奇函数与偶函数基本性质
函数的性质之奇偶性
函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义1．偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质：1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-7设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇题型体系一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x xx f +=1总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
函数的奇偶性的判断和证明
函数的奇偶性的判断和证明一、函数的奇偶性的定义对于函数 f(x) ，其定义域 D 关于原点对称，如果 x D,恒有 f( x) f ( x) ，那么函数 f(x)为奇函数；如果 x D,恒有 f( x) f (x) ，那么函数 f (x)为偶函数 . 二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、 奇函数在原点有定义时，必有f(0) 0.三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法 .1 、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果 函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f( x)和 f (x)的关系，如果有 f( x)=f (x)， 则函数是偶函数，如果有 f ( x) 2、和差判别法=- f (x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .对于函数定义域内的任意一个x ，若f( x) f(x) 0，则 f(x) 是奇函数；若f(x) f ( x)0 ，则 f (x) 是偶函数 .3、 作商判别法对于函数定义域内任意一个 x ，设 f ( x) 0，若f (x)1，则 f(x) 是奇函数，f (x) 1，则 f(x)f( x)f ( x)是偶函数解题步骤首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非 偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f ( x) 和 f(x)的关 系，如果有 f( x)= f (x) ，则函数是偶函数，如果有 f( x)=- f ( x) ，则函数是奇函数，否 则是非奇非偶函数 .例 1】判断下列函数的奇偶性②令 x 0，则 f (y) f( y) 2f (0) f (y)2) f (x)2lg(1 x 2) x22点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则 函数是非奇非偶函数 . (2) 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件 . (3)函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式 .第 2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简 .例 2】定义在实数集上的函数f (x) ，对任意 x 、y R ，有 f(x y) f(x y) 2f (x) f(y)且 f (0) 0①证： f (0) 1 ②求证： y f (x)是偶函数解析】证明：①令 x y 0，则 f (0) f (0) 2[ f (0)] 2f (0) 0 ∴ f(0) 1∴ f ( y) f (y)1) f (x) (1 x)1x 1x∴ y f (x) 是偶函数【点评】 对于抽象函数的奇偶性的判断， 和具体函数的判断方法一样， 不同的是， 由于它是抽象函数， 所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如 0、-1、1等. 学科 * 网【例 3】判断函数f (x)x x (x 0)的奇偶性x 2x (x 0)【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函 数，所以要分类讨论 . (2)注意，当 x 0时，求 f ( x) 要代入下面的解析式，因为 x 0, 不是还代入上 面一段的解析式 .1)证明函数 f (x)是奇函数；(2)讨论函数 f(x)在区间 [ 1,1]上的单调性；3)设 f(1) 1 ，若 f (x) m 22am 1，对所有 x [ 1,1]， a [ 1,1]恒成立，求实数 m 的取值范 围.反馈检测 1】已知 f(x)2x 1 2x 11)判断 f(x) 的奇偶性； 2)求 f(x) 的值域．反馈检测 2】已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1] ，若对于任意的 x,y [ 1,1]，都有f (x y) f(x)f (y)，且 x 0时，有 f (x) 0.例 4】判断函数 f(x) lg(x x 1) 的奇偶性 .【点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差 判别法可以化繁为简，简捷高效 .【反馈检测 3】已知函数 f(x) log a x 2(a 0且a 1).ax 2(1)求 f (x)的定义域； (2)判定 f (x)的奇偶性；3)是否存在实数 a ，使得 f (x)的定义域为 [ m,n ]时，值域为 [log an数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由xx例 5】判断函数 g(x)x xx的奇偶性 .2x1 2x x x 0，所以 g( x) g(x) ，所以g(x)是偶函数 .点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效1, log a m 1] ？若存在，求出实解析】由题得 x 0 ，因为 g( x) g(x)xx2 x 1 2 xx 2x 1 2x(2x 1)2x 1a1例 6】 证明函数 f (x) x (a 0， a 1)是奇函数 .ax 1【点评】 作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 判别法可以化繁为简，简捷高效 .参考答案反馈检测 1答案】(1)奇函数；(2){y| 1 y 1} ．但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用作商奇函数；( 2)单调递增函数；( 3)m 2或 m 2.令x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) ，所以 f (0) 0 ， 令y x 可得：f (0) f (x) f( x) 0, 所以 f ( x)f (x) ，所以 f (x)为奇函数(2)f (x) 是定义在 ［1,1］上的奇函数，由题意设 1 x 1x 2 1，则f(x 2) f (x 1) f (x 2) f ( x 1) f (x 2 x 1)由题意x 0时，有 f(x) 0， f(x 2) f (x 1)反馈检测 2 详细解析】 1)因为有 f (x y) f (x) f(y) ， f (x) 是在 ［ 1,1］上为单调递增函数；反馈检测 2 答案】( 1)3)因为 f (x)在 ［ 1,1］上为单调递增函数，所以 f (x)在［ 1,1］上的最大值为 f (1) 1，2所以要使 f (x) <m 22am 1，对所有x [ 1,1],a [ 1,1] 恒成立，22只要 m 2 2am 1 1 ，即 m 2 2am0，22令 g(a) m 2am 2am m2 由g( 1) 0 得2m m 2 g(1) 0 2mm 2m 2或 m 2.反馈检测 3 答案】(1)定义域为 (2) (2, )；(2)f (x) 在定义域上为奇函数； ( 3)a (0,3 2 2)2) .x2即m、n是方程log a log a x 1的两个实根，于是问题转化成关于x的方程x22ax2 (2a 1)x 2 0在(2, ) 上有两个不同的实数解令g(x)ax2(2a1)x2, 则有：322 3 2 2(2a1)28a0a或a222a 11 3 2 2 2a0 a 又0 a 1 2a62g(2) 8a 0a0故存在这样的实数a(0,3222) 符合题意.2。
新高考A版讲义：第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性
第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。
函数的奇偶性与单调性
函数的奇偶性与单调性一、基本概念(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。
()()()(),x D f x f x f x f x ∈-=-=-任意则为偶函数；若，则为奇函数。
变式：()()()()()()0;10f x f x f x f x f x --±==±=的情况单独验证(整体性质)(2)函数的单调性：(局部性质)()()()()()12121212,,,x x D x x f x fx f x D f x fx D ∈<<>任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。
()()()()1212121200f x f x fx f x D D x x x x --><--变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。
y f x ±±⨯⨯⨯±=注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()113.复合函数奇偶性与单调性的结论：()()()()()()(),,y fx y g x y g x y f x yf g x y fx y g x =====⎡⎤⎣⎦==的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。
内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。
内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。
(3)函数的凹凸性(局部性质)：()[]()()()[]()[]()121212,,,,,,22,f x f x x x y f x x a b x x f y f x a b a b ++⎛⎫=∈≠<= ⎪⎝⎭若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。
《函数的基本性质》知识点总结
《函数的基本性质》知识点总结
〔2〕利用定义推断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并推断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
1.奇偶性
③作出相应结论：
〔1〕定义：假如对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=－
留意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部 性质； ②必需是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2 时，总 有 f(x1)f(x2)。 〔2〕假如函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就 说函数 y=f(x)在这一区间具有〔严格的〕单调性，区间 D 叫做 y=f(x) 的`单调区间。 〔3〕设复合函数 y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定 义域的某个区间，B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增
∈R，均有 f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求 f(2021)的值.
魏
第x)满足 f(x2)f(x2)，若 f(x)在[2,0]上 递增，则〔 〕
A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不对 5.商量函数 f(x)x1 的单调性。 6.已知奇函数 f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若 f(m1)f(2m1)0， 求实数 m 的取值范围。 7. 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 N ， 且 对 任 意 正 整 数 x ， 都 有 f(x)f(x1)f(x1)。若 f(0)2021，求 f(2021)。 习题：
A．a3b0B.a3b0 22C．a3b0 2D．a3b1 2 4.函数 f(x)3ax2b2a,x[1,1],若 f(x)1 恒成立，则 b 的最小值为 。 5.已知偶函数 f(x)在(0，+∞)上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 f［log2(x2+5x+4)］≥0。 题型六：周期问题 1.奇函数 f(x)以 3 为最小正周期，f(1)3，则 f(47)为( ) A.3B.6C.-3 D.-6 2.设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调 递增，且 y=f(x)的图象关于直线 x =3 对称，则下面正确的结论是() A.f(1.5)f(3.5)f(6.5) B.f(3.5)f(1.5)f(6.5) C.f(6.5)f(3.5)f(1.5) D.f(3.5)f(6.5)f(1.5) x3.已知 fx 为偶函数,且 f2xf2x,当 2x0 时,fx2,则 f2021 〔〕 A．2021 B．4C．4 D． 1 4 4.设 f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x，则
高中数学函数的奇偶性
(x 1) (| x | 1) . (x 1)
解：
(1)∵4
x2
0 ,
| x 3 | 3
∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
f (x) 4 x2 4 x2 . x33 x
又f (x)
4 (x)2
4 x2 ,
谢谢大家
x
x
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(2)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1, ∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1, ∴f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.
f (x) f (x) f (x) 奇函数；
（4）等价性：f (x) f (x) f (x) f (x) 0
f (x) f (x) f (x) f (x) 0
二、利用定义判断函数奇偶性的一般步骤:
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若 不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数； ③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。
函数的奇偶性
函数的奇偶性一、定义1、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是偶函数。
2、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是奇函数。
二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个x 都必须成立；3、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f5、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称；6、奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇7、一次函数为奇函数⇔ ；二次函数为奇函数⇔8、奇偶性与单调性 奇函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相同；偶函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相反应用一：奇偶性的理解例1、下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数当且仅当(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数一定是0)(=x f )(R x ∈ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例2、对于定义在R 上的函数，下列说法正确的有 。
（1）f （x ）为偶函数，则)2()2(f f =-。
（2）（2）)2()2(f f =-，则f （x ）为偶函数。
（3）),2()2(f f ≠-则f （x ）不为偶函数。
（4）)2()2(f f =-，则f （x ）不为奇函数。
（5）既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x y ∈=,0。
（6）()y f x =在]83,[+a a 上是奇函数，则2-=a 。
例3、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
1、 若函数为奇函数或偶函数，则其定义域关于原点对称。
（ ）2、 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
《函数的基本性质》知识点总结
《函数的基本性质》知识点总结《函数的基本性质》知识点总结「篇一」《函数的基本性质》知识点总结基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
函数的奇偶性单调性最值
x1 x2 0, x1 1 0, x2 1 0.
x1 x2
0,
x1 1 x2 1
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故函数f(x)= x 1 在［-1,+∞）上为增函数.
探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或
证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义
2(x2 x1) 0, (x1 1)( x2 1)
即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).
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故 f (x) 2 在（-1，+∞）上为减函数.
x 1
（2）函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数，
证明如下：
任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,
则f(x1)-f(x2)=(x21 2x1 1) (x22 2x2 1)
(x22 x21) 2(x1 x2) =(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)
=(x2-x1)(x2+x1-2).
∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为①__③____.
解析 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推
出函数y=f（x）为增函数.
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单调性性质规律总结:
若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上： (1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数
奇偶函数的性质及其应用
奇偶函数的性质及其应用Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0）对称；d.若0∈d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为.解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。
故首选f（0）=0，若0埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。
热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x （1+x）求出函数的解析式。
函数奇偶性经典总结
,函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，那么函数f(x)就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任一个x，都有f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0，那么函数f(x)就叫做奇函数。
注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(-x)=±f(x)之一是否成立。
（2）在判断f(x)与f(-x)的关系时，只需验证f(-x)±f(x)=0及可来确定函数的奇偶性。
题型一判断下列函数的奇偶性。
f(-x)f(x)=±1是否成立即f(x)=x+1x⑴f(x)=x2+x，（2）f(x)=x3-x（3）f(x)=x x2+1G(x)=f(x)-f(-x)x∈R(4)(5)f(x)=x cos x(6)f(x)=x sin x(7)f(x)=2x-2-x，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（2）常见的奇函数有：f(x)=x，f(x)=x3，f(x)=sin x，（3）常见的奇函数有：f(x)=x2，f(x)=x，f(x)=cos x f(x)=1x（4）若f(x)、g(x)都是偶函数,那么在f(x)与g(x)的公共定义域上，f(x)+g(x)为偶函数，f (x)-g(x)为偶函数。
当g(x)≠0时，f(x)g(x)为偶函数。
（5）若f(x)，g(x)都是奇函数，那么在f(x)与g(x)的公共定义域上，f(x)+g(x)是奇函数，f (x)-g(x)是奇函数，f(x)⋅g(x)是偶函数，当g(x)≠0时，f(x)g(x)是偶函数。
( （6）常函数 f (x ) = c (c 为常数 )是偶函数， f (x ) = 0 既是偶函数又是奇函数。
奇偶函数的性质及其应用
奇偶函数的性质及其应用 Prepared on 22 November 2020奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0）对称；d.若0∈d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为 .解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f （x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值. 解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。
故首选f（0）=0，若0埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。
热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f （x）=x（1+x）求出函数的解析式。
函数奇偶性
函数奇偶性一、主要知识：1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．二、主要方法：1. 判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； 图象法；性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，奇±偶＝非奇非偶；（同不变，异为非。
） 奇×÷奇＝偶，偶⨯÷偶=偶，奇⨯÷偶=奇；（奇为负，偶为正。
） 复合函数奇偶性；（一偶则偶，同奇则奇。
）②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．例1.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R)B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.例2.下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析]y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.例3.(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.例4.(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.例5.(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.例6.(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．例7.(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A．0 B．2C．4 D．不能确定[答案] C[解析]∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.例8.定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝2⊗x(x⊕2)－2() A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析]f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.例9.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．∴b <a <c .故选C.例10.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析]由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，例11.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析]∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x <1，∴－1<x <0，故选A.例12.(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A [解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x＋log 22＋x2－x ＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例13.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案] C[解析] ∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，故选C.例14.(文)已知f (x )＝⎩⎨⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2 [解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2.例15.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.例16.(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.例17.(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.例18.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析]∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.例19.(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析]∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg(a ＋2)x ＋a1＋x为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．例19.(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.例20.(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1.∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解．∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3.(2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2.∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13. ∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值． 又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.例21.(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2，∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0.例22.(文)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析](1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a ＝0， 解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y， 由2x >0知1＋y 1－y>0， ∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x －2. 即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0.例23.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0.[解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .①因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .②又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3.从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3.由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0.因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c＝a (m ＋n )(m －n )>0.若m <0，则n >0.同理可得F (m )＋F (n )>0.综上可知F (m )＋F (n )>0.例24.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xy yx ++1),试证明：(1) f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xy y x ++1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21x xx --)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(21121x x x x --)∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴12121x x x x -->0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f(21121x x x x --)<0即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.例25.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a 的单调递减区间.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a －23)2－45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a<3,得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理1． 函数的奇偶性2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√)(5)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．(√)2．(2014·太原模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝|log 2x |D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析 函数y ＝x 3是奇函数，排除A ；函数y ＝|log 2x |既不是奇函数，也不是偶函数，排除C ；当x ＞0时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x单调递减，排除D ；函数y ＝|x |＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选B.答案 B 3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析 依题意得对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此， f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－[f (x )·g (x )]，f (x )g (x )是奇函数，A 错；|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )，|f (x )|g (x )是偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－[f (x )|g (x )|]，f (x )|g (x )|是奇函数，C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，|f (x )g (x )|是偶函数，D 错．答案 C4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 015)＝－2.答案 A5．(人教A 必修1P39A6改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．解析 当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，∴f (x )＝x (1－x )．答案 x (1－x )考点一 函数奇偶性的判断及其应用【例1】 (1)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝( )A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 12＝0，因此f (lg 2)＋f ⎝⎛⎫lg 12＝2.答案 C (2)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)；②f (x )＝(1－x )1＋x 1－x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1 （x ＞0），x 2＋2x －1 （x ＜0）； ④f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. 解 ①∵x 2＋1＞|x |≥0，∴函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )lg(－x ＋（－x ）2＋1) ＝－x lg(x 2＋1－x )＝x lg(x 2＋1＋x )＝f (x )．即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．②当且仅当1＋x 1－x≥0时函数有意义，∴－1≤x ＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数． ③函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数．④∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3⇒－2≤x ≤2且x ≠0，∴函数的定义域关于原点对称．∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， 又f (－x )＝4－（－x ）2－x＝－4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数． 规律方法 判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 (1)(2015·郑州质量预测)下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( )A ．y ＝log 2|x |B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x －2－x 2 D ．y ＝log 22－x 2＋x (2)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________． 解析 (1)对于A ，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1，2)上是增函数；对于B ，函数y ＝cos 2x 在区间(1，2)上不是增函数；对于C ，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于D ，函数y ＝log 22－x 2＋x 不是偶函数，故选A.(2)∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k ，∴f (－x )＋f (x )＝（k －2x ）（2x ＋k ）＋（k ·2x －1）·（1＋k ·2x ）（1＋k ·2x ）（2x ＋k ） ＝（k 2－1）（22x ＋1）（1＋k ·2x ）（2x ＋k ）.由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1.答案 (1)A (2)±1 考点二 函数周期性的应用【例2】 (1)(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________．解析 (1)∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. (2)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5.答案 (1)A (2)2.5规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．【训练2】 (1)(2014·长春一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0，1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 126)的值为( )A ．－52 B ．－5 C ．－12D ．－6 (2)(2015·雅安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于( )A ．335 B ．336 C ．1 678 D ．2 012解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数．(2)利用函数的周期性和函数值的求法求解．∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336.答案 (1)C (2)B考点三 函数性质的综合应用【例3】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)(2)(2014·新课标全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．解析 (1)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0，2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2，2]上是增函数，∴f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．(2)因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.答案 (1)D (2)3【训练3】 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0，2] 深度思考 你知道奇偶性与单调性的关系了吗(奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反)？在解决有关偶函数问题时，常利用f (x )＝f (|x |)这一结论进行转化．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，又因为log 12a ＝－log 2a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2.答案 C 基础巩固题组1．(2014·重庆卷)下列函数为偶函数的是 A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－x D ．f (x )＝2x ＋2－x 解析 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.答案 D2．(2014·乌鲁木齐诊断)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析 由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A. 答案 A3．(2014·湖南卷)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.答案 C4．(2014·福建统一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值范围是 A ．(0，1) B ．(1，10)C ．(1，＋∞) D ．(10，＋∞)解析 依题意，函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0，不等式f (lg x )＜0＝f (0)等价于lg x ＜0，故0＜x ＜1，故选A.答案 A5．(2015·天水一模)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为 A ．2 B ．0 C ．－2 D ．±2解析 ∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 014)＝f (2)＝2.答案 A6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________．解析 ∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案 －－x －17．(2014·湖南卷)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．解析 由题意知，f (x )的定义域为R ，所以f (－1)＝f (1)，从而有ln(e 3＋1)＋a ＝ln(e －3＋1)－a ，解得a ＝－32.答案 －328．(2014·四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝___．解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.答案 19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]． 10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2，4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0，2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.。
常见函数的奇偶性
③若在x=0处有意义，则 f (0) 0
2.偶函数
对 f (x)定义域内的任意x, 都有 f (-x) f (x)
偶函数性质： ① f (-x) f (x)
②图象关于y轴对称；
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3.判断函数奇偶性的步骤：
⑴.判断 f (x)定义域是否关于原点对称，若定
义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数；若 定义域关于原点对称，则进行第⑵步；
5.对数函数f (x) logax(a 0且a 1) 非奇非偶函数
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6.二次函数y ax2 bx c（a 0）
（1）b 0,c 0 偶函数
（2）b 0,c 0 偶函数
（3）b 0, c 0 非奇非偶函数
（4）b 0,c 0 非奇非偶函数
综上，当b 0时，二次函数y ax2 bx c（a 0）为偶函数；
当b 0时，为非奇非偶函数；
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7.三角函数
⑴.正弦函数 f (x) sin x
奇函数
⑵.余弦函数 f (x) cos x 偶函数
⑶.正切函数 f (x) tan x 奇函数
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奇函数既奇又偶函数非奇非偶函数偶函数常见函数的奇偶性奇函数对数函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数bxax偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数为偶函数
常见函数的奇偶性
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复习 1.奇函数
对 f (x)定义域内的任意x, 都有 f (-x) f (x)
奇函数性质：① f (-x) f (x)
⑵.判断 f (x)与 f (-x)的关系；
① f (-x) f (x) ，且f (-x) f (x) 奇函数
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基本性质
•唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x，f(x)=0)。
•通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x2。
•两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。
•两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。
•两个偶函数的乘积为一个偶函数。
•两个奇函数的乘积为一个偶函数。
•一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。
•两个偶函数的商为一个偶函数。
•两个奇函数的商为一个偶函数。
•一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。
•一个偶函数的导数为一个奇函数。
•一个奇函数的导数为一个偶函数。
•两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。
•一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数。
这么记吧
（1）+ ：奇+奇= 奇偶+偶=偶
（2）X ：奇X奇= 偶偶X偶=偶
奇X偶= 奇k奇=奇k偶=偶(K=常数)
（3）/(除)：1/奇=奇（所以奇/奇=偶=奇X 1/奇=偶函数1/偶=偶（所以偶/偶=偶=偶X 1/偶=偶函数再所以偶/奇=奇可以理解为偶X 1/奇= 奇（4）导数：奇'（导数）=偶偶'（导数）=奇
（5）复合函数2奇复合成奇函数，2偶复合成偶函数（这个记法跟着加法记）1偶1奇复合成偶。