林寿数学史第八讲：19世纪的代数讲课讲稿
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2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓 扑、代数几何获奖
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖
代数方程根式解
伽罗瓦的遗书
❖我请伽一求罗经我瓦历的贡了爱3献0国：0年同群问胞论题们，的，宣彻我告底的方解朋程决友根，们式及，解尺不这要指责我不是为我的国家而死。 我是规作作为图一中个“不三等名分誉任的意风角骚”女问人题和和她“的倍两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可 耻的诽立谤方中”结问束题我不的可生能命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？ 我恳❖求在苍中天学为读我书作时证，，已只经有熟武悉力欧和拉强、迫高才斯使、我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。 我亲雅爱可的比朋（友德，，我18已04经－得18到5分1年析）学的方著面作的一些新发现……。 ❖在我18一29生年中进，入我巴常黎常高敢等于师预范言学当校时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这 里 了 他自们写❖❖请己的下公1奖1于未看的88开论为23完法这91请“文全。－年一求爱，证然11切8月雅情分明后已3被1可与别的，经年校荣交比定我清提方誉柯或理希清交开西”高望。楚法除、的斯有楚国，傅决就人地科两里斗这会在学次叶些发我院入、现定的的狱泊将理脑数，松这的海学死些重里整要一理性年清（多楚不了会伽是，是罗就我很瓦(定不法有(理愿法国益的意,,1处18正使91的8确1人4-一)1与怀8件3否疑2事）我) 。发宣布表 ❖热烈18地46拥年抱论你文。发表 伽罗瓦
数系扩张
❖ 哈密顿（爱尔兰，1805－1865年 ），光 学、力学和代数
❖ 自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童” ❖ 1820年已阅读牛顿《自然哲学的数学原
理》，拉普拉斯的《天体力学》，1823 年进入剑桥大学三一学院 ❖ 1834年发表论文“一种动力学的普遍方 法” ❖ 1843年10月16日定义了四元数－－“思 想电路接通之火花” ❖ 1837－1845年任爱尔兰皇家科学院院长 ❖ 英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家
i 2 j2 k 2 -1
a bi cj dk
ij -ji k, jk -kj i, ki -ik j
➢ 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数 ➢ 1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数 ➢ 麦克斯韦(英, 1831-1879)创造了向量分析
1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设 立阿贝尔奖。
挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币 2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔 诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年 起每年颁发一次。
阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰 出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
复数
1873年和1882年埃尔米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939)
分别证明了e和π是超越数，“化圆为方”问题的不可能
欧拉常数
lim(1 n
1 2
1 3
1 n
-
logn)
是否是无理数?
1747年达朗贝尔(法, 1717-1783)断言复数表示为a+ib， 1777年欧拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虚数单位
第八讲 19世纪的代数
代数学的新生
代数 方程与根
数系扩张
突破传统 行列式与矩阵
布尔代数
代数数论
代数方程根式解
❖ 1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理
P(x) a(x - r1)(x - r2 ) (x - rn )
❖ 高斯，数学家、物理学家和天文学家 ❖ 1795年进入哥廷根大学 ❖ 正17边形尺规作图法（1796） ❖ 数论、代数、非欧几何、复变函数和
1797年威塞尔(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德 (瑞, 1768-1822)讨论了复数几何表示
1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何表示
数系扩张
➢ 1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 ➢ 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数
代数方程根式解
抽象化尝试
➢ 有限置换群 ➢ 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群
➢ 伽罗瓦域 ➢ 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域
数系扩张
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1737年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了e是无理数
实数 1761年兰伯特(法, 1728-1777)证明了π是无理数 1844年刘维尔(法, 1809-1882)第一次显示了超越数的存在
微分几何等方面做出了开创性的贡献 ❖ 近代数学奠基者之一，“数学王子” ❖ “宁可少些，但要好些。”
高斯(联邦德国, 1955)
代数方程根式解
高斯和正十七边形 (民主德国, 1977)
代数方程根式解
高斯墓
代数方程根式解
1770年拉格朗日(法, 1736-1813)《关于代数方程解的思考》：预解式 1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理
鲁菲尼 拉格朗日
1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理
阿贝尔
1829－1831年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论
伽罗瓦
代数方程根式解
❖ 阿贝尔（挪，1802－1829）贡献：方程 论、无穷级数和椭圆函数论
❖ 16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、 高斯的著作
❖ 1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824 年，证明了一般五次方程根式解的不可 能性
哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983)
行列式与矩阵
✓ 1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成《解伏题之法》提出行列式 理论和代数方程变换理论
❖ 1825.5到柏林，五次方程论文发表于克 雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文
❖ 1826.7到巴黎，论文提交法国科学院 ❖ 1827.5回到奥斯陆 ❖ 1841年椭圆函数论论文发表
阿贝尔
1908年维格兰(挪, 18691943)雕塑的阿贝尔塑像
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
阿贝尔的塑 像
(挪威, 1983)
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖
代数方程根式解
伽罗瓦的遗书
❖我请伽一求罗经我瓦历的贡了爱3献0国：0年同群问胞论题们，的，宣彻我告底的方解朋程决友根，们式及，解尺不这要指责我不是为我的国家而死。 我是规作作为图一中个“不三等名分誉任的意风角骚”女问人题和和她“的倍两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可 耻的诽立谤方中”结问束题我不的可生能命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？ 我恳❖求在苍中天学为读我书作时证，，已只经有熟武悉力欧和拉强、迫高才斯使、我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。 我亲雅爱可的比朋（友德，，我18已04经－得18到5分1年析）学的方著面作的一些新发现……。 ❖在我18一29生年中进，入我巴常黎常高敢等于师预范言学当校时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这 里 了 他自们写❖❖请己的下公1奖1于未看的88开论为23完法这91请“文全。－年一求爱，证然11切8月雅情分明后已3被1可与别的，经年校荣交比定我清提方誉柯或理希清交开西”高望。楚法除、的斯有楚国，傅决就人地科两里斗这会在学次叶些发我院入、现定的的狱泊将理脑数，松这的海学死些重里整要一理性年清（多楚不了会伽是，是罗就我很瓦(定不法有(理愿法国益的意,,1处18正使91的8确1人4-一)1与怀8件3否疑2事）我) 。发宣布表 ❖热烈18地46拥年抱论你文。发表 伽罗瓦
数系扩张
❖ 哈密顿（爱尔兰，1805－1865年 ），光 学、力学和代数
❖ 自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童” ❖ 1820年已阅读牛顿《自然哲学的数学原
理》，拉普拉斯的《天体力学》，1823 年进入剑桥大学三一学院 ❖ 1834年发表论文“一种动力学的普遍方 法” ❖ 1843年10月16日定义了四元数－－“思 想电路接通之火花” ❖ 1837－1845年任爱尔兰皇家科学院院长 ❖ 英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家
i 2 j2 k 2 -1
a bi cj dk
ij -ji k, jk -kj i, ki -ik j
➢ 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数 ➢ 1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数 ➢ 麦克斯韦(英, 1831-1879)创造了向量分析
1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设 立阿贝尔奖。
挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币 2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔 诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年 起每年颁发一次。
阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰 出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
复数
1873年和1882年埃尔米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939)
分别证明了e和π是超越数，“化圆为方”问题的不可能
欧拉常数
lim(1 n
1 2
1 3
1 n
-
logn)
是否是无理数?
1747年达朗贝尔(法, 1717-1783)断言复数表示为a+ib， 1777年欧拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虚数单位
第八讲 19世纪的代数
代数学的新生
代数 方程与根
数系扩张
突破传统 行列式与矩阵
布尔代数
代数数论
代数方程根式解
❖ 1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理
P(x) a(x - r1)(x - r2 ) (x - rn )
❖ 高斯，数学家、物理学家和天文学家 ❖ 1795年进入哥廷根大学 ❖ 正17边形尺规作图法（1796） ❖ 数论、代数、非欧几何、复变函数和
1797年威塞尔(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德 (瑞, 1768-1822)讨论了复数几何表示
1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何表示
数系扩张
➢ 1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 ➢ 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数
代数方程根式解
抽象化尝试
➢ 有限置换群 ➢ 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群
➢ 伽罗瓦域 ➢ 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域
数系扩张
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1737年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了e是无理数
实数 1761年兰伯特(法, 1728-1777)证明了π是无理数 1844年刘维尔(法, 1809-1882)第一次显示了超越数的存在
微分几何等方面做出了开创性的贡献 ❖ 近代数学奠基者之一，“数学王子” ❖ “宁可少些，但要好些。”
高斯(联邦德国, 1955)
代数方程根式解
高斯和正十七边形 (民主德国, 1977)
代数方程根式解
高斯墓
代数方程根式解
1770年拉格朗日(法, 1736-1813)《关于代数方程解的思考》：预解式 1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理
鲁菲尼 拉格朗日
1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理
阿贝尔
1829－1831年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论
伽罗瓦
代数方程根式解
❖ 阿贝尔（挪，1802－1829）贡献：方程 论、无穷级数和椭圆函数论
❖ 16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、 高斯的著作
❖ 1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824 年，证明了一般五次方程根式解的不可 能性
哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983)
行列式与矩阵
✓ 1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成《解伏题之法》提出行列式 理论和代数方程变换理论
❖ 1825.5到柏林，五次方程论文发表于克 雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文
❖ 1826.7到巴黎，论文提交法国科学院 ❖ 1827.5回到奥斯陆 ❖ 1841年椭圆函数论论文发表
阿贝尔
1908年维格兰(挪, 18691943)雕塑的阿贝尔塑像
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
阿贝尔的塑 像
(挪威, 1983)