2019年上海市高三二模数学填选难题及解析

2019年上海市高三二模数学填选难题解析

2019-04-15

1. 宝山

11. 已知无穷等比数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅各项的和为92，且22a =-，若49

||102

n S --<， 则n 的最小值为

【解析】10. 根据题意，0||1q <<，

1912a q =-，12a q =-，解得1

3

q =-，16a =， ∴1(1)91[1()]123n n n a q S q -=

=---，∴49911

||()22310

n n S -=⨯<，且n ∈*N ，∴10n ≥， 即n 的最小值为10.

12. 在线段12A A 的两端点各置一个光源，已知1A 、2A 光源的发光强度之比为1:2，则该线段上光照度最小的一点到1A 、2A 的距离之比为 （光学定律：P 点的光照度与P 到光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）

【解析】31:2. 设1PA a =，2PA b =，不妨设线段12A A 定长为d ，1A 光源的发光强度为定值1，则2A 光源的发光强度为2，即转化为“已知a b d +=，当22

12

a b +

取得最小值时，求

a

b

的值”，∵3221133a a a a a a ++≥⋅⋅⋅=，332222332b b b b b b ++≥⋅⋅⋅=，两不等式

相加，即3221222332a b a b +++≥+，∵a b d +=，∴32212

3322d a b +≥+-，当且仅

当21a a =，22

b b

=时等号成立，即1a =，32b =，∴距离之比为31:2. 16. 设向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，且22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ） A. 向量v 与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关） B. u v ⋅的最大值为2 C. u 与v 夹角的最大值为34

π

D. ad bc -的最大值为1

【解析】选B. 结合空间直角坐标系，u 、v 向量如图，由题意，u OU =，v OV =，图中 圆柱底面半径为1，高为1. A 选项，4

VOz π

∠=

，即v 与z 轴正方向夹角为

4

π

，正确； B 选项，结合投影的几何意义，2

||1u v u ⋅≤=，即u v ⋅的最大值为1，∴B 选项错误；

C 选项，VOU ∠最大值为

34π，正确；D 选项，∵111||222

V OU S ad bc OV OU ''=-≤⋅⋅=， ∴1ad bc -≤，正确；综上所述，选B.

2. 杨浦

11. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为

【解析】4

5

. 方法一：如左图构造，GA GB ⊥，根据题意，AA '、BB '均为中线，设1GA '=，

GB t '=，作CD BD ⊥，∴△AGB '与△CDB '全等，∴2CD =，DB t '=，4BD t =， ∴2tan tan 333

tan tan()1tan tan 222/24

BCD B CD t C BCD B CD BCD B CD t t t '∠-∠'=∠-∠=

==≤

'+∠∠++， ∴tan C 的最大值为3

4

，即cos C 的最小值为45.

方法二：如右图构造，GA GB ⊥，点G 在以AB 中点O 为圆心的圆上，不妨设半径为1， 则3CO =，要求cos C 的最小值，即求C ∠的最大值，很明显CO AB ⊥时，C ∠会最大， 此时1tan

23C =，∴3

tan 4

C =，即4cos 5C =. 12. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列； 这样的不同函数()f x 的个数为

【解析】155. 根据题意，当n 为奇数，()f n 也为奇数，当n 为偶数，()f n 也为偶数，且

()f n n ≤，因为2(12)(6)f f =，∴(12)f 只能为平方数4，∴(6)2f =±.

① (1)1f =，(6)2f =，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有2步1-、3步1+，

(6)(12)f f →的六步中有2步1-、4步1+，∴()f x 的个数为2256150C C =；

② (1)1f =，(6)2f =-，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有4步1-、1步1+，

(6)(12)f f →的六步中有0步1-、6步1+，∴()f x 的个数为40565C C =；

综上所述，这样的不同函数()f x 的个数为1505155+=个

16. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且7

cos 8

A =

，I 为△ABC 内 部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若AI x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A.

54 B. 1

2

C. 56

D. 45

【解析】选D. ∵()()a AI bIB cIC b IA AB c IA AC bIA cIA bAB cAC =+=+++=+++， ∴()a b c AI bAB cAC ++=+，即b c AI AB AC a b c a b c =

+++++，∴b c

x y a b c

++=

++， 由余弦定理：2

2

2

2

2

15

2cos ()4

a b c bc A a b c bc =+-⇒=+-，∵2()4b c bc +≤，

∴2221511()()()4164a b c bc b c a b c =+-≥+⇒≥+，∴4

5

x y +≤，故选D.

3. 奉贤

11. 实系数一元二次方程210ax bx ++=(0)ab ≠的两个虚根1z 、2z ，1z 的实部1Re()0z <，

则1

2

20212020292020m m m z z +--的模等于1，则实数m =

【解析】2. 设1i z x y =+，x ∈R ，y ∈R ，且0x <，则2i z x y =-，

∴1220212020202120202020i

2920202920202020i

m m m m m m z x y z x y +-+--=--+，其模为1，

即20212020292020m m m x x +-=-或20212020202029m m m x x +-=-（由0x <舍）， ∴202129m m m +=，用计算器可求出2m =.

12. 设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含

B 、

C 两个端点），2

3

BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，

x y xy ++的取值范围为

【解析】[1,3]. 以A 为原点，AB 为x 正半轴建立平面直角坐标系，∴(1,0)AB =，

13(,)22AC =-，设(cos ,sin )P θθ，2[0,]3

π

θ∈，13(,)22AP xAB y AC x y y =+=-，

∴1

cos 2

x y θ-=，3sin 2y θ=，即23sin 3y θ=，3cos sin 3x θθ=+， ∴31121cos 3sin sin 2cos22sin()sin(2)3336363

x y xy ππθθθθθθ++=++-+=++-+ ∵1sin()6y πθ=+和2sin(2)6y πθ=-均在[0,]3π上单调递增，在2[,

]33

ππ

上单调递减， 且3x π=为两个三角函数的对称轴，∴0θ=或23π时，min ()1x y xy ++=，3πθ=时，

max ()3x y xy ++=，∴x y xy ++的取值范围为[1,3].