表面积和体积并不复杂，只需要根据不同的形状选择相应的公式即可。
在实际应用中，了解这些计算方法可以帮助我们更好地理解和解决与空间立体相关的问题。
因此，我们应该熟练地掌握这些计算方法，并能够灵活运用于解决实际问题中。
球的表面积与体积题型
）
A 3л
B 4л
C 3 3
D1 A1
D 6л
C1 B1
解法2 构造棱长为1的正方 体，如图。则A1、C1、B、D是 棱长为 2 的正四面体的顶点。 正方体的外接球也是正四面体 的外接球，此时球的直径 为 3 ， 选A 3 2 S球 =4 ( ) 3 , 2
D A B
C
正四面体的棱长为a ,与外接球半径R的关系为
3.构造直角三角形
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ A ）
A 3л
B 4л
C 3 3
D 6л
A●
解：设四面体为ABCD，O1 为其外接球 心。 球半径为R，O为A在平面BCD上 的射影，M为CD的中点。 连结B O1
2 2 3 6 BO BM ( BC ) . 3 3 2 3 2 2 2 所以AO AB BO , 3
圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等 腰三角形 轴就是过底面重心的高线,而轴截面是过 轴的截面
旋转轴就是从锥筒尖做的垂线
表面积之比等于半径的平方比. 问:若三个球的体积之比为1:8:27, 则它们的半径之比 .
(1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22. (3) 解这类问题的关键:找到变化前后半径 的大小关系.
把垂直于底面的半径OA作n 等分，经过这些分点，用一组 平行于底面的平面把半球切割 成n层，每一层的几何体怎样？
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体 体对角线长为 14，故球的表面积为 14 .
若长方体的过同一顶点的三条棱长为a,b,c 各顶点均在同一球面上,则此球的半径为
体积和表面积计算
体积和表面积计算数学是一门重要的学科，它在我们日常生活中起着重要的作用。
而在数学中，体积和表面积是一个非常重要的概念。
无论是建筑设计、容器容量还是物体的质量计算，都离不开对体积和表面积的计算。
本文将以实际例子为基础，详细介绍如何计算体积和表面积，并给出一些实用的方法和技巧。
一、体积的计算体积是指一个物体所占据的空间大小。
在数学中，我们常用立方体的体积作为基准来计算其他物体的体积。
立方体的体积公式为：体积 = 长 ×宽 ×高。
例如，如果一个立方体的长、宽和高分别为3cm、4cm和5cm，那么它的体积就是3 × 4 ×5 = 60 cm³。
除了立方体，我们还可以通过计算其他形状的物体的体积。
例如，如果要计算一个圆柱体的体积，我们可以使用公式：体积 = 底面积 ×高。
底面积可以通过计算圆的面积得到，即底面积= π × 半径²。
所以，圆柱体的体积公式可以简化为：体积= π × 半径² ×高。
二、表面积的计算表面积是指物体外部各个平面的总面积。
在日常生活中，我们常常需要计算某个物体的表面积，例如房子的墙壁面积、箱子的包装面积等。
对于简单的几何体，我们可以使用公式来计算表面积。
对于立方体来说，它的表面积等于各个面的面积之和。
由于立方体的六个面都是相等的，所以立方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×面积。
其中，面积可以通过计算一个面的长和宽的乘积得到。
对于圆柱体来说，它的表面积由两个圆的面积和一个矩形的面积组成。
圆柱体的表面积公式可以简化为：表面积 = 2 ×圆的面积 + 矩形的面积。
其中，圆的面积可以通过计算圆的周长和半径的乘积得到，矩形的面积可以通过计算矩形的长和宽的乘积得到。
三、计算技巧和实用方法在实际计算中，我们可以运用一些技巧和方法来简化计算过程。
1. 利用单位转换：在计算体积和表面积时，我们经常需要将长度单位进行转换。
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体积与表面积的计算问题
在正方体、长方体或圆柱体的某个面上或几个面上打一个小孔或打通一个洞，其体积和表面积均发生变化。
但变化的实质截然不同，只有物体的体积比原来减少了，而物体表面积的变化则要根据具体情况因题而论，下面特举例说明。
例1．如图1所示，在一个大的正方体某个面上打一个小的正方体洞，已知小正方体的棱长是大正方体棱长的，那么余下图形的体积比原来减少了几分之几？表面积比原来增加了几分之几？
〔分析与解〕此题没有给出具体的数字，解答时可以将大正方体的棱长看作单位“1”，小正方体的棱长就是，因此，直接利用分率来列式。
（1）体积比原来减少：（）（111）＝
（2）表面积比原来增加：（4）(116)＝6＝
此题还可以设数来解。
设大正方体的棱长为6分米，那么小正方体的棱长就是2分米。
列式得，
（L）体积比原来减少：
（222）（666）＝＝＝
（2）表面积比原来增加：（222）（666）＝＝
例2．如图2所示，在一个底面边长为LOCM的长方体上下底面上打通一个小的正方体孔洞，表面积比原来增加了18CM2，求余下图形的体积。
〔分析与解〕要想求出余下图形的体积，必须知道长方体的高，求高又要从增加的表面积入手。
从图中不难想象出18CM2就是中间小正方体两个正方形的面积，于是得：18（4－2）＝9CM2，9＝33，即：中间的小正方体的棱长（大长方体的高）是3CM。
因此列式为：10103－333＝273（CM3）。
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例3．如图3所示，在一个底面半径为6CM的大圆柱体的上下底面的中心处打通一个半径为4CM的小圆柱体的洞，其表面积没有发生变化，求原来圆柱的体积。
〔分析与解〕这题显然还是先求高，由于表面积没有变化，说明中间小圆柱体的侧面积一定等于它两底面积，因此圆柱体的高为：3.14422（3.1442）＝4CM。
原来圆柱的体积为：3.14624＝452.16（CM3）
2/ 2。