最新几何应用型问题-
初三数学：应用型问题专题
初三数学：应用型问题专题题型1方程（组）型应用题方程是描述丰富多彩的现实世界数量关系的最重要的语言，也是中考命题所要考察的重点热点之一．我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识．并学会用数学中方程的思想去分析和解决一些实际问题．解此类问题的方法是：（1）审题，明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出等量方程；（4）解方程，必要时验根．题型2不等式（组）型应用题现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值．但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围（趋势），从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识．本节中，我们所要讨论的问题大多是要求出某个量的取值范围或极端可能性，它们涉及我们日常生活中的方方面面．列不等式时要从题意出发，设好未知量之后，用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系．题型3函数型应用问题函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围．题型4统计型应用问题统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强．中考试题的热点之一，就是考查统计思想方法，同时考查学生应用数学的意识和处理数据解决实际问题的能力．题型5几何型应用问题几何应用题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想像、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法．知识运用举例：（一）方程（组）型应用题1．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利最多，为什么？解：方案一，总利润为4×2000＋（9－4）×500＝10500（元）方案二，设加工奶片x吨，则解得，x＝1．5总利润为（元）10500＜12000所以方案二获利较多．2．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．问二人每小时各走几千米？（1）设乙每小时走x千米，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）（2）列出方程（组），并求出问题的解．解：（1）（2）根据题意，列方程得整理得解这个方程得经检验，都是原方程的根．但速度为负数不合题意所以只取，此时答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．（二）、不等式（组）型应用题3．某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k(k≥3)个乒乓球. 已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元 . 现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球 . 若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？（2）当k＝12时，请设计最省钱的购买方案．解：（1）由题意，去A超市购买n副球拍和kn个乒乓球的费用为0.9(20n＋kn)元，去B超市购买n副球拍和kn个乒乓球的费用为[20n＋n(k－3)]元，由0.9(20n＋kn)＜ 20n＋ n (k－3)，解得k＞10；由0.9(20n＋kn)＝ 20n＋n (k－3)，解得k＝10；由0.9(20n＋kn)＞ 20n＋n (k－3)，解得k＜10．∴当k＞10时，去A超市购买更合算；当k＝10时，去A、B两家超市购买都一样；当3≤k＜10时，去B超市购买更合算．（2）当k＝12时，购买n副球拍应配12n个乒乓球．若只在A超市购买，则费用为0.9(20n＋12n)＝28.8n(元)；若只在B超市购买，则费用为20n＋(12n－3n)＝29n(元)；若在B超市购买n副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球，则费用为20n＋0.9×(12－3)n＝28.1n(元)．显然，28.1n＜28.8n＜29n．∴最省钱的购买方案为：在B超市购买n副球拍同时获得送的3n个乒乓球，然后在A超市按九折购买9n个乒乓球．（三）、函数型应用题4．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的纸环数（个） 1彩纸链长度（cm）19（1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？解：（1）在所给的坐标系中准确描点．由图象猜想到与之间满足一次函数关系．设经过，两点的直线为，则可得解得，．即．当时，；当时，．即点都在一次函数的图象上．所以彩纸链的长度（cm）与纸环数（个）之间满足一次函数关系．（2），根据题意，得．解得．答：每根彩纸链至少要用59个纸环．（四）、统计型应用题5．根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：2005年北京市水资源分布图（单位：亿） 2004年北京市用水量统计图用水量（单位：亿）（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿）；（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿，请你先计算环境用水量（单位：亿），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿）；（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿）；（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法．解：（1）初全2005年北京市水资源统计图见下图；水资源总量为亿．（2）设2005年环境用水量为亿．依题意得．解得．所以2005年环境用水量为亿．因为，所以2005年北京市用水总量为亿．（3）因为，所以2005年北京市缺水量为亿．（4）说明：通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能提出积极看法的给分．（五）、几何型应用题6．台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识．图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡（1）击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边．经过一次反弹后再撞击F球．他应将E球打到AB边上的哪一点?请在图①中用尺规作出这一点H．并作出E球的运行路线；(不写画法．保留作图痕迹) （2）如图②以D为原点，建立直角坐标系，记A(O，4)．C(8，0)．E(4，3)，F(7，1)，求E球接刚才方式运行到F球的路线长度．(忽略球的大小)图①解：（1）画出正确的图形（可作点E关于直线AB的对称点E1，连结E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF）有正确的尺规作图痕迹过点F作AB的平行线，交E1E的延长线于点N由题意可知，E1N＝4，FN＝3在Rt△AFNE1中，E1F＝∵点E1是点E关于直线AB的对称点∴EH＝E1H．∴EH＋HF＝E1F＝5∴E球运行到F球的路线长度为5．。
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题一、综合题1．社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示.已知52m AD =，28m AB =，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为2640m .（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，求停车场的月租金收入最多为多少元？2．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？3．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A （-1，0）和点D （5，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.4．如图，抛物线顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米.（1）求y关于x的函数表达式.（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？6．如图，将直角三角形截出一个矩形PMCN，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点P，M，N分别在AB，AC，BC上，设CN＝x．（1）试用含x的代数式表示PN，并写出x的范围;（2）设矩形PMCN的面积为y，当x为何值时，y取得的最大值是多少?7．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB 边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．（1）若矩形场地面积为160平方米，求矩形场地的长和宽．（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．8．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中y m．的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为()2（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（12m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否符合题意．9．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8－2x，CF＝x+2，DF＝3x－3．（1）x的取值范围是；（2）矩形BCFE的周长等于；（3）若矩形ABCD的面积为42，x的值为；（4）求矩形OFCH的面积S的取值范围．10．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m 的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）如图1，怎么才能围成一个面积为2432m的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为m x，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．11．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝12S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；（2）求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．12．矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管ABCD的两边长20,6AB cm AD cm==，（1）若点PQ分别从A B、同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x 秒，PBQ 的面积为()2y cm ．求PBQ 面积的最大值；（2）若点P 在边AB 上，从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上，从BC 中点出发，沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当点P 运动到AB 中点时，点Q 开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 运动时间为t 秒，PBQ 的面积为2mcm ．求m 与t 的函数关系式．13．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m ，直角三角形较短直角边长n ，且n ＝m ﹣2，大正方形的面积为S.（1）求S 关于m 的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m 的值.14．如图（1）问题提出如图1，在ABCD 中，45A ∠=︒，8AB =，6AD =，E 是AD 的中点，点F 在DC 上且5DF =求四边形ABFE 的面积.（结果保留根号）（2）问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE 按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE 内挖一个四边形人工湖OPMN ，使点O 、P 、M 、N 分别在边BC 、CD 、AE 、AB 上，且满足22BO AN CP ==，AM OC =.已知五边形ABCDE 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，800m AB =，1200m BC =，600m CD =，900m AE =.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN ？若存在，求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N 到点A 的距离；若不存在，请说明理由.15．如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN 和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD ，已知墙长a 米，AD≤MN ，矩形隔离区的一边靠墙，另三边一共用了200米长的隔离带．（1）a=30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）若a=150．求矩形隔离区ABCD 面积的最大值．16．如图，抛物线28y ax bx =++(0)a ≠经过(2,0)A -，(4,0)C 两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t ，过点P 作PM BD ⊥，交BC 于点M ，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ ，边QN 交BC 于点R ，延长NM 交AC 于点E .①当t 为何值时，点N 落在抛物线上；②在点P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ 为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线3y x =-经过B ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作直线CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN AC ⊥于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC ，过点B 作BQ PC ⊥于点Q （点Q 在线段PC 上），BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST TD =时，求线段MN 的长.18．如图，抛物线2y x bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，P 为y 轴上的动点，连接AP ，以AP 为对角线作正方形AMPN.（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN 与△AOP 面积之比为5∶2时，求点P 的坐标；（3）当正方形AMPN 有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P 的坐标.19．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点.（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P P 的对应点为E ，点C 的对应点为F.当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标.20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：设通道的宽为x 米，根据题意得：()()522282640x x --=，解得：34x =（舍去）或6x =，答：通道的宽为6米；（2）解：设月租金上涨a 元，停车场的月租金收入为y 元，根据题意得：()200505a y a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，整理，得()2125101255y a =--+，所以，当25a =时，y 有最大值为10125；答：每停车场的月租金收入最多为10125元.【解析】【分析】（1）设通道的宽为x 米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．（2）设车位的月租金上涨a 元，则租出的车位数量是（50-5a）个，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式求解即可．2．【答案】（1）解：根据题意，得()303S x x =-，即所求的函数关系式为2330S x x =-+．∵03039x <-≤，∴710x ≤<，即S 与x 的函数关系式为S=-3x 2+30x(7≤x ＜10)；（2）解：当263m S =时，233063x x -+=，解得17x =，23x =（不合题意，舍去）．∴当7m AB =时，围成花圃的面积为263m ．【解析】【分析】（1）先求出()303S x x =-，再求出710x ≤<，最后作答即可；（2）先求出233063x x -+=，再求解即可。
一元一次方程解应用题分类全
（一）和差倍分问题1、已知甲数是乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，求乙数。
2、某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万，今年和去年产值总和是75万，求今年该厂的产值。
3、两筐鸭梨共重154千克，其中第一筐比第二筐的2倍少14千克，求两筐鸭梨各有多少千克？4、初一（1）班举办了一次集邮展览。
展出的邮票比平均每人3张多24张，比平均每人4张少26张。
这个班级有多少学生？一共展出了多少邮票？5、初一(4)班课外乒乓球小组买了两副乒乓球板，如果每人付9元，那么多了5元，如果每人付8元，那么还缺2元，请你根据以上情境提出问题，并列方程求解．6、某校住校生分配宿舍，如果每间住5人，则有2人无处住；如果每间住6人，则可以多住8人。
问该校有多少住校生？有多少间宿舍？7、学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品，一等奖每人200元奖品，二等奖每人50元奖品，求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人？8、有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，•这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？（二）调配问题1、甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？2、甲乙两运输队，甲队32人，乙队28人，若从乙队调走一些人到甲队，那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍，问：从乙队调走了多少人到甲队？3、甲处劳动的有29人，在乙处劳动的有17人，现在赶工期，总公司另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应分别调往甲处、乙处各多少人？4、甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。
问原来每架上各有多少书？（三）配套问题1、现有白铁皮28张，每张白铁皮可做甲件5个或乙件6个，若3个甲件及2个乙件配套，问如何下料正好使机件配套2、某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。
初中数学奥林匹克中的几何问题：第1章梅涅劳斯定理及应用附答案
初中数学奥林匹克中的几何问题：第1章梅涅劳斯定理及应用附答案第一章涅劳斯定理及应用[基础知识]梅涅劳斯定理设a?，b?，c?分别是△abc的三边bc，ca，ab或其延长线上的点，若a?，b?，文学士？cb？交流电？C如果三个点是共线的，那么① 1．a?bb?ac?bab′c′c′b′abca′d图1-1bcda'如图1-1所示，通过a画一条直线？A.交叉口BC的延长线是D，然后是CB？ca？交流电？爸爸因此Baa？华盛顿？文学士？工商管理学士？cb？交流电？文学士？ca？爸爸1.a？cb？交流电？文学士？ca？爸爸？注：该定理的证明还包括以下正弦定理证明和面积证明正弦定理证法设∠bc?a，∠cb?a，∠b?a?b??，在△ba?c?中，有文学士？罪类似地，C？bsin？cb？罪交流电？罪这三种形式的乘法就是证据？ca？罪ab？罪文学士？s△A.Cbcb？s△cb？Cs△ca？Bs△cb？Cs△ca？Bs△Cca？交流电？s△交流电？A.面积证书方法由以下三部分组成：？反恐精英△b？像△B交流电？s△A.ab？s△B交流电？？s△A.防抱死制动系统△交流电？A.C学士学位△C文学士？形式的乘法就是证明梅涅劳斯定理的逆定理设a?，b?，c?分别是△abc的三边bc，ca，ab或其延长线上的点，若ba?cb?ac?②1，A.cb？交流电？B然后a？，BC三个点是共线的ba?cb?ac11．证明设直线a?b?交ab于c1，则由梅涅劳斯定理，得到A.cb？Ac1a由问题和答案组成ac1ac?ba?cb?ac??．1，即有c1bc？文学士？cb？交流电？bac1ac那么AC1呢？交流电？，那么C1和C呢？巧合，即a？，BC三个点是共线的吗？ABAB有时把以上两个定理写成：let a？，BC是直线上的点（包括三条边的延长线）△ ABC，然后a？，BC三点共线的充要条件是Ba？cb？交流电1． Acbacb使用上述公式① 和② 是给△ ABC，如图1-1所示（整个图中有四个三角形）。
几何探究题
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的
关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的
中点，BE⊥EG，AD=
AB=3.求AF的长.
类型2
几何变换型探究问题
［方法特点］特征与方法： 几何变换型探究性问题是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过图形 的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系、位置关 系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对变换过程中伴随的数量 关系和图形的位置关系等进行探究.解决这类问题，要善于发现全等三角 形、等边三角形、直角三角形和相似三角形,或添辅助线构造全等三角形 、等边三角形、直角三角形和相似三角形，运用全等三角形来证明，运用 勾股定理、相似三角形和锐角三角函数来计算.
的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运
用有关数学知识解决问题，在动点的运动过程中观察图形的
变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过
程.在变化中找到不变的性质是解决这类问题的基本思路，这
也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.
例4 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点 ，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置 变化而变化. (1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP 与CE的数量关系是 BP=CE ，CE与AD的位置关系是 CE⊥AD ;
变式训练
5.【操作发现】 (1)如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 ，△ABC的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°， 点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′； ②在①所画图形中，∠AB′B= 45 °.
初中数学奥林匹克几何问题-塞瓦定理及应用
初中数学奥林匹克几何问题-塞瓦定理及应用本资料为WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第二章塞瓦定理及应用【基础知识】塞瓦定理设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，，三线平行或共点，则．①证明如图2-1（）、（），若，，交于一点，则过作的平行线，分别交，的延长线于，，得．又由，有．从而．若，，三线平行，可类似证明（略）．注（1）对于图2-1（）、（）也有如下面积证法：由：，即证．（2）点常称为塞瓦点．（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证．首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理．如图2-1（）、（），分别对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理有，．上述两式相乘，得．其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理．如图2-2，设，，分别为的三边，，所在直线上的点，且，，三点共线．令直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点．分别视点，，，，，为塞瓦点，应用塞瓦定理，即对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．上述六式相乘，有．故．塞瓦定理的逆定理设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，②则，，三直线共点或三直线互相平行．证明若与交于点，设与的交点为，则由塞瓦定理，有，又已知有，由此得，即，亦即，故与重合，从而，，三线共点．若，则．代入已知条件，有，由此知，故．上述两定理可合写为：设，，分别是的，，所在直线上的点，则三直线，，平行或共点的充要条件是．③第一角元形式的塞瓦定理设，，分别是的三边，，所在直线上的点，则三直线，，平行或共点的充要条件是．④证明由，，，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立．第二角元形的塞瓦定理设，，分别的三边，，所在直线上的点，是不在的三边所在直线上的点，则，，平行或共点的充要条件是．⑤证明注意到塞瓦定理及其逆定理，有．由此即证得结论．注在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1．特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上．④、⑤式中的角也可按①式的对应线段记忆．推论设，，，分别是的外接圆三段弧，，上的点，则，，共点的充要条件是．证明如图2-3，设的外接圆半径为，交于，交于，交于．由，，，，，六点共圆及正弦定理，有．同理，，．三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证．为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图2-4中的点、、、、、，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子：对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有．【典型例题与基本方法】1．恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键例1四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段．（1978年全国高中竞赛题）证明如图2-5，四边形的两组对边延长分别交于，，对角线，的延长线交于．对及点，应用塞瓦定理，有．由，有，代入上式，得，即．命题获证．例2如图2-6，锐角中，是边上的高，是线段内任一点，和的延长线分别交，于，．求证：．（1994年加拿大奥林匹克试题）证法1对及点，应用塞瓦定理，有．①过作，延长，分别交于，，则，且，，从而，．而由①，有，故．由此知为等腰底边上的高，故．证法2对及点应用塞瓦定理，有．即，由锐角性质知．类似地，对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有．注将此例中的平角变为钝角，则有如下：例3如图2-7，在四边形中，对角线平分．在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．（1999年全国高中联赛题）证明连交于，对及点，应用塞瓦定理，有．平分，由角平分线性质，可得，故．过点作的平行线交的延长线于，过点作的平行线交的延长线于，则．所以．从而，．又，，有．因此，，即有．故．注由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题．例4如图2-8，是的中线，在上，分别延长，交，于，，过作交于，及为正三角形．求证：为正三角形．证明连，对及点应用塞瓦定理，有．而，则．由，由．于是，有，从而，即知四边形为平行四边形，有．又，则．而，，知，有，．于是．故为正三角形．例5如图2-9，在一个中，，为内满足及的一点．求证：是的三等分线．（1994年香港代表队选拔赛题）（其中注意），．证明用表示的度量，令，则，，，对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有．亦即．于是，即．而，则．因，则．，即．从而．故，即是的三等分线．利用第一角元形式的塞瓦定理可简捷处理20XX年全国高中联赛加试第一题的第1问：例6设、分别为锐角（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，联结并延长交圆于点．求证：．证明事实上，易知、、及、、分别三点共线，对及点应用第一角元形式的塞瓦定理，有．①由知，有．于是①式即为．故．2．注意塞瓦定理逆定理的应用以及与梅涅劳斯定理的配合应用例7如图2-10，在中，，为上给定的一点（不是线段的中点）．设为直线上与，都不相同的任意一点，并且直线，交于，直线，交于，直线，交于．试证明交点与在直线上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题）证明设分线段为定比，分线段为定比．下证由确定，即当，给定后，点的位置由点唯一确定．在中，由，，交于一点，应用塞瓦定理，有，即．对及截线，应用梅涅劳斯定理，得，即．上述两式相加，得．从而，即，故由唯一确定．因此，点与在直线上的位置无关．例8如图2-11，设为内任一点，在形内作射线，，，使得，，．求证：，，三线共点．证法1设交于，交于，交于，则由正弦定理有．同理，,．将上述三式相乘，并应用正弦定理，有．由塞瓦定理的逆定理，知，，共点．证法2设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．对及点，应用塞瓦定理，有．在和中应用正弦定理，有．同理，，．以上三式相乘，并注意到①式，有．由塞瓦定理的逆定理，知，，共点．证法3设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．对及点，应用角元形式的塞瓦定理，有．由题设，，，则有，，．于是，对，应用角元形式的塞瓦定理的逆定理，知，，三线共点．例9如图2-12，四边形内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，过点作该圆的两条切线，切点分别为和．求证：，，三点共线．（1997年试题）证明连分别交，于，，设与交于．要证，，三点共线，只须证明，，和，，都三点共线，又只须证明，，三线共点．由塞瓦定理的逆定理知只须证明．又直线截，应用梅涅劳斯定理，有，从而只须证明．设圆心为，连交于，连，，，，则由切割线走理和射影定理，有，即知，，，四点共圆，有，此表明为的内角的外角平分线．而，则平分．于是，，结论获证．【解题思维策略分析】1．获得线段比例式的一种手段例10如图2-13，中，，分别为和同方向延长线上的点，与相交于，且．若点满足（为常数），则．证明设交于，对及其形外一点，应用塞瓦定理，有．而，则．不妨设，则，即有，于是，故．此时，点到的距离不小于到的距离，则过作必交延长线于一点，设为．又作的外接圆交于另一点，则四边形为等腰梯形．当时，由，知必在线段上，于是，（同弧上的圆外角小于同弧上的圆周角）．又由，知．故结论获证．2．转化线段比例式的一座桥梁例11设为内任一点，，，分别交，，于，，．求证：．证明如图2-14，记，，．对及点，应用塞瓦定理，有．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有，即．由合比定理得，即．同理，，．三式相加，得．例12如图2-15，设为内任意一点，，，的延长线交对边，，于点，，，交于．试证：．证明令，，，对及点，应用塞瓦定理，有．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．注意到，则有，即，故．又对直线截，有．而，则，故．又对及截线，有，即有，故．从而．于是，．其中等号由中等号成立时成立，即当且仅当亦即当且仅当，亦即时取等号．此时，和之间成为如图2-16的双曲线的关系．例13如图2-17，已知直线的三个定点依次为、、，为过、且圆心不在上的圆，分别过、两点且与圆相切的直线交于点，与圆交于点．证明：的平分线与的交点不依赖于圆的选取．（45预选题）证明设的平分线交于点，交圆于点，其中与是不同的两点．由于是等腰三角形，则有．同理，在中，有．在中，视为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理，有．注意到，．则．即，故结论获证．3．求解三角形格点问题的统一方法如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形的格点．例14如图2-18，在中，，，和分别是和上的点，使得，，是直线和的交点．证明：直线和直线垂直．（1998年加拿大奥林匹克试题）证明设，则，对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有．从而，即有．．注意到，知，，有，故．延长交于，则．故．注此题也可这样来解：由，有．由于作为的函数在上严格递减，所以．故．因此，．或者过点作于，则，．关于有．所以，、、三线共点，因此点在上，即．例15如图2-19，在内取一点，使得，．设，，求．（1983年前南斯拉夫奥林匹克试题）解设，则．由第一角元形式的塞瓦定理，有．从而．，，．于是．注意到，知，．，故．所以为所求．注此题结果也可直接由①式有且，，求得．另外，此题也可这样来解：由，有．因为作为的函数在（，）上严格递减，所以．故．或者由，令，则．对和点应用第一角元形式的塞瓦定理，有．则．因为作为的函数在上严格递增，所以．例16如图2-20，具有下面性质：存在一个内部的点，使得，，，．证明：是等腰三角形．（1996年美国第25届奥林匹克试题）证明设，则．由第一角元形式的塞瓦定理，有．即有．，．从而且，，故，即，从而．注此题也可这样来求解：由，有．因为作为的函数在（，）上严格递减，所以，即．故．还可对及点应用第一角元形式的塞瓦定理来求．4．论证直线共点的一种工具例17如图2-21，在四边形中，，，过，的交点引，，其中交，于，，交，于，．，分别交于，，则．（1990年cmo选拔试题）证明在，上分别取，，使，，则由对称性可知有下列角相等，即若设，，，，，，则，又，故．又，故，．连交于，在中，．故由塞瓦定理的逆定理，知，，共点，即过点．由对称性知，．例18如图2-22，在锐角中，以点引出的高为直径作圆交，于，，再从作．同样可作出，．试证：三直线，，相交于一点．（第29届预选题）证明设与，分别相交于点，，由，，知，即．同理，设，边上的高，的垂足分别为，，且，分别与，交于，，则有，．由于的三条高相交于垂心，此时应用第一角元形式的塞瓦定理，得，用等角代换上式，有．故由第一角元形式的塞瓦定理，知，，三线共点，即，，相交于一点．例19如图2-23，四边形内接于圆，，的延长线交于，，的延长线交于，为圆上任一点，，分别交圆于，．若对角线与相交于，求证：，，三点共线．证明连，，，，，．由，，有，，此两式相乘，有．①又由，，有，，此两式相乘，有．由①②，得．上式两边同乘以，得．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．于是．此时，应用第一角元形式的塞瓦定理的推论，知，，交于一点．从而，，三点共直线．【模拟实战】习题A1．在中，是上的点，，是中点．与交于，交于，求四边形的面积与的面积的比．2．若通过各顶点的直线，，共点，并且它们在边，，所在直线上的截点，，关于所在边中点的对称点分别为，，，则直线，，也共点．3．一圆交的各边所在直线于两点，设边上的交点为，，边上的交点为，，边上的交点为，．若，，共点，则，，也共点．4．试证：过三角形顶点且平分三角形周长的三条直线共点．5．将各内角三等分，每两个角的相邻三等分线相交得，又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．6．将的各外角三等分，每两个外角的相邻三等分线相交得．又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．7．是的内切圆，，，上的切点各是，，．射线交于，同样可得，．试证：直线，，共点．8．在内部，且从，，各向，，所作的垂线共点，则从，，各向，，所作的垂线也共点．9．在中，，为形内一点，，，求的度数．10．在中，，，为形内一点，且，求的度数．（《数学教学》问题432题）11．在中，，，为形内一点，，求的度数．（《数学教学》问题491题）12．在中，，，为的平分线上一点，使，交于，交于．求证：．（《数学教学》问题531题）13．在中，，，为形内一点，，，求的度数．（《数学通报》问题1023题）14．在中，，，为形内一点，且，，求的度数．（《数学通报》问题1142题）15．在中，，，为形内一点，，，求的度数．（《数学通报》问题1208题）16．中，，，为形内一点，，．求证：．（《数学通报》问题1306题）17．在中，，，为形内两点，，．求证：，，三点共线．（《数学通报》问题1243题）18．中，，，为形内两点，，．求证：．（《数学通报》问题1281题）19．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求的度数．（《数学通报》问题1073题）20．，，，，，顺次分别在的三边，，上，且，，，过，，分别作，，的平行线，，．求证：，，三线共点的充要条件是，，三线共点．21．在中，，于，过任作两射线分别交，于点，，交过点的平行线于，，且．求证：，，共点．22．在中，过三边，，边中的中点，，的三条等分三角形周长的直线，，（，，在三角形三边上）分别交，，于，，．求证：，，三线共点．23．的内切圆切，，于，，．是内一点，交内切圆于两点，其中靠近的一点为，类似定义，．试证：，，三线共点．24．在内部，的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，，且满足．求证：，，所在直线共点．（《中学数学教学》擂台题（28））25．给定，延长边至，使．的外接圆与以为直径的圆相交于和．设与的延长线分别交和于，．求证：，，共线．（第15届伊朗奥林匹克题）26．在的边上向外作三个正方形，，，是正方形中的边，，对边的中点．求证：直线，，共点．习题B1．是的内切圆，，，，分别是，，上的切点，，，都是的直径．求证：直线，，共点．（《数学通报》问题1396题）2．四边形的内切圆分别与边，，，相切于，，，．求证：，，，四线共点．（《数学通报》问题1370题）3．锐角中，角的平分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类似．直线与，两角的外角平分线交于，点，与此类似．求证：（Ⅰ）三角形的面积是六边形的二倍；（Ⅱ）三角形的面积至少是三角形面积的四倍．（-30试题）4．设为内一点，使，是线段上的点，直线，分别交边，于，．求证：．5．在凸四边形中，对角线平分，是的延长线上的一点，交于点，延长交的延长线于．试证：．6．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求的度数．（《数学通报》问题1073题）7．设是等边三角形，是其内部一点，线段，，依次交三边，，于，，三点．证明：．（-37预选题）8．在一条直线的一侧画一个半圆，，，是上两点，上过和的切线分别交于和，半圆的圆心在线段上，是线段和的交（-35预选题）点，是上的点，．求证：平分．9．设是锐角的内接正方形的中心，其中内接正方形的两个顶点在边上，一个顶点在边上，一个顶点在边上．同样定义两个顶点分别在边和边上的内接正方形的中心分别为，．证明：，，交于一点．（-42预选题）10．以的底边为直径作半圆，分别与，交于点，，分别过点，作的垂线，垂足依次为，，线段和交于点．求证：．（1996年国家队选拔考试题）11．设，是锐角的外接圆的圆心和垂心．证明：存在，，分别在线段，，上，使得，且此时，，三线交于一点．（-41预选题）12．已知是的直径，弦于，点和分别在线段和上，且∶∶，射线，交于，．求证：，，三线共点．13．设是的内心，以为圆心的一个圆分别交于，，交于，，交于，．这六个点在圆上的顺序为，，，，，．设，，为弧，，的中点，直线，相交于，直线，相交于，直线，相交于．求证：直线，，三线共点．14．在的边和上分别向形外作和，使，且．求证：连线，与边上的高三线共点．15．过非等边三角形各顶点作其外接圆的切线，则各切线与其对边的交点共线．16．在内三点，，满足，，则，，三线共点的充要条件是．17．在任意的三边，，上各有点，，，而是内部任一点，直线，，分别交线段，，于，，．求证：直线，，共点的充分必要条件是，，共点，而与点的位置无关．18．设是平面上区域内任一点，，，的延长线交三边于，，．求证：在区域内，存在一个以的某两边为邻边的平行四边形．19．设凸四边形的两组对边所在的直线，分别交于，两点，两对角线的交点为，过点作于．求证：．（2002国家集训队选拔试题）20．在中，和均为锐角．是边上的内点，且平分，过点作垂线于，于，与相交于．求证：．。
精品 九年级数学 中考专题 几何应用题
解决问题:（1）点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米； 点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米； 点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米． （2）如图 14-3，小明同学说：“当点 Q 滑动到点 H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判 断对吗？为什么？ （3）①小丽同学发现：“当点 P 运动到 OH 上时，点 P 到 l 的距离最小．”事实上，还存在着点 P 到 l 距离最大的位置，此时，点 P 到 l 的距离是 分米； ②当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
-5-
几何应用题
21.京杭运河修建过程中，某村考虑到安全性，决定将运河边一河埠头的台阶进行改造．在如图的台阶横 断面中，将坡面 AB 的坡角由 45° 减至 30° ．已知原坡面的长为 6cm（ BD 所在地面为水平面） （1）改造后的台阶坡面会缩短多少？ （2）改造后的台阶高度会降低多少？（精确到 0.1m，参考数据： 2 1.41，3 1.73 ）
18.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木 柜表面爬到柜角 C1 处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当 AB 4，BC 4，CC1 5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； （3）求点 B1 到最短路径的距离．
7.在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体， 它的抽象几何图形如图 8， 若 AB 4, AC 10, ABC 60 , 求 B、C 两点间的距离．
8.某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图 8 是该地下停车库坡道入口的设计示意图， o 其中， AB⊥BD，∠BAD＝18 ，C 在 BD 上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标 志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为 CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 CE 的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到 0.1m）
立体几何中的探索型问题及应用
ʏ山东省阳谷县第一中学 宁广亮探索型问题是指那些题目条件不完备㊁结论不明确,或者答案不唯一,给考生留有较大探索余地的试题㊂而立体几何中的探索性问题,设置新颖,变化多端,不仅可以考查和区分考生的数学素质和创新能力,而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能,因而受到各方面的重视,近年来已成为高考试题的一个新亮点㊂一㊁条件探索型问题立体几何中的条件探索型问题,是针对结论确定而条件未知需探求,或条件增删需确定,或条件正误需判断㊂其解题思路是:先执果索因,再倒推分析,逆向思维探究结论成立的充分条件㊂解决立体几何此类问题时,通常利用空间向量来逆推,目标明确,要注意推理过程是否可逆,不要把必要条件当作充分条件㊂图1例1 如图1,A B 为圆O的直径,点E ,F 在圆O 上,且四边形A B E F 为等腰梯形,矩形A B C D 和圆O 所在的平面互相垂直,已知A B =2,E F =1㊂(1)求证:平面D A F ʅ平面C B F ;(2)求当A D 的长为何值时,二面角D -F C -B 的大小为120ʎ㊂解析:(1)因为平面A B C D ʅ平面A B E F ,且C B ʅA B ,平面A B C D ɘ平面A B E F =A B ,所以C B ʅ平面A B E F ㊂因为A F ⊂平面A B E F ,所以C B ʅA F ㊂又因为A B 为圆O 的直径,所以F B ʅA F ㊂而C B ɘ图2F B =B ,所以A F ʅ平面C F B ㊂又A F ⊂平面AD F ,所以平面A D F ʅ平面C F B ㊂(2)设E F ,C D 的中点分别为G ,H ,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O -x yz ,如图2所示㊂设A D =t ,则D (1,0,t ),C (-1,0,t ),A (1,0,0),B (-1,0,0),F12,32,0 ,所以C D ң=(2,0,0),F D ң=12,-32,t㊂设平面D C F 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1㊃C D ң=2x =0,n 1㊃F D ң=12x -32y +t z =0,取z =3,得x =0,y =2t ,则n 1=(0,2t ,3)㊂由(1)知A F ʅ平面C F B ,则平面C F B的一个法向量为n 2=A F ң=-12,32,0,故|c o s <n 1,n 2>|=|n 1㊃n 2||n 1||n 2|=|3t |4t 2+3㊂因为二面角D -F C -B 的大小为120ʎ,所以12=|3t |4t 2+3,解得t =64㊂所以当线段A D 的长为64时,二面角D -F C -B 的大小为120ʎ㊂点评:解决立体几何中的条件探索型问题,有三种比较常用的思维方式:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明㊂(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性㊂(3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件㊂根据具体问题场景,合理选取适合的方法来应用㊂二㊁存在探索型问题立体几何中的存在探索型问题,是以结论不确定的存在性判断的形式来设置问题㊂这类问题常常出现 是否存在 是否有 等形式的疑问句,以示结论有待确定㊂解答此类问题的思路是:先肯定结论,再进行推理,若推出矛盾,则否定假设;若推出合理结果,则假设成立㊂解决此类问题的三个基本步骤是:假设推证 定论㊂11解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月图3例2 如图3,在R t әA B C中,øC =90ʎ,B C =3,A C =6,D ,E 分别是线段A C ,A B 上的点,满足D E ʊB C 且A D =2C D ,如图4,将әA D E 沿D E 折起到әA 1D E的图4位置,使A 1C ʅC D ,M 是A 1D 的中点㊂(1)求C M 与平面A 1B E 所成角的大小㊂(2)在线段A 1B 上是否存在点N (N 不与端点A 1,B 重合),使平面C MN 与平面D E N 垂直若存在,求出A 1NB N的值;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)在R t әA B C 中,øC =90ʎ,D E ʊB C ,所以D E ʅA D ,D E ʅC D ㊂因为折叠前后对应角相等,所以D E ʅA 1D ,D E ʅC D ㊂又A 1D ɘC D =D ,A 1D ,C D ⊂平面A 1C D ,所以D E ʅ平面A 1C D ,D E ʅA 1C ㊂又A 1C ʅC D ,C D ɘD E =D ,所以A 1C ʅ平面B C D E ㊂图5以C 为坐标原点,C D ,C B ,C A 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系C -x yz ,如图5所示㊂因为A D =2C D ,故D E =23B C =2,由几何关系知C D =2,A 1D =A D =4,A 1C =23,故C (0,0,0),D (2,0,0),E (2,2,0),B (0,3,0),A 1(0,0,23),M (1,0,3),所以C M ң=(1,0,3),A 1B ң=(0,3,-23),A 1E ң=(2,2,-23)㊂设平面A 1B E 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1㊃A 1B ң=3y -23z =0,n 1㊃A 1E ң=x +y -3z =0,令y =2,得z =3,x =1,则n 1=(1,2,3)㊂设C M 与平面A 1B E 所成角的大小为θ,则s i n θ=|c o s <C M ң,n 1>|=|C M ң㊃n 1||C M ң||n 1|=|4|2ˑ22=22,故θ=π4,即C M 与平面A 1B E所成角的大小为π4㊂(2)假设存在点N ,符合题意㊂设N (x 1,y 1,z 1),B N ң=λB A 1ң(0<λ<1),即(x 1,y 1-3,z 1)=λ(0,-3,23),即x 1=0,y 1=3(1-λ),z 1=23λ,故N (0,3(1-λ),23λ),C M ң=(1,0,3),C N ң=(0,3(1-λ),23λ)㊂设平面C M N 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则n 2㊃C M ң=x 2+3z 2=0,n 2㊃C N ң=3(1-λ)y 2+23z 2=0,令x 2=3,得z 2=-1,y 2=23λ3(1-λ),则n 2=3,23λ3(1-λ),-1㊂同理可求得平面D E N 的一个法向量为n 3=3,0,1λ㊂若平面C MN 与平面D E N 垂直,则满足n 2㊃n 3=0,即3-1λ=0,解得λ=13㊂故存在满足题意的点N ,由B Nң=13B A 1ң,可得A 1N B N =21=2㊂点评:解决立体几何中的存在探索型问题时,首先假设结论存在,然后在这个假设下进行合理的推理论证与数学运算㊂如果通过推理或运算得到了合乎情理或满足条件的结论,就可以肯定假设的存在性;如果得到了矛盾或不满足条件的结论,就否定假设的存在性㊂三、开放探索型问题立体几何中的开放探索型问题,是基于条件或结论结构不良的开放性问题,合理补充条件完整是解题的第一步,基于条件的补充,形成一个完整的题目,与正常试题的解答基本一致㊂图6例3 如图6,在底面A B C D 是菱形的直四棱柱A B C D -A 1B 1C 1D 1中,øD A B =π3,A B =2,A A 1=23,E ,F ,G ,H ,N 分别是棱C C 1,C 1D 1,D D 1,C D ,B C 的中点,点P 在四边形E F G H 内部(包含边界)运动㊂21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月(1)现有如下三个条件:①G E ɘF H =P ;②P ɪF H ;③E P ң=P F ң㊂请从上述三个条件中选择一个条件,能使得P N ʊ平面B B 1D 1D 成立,并写出证明过程㊂(注:多次选择分别证明,只按第一次选择计分)(2)求平面F G N 与平面A D D 1A 1的夹角的余弦值㊂解析:(1)选①:G E ɘF H =P ㊂如图7图7所示,连接C D 1,B D 1,P N ,因为四边形C D D 1C 1为矩形,所以四边形E F -G H 为平行四边形,则P 分别是C D 1,G E 的中点,且N 是B C 中点,可得P N ʊB D 1㊂又因为P N ⊄平面B B 1D 1D ,B D 1⊂平面B B 1D 1D ,所以P N ʊ平面B B 1D 1D ㊂图8选②:P ɪF H ㊂如图8所示,连接HN ,P N ㊂由于F ,H ,N 分别是棱C 1D 1,C D ,B C 的中点,所以F H ʊD D 1㊂又F H ⊄平面B B 1D 1D ,D D 1⊂平面B B 1D 1D ,所以F H ʊ平面B B 1D 1D ㊂同理可证,HNʊ平面B B 1D 1D ㊂又F H ⊂平面F HN ,HN⊂平面F HN ,F H ɘHN =H ,所以平面F HN ʊ平面B B 1D 1D ㊂又因为P N ⊂平面F HN ,所以P N ʊ平面B B 1D 1D ㊂选③:E P ң=P F ң㊂由于E P ң=P F ң,所以P 图9是线段E F 的中点㊂如图9所示,设M ,Q 分别是G F ,B D 的中点,由于P ,N 分别是E F ,B C 的中点,则P M ʊG E ,P M =12G E ,Q N ʊC D ,Q N =12C D ㊂因为P M ʊG E ʊC D ,所以P M ʊQ N ,P M =Q N ,所以四边形P M Q N 是平行四边形,所以P N ʊM Q ㊂由于Q ɪ平面B B 1D 1D ,M ∉平面B B 1D 1D ,所以M Q ɘ平面B B 1D 1D=Q ,所以P N 与平面B B 1D 1D 不平行㊂图10(2)由于四边形A B C D 为菱形,且øD A B=π3,则知D N ʅB C ㊂以D 为坐标原点,D A ң,D N ң,D D 1ң分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图10所示的空间直角坐标系D -x yz ,则D 1(0,0,23),C 1(-1,3,23),G (0,0,3),N (0,3,0),F -12,32,23,所以G N ң=(0,3,-3),G F ң=-12,32,3㊂设m =(x ,y ,z )为平面F G N 的一个法向量,则m ㊃G N ң=3y -3z =0,m ㊃G F ң=-12x +32y +3z =0,令y =1,得m =(33,1,1)㊂可取n =(0,1,0)为平面A D D 1A 1的一个法向量,则|c o s <m ,n >|=|m ㊃n ||m ||n |=127+1+1ˑ1=2929,所以平面F G N 与平面A D D 1A 1的夹角的余弦值为2929㊂点评:解决立体几何中的开放探索型问题时,结合立体几何应用场景,往往又分为选择条件型与探索条件型,基于不同的开放性条件加以合理选择,进而进行分析与求解,有效考查同学们分析问题与解决问题的能力,对理解能力㊁探究能力㊁创新能力与应用意识等的考查也是积极和深刻的㊂立体几何中的探索型问题,经常以条件探索型㊁存在探索型及开放探索型等不同形式来创新设置,方式新颖,变化多端,不仅能较好地考查考生的空间想象能力与逻辑推理能力,而且能考查考生的数学思维品质与水平,这对考生的综合素质与数学水平的提高起到了积极的作用㊂(责任编辑 王福华)31解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月。
专题六 几何图形综合问题
类型一
类比、迁移与拓展类几何综合问题
(1)该类问题常常是先根据特殊的条件结合图形猜想出结论,然后在一般条件下论证结论,最后运用
结论解决问题;或者是在特殊条件下得出结论,改变条件的特殊性(如点的位置发生改变,图形的形状
发生改变等)判断结论是否仍然成立.
(2)解答该类问题注意类比,几问之间层层递进,但是原理相同,图形结构类似或方法类似,或在此基
∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH.
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM.
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA.
边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合,先作∠CDF=
∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量
关系是
.
(1)解:∠DCA′
(2)解:AD2+DE2=AE2
①
②
方法运用
(3)如图③所示,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平
∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,∴∠ADE=∠BAM.
又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠DAM)=90°,即DE⊥AM.
故DE=2AM,DE⊥AM.
类型三 几何多结论判断问题
几何多结论判断问题考查的知识点较多,主要以圆和四边形为核心,解决问题的主要手段是利用三
立体几何在生活中的运用
n 活跃起来了） 这时，一位同学递过来一个黑色的橡皮
n 筋，我把它平放在讲桌上，用一只粉笔竖直穿过橡皮筋 n 的“圆心”，“请注意！见证奇迹的时刻到了。”同学们更
n 是哄堂大笑，我再次强调：“注意！注意！我要用一把锋
立体几何在生活中的运用
第一页，共16页。
• 立体几何在生活中的应用：
• 金字塔被设计成四棱锥
• 三棱柱可用于光的分解
• 水壶类似于圆柱、圆台的形状
• 用来做篮球足球棒球这些体育用球
用于做轴承的滚珠 用作儿童玩具，比如玩具枪的子弹
用作首饰，比如项链耳环
第二页，共16页。
• 1 圆在生活中的应用：
• 首先，在占有材料相同的情况下，圆形具有最大的面积 。几何学告诉我们，这时圆的面积比其他任何形状的 面积都来得大，如果有相同数量的材料希望做成容积 最大的东西，当然圆形是最合适的了。自来水管、煤 气管等，就是对这一自然现象的仿造。
而逐渐形成的
第六页，共16页。
•
2 动物的身长与体重
•
问题描述：四足动物的躯干与其体重之间生猪的身长估计
出它的体重．
• 问题分析与模型建立：同第一个问题，对此问题如果陷入生物学复 杂的生理结构的研究，将会得出太复杂的模型，而失去使用价值．在这 里我们用类比方法借助于弹性力学的结果，建立一个粗略的几何模型． 把四足动物的躯干视为圆柱体，长度为，直径为，底面积为．如图8所 示，将此圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹 性力学的研究结果．
因此，茎的形状，也是植物对自然环境适 应的结果。
第五页，共16页。
【初中数学精品资料】暑假专题——生活中的几何问题
知识点一：相交线和平行线
例 1. 如图所示，要把水渠中的水引到水池 C，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最 短？画出图来，并说明原因．
A B
C
思路分析： 1）题意分析：联系实际，开沟时为使沟最短，应根据“垂线段最短”解题． 2）解题思路：过点 C 作 CD⊥AB 于 D，CD 为开沟的位置． 解答过程：过点 C 作 CD⊥AB 于 D，所以在点 D 处沿 CD 开沟，才能使沟最短，原因 是从直线外一点到这条直线上所有各点的连线中，垂线段最短．
chu 年 级 初一 巩建兵 林卉 二校 张琦锋 审核 王百玲 学 科 数学 版 本 人教新课标版 课程标题 编稿老师 一校 暑假专题——生活中的几何问题
一、学习目标：
1. 理解垂线、垂线段、平行线的概念，了解垂线段最短的性质、平行公理及其推论，掌 握平行线的性质和判定方法． 2. 会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，了解三角形的稳定性，了解三角形 的高、中线、角平分线的性质． 3. 了解多边形的有关概念，能够进行简单的镶嵌设计．
A C B
E
O
F
思路分析： 1）题意分析：这是一道与物理学有关的综合型问题，解题时应注意理解“反射角等于 入射角”定律． 2）解题思路：因为 OC⊥EF，所以∠EOC＝∠FOC＝90°，又因为∠AOC＝∠BOC， 所以根据等角的余角相等，可得∠AOE＝∠BOF，如果光线由 CO 方向投射，根据“反射角 等于入射角”定律，入射角为 0 度，那么反射角也为 0 度，故反射光线按 OC 方向反射． 解答过程：因为 OC⊥EF（已知） ，所以∠EOC＝∠FOC＝90°（垂直定义） ．又因为∠ AOC＝∠BOC（已知） ，所以∠EOC－∠AOC＝∠FOC－∠BOC（等式性质） ，即∠AOE＝ ∠BOF．如果光线由 CO 方向投射，根据“反射角等于入射角”定律，入射角为 0 度，那么 反射角也为 0 度，故反射光线按 OC 方向反射． 解题后的思考：这类题常将几何学中的相交线和平行线与物理学中的光学知识相结合， 解答时，既要熟悉物理学原理，又要善于将其转化为几何问题．
几何图形问题-二元一次方程在实际问题中的应用
几何图形问题-二元一次方程在实际问题中的应用一、单选题1．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于x ，y 的方程组2417328x y x y +=⎧⎨+=⎩，则图2所示的算筹图表示的方程组是（）A ．32322322x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．323611322x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．32366322x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．23363622x y x y +=⎧⎨+=⎩2．如图，将长方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，∠BAD 比∠BAE 大18°．设∠BAE 和∠BAD 的度数分别为x ，y ，那么x ，y 所适合的一个方程组是（）A ．1890y x y x -=⎧⎨+=⎩B ．18290y x y x -=⎧⎨+=⎩C ．182y x y x -=⎧⎨=⎩D ．18290x y y x -=⎧⎨+=⎩3．如图，正方形ABCD 由四个相同的大长方形，四个相同的小长形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD 的面积是（）A ．36B ．25C ．20D ．164．如图，,AB BC ABD ⊥∠的度数比DBC ∠的度数的两倍少30︒，设ABD ∠和DBC ∠的度数分别为,x y ︒︒，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是()A ．9030x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．90230x y x y +=⎧⎨=-⎩C ．90302x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．290230x x y =⎧⎨=-⎩5．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD ，若CD =21，则长方形ABCD 的面积为（）A ．560B ．490C ．630D ．700二、填空题6．如图，在长方形ABCD 中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是___________，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？_________（填“变”或“不变”）．7．如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横—竖—横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm ，则一个小长方形的周长为________cm ．8．如图，在ABC 中，点E 是AB 边上的点，且:2:3AE EB =，点D 是BC 边上的点，且:1:2BD DC =，AD 与CE 相交于点F ，若四边形BDFE 的面积是16，则ABC 的面积为______．三、解答题9．如图所示一个正方体的表面展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面．已知正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．10．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．（1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝，N＝，L＝．（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数①试求a，b的值．（提示：列方程组）②求当N＝5，L＝14时，S的值．11．已知A 、B 两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示)(1)若m ＝8，n ＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:______________(2)用m 、n 表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________(3)若A 、B 两个正方形纸片的面积之和为：139，且右下图中阴影部分的面积为：23，则m=___________n=_______________________12．在平面直角坐标系中，点A ，B 在y 轴正半轴上，且点A 在B 的下方，将线段AB 进行平移得到线段CD ，点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点C ，（1）若点A （0，1），B （0，3），D （3，2），求点C 的坐标；（2）点E 是第二象限上的一个动点，过点E 作EF 垂直x 轴于F ，连接DF ，DE ，EC ．若点A （0，12m ），B （0，b ），C （a +b +1，12m +3），D （m ，﹣2m +3），三角形DEF 的面积为S △DEF ＝33388a -+，点D 到直线EF 的距离为3，试问是否存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．13．已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．(1)如图1，直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系．(2)如图2，过点B 作BD AM ⊥于点D ，求证：ABD C ∠=∠．(3)如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若2ABF ABE ∠=∠，求EBC ∠的度数．14．现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x 张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量．(1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x 的代数式表示）．(2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m 元，有盖长方体每个售价n 元，完全售出后，满足如下数据：x （张）6090销售后的总利润y （元）540510①求y 与x 之间的关系式，②求y 的最小值；15．我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1，根据给出的“河图”的部分点图，可以得到：1515P ++=⎧⎨++=⎩●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●如图2，已知33⨯框图中每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和均为3，求x y ，的值并在图3中填出剩余的数字．参考答案：1．C【分析】由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：32366322x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键．2．B【分析】首先根据题意可得等量关系：①∠BAD -∠BAE 大18°；②∠BAD +2∠BAE =90°，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设∠BAE 和∠BAD 的度数分别为x °和y °，依题意可列方程组：18290y x y x -=⎧⎨+=⎩．故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．3．D【分析】设小长方形的长和宽分别为x 、y ，可表示出大长方形的长和宽分别为2x 、2y ，由题意可得中间小正方形边长为1，观察图形可得x －y =1，正方形ABCD 的边长为2x +2y 或2y +x +y +2y ，于是可得方程组12222x y x y y x y y-=⎧⎨+=+++⎩，进一步即可求得结果.【详解】解：设小长方形的长和宽分别为x 、y ，则大长方形的长和宽分别为2x 、2y ，因为中间小正方形的面积为1，所以其边长为1，观察图形可得x －y =1，正方形ABCD 的边长为2x +2y 或2y +x +y +2y ，，于是得方程组12222x y x y y x y y -=⎧⎨+=+++⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是正方形ABCD 的边长为2x +2y =4，其面积是16.故选D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，认真观察图形，弄清图形的特征，从不同的角度表示出正方形ABCD 的边长，进而列出方程组是解题的关键.4．B【分析】根据角的和差倍分、互余角的定义建立方程组即可．【详解】AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，90ABD DBC ∴∠+∠=︒，即90x y +=，ABD ∠ 的度数比DBC ∠的度数的两倍少30︒，302ABD DBC ∠∴-∠=︒，即302x y =-，则可列方程组为90230x y x y +=⎧⎨=-⎩，故选：B ．【点睛】本题考查了角的和差倍分、互余角的定义、列二元一次方程组，理解题意，正确找出两个等量关系是解题关键．5．C【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长2⨯=小长方形的宽5⨯；小长方形的长+宽21=，据此可以列出方程组求解．【详解】解：设小长方形的长为x ，宽为y ．由图可知：5221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得156x y =⎧⎨=⎩，∴长方形ABCD 的长为:55630y =⨯=，宽为21，∴长方形ABCD 的面积为:3021630⨯=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何图形中的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．6．267cm 不变【分析】设每个长方形的长为x 厘米，宽为y 厘米，观察图得相等关系：长+3×宽=19，长−宽=7，根据相等关系可列出方程组，解方程组即可求得一个长方形的长和宽，从而可求得一个长方形的面积，当然也可求得大长方形的面积，两者之差便是所求阴影部分的面积；显然平移不改变阴影部分的面积．【详解】设每个长方形的长为x cm，宽为y cm，则有方程组：3197 x yx y+=⎧⎨-=⎩解得：103 xy=⎧⎨=⎩所以大长方形的宽为：7+2×3=13(cm)，其面积为13×19=247(cm2)，一个小长方形的面积为3×10=30(cm2)所以阴影部分的面积为：247-6×30=67(cm2)由于平移不改变图形的面积，故这六个小长方形的总面积不变，又大长方形的面积一定，所以阴影部分的面积不变．故答案为：67cm2；不变．【点睛】本题考查了二元一次方程组解决与图形有关的问题，以及平移的性质，关键是从图形中寻找两个等量关系并列出方程组．7．672【分析】设小矩形的长为x cm，宽为y cm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm．根据矩形的周长公式结合大矩形的周长为2016cm即可得出关于（x+y）的一元一次方程，解之即可得出（x+y）的值，再根据矩形的周长公式即可得出结论．【详解】解：设小矩形的长为x cm，宽为y cm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm．根据题意得：2（2x+y+x+2y）=2016，解得：2（x+y）=672，∴小矩形的周长为672cm．故答案为：672．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，将（x+y）当成一个整体利用矩形的周长公式找出关于（x+y）的一元一次方程是解题的关键．8．60【分析】连接FB，设S△BDF＝a，S△BEF＝b，推出S△AEF23=b，S△CDF＝2a，S △ABD 12=S △ACD =（1623+b ），S △ACE 23=（16+2a ），根据S △ACF ＝S △ACD ﹣S △CDF ＝S △ACE ﹣S △AEF 得到10a ﹣6b ＝64，与a +b ＝16构成方程组，解方程组求得a 、b 的值，进而即可求得△ABC 的面积．【详解】解：连接FB ，如图所示：设S △BDF ＝a ，S △BEF ＝b ，∵23AE EB =，∴S △AEF 23=b ，∵BD ：DC ＝1：2，∴S △CDF ＝2a ，∴S △ABD 12=S △ACD ＝1623+b ，S △ACE 23=（16+2a ），∵S △ACF ＝S △ACD ﹣S △CDF ＝S △ACE ﹣S △AEF ，∴3243+b ﹣2a 23=（16+2a ）23-b ，∴10a ﹣6b ＝60，∵a +b ＝16，1066416a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得106a b =⎧⎨=⎩，∴S △ABC ＝S △ACD +S △AEF +S 四边形BDFE＝（3243+b ）23+b +16＝48+2b＝48+12＝60．故答案为60．【点睛】本题考查了三角形的面积，二元一次方程组，解决本题的关键是掌握三角形的面积公式．9．31x y =⎧⎨=⎩【分析】根据正方体相对两个面上的代数式的值相等，可列出二元一次方程组，即可进行求解.【详解】解：由题意得51,25,x y y x -=+⎧⎨=-⎩解得31x y =⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.10．（1）7，3，10；（2）①112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；②11【分析】（1）将多边形DEFGHI 拆分为直角三角形DEF ，直角三角形DFI 与正方形FGHI 可求面积，再数出格点数即可；（2）①将条件中的S ＝2，N ＝0，L ＝6，以及（1）中所得的数据代入S ＝aN +bL ﹣1，建立方程组求解；②将N ＝5，L ＝14代入①中所得的关系式求解．【详解】解：（1）观察图形，可得N ＝3，L ＝10，11212222722=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯= DEF DFI FGHI S S S S 故答案为：7，3，10；（2）①根据题意得：206173101b a b =+-⎧⎨=+-⎩解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩②∵S ＝N+12L ﹣1，∴将N ＝5，L ＝14代入可得S ＝5+14×12﹣1＝11．【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键．11．(1)36.5；(2)222m n +；(3)53，13【分析】（1）设A 的边长为x ，B 的边长为y ，列出等式组解得x 、y 的值，再根据面积公式计算即可.（2）由题意列出m 、n 的关系式，根据不等式关系进行化简即可.（3）根据题意，列出S 阴影面积与A 、B 面积的关系式，进行化简求值即可.【详解】(1)设A 的边长为x ，B 的边长为y ，则83x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②得：2x=11x=5.55.52.5x y =⎧∴⎨=⎩225.5+2.5=36.5∴即A 和B 的面积之和为36.5.（2）x y m x y n +=⎧⎨-=⎩①②解得：x=()2m n +,y=()2m n -A 、B 面积之和=222222m n m n x y +-⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=222m n +(3)S 阴影面积=22224m n m n m n x y +--== 由题意得：22221329243m n m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得：51,33m n ==【点睛】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.12．（1）点C （3，4）；（2）存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ，此时45m =或85．【分析】（1）先根据A （0，1），D （3，2），得到平移的方向和距离，再利用平移的性质，即可求解；（2）利用平移变换的性质构建方程组求出a ，b （用m 表示），利用三角形的面积公式构建方程求出m ，即可解决问题．【详解】解：（1）∵A （0，1），D （3，2），∴点A 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点D ，∴点B （0，3）先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C ，∴点C （3，4）；（2）如图，存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ，理由如下：∵将线段AB 进行平移得到线段CD ，∴AB =CD ，∵点A （0，12m ），B （0，b ），C （a +b +1，12m +3），D （m ，﹣2m +3），∴()11132322a b m b m m m ⎧++=⎪⎨-=+--+⎪⎩，解得：213a m b m⎧=--⎨=⎩，∴111a b m m ++=-+=，∴1,32C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵EF 垂直x 轴，点D 到直线EF 的距离为3，S △DEF ＝33388a -+，∴12833338EF a -+⨯⨯=，解得：11113442EF a m =-+=+，∴EC y ⊥轴，∴点A 到CE 的距离为113322m m +-=，∵S △BCE ＝13S △ACE ，∴点B 到EC 的距离为1313⨯=，∴11333122m b m m +-=+-=，即5312m -+=，解得：45m =或85，∴存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ，此时45m =或85．【点睛】本题主要考查平移变换，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程组，利用参数解决问题．13．(1)90A C ∠+∠=︒(2)见解析(3)105︒【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解；（2）过点B 作//BG DM ，根据平行线找角的联系即可求解；（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．（1）解：如图，//AM CN ，C AOB ∴∠=∠，AB BC ⊥ ，90A AOB ∴∠+∠=︒，90A C ∠∠∴+= ；（2）解：如图，过点B 作//BG DM ，BD AM ⊥ ，DB BG ∴⊥，即90ABD ABG ∠+∠=︒，又AB BC ⊥ ，ABD CBG ∴∠=∠，//AM CN ，//BG AM ，//CN BG ∴，C CBG ∴∠=∠，ABD C ∴∠=∠；（3）解：如图，过点B 作//BG DM ，BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，DBF CBF ∴∠=∠，DBE ABE ∠=∠，由（2）可得ABD CBG ∠=∠，ABF GBF ∴∠=∠，设DBE α∠=，ABF β∠=，则ABE α∠=，2ABD CBG α∠==∠，GBF AFB β∠==∠，33BFC DEB α∠=∠=，3AFC αβ∴∠=+，180AFC NCF ∠+∠=︒ ，180FCB NCF ∠+∠=︒，180FCB AFC BCF ∴∠=∠+∠=︒，可得(2)3(3)180αβααβ++++=︒，①由AB BC ⊥可得290ββα++= ，②由①②联立方程组，解得15α=︒，15ABE ∴∠=︒，1590105EBC ABE ABC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查平行线性质，角平分线性质，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．14．(1)300-3x(2)①y 与x 之间的关系式y =-x +600；②当x =100时，y 有最小值，最小值是500．【分析】（1）x 张纸片可以剪2x 个盖子，剩余的（300-x ）张纸片可以剪（300-x ）个盒子，一个盒子配一个盖子，且2x ≤300-x ，根据题意剩余的盒子为300-x -2x ；（2）①由题意得到y =（300-3x ）m +n ⋅2x ，再由表中数据可以得到关于m ，n 的二元一次方程组，解方程组求出m ，n 的值即可得出结论；②有函数的性质结合x 的取值范围求函数最值．【详解】（1）解：由题意得，x 张纸片可以剪2x 个盖子，剩余的（300-x ）张纸片可以剪（300-x ）个盒子，∵一个盒子配一个盖子，且2x ≤300-x ，∴剩余的无盖长方体的数量为300-3x ，故答案为：300-3x ；（2）解：①设y =m （300-3x ）+n ⋅2x ，依据题意得()()540300180120510300270180m n m n ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得22.5m n =⎧⎨=⎩，∴y=2（300-3x）+2.5⋅2x=-x+600，∴y与x之间的关系式y=-x+600；②∵2x≤300-x，解得x≤100，∵y=-x+600，-1＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最小值，最小值是500．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，根据题意列出函数解析式是解题关键．15．11xy=-⎧⎨=⎩，见解析．【分析】根据题中的和为3先列出二元一次方程组，解出x,y的值，之后再补全图3即可．【详解】解：根据题意，得2323 243 x yx y y++=⎧⎨++=⎩①②解得：11 xy=-⎧⎨=⎩填出剩余的数字如图所示：【点睛】本题是材料阅读题，注意正确阅读材料理解题意，列出方程组，求解之后即可顺利完成本题．。
应用齐次化解决解析几何中定点定值问题
(
１)求椭圆 C 的方程 ．
２
．
２
２
２
２
(
２)若过点 A 作圆 M :(
x＋１)
＋y ＝r (
r＞０)的
两条切线分别与椭圆相交于点 B ,
当
D (不 同 于 点 A )．
r 变化时,试问直线 BD 是否过某个定 点? 若 是,求 出
该定点;若不是,请说明理由 ．
x
２
解析:(
１)易得椭圆的方程为 ＋y ＝１．
２
[(
x－２)＋２]
方法 ２:双 曲 线 的 方 程 可 化 为
－
２
直线l 不过点 A ,设其方程为
下面再通 过 两 个 例 题 具 体 解 释 利 用 齐 次 化 方 法
解决问题的详细过程和注意要素 ．
(
２)把原点平移到 点 A ,点 A 坐 标 为 (
０,
０),则 新
解得k＝－１．
１＝０．
２
２
２
２
２
[(
y－１)＋１]＝１,变形整理,得
２
(
a＞b＞０)的上顶点 A (
０,
１),离心率为
x
２
２
可化为 ＋ (
x＋１)
＋
y＋１)＝１,圆 M 的方程可化为(
２
２
m (
x－２)＋n(
m,
n∈R)．
y－１)＝１(
x２ y２
例 １ (
２０２１ 年高三模考)已知椭圆 C: ２ ＋ ２ ＝１
a b
坐标系(下面均指新 坐 标 系 下 的 问 题)中,椭圆的方程
时,则 k１ ＝
k２ ＝
k１ ＋k２ ＝
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)(解析版)
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论； ②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△△EDF =45゜△△ADE +△BDF =180゜−△EDF =135゜△△ADE =△BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AED △△BDF (AAS ) 答案为：△BDF ； ②△△ABC 是等边三角形△△B =△C =60゜△△BDE +△BED =180゜−△B =120゜△△EDF =60゜△△BDE +△CDF =180゜−△EDF =120゜△△BED =△CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE △△CFD (AAS )故答案为：△CFD ； ③△四边形ABCD 是正方形△△ABC =90゜，AB =BC△△ABE +△CBF =180゜−△ABC =90゜△AE △l ，CF △l △△AEB =△CFB =90゜△△ABE +△EAB =90゜△△EAB =△CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△BCF (AAS ) △AE =BF =1，BE =CF =2△EF =BE +BF =2+1=3 故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示△四边形OABC 是正方形△△AOC =90゜，AO =OC△△COE +△AOD =180゜−△ACO =90゜△AD △x 轴，CE △x 轴△△CEO =△ADO =90゜模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC中，AB AC=，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？ （3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE=BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ；②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC ∠=∠ADP ∴∽△△（3）EFD ∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =4DF =，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC ECEC CD∴=5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴=【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长． 【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =+或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解； （2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM=，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MHAM AB MB==，根据5AM =，可得3543GH MH==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AEDE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒． △EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽； (2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ， △CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AGMN GM=， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ． △MHG MBA ∽△△．△GM GH MHAM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB=，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AFAEDE DC． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<+，036<<，△3DE =3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT =，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =； （3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =． （1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒， △MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠， 在MPR △和NRQ △中，PMR NRQMPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠； （2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC和△四边形CDGH HL BC⊥，在DCB和△3）解：过3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE 绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NOOE ME MO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，ON33NF OF33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO，AB=5m，）可证得CDB∆3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =，△直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下： △AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α， 补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC =，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD的值为 ．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．∽AMF BGM，即可求出长度，即可求出FG的长度．(1)解：ABP PDC△≌△△中在ABP△和PDC Array在AOB和△Rt AOB 中，AOD △中，12OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠B =∠△∽AMF BGM △AM BG 45B ∠=︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、相似三角形9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中．边长为4的等边△OAB 的边OA 在x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为 时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，， ∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°， 又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】 （1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆； （2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=，180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8)y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线CD交于点()2,1M，且两直线夹角为α，且3tan2α=，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．NF OF NO90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
八年级几何图形应用题
八年级几何图形应用题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--八年级几何图形应用题精品型一如图ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC,BC 相交于点E,F，且使DE始终与AB垂直。
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由。
（2）设AD=x，CF=y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）（3）当移动点D是EF‖AB时，求AD的长。
二如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F。
求证：△CEF为等边三角形三如图①，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以AB为斜边，向外做等腰直角三角形ABE，连接OE，求证：若将条件改为以AB为斜边向外做直角三角形ABE,如图②结论（1）是否仍成立?请说明理由∠AEO=45°若将条件改为以AB为斜边向外做直角三角形ABE,如图②结论（1）是否仍成立?请说明理由四∠D=∠C=90°，∠DAB=∠ABC,若P为AB上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AC于点N，请猜想线段PM、PN、AD之间的数量关系，并证明。
答案:一 (1）∵Rt△ABC中,∠AC B=90°,∠A=30° ∴∠B=60° ∵使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC,BC相交于点E,F ∴∠F DE=30° ∵DE┴AB ∴∠FDB=60° ∴∠B=∠FDB=60° ∴△B DF是等边三角形（或正三角形）(2）∵△B DF是等边三角形∴BF=FD=BD ∵Rt△ABC中,∠AC B=90°,∠A=30°,BC=1 ∴AB=2 ∵BC=BF+CF,AB=AD+DB ∵AD=x，CF=y, BF=BD ∴y=x-1(3)连接EF ∵EF‖AB ∴∠FED=90°, ∠CEF=30° ∵∠A=30°,∠B=60° 设EF=x ∴DF=2x，DE=√3x,AD=3x，CF=1/2x ∵BF=FD=BD ∴BF=2x ∵BC=1 ∴BC=BF+CF=2x+1/2x=1 ∴x=2/5 ∴AD=3x=6/5二证明：因为△ACM、△CBN是等边三角形所以MC=AC NC=BC ∠ACM=∠MC B=60度因为∠ACM+∠MC B+∠MCN=180度所以∠ACM=∠MCB=∠MCN=60度所以∠ACN=∠MCB=120度在三角形△ACN和△MCB中：因为 AC＝MC ∠ACN=∠MCBNC=BC所以△ACN和△MCB全等所以∠ENC=∠FBC在△NEC和△BFC中：因为∠ENC=∠FBC MC＝BC ∠NCE＝∠BCF 所以△MEC和△BFC全等所以EC＝FC因为EC＝FC ∠ECF＝60度所以△CEF为等边三角形三以AB 为直径作圆，则点E 一定在圆周上（反证法）同时：点O 也一定在圆周上，且弧AO=90° （易证）∠AED=1/2弧AO=45°四 PM+PN＝AD证明：过点A作AG⊥MP，交MP延长线于点G ∵∠D=∠C=90，∠DAB=∠ABC，AB＝AB∴△ABC全等于△BA D∴∠CAB＝∠DBA∵AG⊥MP，PM⊥BD∴AG∥BD∴∠GAP＝∠DBA∴∠GAP＝∠CAB∵AG⊥MP，PN⊥AC∴PG＝PN∴GM＝PG+PM＝PN+PM∵∠D＝90,PM⊥BD，AG⊥MP∴矩形A GM D∴GM＝AD∴PN+PM＝AD。
第三十四讲 应用型问题
真题评讲
类型二 函数、统计型应用题
【精选考题 2】 (2013·江苏南京)小丽驾车从甲地到 乙地， 设她出发第 x (min)时的速度为 y(km/h)， 图 34－1 中折线表示她在整个驾车过程中 y 与 x 之 间的函数关系． (1)小丽驾车的最高速度是 km/h ； (2)当 20≤x ≤30 时， 求 y 与 x 之间的函数关系式， 并求出小丽出发第 22 min 时的速度； (3)如果汽车每行驶 100 km 耗油 10 L ，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多 少升？ 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加(或减少)， 那么其在某个时间段 内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例 如，由图像可知，第 5 min 到第 10 min 汽车的速度随着时间均匀增加，因 此汽车在该时间段内的平均速度为 10－5 程为 36× ＝3(km)． 60 12＋60 ＝ 36(km/h)，该时间段行驶的路 2
名师点拨
1．函数类问题常常数形结合，建立准确的函数模型，找 出点的的坐标，利用待定系数法求出函数解析式往往 是解题的关键．
2．对于统计类问题，读懂统计图表、提取解题的有效信 息是关键．
【预测演练 2 －1】 新星电子科技公司积极应对市场变化，及时调整投 资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于受新产 品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市 一年来， 公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程 (公司对经营 的盈亏情况每月最后一天结算 1 次 )．公司累积获得的利润 y(万元 )与 销售时间第 x (月 )之间的函数关系式 (即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之 间的关系 )对应的点都在如图 34－ 2 所示的图象上． 该图象从左至右依 次是线段 OA 、曲线 AB 和曲线 BC ，其中曲线 AB 为抛物线的一部分， 点 A 为该抛物线的顶点， 曲线 BC 为另一抛物线 y＝－ 5x 2＋ 205x －1230 的一部分，且点 A ，B ，C 的横坐标分别为 4，10， 12. (1)求该公司累积获得的利润 y(万元)与时间第 x (月) 之间的函数关系式； (2) 直接 写出 第 x 个月 所获 得利 润 S ( 万元 ) 与时 间 x (月 )之间的函数关系式(不需要写出计算过程)； (3)前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利润最 多？最多利润是多少万元？
专题09 新定义型几何图形问题(学生版) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题09新定义型几何图形问题【专题训练】一、解答题1．(2020·河南信阳市·八年级期末)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是_____________．(2)性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC=4，AB=5，求GE的长．2．(2020·洪泽外国语中学八年级月考)如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC 是“准互余三角形”，△A ＞90°，△B ＝20°，求△C 的度数；(2)如图①，在Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝4，BC ＝5，点D 是BC 延长线上一点．若△ABD 是“准互余三角形”，求CD 的长；(3)如图②，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，AC ＝4，CD ＝5，△BAC ＝90°，△ACD ＝2△ABC ，且△BCD 是“准互余三角形”，求BD 的长．3．(2020·湖南怀化市·中考真题)定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．(1)下面四边形是垂等四边形的是____________(填序号)①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形(2)图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD △BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于△O 中，60BCD ∠=︒．求△O 的半径．4．(2020·内蒙古通辽市·九年级学业考试)如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，问四边形ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，AC BD ⊥.试证明：2222AB CD AD BC +=+；(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结,,CE BG GE .已知30,1CAB CB ∠=︒=，求GE 的长.5．(2019·河南九年级其他模拟)若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．(1)知识理解：如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．①若α＝25°，△D＝100°，△C＝28°，则△BAE＝；②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝(2)知识运用：如图2，在四边形ABCD中，△ADC＝90°，AE△BD于点E，△DAC＝△DBC，求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．(3)拓展提高：如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝4，求DECE的值．6．(2020·常州市第二十四中学九年级期中)若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．(1)如图②，在△ABC中．△B＝60°，△C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；(2)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作AE，交BC于点E，点F是AE上一点，连结CF．且CF与AE有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．(3)已知△ABC 是“弱等腰三角形”，AD 是“弱线”，且AB ＝3BD ，求AC ：BC 的值．7．(2020·江西抚州市·金溪一中九年级一模)定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．(概念感知)(1)如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．(问题探究)(2)如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC的值．(拓展提升)(3)如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求ADCD的值．8．(2020·江苏南通市·八年级月考)定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．(1)如图①，四边形ABCD 与四边形AEEG 都是正方形，135AEB 180<∠<︒︒，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”；(2)如图②，四边形ABCD 是“等垂四边形”，AD BC ≠，连接BD ，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，连接EG ，FG ，EF ．试判定EFG 的形状，并证明；(3)如图③，四边形ABCD 是“等垂四边形”，4=AD ，6BC =，试求边AB 长的最小值．9．(2020·江西九年级一模)定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直的线段，我们称其互为“等垂线段”．知识应用：在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，△ACB=△AED=90°，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．(1)如图1，当AE在线段AC上时，线段PC与线段PE是否互为“等垂线段”？请说明理由．(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转90°，点D落在AB边上，请说明线段PC与线段PE互为“等垂线段”．拓展延伸：(3)将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转150°，若BC=3，DE=1，求PC的值．10．(2020·沈阳市第一二六中学九年级月考)如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为P A、PB、PC，若有P A2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．(1)如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC 关于点的勾股点；在点E、F、G三点中只有点是△ABC关于点A的勾股点．(2)如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，①求证：CE ＝CD ；②若DA ＝DE ，△AEC ＝120°，求△ADE 的度数．(3)矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，E 是矩形ABCD 内一点，且点C 是△ABE 关于点A 的勾股点，若△ADE 是等腰三角形，直接写出AE 的长．11．(2020·浙江宁波市·九年级零模)当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角． (1)如图1，墙角O ∠=30°，如果AB =3，长度不变，在角内滑动，当OA =6时，则求出此时OB 的长度．(2)如图2，墙角O ∠=30°，如果在AB 的右边作等边ABC ∆，AB =3，长度不变，滑动过程中，请求出点O 与点C 的最大距离．(3)如图3，墙角sin O =35时，如果点E 是O ∠一条边上的一个点，DEF ∠=90°，其两条边与O ∠另一条边交于点F 与点D ，求OFOD的最大值．12．(2019·江西南昌市·八年级期中)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．观察发现：如图1，对垂四边形ABCD四边存在数量为：AD2+BC2＝AB2+CD2．应用发现：如图2，若AE，BD是△ABC的中线，AE△BD，垂足为O，AC=4，BC=6，求AB=应用知识：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝3，求GE长．拓展应用：如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE△EG，AD=4，AB=3，求AF的长13．(2019·浙江杭州市·九年级期中)定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形，这条高称为“半高”．(1)如图1，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BCAC =，点P 在AB 上，PD AC ⊥于点D ，PE BC ⊥于点E ，连接BD ，DE 求证： BDE ∆是“半高”三角形；(2)如图2，ABC ∆是“半高”三角形，且BC 边上的高是“半高”，点P 在AB 上，//PQ BC 交AC 于点Q ，PM BC ⊥于点M ，QN BC ⊥于点N ．①请探究BM ，PM ，CN 之间的等量关系，并说明理由；②若ABC ∆的面积等于16，求MQ 的最小值．14．(2020·江苏扬州市·八年级期中)阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．① ；② ．(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，△AEC=△AFC．求证：四边形AECF是筝形．(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．15．(2020·四川麓山师大一中八年级月考)我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；(2)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．16．(2020·浙江绍兴市·九年级期中)我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，△ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的△M交于点E，DE平分△ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE 是半直角三角形．(1)求证：△ABC是半直角三角形；(2)求证：△DEC =△DEA ；(3)若点D 的坐标为(0，8)，求AE 的长．17．(2020·江西南昌市·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)k y k x=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH ”．(1)①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；(2)正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．18．(2019·湖南师大附中博才实验中学) 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”(1)在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．(2)如图1，在△ABC 中，AB =2，BC =52，AC =3，D 为平面内一点，以A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA ，DC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(m +3)x +14(5m 2-2m +13)=0(其中m 为常数)的两个根，求线段BD 的长度．(3)如图2，在“完美四边形”EFGH 中，△F =90°，EF =6，FG =8，求“完美四边形”EFGH 面积的最大值．19．(2020·江苏苏州市·九年级期中)如图(1)，在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC 上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图(2)，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM△BC于点M，NP△NM交AB于点P，PQ△BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题：(1)四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论；(2)若△ABC为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC内接正方形的边长；(3)如图(3)，若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当34MNBM时，猜想△QEM的度数，并说明你的理由．20．(2020·广州市育才中学九年级期中)若点P为△ABC所在平面上一点，且△APB＝△BPC＝△CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即P A+PB+PC最小．(1)如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．①证明：点P就是△ABC费马点；②证明：P A+PB+PC＝BE＝DC；(2)如图2，在△MNG中，MN＝，△M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．21．(2020·湖南长沙市·九年级月考)定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形ABCD 中，若,A C B D ∠=∠∠≠∠，则称四边形ABCD 为准平行四边形.(1)如图①，,,,A P B C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒，延长BP 到Q ，使AQ AP =.求证:四边形AQBC 是准平行四边形；(2)如图②，准平行四边形ABCD 内接于O ，,AB AD BC DC +=，若O 的半径为5,6AB =，求AC 的长；(3)如图③，在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=︒∠=︒=，若四边形ABCD 是准平行四边形，且BCD BAD ∠≠∠，请直接写出BD 长的最大值.22．(2020·广东深圳市·九年级二模)我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．(1)①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；②在凸四边形ABCD 中，AB =AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．(填“是”或“不是”)(2)如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的△O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，△ADB ﹣△CDB =△ABD ﹣△CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；(3)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0)与x 轴交于A ，C 两点(点A 在点C 的左侧)，B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为(0，﹣ac )，记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S =3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．23．(2020·浙江省临海市临海中学九年级期中)定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.(1)如图1，损矩形ABCD ，△ABC =△ADC =90°，则该损矩形的直径是线段 .(2)在线段AC 上确定一点P ，使损矩形的四个顶点都在以P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．(3)如图2，△ABC中，△ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分△ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.。
立体几何实际问题
立体几何实际问题
立体几何在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的立体几何问题：
1. 建筑学：在建筑设计中，立体几何被用来构建和描述各种形状和结构，如柱子、墙壁、天花板、楼梯等。
设计师需要了解立体几何的基本原理，以确保结构的稳定性和安全性。
2. 工程学：在机械工程、航空航天工程和水利工程等领域，立体几何被用来设计和分析各种零件、设备和结构。
工程师需要了解立体几何的知识，以确保产品的功能和安全性。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，立体几何被用来描述和模拟三维形状和场景。
在游戏开发、电影制作、虚拟现实等领域，立体几何的应用越来越广泛。
4. 物理学：在物理学中，立体几何被用来描述和解释引力、电磁场、量子力学等领域的现象。
在物理学中，了解立体几何的基本原理可以帮助我们更好地理解物理现象的本质。
5. 数学：在数学中，立体几何是研究三维空间中的形状、曲线和曲面的学科。
在数学中，了解立体几何的基本原理可以帮助我们更好地理解数学概念的本质。
总之，立体几何在实际生活中有着广泛的应用，了解立体几何的基本原理可以帮助我们更好地解决各种实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几何应用型问题-
几何应用型问题
1. 图1是一个经过改造的台球桌面的示意图，图
中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是( )
A ．1 号袋
B ．2
号袋 C ．3 号袋 D ．4 号袋
2. （本小题满分8分）
用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图2），你在（1
4号袋
图1
3号袋 1B 图2
C
B A
20cm 30cm
3．如图，苏州某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm,深为30cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜
坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计
为12°，求AC的长度。
（精确到1 cm）
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9
4．（1）国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.
①在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q ”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.
②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”，使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制（在图出字母Q 即可）. 丙中的某四个小方格中标
甲
行
乙
丙
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9
5．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两岔的高塔上的桥梁，它不须建造桥墩（如图）．右下图中A 1B 1．A 2B 2…、A 5B 5是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且B 1B 2B 3B 4B 5被均匀地固定在桥上，如果桥长的钢索A 1B 1＝80m ，最短的钢索A 5B 5＝20m ，那么钢索A 2B 2、A 3B 3的长分别为（ ） A ．50m 、65m B ．50m 、35m C ．50m 、57.5m D ．40m 、
42.5m
6. 如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’ .①等于1米；②大于1米5;③小于1米。
其中正确结论的序号是 ．
7、电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。
现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。
如果晶圆片的直径为10.05cm 。
问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。
（不计切割损耗）
练习
1．如图，在离地面高度5m处引拉线固定电线杆，拉线和
地面成600角，那么拉线AC的长约为______m．(精确到
0．1m)
：
2．如图l，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=900，AB=4，BC=6，AD=8．点P、Q 同时从A点出发，分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从出发
运动了t秒．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9
(1)动点P 与Q 哪一点先到达自己的终点?此时t 为何值? (2)当0<t<2时，求证：以PQ 为直径的圆与AD 相切(如图2)；
(3)以PQ 为直径的圆能否与CD 相切?若有可能，求出t 的值或t 的取值范围；若不可能，请说明理由．
3.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
⑴请根据下列图形，填写表中空格：
⑵如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
⑶从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9
4．如图，已知点«Skip Record If...»是边长为4的正方形«Skip Record If...»内一点，且«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»．请在射线Record If...»，使以点«Skip Record If...»、、«Skip Record If...»为顶点的三角形与意．：全等图形是相似图形的特例) ．
5、一次数学活动课，老师组织学生到野外测量一个池塘的宽度（即图中A 、B 间的距离）。
在讨论探究测量方案时，同学们发现有多种方法，现请你根据所学知识，设计出两种测量方案，要求画出测量示意图，并简要说明测量方法和计算依据。
例案：在A 处测出∠BAE=90º，并在射线AE 上的适当位置取点C ，量出AC ，BC 的长度；
运用勾股定理，得AB=«F
B A
方案一：
方案二：
6、正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将下列三个正三角形分别分割成四个等腰三角形。
（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9
8、如图，△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB=«Skip Record If...»，BC=1，连结BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R.
（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长；
（2）观察图形，请你提出一个与点．．．．P ．相关．．的问题，并解答（根据提出问题的层次和解答过程进行评分）。
9. 有三把楼梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的。
每把楼梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作联结点（如点A ）。
(1)通过计算，补充填写下表：
A
B
C
E
G
F
D P
Q
R
(2)一把楼梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个个联结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）。
现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本。