直线与平面的位置关系
直线和平面的位置关系
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。
即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给
出下面的定义。
定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面平行， 记作l //,即l
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影A
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
在PAO中，
P
sin PAO PO 8 1 PAO 30
PA 16 2
A
同理 : sin PBO PO 8 PB 10
O
B
PBO 538
三垂线定理及逆定理
P oa
A α
预习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
空间几何中的平面与直线的位置关系
空间几何中的平面与直线的位置关系在空间几何的研究中，平面和直线是最基本的几何元素之一。
它们之间的位置关系对理解空间几何的特性和性质起着至关重要的作用。
本文将探讨平面与直线的七种常见位置关系，并通过具体例子进行说明。
一、平面与直线相交于一点当一个平面与一条直线相交于一点时，我们称这两者的位置关系为相交于一点。
在这种情况下，平面可以被视为一个切平面，将直线切割成两段。
如图1所示，平面P与直线L相交于点A。
图1 平面与直线相交于一点二、平面与直线相交于多个点当一个平面与一条直线相交于多个点时，我们称这两者的位置关系为相交于多点。
这种情况下，平面将直线切割成多段，直线的起点和终点都在平面上。
如图2所示，平面P与直线L相交于点B、点C和点D。
图2 平面与直线相交于多个点三、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面上时，我们称这两者的位置关系为直线在平面上。
换句话说，直线上的任意一点都落在平面上。
如图3所示，直线L完全位于平面P上。
图3 直线在平面上四、平面与直线相交当一个平面与一条直线有公共点，但该直线不完全位于平面上时，我们称这两者的位置关系为相交。
如图4所示，平面P与直线L相交于点E和点F，但直线L的一部分位于平面外。
图4 平面与直线相交五、直线平行于平面当一条直线与一个平面没有公共点，且直线与平面的方向相同或者相反时，我们称这两者的位置关系为平行。
如图5所示，直线L与平面P平行。
图5 直线平行于平面六、直线垂直于平面当一条直线与一个平面垂直且通过该平面的法线时，我们称这两者的位置关系为垂直。
如图6所示，直线L垂直于平面P。
图6 直线垂直于平面七、直线与平面重合当一条直线与一个平面重合，即二者完全重合时，我们称这两者的位置关系为重合。
如图7所示，直线L与平面P重合。
图7 直线与平面重合综上所述，空间几何中的平面与直线有七种常见的位置关系，分别为相交于一点、相交于多点、直线在平面上、相交、平行、垂直和重合。
数学必修二直线与平面位置关系知识点
数学必修二直线与平面位置关系知识点
在数学必修二中，直线与平面的位置关系是一项重要的知识点。
下面是一些常见的直
线与平面的位置关系：
1. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有一个公共点时，我们称这条直线与平面
相交。
2. 直线在平面上：当一条直线的所有点都在一个平面上时，我们称这条直线在平面上。
3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面的所有点都不相交时，我们称这条直线与
平面平行。
4. 直线垂直于平面：当一条直线与一个平面的每一条与其有公共点的直线都垂直时，
我们称这条直线垂直于平面。
此外，还有一些特殊情况需要注意：
1. 平面平行于坐标轴：当一个平面与某一个坐标轴平行时，在该坐标轴上方的所有点
的坐标都相同，可以利用这个特点来求解一些几何问题。
2. 平面与平面相交：当两个平面相交时，它们的交线是一条直线。
可以根据平面的方
程来求解平面与平面的交线。
3. 平面与平面平行：当两个平面平行时，它们的法向量相互平行。
可以根据平面的法
向量来判断平面与平面的位置关系。
掌握这些直线与平面的位置关系知识点，可以帮助我们解决更复杂的几何问题，如求解直线与平面的交点、确定直线与平面的位置关系等。
空间几何直线与平面的位置关系
空间几何直线与平面的位置关系空间几何中，直线和平面是两个基本要素，它们之间存在着丰富的位置关系。
本文将就直线与平面的位置关系展开探讨，包括直线在平面上、直线与平面的交点、直线与平面的平行与垂直等方面。
一、直线在平面上直线可以与平面有三种不同的位置关系：直线在平面之内、直线在平面之上以及直线与平面相交。
1. 直线在平面之内直线在平面之内指的是直线的所有点都在平面上。
当直线与平面没有交点时，可认为直线在平面之内，如图1所示。
2. 直线在平面之上直线在平面之上指的是直线与平面不相交，也就是直线的所有点都在平面的同一侧。
当直线与平面平行时，可认为直线在平面之上，如图2所示。
3. 直线与平面相交直线与平面相交通常存在交点，交点可以是唯一的也可以是无穷多个。
当直线与平面仅有一个交点时，可认为直线与平面相交，如图3所示。
二、直线与平面的交点当直线与平面相交时，交点的性质也具有一定的规律和特点。
1. 交角直线与平面相交时，与平面相切的直线与平面的夹角被称为交角。
交角的大小受到直线与平面的位置关系的影响。
当直线在平面之上时，所对应的交角为锐角；当直线在平面之内时，所对应的交角为钝角，如图4所示。
2. 交点的个数直线与平面的位置关系决定了交点的个数。
当直线与平面平行时，直线与平面没有交点；当直线与平面有且只有一个交点时，直线穿过平面。
若直线与平面有无穷多个交点，则直线包含于平面中，如图5所示。
三、直线与平面的平行与垂直关系直线与平面之间的平行和垂直关系是空间几何中常见的情况。
1. 直线与平面的平行关系直线与平面平行指的是直线与平面没有任何交点，并且它们的方向也相同或者完全相反。
当两条直线都与同一个平面平行时，这两条直线也可以认为是平行的。
平行关系是指直线与平面之间的一种基本的位置关系，具有重要的数学应用价值。
2. 直线与平面的垂直关系直线与平面垂直指的是直线与平面之间的夹角为90度。
当直线与平面的方向垂直时，可以说直线与平面垂直。
空间中直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系在几何学中，空间中直线与平面的位置关系是一种重要的研究内容。
直线和平面是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系对于解决实际问题、推导定理以及解决几何题目都具有重要的作用。
本文将详细探讨空间中直线与平面之间的位置关系及其相关性质。
一、直线与平面的关系在空间几何中，直线和平面是两种不同维度的图形。
直线是一维的，即由无数个点沿着同一方向无限延伸而成，而平面是二维的，由无数条平行的直线组成。
直线和平面之间存在着多种位置关系。
1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，它们必定交于一点或者一条直线。
这是空间几何中最基本的关系之一。
根据交点的个数，我们可以将直线与平面的相交分为以下几种情况：（1）当直线与平面相交于且只有一个点时，称为直线与平面相交于一点的情况；（2）当直线与平面相交于无数个点时，称为直线与平面相交于多点的情况；（3）当直线与平面重合时，称为直线与平面相交于一条直线的情况。
2. 直线在平面上直线在平面上的意思是，直线上的所有点都在平面上。
当直线与平面重合时，我们可以称直线在平面上。
在这种情况下，直线与平面的位置关系是一致的。
3. 直线平行于平面当直线的方向与平面平行时，我们称直线平行于平面。
这种情况下，直线与平面没有交点，并且它们始终保持平行关系。
二、直线与平面的性质1. 垂直关系当一条直线与平面上的所有直线都垂直时，我们称这条直线垂直于该平面。
垂直关系是直线与平面之间重要的性质之一。
根据垂直关系，我们可以得出以下结论：（1）垂直于同一平面的两条直线相互平行；（2）直线垂直于平面的任意一条直线，则直线必与该平面垂直；（3）两个平面如果相交，那么它们的公共直线与两个平面垂直。
2. 倾斜关系当直线与平面不平行也不垂直时，我们称直线与平面之间存在倾斜关系。
倾斜关系是一种介于垂直关系与平行关系之间的位置关系。
三、直线与平面的应用直线与平面的位置关系在几何学中有广泛的应用。
直线与平面的位置关系
二．直线与平面的位置关系知识提要1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内；直线与平面平行(直线与一个平面没有公共点，则称直线与平面平行)；直线与平面相交．2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(线线平行，线面平行)3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交．那么这条直线和交线平行．(线面平行，线线平行)4.直线与平面垂直：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则称该直线与这个平面互相垂直．5.直线与平面垂直的判定判定1如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与这个平面垂直．判定2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．6.直线与平面垂直的性质定理1如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线互相平行．定理2直线垂直于平面，则此直线垂直于平面内的任意一条直线．7.三垂线定理平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直．(简记为：“射影垂直，则斜线垂直”)8.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面内的射影垂直．(简记为：“斜线垂直，则射影垂直”)9.射影长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短．10.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．如果直线垂直于平面，那么它们所成的角是直角；如果直线平行于平面或在平面内，那么它们所成的角是O0的角．直线和平面所成的角的范围是[0，π]。
课前练习1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是( )(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 要依P 点的位置而定解析：由题设知B 1M ∥AN 且B 1M =AN ， 四边形ANB 1M 是平行四边形， 故B 1N ∥AM ，B 1N ∥AMC 1平面．又C 1M ∥CN ，得CN ∥平面AMC 1，则平面B 1NC ∥平面AMC 1，NP ⊂平面B 1NC ， ∴ NP ∥平面AMC 1． 答案选B ．2．已知异面直线a 与b 所成的角为50，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角均是30的直线有且只有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条解析： 过空间一点P 作'a ∥a ，'b ∥b ，则由异面直线所成角的定义知：'a 与'b 的交角为50，过P 与'a ，'b 成等角的直线与a ，b 亦成等角，设'a ，'b 确定平面α，'a ，'b 交角的平分线为l ，则过l 且与α垂直的平面（设为β）内的任一直线'l 与'a ，'b 成等角（证明从略），由上述结论知：'l 与'a ，'b 所成角大于或等于l 与'a ，'b 所成角25，这样在β内l 的两侧与'a ，'b 成30角的直线各有一条，共两条。
第二讲直线与平面的位置关系
第二讲直线与平面的位置关系一、知识点1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.4如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直. 5直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.6直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.二、典型例题例1如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .QAB CDMP FE NGA BCDM FE N例2】 如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .AA DBC BCD1111EFGMN例3已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.ABCD E O MNP（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角.例4在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b .AA CB BC E G F111（1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.例5已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，O 、A 为垂足.求证：a ∥b .Oα例6已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .CABP.OE例7在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C .AABBC CDD1111例8如图8—45, AB 是圆O 的直径,C 是圆上异于A,B 的任意一点,ABC PA 平面⊥,PC AF ⊥,求证PBC AF 平面⊥例9如图8—49, ABCD －1111D C B A 是正方形,求证BD C C A 11面⊥ 例10正方形ABCD －1111D C B A 中, 求()11BD 与面ABCD 所成角的正切值.(2)所成的角与面111D ABC BA ()所成角的正切值与面1113ACD D B例11.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m ⊥βB.α∩β=n 且m ∥nC.m ∥n 且n ∥αD.α∥β且m β例12.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④例13.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定abcl αβγ例14设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS =8，BS =9，CD =34，①当S 在α、β之间时，SC =_____________，②当S 不在α、β之间时，SC =_____________.例15设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.例16在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.三、练习题ABCDMN..1.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.给出下列命题，其中正确的两个命题是①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α ④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④3.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方 形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.FG ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF 4.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_____________时，有A 1C ⊥B 1D 1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）A AD DB BC C11115.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则D D AA C CB B1111（1）A 点到CD 1的距离为________； （2）A 点到BD 1的距离为________；（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________； （4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________； （5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.6.两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是 A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α7.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b D.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在8已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）9.已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________.10.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . A BC DEPGF11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .ABCDMNPQ R。
空间几何中的直线与平面的位置关系
空间几何中的直线与平面的位置关系在空间几何中，直线与平面是两个重要的概念。
直线是不断延伸的一维图形，而平面是不断延伸的二维图形。
直线与平面之间的位置关系是空间几何的基础知识之一。
本文将分析直线与平面的四种可能的位置关系：相交、平行、重合和垂直。
一、相交当直线与平面有一个公共点时，我们称它们相交。
相交可以分为两种情况：交于一点和交于多点。
1. 交于一点：直线穿过平面，并且直线的方向向量与平面的法向量不平行。
在这种情况下，直线与平面的交点只有一个。
这种关系常常出现在几何推理和图形证明中，例如研究三角形的高线时，高线与底边相交于一个点。
2. 交于多点：直线穿过平面，直线的方向向量与平面的法向量平行。
在这种情况下，直线和平面可能有无限个交点。
一种常见的情况是一条直线与一个平面相交于线上的所有点，这在平行四边形的对角线上可以体现。
二、平行当直线与平面没有公共点，并且直线的方向向量与平面的法向量平行时，我们称它们平行。
平行关系可以分为两种情况：直线在平面上、直线平行于平面但不在平面上。
1. 直线在平面上：直线沿着平面延伸。
在这种情况下，直线与平面的方向向量是平行的，但直线与平面没有交点。
这种关系常常出现在空间中的棱柱或棱锥的边的组合上。
2. 直线平行于平面但不在平面上：直线与平面平行，但两者没有任何交点。
这种关系常常出现在空间中的平行四边形的对边上。
三、重合直线与平面完全重合，所有直线上的点都在平面上。
这种情况在实际问题中较少出现，因为直线和平面通常在维度上有所区别。
四、垂直当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，我们称直线与平面垂直。
直线和平面之间的垂直关系是相互补充的，也就是说直线与平面正交的同时，平面也正交于直线。
这种关系在空间几何中非常重要，例如在研究正交投影或者求解垂足等问题时经常使用。
总结一下，在空间几何中，直线与平面的位置关系有四种：相交、平行、重合和垂直。
相交可以细分为交于一点和交于多点，平行可以细分为直线在平面上和直线平行于平面但不在平面上。
直线与平面、平面与平面间的位置关系
错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条
平面与直线的位置关系
平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它描述了平面和直线之间的相对位置。
在几何学中，平面和直线是最基本的几何图形，它们的位置关系对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
平面与直线的位置关系主要有以下几种情况：1. 直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在这个平面内。
这种情况下，直线和平面之间没有交点，直线和平面的位置关系是平行的。
2. 直线与平面相交当一条直线与一个平面相交时，它们会在某个点上相交。
这个点称为交点。
直线和平面的位置关系是相交的。
在这种情况下，直线和平面的交点是唯一的。
3. 直线与平面平行当一条直线与一个平面没有交点时，我们称这条直线与这个平面平行。
在这种情况下，直线和平面的位置关系是平行的。
平行的直线和平面之间的距离是恒定的。
4. 平面与平面相交当两个平面相交时，它们会在某条直线上相交。
这条直线称为交线。
平面和平面的位置关系是相交的。
在这种情况下，平面和平面的交线是唯一的。
5. 平面与平面平行当两个平面没有交点时，我们称这两个平面平行。
在这种情况下，平面和平面的位置关系是平行的。
平行的平面之间的距离是恒定的。
以上是平面与直线的位置关系的主要情况。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
例如，在计算两个平面的交线时，我们可以使用向量法或者解方程组的方法来求解。
总之，平面与直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
我们需要掌握各种情况下的计算方法和应用技巧，以便在实际应用中灵活运用。
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l 平行于平面α无数条直线，则l //α；②若直线a 在平面α外，则a//α;③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α;④若直线a//b ，直线α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α的无数条直线。
变式2、下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α的所有直线与a 异面B.α的直线与a 都相交C.α存在唯一的直线与a 平行D.α不存在与a 平行的直线分析：如图7,若直线a 不平行于平面α,且a ⊄α,则a 与平面α相交.图7例如直线A′B 与平面ABCD 相交，直线AB 、CD 在平面ABCD ，直线AB 与直线A′B相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD 不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α的所有直线与a 异面 (2)α的直线与a 都相交 (3)α存在唯一的直线与a 平行 (4)α不存在与a 平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a ⊄α,∴a∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系
第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
6.直线与平面有三种位置关系：<1）直线在平面内——有无数个公共点<2）直线与平面相交——有且只有一个公共点<3）直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
8.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
9.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
10.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
直线与平面的三种位置关系
直线与平面的三种位置关系嘿，朋友们！咱今天来聊聊直线与平面的那些事儿。
你想啊，这直线和平面，就好像咱生活中的一些关系一样。
直线有时候就像是个独行侠，在平面的世界里闯荡。
直线与平面第一种关系，那就是直线完全在平面里。
这不就跟咱在家里一样嘛，舒舒服服地待着，感觉特别安稳。
这条直线啊，就安安心心地在平面里待着，哪也不去，这多和谐呀！
第二种关系呢，直线和平面平行。
这就好像两个小伙伴，各自走在自己的道路上，谁也不碍着谁，但又有着一种奇妙的联系。
直线在平面外自由自在地伸展着，和平面井水不犯河水，却又有着一种默契。
然后就是第三种啦，直线和平面相交。
这可就有意思了，就好像两个人在路上突然碰到了，有了交点。
这交点啊，可是很关键的呢，它让直线和平面有了特别的联系。
有时候想想，这生活中不也有很多这样的“交点”嘛，可能是一次偶然的相遇，可能是一个意外的事件，让原本平行的轨迹有了交集。
咱再回过头来看看这直线与平面的关系，多像人生的各种状态呀！有时候我们在一个舒适圈里，就像直线在平面里一样安稳；有时候我们追求自由，和一些人或事保持平行，各自精彩；而有时候呢，命运就会让我们和某些东西相交，带来意想不到的变化。
你说是不是很神奇？这看似简单的直线与平面的关系，其实蕴含着好多生活的道理呢！咱得好好琢磨琢磨，说不定能从中学到不少东西呢。
反正我是觉得挺有意思的，你们呢？是不是也觉得这直线与平面的关系不简单呀？。
直线与平面的位置关系定理
直线与平面的位置关系定理直线与平面的位置关系是空间几何中的基本概念之一，对于理解空间中物体的相对位置和几何形状具有重要意义。
本文将介绍直线与平面的位置关系定理，以及其应用范围和相关实例。
1. 直线与平面的位置关系在空间几何中，直线与平面的位置关系可以归结为三种基本情况：直线在平面内部、直线与平面相交以及直线与平面平行。
1.1 直线在平面内部当一条直线完全位于一个平面内时，我们称该直线与平面相交。
具体来说，如果直线与平面有无穷多个交点，则称其为直线与平面重合；若直线与平面有一个交点，则称其为直线与平面相交于一点。
例如，考虑一个平面上的长方形，直线与平面重合的情况下，这条直线将被视为这个平面内的一条边；而直线与平面相交于一点的情况下，这条直线将与平面上的某条边相交于一个点。
1.2 直线与平面相交直线与平面相交意味着直线与平面有一个公共的点，但并不完全位于平面内。
在空间几何中，直线与平面相交有两种情况：直线穿过平面或直线在平面上投影。
对于直线穿过平面的情况，可以想象一根木棒穿过一个纸片。
木棒代表直线，纸片代表平面，穿过的点表示直线与平面的交点。
此时，直线将在平面的两侧延伸。
当直线在平面上投影时，直线与平面相交于平面上的一条线段。
这个线段在平面上可以看作是直线在平面上的投影。
1.3 直线与平面平行直线与平面平行表示直线与平面没有公共的点，二者永远不会相交。
在空间几何中，直线与平面平行的情况下，可使用剪纸模型进行说明。
将纸片剪出一条与直线平行的条带，再将条带放置于平面上，可观察到条带与平面没有任何交点。
2. 直线与平面位置关系定理的应用直线与平面的位置关系定理在几何学和物理学中有广泛的应用。
下面介绍两个常见的应用例子：2.1 平面解析几何问题在平面解析几何中，直线与平面的位置关系定理对于确定点的位置和直线的方程起着关键的作用。
以求解直线与平面交点问题为例，可以利用平面解析几何的知识来确定直线与平面的交点坐标。
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系直线和平面是不同的几何图形，它们在空间中有着不同的形态和特点。
直线是由无数个点延伸而成的，没有宽度和厚度，可以在空间的任意方向伸展，它是最简单的几何图形。
而平面则是由无数个相互连通的点组成的，具有宽度和厚度，它本身并没有方向，但是可以被延伸到任何方向。
直线和平面之间有着密切的关系，在几何学中，我们常常需要研究它们的位置关系。
一、直线与平面的位置关系直线与平面有四种基本的位置关系，分别是相交，平行，垂直和重合。
1. 相交当一条直线与一个平面相遇时，直线与平面必相交，此时它们在相交点处有且仅有一个公共点。
这个公共点既可以位于平面内，也可以位于平面外。
图1是一个典型的相交的情况。
2. 平行如果一条直线与平面的交点为无穷远处(即交点不存在)，那么这条直线与平面就是平行的。
平行的直线与平面之间永远不会相交。
当然，两条平行的直线可能存在交点，但是这个交点不存在于这两条直线所在的平面之中。
如图2所示，直线AB与平面M，平行。
3. 垂直如果一条直线与平面交角为90度，那么这条直线与平面就是垂直的。
垂直的直线与平面相交于一点，这个点为垂足。
如图3所示，直线AC与平面N，垂直。
4. 重合当一条直线恰好位于一个平面内时，这条直线和平面就可以重合。
此时，这条直线与这个平面完全重合，它们没有任何区别。
如图4所示，直线DE与平面P，重合。
二、直线和平面的交点如果直线与平面相交，那么它们在相交点处有且仅有一个交点。
交点的位置可以用公式来计算得到。
假设平面的法向量为n，平面上某一点P到直线的距离为d，直线上有一点Q，向量v为直线的方向向量，则直线与平面的交点坐标可以表示为：Q=d*n+(v×n)。
其中，×表示向量的叉乘运算。
该公式的意义在于，直线与平面的交点可以表示为直线上某一点加上一定的偏移量，这个偏移量包括垂足到交点的距离和交点到直线方向向量的投影距离。
三、直线和平面的计算应用直线和平面的计算应用极其广泛，涵盖了几乎所有的科学和工程领域。
直线与平面的位置关系
直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置有平行、相交、垂直。
其中：平行要解决的基本问题：过点作直线平行于已知平面通过投影判断直线与平面是否平行相交要解决的基本问题：求出交点，有遮挡关系时要判断可见性。
垂直要解决的基本问题：过点作直线垂直于已知平面通过投影判断直线与平面是否垂直一、直线与平面平行解决平行问题Array的几何依据是初等几何关于直线与平面平行的几何条件：若一直线平行平面内任一直线。
则该直线与该平面相互平行。
如图示，直线AB 平行于平面内任一直线CD，则AB 必与P 平面行。
反之，若一条直线与平面平行则在该平面内一定在与该直线平行的直线。
举例1：过A点作一水平线AB，与平面CDE平行。
分析解答：(单击展开看说明) >>观看演示平面的空间位置一经给定，该平面水平线的方向也随之而定。
虽然过A点的水平线有无数条，但与平面CDE 平行的只有一条，它必与平面CDE内的水平线平行。
作图步骤：（1）在平面内任作一水平线DF（d′f′，df）；（2）过点A（a′,a）作直线AB//DF（a′b′//d′f′；ab//df）。
则直线AB即为所求。
举例2：判定直线AB与平面CDE是否平行。
分析解答：(单击展开看说明) >>观看演示若直线AB与平面CDE平行,则在CDE平面内一定存在与AB直线平行的直线。
否则AB 与平面CDE 不平行。
作图判定：（1）在平面内任作一直线DF，使df//a b,并求得d′f ′；（2）分析结果：DF在平面内，但d′f′不//a′b′,结论：AB不//平面CDE思考：直线与特殊位置平面平行的投影特点(单击展开看说明)举例2：判定直线AB与正垂面是否平行。
分析解答： (单击展开看说明) >>观看演示正垂面P内所有直线（包括水平投影与ab平行的直线）的正面投影，都积聚在PV上。
由图中给出Aa′b′平行PV，故可以判定直线AB与正垂面P互相垂直。
直线与平面的相对位置二、直线与平面相交相交要解决的基本问题：求出交点，有遮挡关系时要判断可见性。
直线与平面的位置关系判断
直线与平面的位置关系判断直线与平面的位置关系是几何学中重要的内容之一，通过判断直线与平面的位置关系可以帮助我们解决许多实际问题。
在本文中，我们将介绍判断直线与平面的位置关系的方法和几个实际应用案例。
一、直线在平面上的位置关系判断直线与平面的位置关系判断可以分为三种情况：直线与平面相交、直线在平面上、直线与平面平行。
1. 直线与平面相交当直线与平面有一个或多个交点时，我们可以判断直线与平面相交。
相交的情况下，可以进一步判断直线与平面的交点数目。
2. 直线在平面上当直线的每一个点都在平面上时，我们可以判断直线在平面上。
直线在平面上的情况下，可以进一步判断直线与平面的位置关系。
3. 直线与平面平行当直线上的所有点都不在平面上，并且直线与平面的方向向量垂直时，我们可以判断直线与平面平行。
直线与平面平行的情况下，可以进一步判断直线与平面之间的距离。
二、直线与平面位置关系判断的应用直线与平面的位置关系判断在实际应用中有许多重要的应用。
以下是几个典型的应用案例。
1. 三维图形的绘制在三维图形的绘制中，判断直线与平面的位置关系可以帮助我们确定直线的投影位置，从而绘制出更加准确的三维图形。
2. 汽车设计与航空设计汽车设计与航空设计中，直线与平面的位置关系判断可以帮助工程师确定车身与机翼的位置关系，从而优化车辆的气动性能和安全性能。
3. 建筑设计与土木工程在建筑设计与土木工程中，直线与平面的位置关系判断可以帮助建筑师和工程师确定建筑物与地面的位置关系，从而确保建筑物的稳定性和安全性。
4. 光学设计在光学设计中，直线与平面的位置关系判断可以帮助光学工程师确定光线的传输路径，从而设计出更加高效和精确的光学系统。
总结：直线与平面的位置关系判断是几何学中的重要内容，通过合理的判断可以帮助我们解决许多实际问题。
在本文中，我们介绍了直线与平面相交、直线在平面上以及直线与平面平行的判断方法，并且给出了几个应用案例。
直线与平面的位置关系判断在各个领域都有重要的应用，希望本文能为读者提供一些帮助。
直线与平面的位置关系
S
由于圆锥SO是由RtSOC绕直角
边SO旋转一周形成的,因此SO与
底面内的每一条半径都垂直, 从
而SO垂直于底面内的所有直线. A
O
B
C
为 什 么 轴SO垂 直 于 底 面 内 的 所 有 半径, 就 有SO 垂直于底面内的所有直线?
如图1 2 30,如果一条直线a与平面 内
的任意一条直线都垂直,我们就说直线 a
直线与平 面平行的性质定理 如果一条 直线和
一平面平 行,经 过 这 条 直 线的平面和这 个平面
相交, 那么这条 直线就和交线平行.
已知: l // ,l , m图1 2 26.
求证 : l // m. 证 l // l 和 没有公共点
m
l 和m没有公共点
l,m l // m
因为l //,所以l // A`B`, 从而四边形A`B`BA是平行四边形.
所以 AA` BB`,即直线l 上各点到平面 的距离相等.
如果一条直线和一个平面平行 , 这条直线上任意一点到
这个平面的距离,叫做 这条直线和这个平面的距离.
观察图1 2 36 所示的 A1
D1
C1 B1
长方体ABCD A1B1C1D1 ,
垂直于平面 ,记作a .直线a叫做平面 的垂线 ,平面 叫做直线
事实上, 我们前面所说
a
的正投影就是投射线 B 垂直于投影面的投影. 图1 2 30
思考 在平面中,过一点有且只有一条直线与已 知 直 线 垂 直.那 么, 在 空 间:
1过一点有几条直线与已知平面垂直? 2过一点有几个平面与已知直线垂直?
证 l // m
l l // m l
n
n // l .
直线与平面的位置关系表示方法
直线与平面的位置关系表示方法直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp。
空间向量法（找平面的法向量）
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp。
直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。
直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
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b b Bd a
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例题讲解：
例4.已知：直线l∥平面a。 求证：直线l上各点到平面a的距离相等。
b A lB
A’
B’
直线和平面的距离： a
如果一条直线和一个平面平行，这
条直线上任意一点到这个平面的距离，
叫做这条直线和这个平面的距离．
第14页/共17页
课堂小结：
• 1.线面垂直的定义； • 2.点到平面的距离； • 3.线面垂直的判定定理☆； • 4.线面垂直的的性质定理☆； • 5.直线和平面的距离.
第15页/共17页
第16页/共17页
感谢您的欣赏
第17页/共17页
A
●
B
a
第7页/共17页
例题讲解：
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知：a a ，a // b ．
求证：b a ．
证明：设m是a内的任意一条直线．
aa
m
a
a
a
//
m
b
b m
ma
b a
第8页/共17页
合作探究：
（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线 垂直，此直线是否和平面垂直？
(1)过一点有几条直线与已知平面垂直? (2)过一点有几个平面与已知直线垂直?
第4页/共17页
过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
第5页/共17页
过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
你能证明这两个结论吗?
第6页/共17页
点到平面的距离
过平面a外一点A向平面a引垂线,则点A和垂足B 之间的距离叫做点A到平面a的距离.
a
A
a
m
n
第10页/共17页
直线与平面垂直的性质定理：
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么 这两条直线平行．
已知：a⊥a ，b ⊥a．求证：a∥ b ．
分析：直接证明a∥b比较困难，我们考虑采用 反证法证明.
Hale Waihona Puke 证：假设b不平行于a ，设b∩a=O，b’是经过点O
与直线a平行的直线．
a b b
因为a∥b’, a ⊥a , 所以 b’⊥a .
即经过同一点O的两条直线b, b’都垂直 于平面a,这是不可能的．
因此 a ∥b.
a
O
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例题讲解：
例2如图，P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB,
PB⊥PC,PC⊥PA,H是△ABC的垂心,求证：PH⊥平面
ABC
P
A
C
EH D
B
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例题讲解：
例3如图，已知a、b是异面直线，直线AB与a、b都垂 直且相交，a⊥平面a，b⊥平面b， a∩b=c，求证： AB∥c.
观察旗杆与地面内的每一条直线有 什么关系，旗杆与地面的关系呢？
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S
观察圆锥so,它给我
们以轴so垂直于底面的
形象．轴so与底面内的
哪些直线垂直呢？
A
O
B
C
由于圆锥是由绕直角边旋转一周形成 的,因此与底面内的每一条半径都垂直,从 而垂直于底面内的所有直线.
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直线和平面垂直的定义
如果一条直线l和一个平面a内的任意一条 直线都垂直，我们就说直线l垂直于平面a.
记作: l a
直线l叫做平面a的垂线， 平面a叫做直线l的垂面． 垂线和平面的交点称为垂足.
我们前面所说的正投影就是 投射线垂直于投影面的投影．
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想
一
平面中,过一点有
想 且只有一条直线与已知
？ 直线垂直.那么,在空间:
（2）如果一条直线和一个平面内的两条直线 垂直，此直线是否和平面垂直？
（3）那如平面内的两条直线相交呢？
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直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
符号表示为：
若 am ，a n , m∩n = A,
m a na
则 a⊥ a ．