第六章 正交试验设计

第六章正交试验设计

（I）教学内容与要求

（1）了解正交试验设计的优点，掌握正交表的表示符号、基本结构和特点，掌握正交试验设计的基本步骤。

（2）掌握单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的直观分析法；

（3）理解单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的方差分析法。

（4）了解Ecxel在正交试验设计中应用。

（II）教学重点

正交试验的直观分析法。

（III）教学难点

正交试验的方差分析。

6.1 概述

6.1.1 正交试验设计方法的优点和特点

用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国60年代开始使用，70年代得到推广。这一方法具有这样的特点：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。因此日益受到科学工作者的重视，在实践中获得了广泛的应用。

例6-1:某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表6-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻找最适宜的操作条件。

表6-1 因素水平表

对此实例该如何进行试验方案的设计呢？

很容易想到的是第一方案：（全面搭配法方案）

A2——…

A3——…

此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33=27次。（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）想节省费用而又快出成果的人提出了第二方案：（简单比较法方案）。

先固定A和B，只改变C，观察因素C不同水平的影响。作了如下的三次实验：

发现C=C2的那次实验的效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素C应取C2水平。

固定A和C，改变B的三次实验为：

发现B=B3的那次实验效果最好，因此认为因素B宜取B3水平。固定B和C，改变A 的三次实验为：

发现因素A宜取A2水平。因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为A2B3C2。与第一方案相比，第二方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，第二方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变C值（或B值，或A值）的三次实验中，说C2（或B3或A2）水平最好是有条件的。在A≠A1，B≠B1时，C2水平不是最好的可能性是有的。②在改变C的三次实验中，固定A=A2，B=B3应该说也是可以的，是随意的，故在第二方案中，数据点分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据，进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。

第三方案是用正交试验设计方法，用正交表来安排试验。

对于例6-1适用的正交表L9（34）及其试验安排见表6-2。所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有下面两个特点：

9

4

试验号

列号 1 2 3 4 因素温度／℃压力／（N/m2）加碱量／kg

符号 A B C

1 1(A1) 1(B1) 1(C1) 1

2 1(A1) 2(B2) 2(C2) 2

3 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3

4 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3

5 2(A1) 2(B2) 3(C3) 1

6 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2

7 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2

8 3(A3) 2(B2) 1(C1) 3

9 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1

（1）在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。

（2）表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。在表L9(34)中，任意两列并列在一起形成的数字对共有9个：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)，每一个数字对各出现1次。

这两个特点称为正交性。正是由于正交表具有上述特点，就保证了用正交表安排的试验方案中因素水平是均衡搭配的，数据点的分布是均匀的。这从图6-1中可以直观地看出。虽然数据点只有9个，却非常均匀地分布在图中的各个平面和各条直线上。与A轴垂直的三个平面，与B轴垂直的三个平面，与C轴垂直的三个平面等9个平面内，每一个平面内都正好含有3个数据点。图中与A、B、C轴平行的27条直线，每一条直线上都正好含有一个数据点。

可见，运用正交试验设计方法得出的第三方案，不仅试验的次数少，而且数据点分布的均匀性极好。兼有第一和第二方案的优点。不难理解，对第三方案的全部数据，进行数理统计分析引出的结论的可靠性肯定会远好于第二方案。因素愈多，水平数愈多，运用正交试验设计方法，减少试验次数的效益愈明显。做一个6因素3水平试验，若用因素水平全面搭配方法，共需的试验次数=36=729次；若用正交表L27(313)来安排，则只需做27次试验。

图6-1 对应的数据分布图

6.1.2 因素之间的交互作用

交互作用的定义

如果因素A的数值和水平发生变化时，试验指标随因素B变化的规律也生变化。或反之，若因素B的数值或水平发生变化时，试验指标随因素A变化的规律也发生变化。则称因素A、B间有交互作用，记为A×B。

交互作用的判别

例6-2 在合成橡胶生产中，催化剂用量和聚合反应温度是对转化率有重要影响的两个因素。判别这两个因素是否有交互作用，基本方法是按表6-3所示的二元表，做四次实验，而后画出和分析图6-2。

图6-2 交互作用A×B的二元图

由图6-2可见,转化率随催化剂用量的变化规律，因聚合反应温度的不同而差异很大。在聚合反应温度为30℃时，转化率随催化剂用量的增大而减少；在聚合反应温度为50℃时，转化率却随催化剂用量的增大而增大。两直线在图中相交，这是交互作用很强的一种表现。

若两因素间没有交互作用，则出现在图6-2中的两直线应该是严格的互相平行。

若两直线不互相平行，是不是就可以说“有交互作用”呢？不能。因为实验数据的误差也会造成两直线不互相平行。为此请看例6-3。

例6-3为判别合成橡胶生产中，催化剂用量（B）与聚合时间C两因素之间是否存在有交互作用，为此，研究它们对转化率y的影响，进行了四次实验（见表6-4）。

从表中的数据可以得出

在因素C=0.5(h)时，直线的斜率

在因素C=1.0(h)时，直线的斜率

两直线的斜率不同，只能说有交互作用存在的可能性。交互作用是否真的存在，还必须做进一步的分析。

假设按第5章介绍的方法已得到转化率y相对误差的最大值[E r（y）]max=0.03。C=1.0, B=2时，y的实验值y实验=89.7，y的计算值y计算按下式计算

则y实验与y计算的相对偏差

因为y实验对y计算的相对偏差e r小于y值据相对误差的最大值，所以可以认为两直线的斜率不同，是由于实验数据的误差所致，可以引出“因素B、C间无交互作用”的结论。