概率同步练习答案1-2章

第一次1设A,B,表示三随机事件，表示下列随机事件 （1）A 出现，B ，C 不出现（2）A ，B 都出现，C 不出现（3）三事件都出现（4）三事件至少有一个出现（5）三事件都不出现（6）不多于一个事件出现（7）A ，B ，C 中恰好有两个出现解 （1）{A 出现，B ，C 不出现}C B A = （2）{A ，B 都出现，C 不出现}C AB = （3）{三事件都出现}ABC =（4）{三事件至少有一个出现}C B A ++= （5）{三事件都不出现}C B A =（6）{不多于一个事件出现}C B A C B A C B A C B A +++= （7）{A ，B ，C 中恰好有两个出现}C AB C B A BC A ++=2 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个班的数学考试平均成绩（2）同时抛三个骰子，记录点数之和 （3）10件产品中有3件次品，每次从中取一件（不放回）直到将三件次品取出，记录抽取次数 （4）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 ，（5）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标解 （1） }1000|{1≤≤=x x S （2）}18...5,4,3{2=S （3）}10,...5,4,3{3=S（4） ...}13,12,11,10{4=S （5）}1|),{(225≤+=y x y x S3 随机抽查三件产品，A={三件中至少有一件废品} B={三件中至少有二件废品} C={三件正品}，问 A ， B C A C A B A - 各表示什么事件（用文字描述） 解 A ----- 三件产品全为正品 B -----三件中至多一件废品S C A = Φ=C A B A -----恰有一件废品4 下列各式是否成立 （1）（A-B ）+B=A （2） （A+B ）-C=A+（B-C ） 解 如图（1）B A B B A +=+-)( （2）)()(C B A C B A -+⊆-+ 5 下列各式说明什么关系？（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A解 （1）AB=A B A ⊂⇒ (2) A+B=A A B ⊂⇒(3) A+B+C=A A B ⊂⇒且A C ⊂⇒第二次1 罐中有围棋子8白子4黑子，今任取3子 ，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2黑子1白子 （3）至少有一颗黑子解 A={全是白子} B={2白子1黑子} C={至少有一颗黑子}（1） 3831214()=55C P A C = （2） 218431228()=165C C P B C = （3） 3831241()1()1=55C P C P A C =-=-2 从1至200的正整数中任取一数,求此数能被6或8整除的概率 解 A={此数能被6整除} B={此数能被8整除} )()()()(AB P B P A P B A P -+=+20082002520033-+==41= 3 设21)(=A P ，31)(=B P 试求下列三种情况下)(B A P -的值 （1）φ=AB （2）B A ⊃ （3）41)(=AB P解 （1）φ=AB A B A =- ， 21)(=-⇒B A P（2）B A ⊃ 613121)()()(=-=-=-B P A P B A P（3）41)(=AB P 414121)()()()(=-=-=-=-AB P A P AB A P B A P4 袋中有9红球3白球,任取5球,求(1) 其中至少有1个白球的概率(2) 其中至多有2个白球的概率解 A={至少有1个白球} B={至多有2个白球}5951237()1()1=44C P A P A C =-=- 323951221()1()1=22C C P B P B C =-=-5设A,B 为两个事件,且5.0)(=A P , 4.0)(=B P ,8.0)(=+B A P 求 (1) )(B A P + (2) )(AB P解 （2）)()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 1.0)(=∴AB P（1） 如图 AB A B A +=+Φ=)(AB A)()()(AB P A P B A P +=+∴=1-0.5+0.1=0.68.0)(=C B P ，6若C A B A ⊃⊃,，且P （A ）=0.9 ，求 )(BC A P -解 如图：BC S C B -= 2.0)(1)(=-=C B P BC P7.02.09.0)()()(=-=-=-BC P A P BC A P 参考题 设 21)()(==B P A P , 求证 )()(B A P AB P = 证明 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+)(1)(AB P B A P -=+∴)(1)(1)(B A P B A P B A P -=+-=+ )()(B A P AB P =∴第三次1 袋中有3红球2白球,不放回地抽取2次,每次取一个,求(1) 第二次取红的概率 (2) 已知第一次取白球,求第二次取红球的概率 解 A i ={第i 次取红球} （i=1，2）（1） )|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=5343524253=⨯+⨯= （2） )|(12A A P 43=2 袋中有3红球2白球,抽取3次,每次取一个,取出后不放回,再放入与取出与取出的球颜色相同的两个球, 求 连续3次取白球的概率 解 A i ={第i 次取白球} （i=1，2，3） )|()|()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =746352⨯⨯=435= 3 10件产品中有7件正品，3件次品（1）不放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 （2）有放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 解 A i ={第i 次取次品} （i=1，2，3）（1） 1231213123211()()(|)(|)=1098120P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯ （2） 12312131233327()()(|)(|)=1010101000P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯ 4 100件产品中有10件次品90件正品，每次取1件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率解 A i ={第i 次取正品} （i=1，2，3）123121312109909()()(|)(|)=10099981078P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯ 5某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,买股票的概率为0.28,两项同时投入的概率为0.19, 求(1)已知他买入基金的条件下,他再买股票的概率 (2) 已知他买入股票的条件下,他再买基金的概率解 A={买基金} B={买股票} （1）)()()|(A P AB P A B P =0.190.58= （2）)()()|(B P AB P B A P =28.019.0=6某厂有编号为1,2,3的三台机器生产同种产品,其产量分别占总产量的25%, 35% 40%,次品率分别为5%,4% 2%,今从总产品中取一件 (1) 产品为次品的概率 (2) 若抽取的为次品求它是编号为2的机器生产的概率解 A i （i=1，2，3）B={任取一件产品为次品}(1))|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=25%5%35%4%40%2%=0.0345=⨯+⨯+⨯(2))()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==35%4%0.40625%5%35%4%40%2%⨯=≈⨯⨯+⨯第四次1设 4.0)(=A P ,7.0)(=+B A P 在下列条件下求)(B P (1) A,B 互不相容 (2) A,B 独立 解 (1) A,B 互不相容 则7.0)()()(=+=+B P A P B A P 3.0)(=⇒B P(2)A,B 独立 则)()()()(AB P B P A P B A P -+=+7.0)()()()(=-+=B P A P B P A P5.0)(=⇒B P2设 3.0)(=A P ,6.0)(=+B A P 在下列条件下求)(B P (1) A,B 互不相容 (2) A,B 独立 (3) B A ⊂解 (1) A,B 互不相容 则6.0)()()(=+=+B P A P B A P 3.0)(=⇒B P(2)A,B 独立 则)()()()(AB P B P A P B A P -+=+6.0)()()()(=-+=B P A P B P A P73)(=⇒B P (3) B A ⊂ B B A =+ 6.0)()(==+∴B P B A P3两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9 ， 从中各取一粒，设花籽发芽独立，求（1）两颗都发芽的概率 （2）至少有一颗发芽的概率（3）恰有一颗发芽的概率 解 A={第一种花籽发芽} B={第二种花籽发芽}（1） ()()()0.80.9=0.72P AB P A P B ==⨯（2） )()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P -+=-+=+ 0.80.90.80.9=0.98=+-⨯（3） )()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=+ 0.80.10.20.9=0.26=⨯+⨯ 4 甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破译的概率是21,31,41,求密码被破译的概率 解 A={密码被甲破译} B={密码被乙破译} C={密码被丙破译} {密码被破译}=A+B+C)(1)(1)(C B A P C B A P C B A P -=++-=++11131(1)(1)(1)=2344=----5 加工某零件要经过第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序,次品率分别为2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序独立,求加工出来的零件为次品的概率解 A i ={第i 道工序出次品} ( i=1,2,3,4) B={加工出来的零件为次品} B=A 1+A 2+ A 3+A 4)(1)(1)()(432143214321A A A A P A A A A P A A A A P B P -=+++-=+++= 12341()()()()1(12%)(13%)(14%)(15%)0.133P A P A P A P A =-=-----≈ 6 3次独立重复试验,事件A 至少出现一次的概率为6463,求A 在一次试验中出现的概率 解 A 在一次试验中出现的概率为pX 表示3次实验中A 出现的次数 ,则X~B(3,p)6463)1(1)0(1)1(3=--==-=≥p X P X P 43=⇒p 第五次1解 等比数列求和公式为q q a S nn --=1)1(1 143511)51(153limlim ≠=--=∞→∞→nn n n S 所以上述表不是分布表2已知离散型随机变量的分布律如下,求常数a=?(1) 5}{am X P == m=1,2,3…25 (2) !}{m am X P == m=0,1,2,3…解 (1)1255=⨯a 51=⇒a (2) 注意到: e n =++++++...!1...!31!21!1111...!...!3!2!1==++++++ae n a a a a a ea 1=⇒3 袋中有2红球4白球,取3球,求取到的红球数X 的分布律 解4 某人有6发子弹,射击一次命中率为0.8 ,如果命中了就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数Y 的分布律解 8.02.0}{1⨯==-i i Y P i=1,2,3,4,5652.08.02.0}6{+⨯==Y P5患某种病的死亡率为0.002，试求2000名患者中死亡人数大于8的概率 解 X-----2000患者中死亡的人数 则X~B(2000,0.002) 4np λ==8200020000{8}1{8}10.002(10.002)10.97860.0214ii ii P X P X C -=>=-≤=-•-≈-=∑6一本合订本100页，平均每页上有2个印刷错误，假定每页上的错误服从泊松分布,计算合订本各页错误都不超过4个的概率解 A={合订本各页错误都不超过4个}i X -----合订本第i 页错误, 则 2=λ )2(~P X i223442222202222(4)20.9473!2!3!4!k i k e P X e e e e e k ------=≤==++++=∑ 100()0.94730.004454P A =≈第六次1 若a 在(1,6)上服从均匀分布，求x 2+ax+1=0有实根的概率解 012=++ax x 有实根的充分必要条件是： 042≥-=∆a 即 2-≤a 或 2≥aa 在(1,6)上服从均匀分布， 则其概率密度函数为： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其余06151)(a x p aP{2-≤a 或 2≥a }= 5451}6P{262==≤≤⎰dx a2设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=101000)(x x Cx x x p(1) 求常数C (2) P{0.4<X<0.6} (3) 若4.0}|5.0{|=<-a X P ,求a (4) 若}{}{b X P b X P <=>,求b 解 (1) c=2(2) }6.04.0{<<X P =⎰6.04.02xdx 220.60.40.2=-=(3) 4.0}5.05.0{}|5.0{|=+<<+-=<-a X a P a X P 显然 0<0.5- a<x<0.5+a<1 =⎰+-aaxdx 5.05.024.0)5.0()5.0(22=--+=a a2.0=⇒a(4) }{}{b X P b X P <=> 显然 0<b<15.02}{0==<⎰bxdx b X P 22=b 3 已知)4,5.1(~N X 求 (1)}5.3{<X P , (2)}5.35.2{<<X P (3) {3}P X ≥ （4）}3|{|<X P解 (1) 8413.0)1()25.15.3(}5.3{=Φ=-Φ=<X P (2) )5.0()1()25.15.2()25.15.3(}5.35.2{Φ-Φ=-Φ--Φ=<<X P1498.06915.08413.0=-=（3）()3 1.5{3}1{3}110.750.22662P X P X -⎛⎫≥=-≥=-Φ=-Φ= ⎪⎝⎭(4) 3 1.53 1.5{||3}()()(0.75)( 2.25)22P X ---<=Φ-Φ=Φ-Φ- 7612.019878.07734.01)25.2()75.0()]25.2(1[)75.0(=-+=-Φ+Φ=Φ--Φ=4设投影仪的寿命X 服从参数为20001=λ的指数分布 (1) 投影仪能正常使用500小时的概率(2) 若投影仪已经正常使用500小时,求它还能至少使用500小时的概率解 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-02000100)(20001x e x x x ϕ记号(1) 41200012000150050020001}500{---∞+=∞+-==≥⎰e e dx e X P x x(2) 记}500{≥=X A }1000{≥=X B )()()()()|(A P B P A P AB P A B P ==2120001200011000100020001}1000{)(---∞+=∞+-==≥=⎰e e dx e X P B P x x414121)()()()()|(---====e e eA PB P A P AB P A B P 5 ),(~2σμN X ,且 975.0}9{=<X P 062.0}2{=<X P求 }6{>X P 解 975.0)9(}9{=-Φ=<σμX P 96.19=-⇒σμ062.0)2(}2{=-Φ=<σμX P 显然02<-σμ062.0)2(1=-Φ-σμ , 938.0)2(=-Φσμ 54.12=-⇒σμ 2=σ 08.5=μ6772.0)46.0()208.56()6(}6{=Φ=-Φ=-Φ=<σμX P 3228.0}6{=>X P6 设最高洪水水位X 有概率密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1210)(3x x x x f今要修建河堤能防100年一遇的洪水(即:遇到的概率不超过0.01),河堤至少要修多高?解 设河堤至少要修H 米 则 01.012}{23≤==>⎰+∞H dx x H X P H10≥⇒H第7次1 X -12 4 P41 21 41求X 解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=414243214110)(x x x x x F2设随机变量X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≥+-<=-0)1(100)(x ex x x F x求 (1) 概率密度函数 (2) (1)}1{≤X P , (3)}12{≤≤-X P解 (1) ⎩⎨⎧≥<=-000)(x xex x f x(2) 121)1(}1{--==≤e F X P(3) 121)2()1(}12{--=--=≤≤-e F F X P3设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<=202121000)(x x x x x x x p(1) 求X 的分布函数F(x),并绘图 (2) )21(F )23(F （3）{1 1.5}P X -<< 解 注意F(x)连续且1)(,0)(=+∞=-∞F F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤<=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<≤+<==⎰2121121210210022121210210)()(22332221x x x x x x x x c x c x x x c x x c dx x p x F81)21(=F 87)23(=F 7{1 1.5}8P X -<<= 4求下列随机变量的分布律（１）||1X Y = （２） )2cos(2π+=X Y5 设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=31323212314110)(x x x x x F求 X 的分布律 解6设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0)1(200)(2x x x x p π求X Y ln =的概率密度解法一 )(}{}{ln }{)(yX y Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=)1(2)(])([)()(2yyyyX yX Y Y e e e e p e F y F y p +=•='='=π )(+∞<<-∞y解法二 x y ln = 单调上升 ，其反函数为y e x = )(+∞<<-∞y ， ye x =')1(2)()(2yyyyX Y e e e e p y p +=•=π )(+∞<<-∞y 第10次1求（１）)1(+-X E （２）)(2X E解 （1）)1(+-X E 1+-=EX 321)4121211615.0610311(=+•+•+•+•+•--= （2）)(2X E 2435412121161)5.0(61031)1(22222=•+•+•+•+•-= 2设随机变量X 的概率密度为 )(21)(||+∞<<-∞=-x e x p x ,求（１）EX （２） )(2X E解 021||==⎰+∞∞--dx e x EX x202221202||22=∞+---===---∞+-∞+∞--⎰⎰x x x x x e xe e x dx e x dx e x EX3设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=414040)(x x xx x F求 （１）EX （２） )53(+X E解 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4040410)(x x x x f 24140==⎰dx x EX )53(+X E 1153=+=EX4 对圆的直径作测量,设其值均匀地分布在区间[a,b]内,求圆面积的期望解 X-----直径 则X~U[a, b])(12)(31)(414)2(33322a b a b a b x a b dx a b x X E ES b a --=•-=-==⎰ππππ 5 按规定某车站每天8:00---9:00, 9:00---10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,(1) 旅客8:00到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解则344.0=⨯（分）(2)8.3008.09008.0=⨯+（分）第11次1 求（１）)(X D - （２）)32(+X D解 4.22.044.031.022.011.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX4.72.044.031.022.011.00222222=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX 64.1)(22=-=EX EX DX64.1)(==-DX X D 56.64)32(==+DX X D2设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其余020cos )(πx x k x p ,求（１）?=k （２） }30{π<<x P （２） EX ,DX（3） )23(+X E )23(+-X D解 (1)102sin cos 20==⎰ππx k xdx k 1=⇒k (2) 2303sin cos }30{30===<<⎰πππx xdx x P(3) 1202cos sin cos 20-=+==⎰πππx x x xdx x EX2402cos sin cos 22022-=+==⎰πππx x x xdx x EX3)12(24)(2222-=---=-=πππEX EX DX（3） 12323)23(-=+=+πEX X E 2799)23(-==+-πDX X D3设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}求 ,EX ,DX 解 }2{}1{===X P X P !2!12λλλλ--=e e 2=⇒λ2=EX , 2=DX4 设随机变量)9,2(~N X 求 X Y 3=的概率密度函数 解 )9,2(~N X 则X Y 3=也是正态分布,且 EY=6 DY=81即)9,6(~32N X Y = 29621291)(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴y Y e y f π5 设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<<=其余04220)(x b cx x axx p ,已知2=EX ,43}31{=<<X P 求??,?,===c b a 解 2356638)(4220=++=++=⎰⎰c b a dx b cx x xaxdx EX (1)432523)(}31{3221=++=++=<<⎰⎰c b a dx b cx axdx X P (2)16223)()(4221=++=++=⎰⎰⎰+∞∞-c b a dx b cx axdx x p (3)11,1,44a b c ===-。