第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图

aw .
co m
q = 15 kN/m 由 FQ 图 D、B 处为零可知，M 在 D、B 处取极值
M D = 20 ×
40 4 1 4 − 15 × ( ) 2 = kN·m 3 2 3 3
MB =−
1 q × 12 = −7.5 kN·m 2
梁上载荷及梁的弯矩图分别如图所示。
5－8 已知静定梁的剪力图和弯矩图,试确定梁上的载荷及梁的支承。. 解：由 FQ 图知，全梁有向下均布 q 载荷，由 FQ 图中 A、B、C 处突变，知 A、B、C 处 有向上集中力，且
Ad → e ( FQ ) = Ae → d ( FQ )
M d =M e − Ae → d ( FQ )
案
网
ww
4
习题 5－3 图
w. kh d
aw .
co m
5－ 4
试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。
习题 5－4 图
解：题(a)
A 截面－ FQ =
题(b)
A 截面－ FQ =
案
网
C 截面－ FQ =
| FQ | max = 1 ql 2
| M | max =
1 2 ql 8
5 － 7 静定梁承受平面载荷但无集中力作用,其剪力图如图所示.若已知 A 端弯矩
M ( A) = 0 ,试确定梁上的载荷及梁的弯矩图,并指出梁在何处有约束,且为何种约束。
FRA = 20 kN（↑）
课
后 答
案
FRB = 40 kN（↑）
2
FRB
1 = ql （↑） 4
∑ F y = 0 ， FRA =
M C = FRB ⋅ l =
1 ql （↓） ， 4
1 1 ql ⋅ l = ql 2 （＋） 4 4
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
网
ww
w. kh d
aw . 案
1
解：题（a） ：
co m
C
－
习题 5－9 图
C
2
B
B
1
后 答
D
M(FPl)
1 +
D
课
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
5－6 应用平衡微分,试画出图示各梁的剪力图和弯矩图,并确定 FQ
w. kh d
co m
max
(0 ≤ x ≤ l ) ( l ≤ x ≤ 2l )
、 M
max
。
课
后 答
习题 5－5 和 5－6 图 7
案
网
ww
解：
M/l
习题 5－6a 解图
题（a）
∑ F y = 0 ， FRA
课
后 答
M 2l | M | max = 2M | FQ | max =
A 截面－ FQ = qa , M = 0
5
ww
M0 , M =0 a+b
M0 a , M= M0 a+b a+b M0 b , M= M0 a+b a+b M0 , M =0 a+b
w. kh d
b FP , M = 0 a+b b ab C 截面－ FQ = FP , M = FP a+b a+b a ab D 截面－ FQ = − FP , M = FP a+b a+b a B 截面－ FQ = − FP , M = 0 a+b
dFQ
w. kh d
(B)
aw .
。 正确答案是 b、c、d
3
四种答案中哪几种是正确的：
课
后 答
5－2 对于图示承受均布载荷 q 的简支梁,其弯矩图凹凸性与哪些因素相关?试判断下列
案
网
习题 5－2 图
co m
。
5－3 已知图示梁的剪力图以及 a、e 两截面上的弯矩 M a 和M e ,现有下列四种答案, 试分析哪一种是正确的。
FP l 2 FP l 2
D 截面－ FQ = − FP , M =
B 截面－ FQ = − FP , M = 0
5－ 5 解： 题(a)
试写出以下各梁的剪力方程、弯矩方程。
案
1. FQ ( x ) = −
M , 2l M 2. FQ ( x ) = − , 2l M 3. FQ ( x ) = − , 2l M 4. FQ ( x ) = − , 2l
题(c)
w. kh d
(0 ≤ x ≤ l ) ( l ≤ x ≤ 2l ) ( 2l ≤ x ≤ 3l ) ( 3l ≤ x ≤ 4l )
x+M x + 3M x + 2M
1 1. FQ ( x ) = ql − qx , M ( x ) = qlx + ql 2 − qx 2 2 2 M ( x ) = ql 2. FQ ( x ) = 0 ,
案
网
∑ M A = 0 ， FRB =
ww
M （↑） 2l M = （↓） 2l
8
w. kh d
aw .
习题 5－6b 解图
co m
后 答
习题 5－6c、e 解图
案
网
ww
习题 5－6d、f 解图
课
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
4000
习题 5－8 载荷图之一
q A
4000
课
习题 5－8 图
C
4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
q=
0.3 − (−0.5) = 0.2 kN/m（↓） 4
w. kh d
aw .
q C FC
由 MA = MB = 0，可知 A、B 简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图所示。
co m
4000
FRA = 0.3 kN（↑） FRC = 1 kN（↑） FRB = 0.3 kN（↑）
A
B
网 案
ww 后 答
习题 5－1 图 （A）
ww
正确答案是
dM ＝FQ ; dx dx dF dM （B） Q ＝－q ( x) , ＝－FQ ; dx dx dFQ dM （C） ＝－ q ( x) , ＝FQ ; dx dx dFQ dM （D） ＝q ( x ) , ＝－FQ ; dx dx ＝q ( x ) ,
课
后 答
案
网
习题 5－11
ww
2
w. kh d
习题 5－8 习题 5－10
aw .
习题 5－6
co m
材料力学习题详细解答之五 第 5 章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
5－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及 Ox 坐标取向如图所 示.请分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的：
后 答
D 截面－ FQ = −
课
B 截面－ FQ = −
题(c)
题(d)
5 3 5 7 2 C 截面－ FQ = qa , M = qa 3 6 1 B 截面－ FQ = − qa , M = 0 3 1 3 2 A 截面－ FQ = ql , M = − qa 2 8 1 1 2 C 截面－ FQ = ql , M = − qa 2 8 1 1 2 D 截面－ FQ = ql , M = − qa 2 8
FRA = 5 ql （↑） 4
1 − ql ⋅ l = 0 2
| FQ | max =
| M | max =
题（e）
5 ql 4
25 2 ql 32
案
∑ F y = 0 ，FRC = 0
网
后 答Baidu Nhomakorabea
∑ M C = 0 ， − ql ⋅
M C = ql 2
1 2 ql 2
课
∑MB =0 ，MB =
∑ F y = 0 ， FQB = ql
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
| FQ | max = ql
| M | max = ql 2
题（f）
∑ M A = 0 ， FRB =
1 2
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↓）
∑ Fy = 0 ， −
1 ql + ql − FQB = 0 2
ww
3 l l + ql ⋅ + M C = 0 2 2
w. kh d
1 ql 2 （↑）
aw .
co m
B 截面－ FQ = 0 , M = 0 题(e) A 截面－ FQ = −2 FP , M = FP l C 截面－ FQ = −2 FP , M = 0 B 截面－ FQ = FP , M = 0 A 截面－ FQ = 0 , M =
题(f)
FPl 2
C 截面－ FQ = 0 , M =
(0 ≤ x ≤ l ) ( l ≤ x ≤ 2l )
1. FQ ( x ) = −
aw .
ql + qx , 2 ql 2. FQ ( x ) = − + q ( 2l − x ) , 2
1 1 M ( x ) = − qlx + qx 2 2 2 ql 1 2 M ( x ) = ( 2l − x )− q ( 2l − x ) 2 2
M ( x) = −
M 2l M M ( x) = − 2l M M ( x) = − 2l M M ( x) = − 2l
网
ww
x
后 答
课
题(b)
1 1 1 1. FQ ( x ) = − ql − qx , M ( x ) = ql 2 − qlx − qx 2 4 4 2 1 1 2. FQ ( x ) = − ql , M ( x ) = ql ( 2l − x ) 4 4
6
aw .
(0 ≤ x ≤ l ) ( l ≤ x ≤ 2l )
( 0 ≤ x ≤ 2l ) ( 2l ≤ x ≤ 3l )
co m
题(d)
1. FQ ( x ) =
5 ql − qx , 4
M ( x) =
2. FQ ( x ) = − ql + q ( 3l − x ) ,
5 1 qlx − qx 2 4 2 1 2 M ( x ) = ql ( 3l − x )− q ( 3l − x ) 2
10
∑MD =0， MD =
25 2 ql 32
aw .
q 2 ∑MB =0 ， MB = l 2
co m
∑ F y = 0 ， FRB = ql （↑）
3 4
FQB =
1 ql 2
l l l 1 ql ⋅ − q ⋅ + M D = 0 2 2 2 4
∑MD =0，
1 M D = − ql 2 8 1 M E = ql 2 8
由
∑ Fy = 0
FRA + FRB − q × 4 = 0
11
网
习题 5－7 图
ww
w. kh d
解：由 FQ 图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布载荷 q，由 A、B 处 FQ 向上突变 知，A、B 处有向上集中力；又因 A、B 处弯矩无突变，说明 A、B 处为简支约束，由 A、B 处 FQ 值知
(A) M b = M a + Aa∼ b ( FQ ), M d = M e + Ae∼ d ( FQ ); (B) M b = M a − Aa∼ b ( FQ ), M d = M e − Ae∼ d ( FQ ); (C) M b = M a + Aa∼ b ( FQ ), M d = M e − Ae∼ d ( FQ ); (D) M b = M a − Aa∼ b ( FQ ), M d = M e + Ae∼ d ( FQ ).
( 0 ≤ x ≤ 2l ) ( 2l ≤ x ≤ 3l )
题(e)
1. FQ ( x ) = qx , 2. FQ ( x ) = ql − q ( x − l ) ,
题(f)
1 M ( x ) = qx 2 2 l⎞ 1 2 ⎛ M ( x ) = ql ⎜ x − ⎟− q ( x − l ) 2⎠ 2 ⎝
上述各式中 Aa∼ b ( FQ ) 为截面 a、b 之间剪力图的面积,以此类推。 解：根据微分关系的定积分以及 a、b 之间剪力图的面积为负值，有
因为 d、e 之间剪力图的面积为正值，所以有
以及
课
改写后为
因此，正确答案是 (B)。
后 答
M b＝M a − Aa →b ( FQ )
M e＝M d + Ad → e ( FQ )
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
eBook
材料力学习题详细解答
课
后 答
案
网
2006-01-18
ww
1
w. kh d
aw .
(第 5 章)
co m
教师用书
习题 5－1 习题 5－3 习题 5－5 习题 5－7 习题 5－9
习题 5－2 习题 5－4
9
w. kh d
aw .
co m
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
| M | max = 3 2 ql 2
l 2
题（d）
∑ M B = 0 , FRA ⋅ 2l − q ⋅ 3l ⋅