反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数:
概念:把正弦函数,时得反函数,成为反正弦函数，记作、
,不存在反函数、
含义:表示一个角;角;、
其中:
（１). 符号arcsｉn x可以理解为[-,]上得一个角(弧度),也可以理解为区间［-,]上得一个实数;同样符号arccos x可以理解为［0,π]上得一个角(弧度)，也可以理解为区间[0,π]上得一个实数;
(2)．ｙ＝ａrcsin x等价于siｎy=x, y∈［-,],ｙ=arcｃos x等价于cos y=x, x∈［0，π]，这两个等价关系就是解反三角函数问题得主要依据;
(３).恒等式ｓｉn(arｃsiｎx)=ｘ, ｘ∈[-１，1］，cos（aｒcｃos x)＝ｘ, x∈[-1，1],
ａrｃsin(siｎx)=x，x∈[-,]，ａｒccos(coｓx）=x, ｘ∈［0, π]得运用得条件;
(4）. 恒等式arcsiｎｘ+aｒcｃos x＝，arcｔan x+arccoｔx=得应用。

2
其中:
(1)．含有未知数得三角函数得方程叫做三角方程。

解三角方程就就是确定三角方程就是否有解,如果有解,求出三角方程得解集; (2）．解最简单得三角方程就是解简单得三角方程得基础，要在理解三角方程得基础上,熟练地写出最简单得三角方程得解;
(3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间得关系在解三角方程中得作用; 如:若,则;若,则;
若,则；若,则;
(4).会用数形结合得思想与函数思想进行含有参数得三角方程得解得情况与讨论。

【例题精讲】
例1、
分析与解:
例4、 函数，，的图象为（）y x x =∈-
⎡⎣⎢⎤⎦⎥arccos(cos )π
π2
2
（A ） （B ）
（C ） （D ）
分析与解:
例５、 函数，，
的值域为（）y x x =∈-arccos(sin )()π
π
3
23
分析与解: 欲求函数值域，需先求，，
的值域。

u x x =∈-
sin ()π
π
3
23
例６、使成立得x 得取值范围就是( )
分析与解:
该题研究不等关系，故需利用函数得单调性进行转化,又因为求x 得取值范围，故需把x 从反三角函数式中分离出来,为此只需对a ｒcsinx ，arcc ｏsx 同时取某一三角函数即可,不妨选用正弦函数。

例7、 []若，则（）022<<
+⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥++=απ
παπαarcsin cos()arccos sin()
分析与解:这就是三角函数得反三角运算,其方法就是把角化到相应得反三角函数得值域内。

arcsin cos()arcsin(sin )arcsin(sin )π
αααα2+⎡⎣
⎢⎤⎦
⎥=-=-=-
例8、 求值:(1） (2) 分析:arcsin()arcsin()sin --
⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-35
2
235表示，上的角，若设，则易得π
παα =-3
5
2，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin α问题得关键
就是能认清三角式得含义及运算次序,利用换元思想转化为三角求值。

解:
例9、知函数
(1)求函数得定义域、值域与单调区间;(2)解不等式：
解:（1）由得 又 ∴得定义域为，值域为
又∵时,单调递减,单调递减,从而递增
∴得单调递增区间就是，同理得单调递减区间就是
(2))]2
12()2
12arccos[()arccos()2
12()(2
2
+-+<-+<x x x x x f x f 即 即
∴ 解不等式组得 ∴不等式得解集为
简单得三角方程
例1、写出下列三角方程得解集 (1); (2）; (3)
解集{x|x=（k π+a ｒctg3)2,k ∈Z ｝ 例2、求方程在上得解集、
说明 如何求在指定区间上得解集?(1)先求出通解,(2)让k 取适当得整数,一一求出在指定区间上得特解,(３)写指定区间上得解. 例3、解方程 解：方程化为
说明 可化为关于某一三角函数得二次方程，然后按二次方程解． 例4、 解方程① ②
②除以c ｏs 2x 化为2t ｇ2ｘ-3tgx-2=0.
说明 关于sinx ，cosx 得齐次方程得解法:方程两边都除cos n ｘ(ｎ=１,2,3，…)(∵ｃos ｘ=０不就是方程得解）,转化为关于tg ｘ得方程来解. 例5、解方程:（1） (2）
思考:引入辅助角,化为最简单得三角方程
２ｘ-３０°=ｋ18０°+(-1)k 30°
∴x=k90°＋（-1）ｋ15°+１5°(k∈Z)所以解集就是
｛x｜x＝k90°＋（-1)k１5°＋15°，k∈Z}
于就是x=ｋ６０°+(-１)ｋ10°+2２°３8′，（k∈Z)
∴原方程得解集为{x|x＝k60°(-1）ｋ10°+22°３8′,ｋ∈Z}
最简单得三角方程.
例6、解方程.
解原方程可化为,
即.
解这个关于得二次方程,得
,．
由，得解集为;
由,得解集为.
所以原方程得解集为.
[说明]方程中得可化为，这样原方程便可瞧成以为未知数得一元二次方程,当时,可用因式分解将原方程转化成两个最简方程,从而求得它们得解.
【拓展提高】
例1、若方程存在实数解，求得取值范围．
解一由原方程,得，
即
解这个以为未知数得一元二次方程,因为
要使方程有解,只需
解得．
所以得取值范围为.
［说明］有关三角方程得实数解问题,不仅要考虑以为未知数得一元二次方程得,而且必须考虑得值在内. 解二由原方程得 ,
得
因为,所以.
所以得取值范围为．
[说明］当方程有解时,必须满足，
则原题就转化为求得最大值、最小值问题.
例２、求方程得解集．
解一由原方程得，
得，.
由,得解集为;
由,得解集为．
所以原方程得解集为.
解二由原方程得,
即
得或,
即或,.
所以原方程得解集为.
解三由原方程得,
即
得或,
即或,.
所以原方程得解集为.
[说明] 由于转化方法得不同,所得解集得表达形式不同,通过验证这些解集就是相等得集合.对于两个相等得同名三角函数所组成得三角方程,可直接利用以下关系得到方程得解.
(1),则或;
(2)，则或；
(3),则.
【巩固练习】
反三角函数
１、得值就是( )
A、Ｂ、C、D、
2、下列关系式中正确得就是( ）
A、B、
C、D、
3、函数得定义域就是（)
A、Ｂ、
Ｃ、D、
4、在上与函数相同得函数就是( )
A、B、C、Ｄ、
5、函数得反函数就是、
6、求在上得反函数、
7、比较与得大小、
8、研究函数得定义域、值域及单调性、
9、计算:
１0、求下列函数得定义域与值域:
(１) y=arccoｓ; (2) ｙ=ａrcsin(－x2＋x); (３）ｙ=arccot（2ｘ-１）,
解:（1)y＝aｒｃｃos, 0<≤1, ∴x≥１, y∈[０，）、
(2）y＝ａrcsｉn(－x2＋x)，-1≤－ｘ2+x≤1,∴≤x≤,
由于-ｘ2＋1＝-(x－)2+, ∴-１≤-x2+x≤, ∴－≤y≤arcsｉn、
(3）y＝arcｃoｔ(２ｘ－1),由于2ｘ-１>－１, ∴0<ａｒｃcoｔ（2x-1）＜, ∴ｘ∈R, ｙ∈（0, )、11、求函数y=(arcｃoｓx)２-3arccｏs x得最值及相应得x得值。

解:函数y=(aｒccos x)２-３arｃcoｓx,x∈[-1, 1］, ａrcｃosｘ∈[0,π]
设arｃｃosｘ＝t，0≤t≤π, ∴y=t２-3t＝(t-)２-，
∴当t=时,即x=cos时, 函数取得最小值-,
当t=π时,即ｘ=-１时，函数取得最大值π2-3π、
简单得三角方程
１、解下列方程、
（1）(2）
(2)５ｘ＝2kπ+3x或５ｘ=2kπ+π－3x
或
2、方程sin2x＝sin x在区间(0, ２π)内得解得个数就是3个、
解:作出函数y=siｎ2x与y＝sinｘ得图象,由图象知,它们得交点有３个。

3、(1) 方程tan３ｘ＝tg x得解集就是{x| ｘ＝kπ, k∈Z｝、
(2) 方程sｉnｘ＋cｏs x＝在区间[0, ４π]上得所有得解得与就是9π、
4、解方程.
解一因为（使得得值不可能满足原方程）,所以在方程得两边同除以,得
.
解关于得二次方程,得
,.
由，得解集为；
由,得解集为.
所以原方程得解集为.。