二面角问题专题学案
高中数学教案二面角
二面角一、素质教育目标(一)知识教学点1.二面角的有关概念.2.二面角的平面角的定义及作法.(二)能力训练点1.利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念;掌握二面角的平面角的定义.2.用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题,进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力.3.通过练习,归纳总结作二面角的平面角的三种方法.(三)德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要,进一步培养学生实践第一的观点.二、教学重点、难点、疑点及解决方法1.教学重点:二面角、二面角的平面角的概念.2.教学难点:如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题.3.教学疑点:二面角的平面角必须满足下列两个条件:一是平面角的顶点必在棱上;二是平面角的两边分别在二面角的两个面内.三、课时安排1课时.四、教与学过程设计(一)二面角师:我们知道,两个平面的位置关系有两种:一种是平行,另一种是相交.两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的.在生产实践中,有许多问题也涉及到两个平面所成的角.如:修筑水坝时,为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度;发射人造地球卫生时,也要根据需要,使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度(图看课本P.39中图1—43),等等.这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的,我们就把这样的“角"叫二面角,那么如何定义二面角呢?阅读课本P.39-40,回答下列问题.师:我们先来回忆:什么是角?如何表示?生:从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形叫做角(如图1-117),表示为∠AOB.师:根据角的定义,我们可以类似地定义二面角.先给出半平面的定义.生:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面(如图1—119).师:那么如何表示二面角呢?生:棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β,如果棱用a表示,则记作二面角α—a—β.师:二面角的画法通常有哪几种?生:第一种是卧式法,也称为平卧式(如图1-120).第二种是立式法,也称为直立式.(二)平面角师:为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨,有必要研究二面角的大小问题.如门和墙所在的平面是相交的,但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上,也就是说两平面虽处于相交的位置关系,但相互之间的位置关系还是应当讨论的.为了表示二面角的大小,我们必须引入平面角的定义.定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.师:二面角的大小可以用它的平面角来度量,即二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.现在我们来思考:问题1:这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理?为什么?生:是合理的.如图1-121,在二面角α—a—β的棱a上任取一点O,在半平面α和β内,从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成∠AOB,在棱上另取任意一点O',按同样的方法作∠A'O'B',因为OA和OA'、OB和OB'都垂直于棱a,所以∠AOB和∠A'O'B'的两边分别平行且方向相同,根据等角定理,得:∠AOB=∠A'O'B',即∠AOB的大小是一定的.由于这个唯一性,从而说明这样定义二面角的平面角是合理的,且与点O在棱上的位置无关.问题2:二面角的平面角必须满足哪几个条件?生:两个条件.一是平面角的顶点必在棱上;二是平面角的两边分别在二面角的两个面内.师:平面角是直角的二面角叫直二面角.在实际生活中,木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时,就是测量这两个角所成二面角的平面角(图见P.40中图1—45).我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°,就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68。
二面角学案
二面角一、基本观点(一).求二面角的主要方法:(1) 定义法:①找(作)二面角的平面角;【先证】②解三角形求出角。
【后算】 (2) 公式法:设二面角的度数为θ,则侧面三角形射影三角形S S =θcos多用于求无棱二面角。
(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键,也是难点,通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种:1.定义法:利用二面角的平面角定义,在二面角棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.2.三垂线法:利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直,找到二面角的平面角,关键在找面的垂线.3.垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.二.求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.例题解析题1: 设P 是二面角α-l -β内一点,P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5,且AB =7,求这个二面角的大小。
题2. 在三棱锥S —ABC 中,∠SAB =∠SAC = ∠ACB =90°,且AC =BC =5,SB =55.(如图9—21)(Ⅰ)证明:SC ⊥BC ;(Ⅱ)求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小;题3.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 是线段EF 的中点。
(1)求证AM //平面BDE ;(2)求二面角A -DF -B 的大小;(3)试在线段AC 上确定一点P ,使得PF 与BC 所成的角是60︒。
题4.如图,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知AB =2,AA 1=22,M 为棱A 1A 上的点,若A 1C ⊥平面MB 1D 1。
(Ⅰ)确定点M 的位置;(Ⅱ)求二面角D 1-MB 1-B 的大小。
《二面角》教学设计
《二面角》教学设计《二面角》教学设计是一节高中几何学的课程设计,旨在帮助学生理解和应用二面角的概念,并能够运用相应的定理解决问题。
以下是本课程设计的详细内容:一、教学目标:1. 知识目标:a. 理解二面角的定义和性质;b. 掌握二面角的度量方法;c. 理解二面角的用途和意义。
2. 能力目标:a. 能够计算二面角的度数;b. 能够判断两个二面角的大小关系;c. 能够运用二面角的性质解决几何问题。
二、教学内容:1. 二面角的定义和性质a. 介绍二面角的概念,强调其是由两个平面夹角而成;b. 解释二面角的度量方法,即以公共边为基准,两侧角度之和;c. 引导学生发现二面角的性质,并进行讨论和解释。
2. 二面角的运用a. 介绍二面角在几何学中的应用和意义;b. 提供一些具体的几何问题,引导学生运用二面角的性质解决问题;c. 练习运用二面角求解实际问题。
三、教学过程:1. 导入(5分钟)a. 给学生展示一些生活中与二面角相关的图像,引起学生的兴趣和思考;b. 提出问题,例如:“你是否注意到平面之间的夹角会有一个度数?”;c. 引导学生自由讨论,了解学生对二面角的初步认识。
2. 知识讲解(15分钟)a. 基于学生的讨论,引导学生逐步理解二面角的定义;b. 讲解二面角的度量方法,并通过几个示例进行说明;c. 向学生介绍二面角的性质,并结合图像进行解释和演示。
3. 知识巩固(20分钟)a. 给学生分发练习题,让他们通过计算度数来加深对二面角的理解;b. 提供一些思考题,要求学生判断两个二面角的大小关系,并给出理由;c. 鼓励学生在小组内讨论,相互交流答案和解题思路。
4. 进一步应用(25分钟)a. 给学生提供一些实际问题,引导他们运用二面角的性质解决问题;b. 鼓励学生多角度思考,并灵活运用二面角的概念;c. 提供个别辅导和帮助,确保每个学生都能够参与到解题过程中。
5. 总结与拓展(10分钟)a. 小结本节课的内容要点,强调二面角的定义、度量和性质;b. 提出一些延伸问题,让学生深入思考和探索;c. 鼓励学生有问必答,激发他们对几何学的兴趣和学习欲望。
二面角的教学设计
二面角的教学设计一、教学目标1.了解二面角的概念和性质;2.掌握计算二面角的方法;3.学会应用二面角解决相关几何问题;4.培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学准备1.PowerPoint课件;2.相关绘图工具;3.教学实例和习题集。
三、教学过程步骤一:导入与激发兴趣(5分钟)通过一组有趣的图形和问题引入二面角的概念,让学生对二面角产生兴趣,激发学习欲望。
例如,可以展示一张图片,上面有一根棍子放在桌子上,然后在桌子上侧视拍摄,让学生观察并推测这种角度有什么特殊的性质。
步骤二:简介二面角的概念和性质(10分钟)在这一部分,通过PPT课件介绍二面角的定义和基本性质。
通过清晰的图示和简洁明了的文字,让学生了解二面角是指两个在一个平面上的直线夹角。
步骤三:计算二面角的方法(20分钟)在这一部分,详细讲解如何计算二面角。
首先,介绍二面角的计算公式,然后通过几个具体的实例来演示计算方法,并与学生一起讨论解题思路和步骤。
步骤四:应用二面角解决相关几何问题(15分钟)通过一些实例题目,让学生应用二面角的知识来解决相关的几何问题。
这些问题既能巩固学生对二面角的理解,又能培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
例如,可以出一道题目:已知两个平面的夹角为60°,求它们的二面角。
步骤五:小结与拓展(10分钟)在这一部分,对本节课的内容进行小结,并与学生一起讨论二面角的应用领域,以及未来学习的方向。
同时,可以给学生布置一些相关的习题作业,巩固所学知识。
步骤六:课堂练习(20分钟)在这一部分,放一些与二面角相关的练习题供学生自主完成,同时教师在课堂上对学生的答题情况进行监督和指导。
步骤七:课堂总结(5分钟)对本节课的内容和学生的表现进行总结,对本节课中存在的问题和不足进行反思。
四、教学评价1.教学进度评价:根据教学计划和实际情况,评价教学进度是否合理,课堂时间是否充分利用。
2.学生学习评价:通过学生的课堂表现、课后作业、练习题的完成情况等,评价学生对二面角教学的掌握程度。
二面角的教案
二面角的教案教案标题:探索二面角的概念与性质一、教学目标:1. 理解二面角的定义和性质。
2. 能够识别和分类不同类型的二面角。
3. 能够应用二面角的概念解决相关问题。
二、教学准备:1. 教学工具:投影仪、白板、黑板、教学PPT等。
2. 教学材料:教科书、练习册、作业本等。
3. 教学资源:相关的图形和模型。
三、教学过程:1. 导入(5分钟)- 利用投影仪或黑板上展示一个二面角的图形,并引导学生观察和描述这个图形的特点。
- 引发学生对二面角的好奇心,提出问题:“你们知道二面角是什么吗?它有什么特点和性质?”2. 知识讲解(15分钟)- 通过教学PPT或黑板,向学生介绍二面角的定义:“在一个平面上,由两条相交的射线所确定的角叫做二面角。
”- 解释二面角的性质:二面角的度数范围是0°到180°,它可以分为锐角、直角和钝角三种类型。
- 通过示例和图形,讲解不同类型二面角的特点和性质。
3. 概念巩固(15分钟)- 让学生通过练习册或作业本上的练习,巩固对二面角概念的理解和应用。
- 引导学生观察和测量不同图形中的二面角,并判断其类型。
- 鼓励学生主动提问和解答问题,加深对二面角的认识。
4. 拓展应用(15分钟)- 利用教学资源或实物模型,让学生探索二面角在现实生活和实际问题中的应用。
- 引导学生思考并解决与二面角相关的问题,如日晷的设计、建筑物的角度等。
- 鼓励学生展示自己的思考和解决问题的方法,促进合作和交流。
5. 总结与评价(5分钟)- 对本节课的重点内容进行总结,并强调二面角的重要性和应用。
- 对学生的学习情况进行评价,鼓励他们积极参与课堂讨论和练习。
- 鼓励学生提出问题和困惑,并给予解答和指导。
四、课后作业:1. 完成练习册或作业本上的相关练习。
2. 设计一个实际生活中的问题,应用二面角的概念解决,并写出解题思路和过程。
五、教学反思:本节课通过引导学生观察、描述和应用的方式,帮助学生理解和掌握二面角的概念与性质。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》教案标题:二面角教学目标:1. 了解二面角的定义及相关概念。
2. 掌握计算二面角的方法。
3. 能够应用二面角的知识解决实际问题。
教学重点:1. 二面角的定义及性质。
2. 二面角的计算方法。
教学难点:1. 掌握二面角的计算方法。
2. 能够灵活运用二面角的知识解决实际问题。
教学准备:教材、教具、多媒体设备教学过程:Step 1 引入新知1. 向学生介绍二面角的概念,引导学生思考如何定义二面角。
2. 给出一个具体例子,让学生观察并猜测如何计算该二面角的大小。
3. 引导学生通过观察得出计算二面角的方法。
Step 2 讲解知识点1. 讲解二面角的定义:二面角是由两个不重合的平面所围成的角。
2. 介绍常见的二面角:直角(90°)、平角(180°)等。
3. 讲解二面角的计算方法:a. 当两个平面为互相垂直的平面时,二面角等于两个平面的夹角。
b. 当两个平面不垂直时,可以通过将这两个平面旋转至相交的情况下计算得出。
Step 3 练习巩固1. 出示一些二面角计算题目,让学生运用所学知识计算出它们的大小。
2. 引导学生分析解题思路,解释计算过程。
Step 4 拓展延伸1. 出示一些实际问题,要求学生运用二面角的知识来解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为计算二面角的问题。
Step 5 总结归纳1. 对本节课所学的二面角的定义和计算方法进行总结归纳。
2. 强调二面角的重要性和应用价值。
Step 6 课堂小结1. 对本节课的主要内容进行回顾。
2. 解答学生提出的疑问。
Step 7 作业布置1. 布置一些计算二面角的练习题,要求学生在家完成。
2. 提醒学生关注实际问题中的二面角应用。
拓展活动:1. 考察学生对二面角的理解,出示一些实际问题,让学生用二面角的知识解决问题。
2. 给学生一些创设问题的任务,要求他们设计一些与二面角相关的实际问题,并解答。
教学反思:本节课通过引入、讲解和练习,让学生逐步掌握了二面角的定义和计算方法,同时能够将二面角的知识应用于实际问题中。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念,掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点:二面角的概念、表示方法及其性质。
难点:二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课(1)引导学生回顾空间几何中的基本概念,如平面、直线、角等。
(2)提出问题:在空间几何中,我们学过角,那么什么是二面角呢?2.二面角的概念及表示方法(1)讲解二面角的概念:由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
(2)讲解二面角的表示方法:用两条相交直线表示,或者用它们所在平面表示。
(3)举例说明:展示一个二面角模型,引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质(1)讲解二面角的性质:二面角的度数范围是0°到180°。
(2)讲解二面角的性质:二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
(3)讲解二面角的性质:二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用(1)讲解二面角的应用:求解空间几何问题。
(2)举例说明:展示一个实际问题,引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论(1)布置练习题:让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
(2)讨论答案:引导学生互相讨论,共同解决问题。
(2)拓展延伸:引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用,使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中,注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论,学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难,需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现:观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况:检查学生作业的完成质量,了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩:通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈:收集学生对本节课教学的意见和建议,以改进教学方法。
学案1:1.2.4 二面角
1.2.4 二面角【新知初探】1.二面角的概念(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分, 都叫做半平面. (2)二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的 , 叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别为α,β的二面角的面,记作 ,若A ∈α,B ∈β,则二面角也可以记作 ,二面角的范围为 .(3)二面角的平面角:在二面角αl β的棱上 ,以O 为垂足,分别在两半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则 叫做二面角αl β的平面角.提醒:二面角的大小等于它的平面角大小,平面角是直角的二面角称为直二面角. 思考:如何找二面角的平面角?2.用空间向量求二面角的大小如果n 1,n 2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ.则θ= 或θ= ,sin θ= .【初试身手】1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二面角的范围是⎣⎡⎦⎤0,π2.( )(2)若二面角αl β的两个半平面的法向量分别为n 1,n 2,则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1,n 2〉一定相等.( )(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量. ( )2.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,二面角A 1BC A 的余弦值为( ) A .12 B .23 C .22 D .333.已知二面角αl β,其中平面α的一个法向量m =(1,0,-1),平面β的一个法向量n =(0,-1,1),则二面角αl β的大小可能为________.4.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,二面角A 1BD C 1的余弦值是________.【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】 如图,设AB 为圆锥PO 的底面直径,P A 为母线,点C 在底面圆周上,若△P AB 是边长为2的正三角形,且CO ⊥AB ,求二面角P AC B 的正弦值.[规律方法]用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理). (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角. (3)解三角形求角. [跟进训练]1.已知矩形ABCD 的两边AB =3,AD =4,P A ⊥平面ABCD ,且P A =45,则二面角A BD P的正切值为________.类型二用向量法求二面角[探究问题]1.构成二面角的平面角有几个要素?2.二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系?【例2】如图所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1OB1D的余弦值.[母题探究]1.(变问法)本例(2)条件不变,求二面角BA1CD的余弦值.2.(变条件、变问法)本例四棱柱中,∠CBA=60°改为∠CBA=90°,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值.[规律方法]利用坐标法求二面角的步骤设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图.用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量n1,n2.(3)计算:求n1与n2所成锐角θ,cos θ=|n1·n2||n1|·|n2|.(4)定值:若二面角为锐角,则为θ;若二面角为钝角,则为π-θ.提醒:确定平面的法向量是关键.类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】如图甲,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2BC=4,过A 点作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.取AD的中点F,连接BF,CF,EF,如图乙.甲乙(1)求证:BC⊥平面DEC;(2)求二面角CBFE的余弦值.[规律方法]1.与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量,再结合向量知识求解相关问题.2.关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题,通常不需要复杂的几何作图、论证、推理,只需先假设结论成立,设出空间的坐标,通过向量的坐标运算进行推断,把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理.[跟进训练]2.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥CB,AD=2CB=4,∠ABC=120°,E为AD的中点,现分别沿BE,EC将△ABE和△ECD折起,使得平面ABE⊥平面BCE,平面ECD⊥平面BCE,连接AD,如图2.图1图2(1)若在平面BCE内存在点G,使得GD∥平面ABE,请问点G的轨迹是什么图形?并说明理由.(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值.【课堂小结】1.学会利用空间向量求二面角与定义法求二面角的方法.2.利用向量法求二面角的基本思想是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量,然后运用向量的运算即可,其次要理清要求角与两个向量夹角之间的关系.【学以致用】1.三棱锥A BCD 中,平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2,若〈n 1,n 2〉=π3,则二面角A BD C 的大小为( )A .π3B .2π3C .π3或2π3D .π6或π32.已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形,且AD =32a ,则二面角A BC D 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .90°3.如图所示,在正四棱锥P ABCD 中,若△P AC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8,则侧面与底面所成的二面角为( )A .π12B .π4C .π6D .π34.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________.5.三棱锥P ABC ,P A =PB =PC =73,AB =10,BC =8,CA =6,求二面角P AC B 的大小.【参考答案】【新知初探】1.二面角的概念 (1)其中的每一部分 (2)两个半平面棱 每个半平面αl βA l B[0,π](3)任取一点O∠AOB思考:[提示] (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点,求解用到的是解三角形的有关知识. (2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面,与两面的交线就构成了平面角.(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角,这种方法最为重要,其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.2.用空间向量求二面角的大小 〈n 1,n 2〉π-〈n 1,n 2〉sin 〈n 1,n 2〉 【初试身手】1.[答案] (1)× (2)× (3)√ [提示] (1)× 不是.是[0,π]. (2)× 不一定.可能相等,也可能互补. (3)√2.C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角,cos ∠A 1BA =AB A 1B =22.]3.60°或120° [cos 〈m ,n 〉=m ·n |m |·|n |=-12·2=-12,∴〈m ,n 〉=120°,∴二面角αl β的大小为60°或120°.] 4.13 [如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, 则D (0,0,0),B (1,1,0),A 1(1,0,1),DA 1→=(1,0,1),DB →=(1,1,0). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1BD 的一个法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→=0,n ·DB →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +z =0,x +y =0,令x =1,则y =-1,z =-1,∴n =(1,-1,-1). 同理,求得平面BC 1D 的一个法向量m =(1,-1,1), 则cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n|=13,所以二面角A 1BD C 1的余弦值为13.] 【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】[解] 如图,取AC 的中点D ,连接OD ,PD ,∵PO ⊥底面,∴PO ⊥AC ,∵OA =OC ,D 为AC 的中点,∴OD ⊥AC , 又PO ∩OD =O ,∴AC ⊥平面POD ,则AC ⊥PD , ∴∠PDO 为二面角P AC B 的平面角. ∵△P AB 是边长为2的正三角形,CO ⊥AB , ∴PO =3,OA =OC =1,OD =22, 则PD =(3)2+⎝⎛⎭⎫222=142.∴sin ∠PDO =PO PD =3142=427,∴二面角P AC B 的正弦值为427.[跟进训练]1.13[过A 作AO ⊥BD ,交BD 于O ,连接PO ,∵矩形ABCD 的两边AB =3,AD =4,P A ⊥平面ABCD ,且P A =45,∴BD =32+42=5,PO ⊥BD ,∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角,∵12×BD ×AO =12×AB ×AD ,∴AO =AB ×AD BD =125, ∴tan ∠POA =P A AO =45125=13,∴二面角A BD P 的正切值为13.]类型二用向量法求二面角[探究问题]1.[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上;(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内;(3)角的两边分别和二面角的棱垂直. 2.[提示]条件平面α,β的法向量分别为u ,v ,α,β所构成的二面角的大小为θ,〈u ,v 〉=φ图形关系 θ=φ θ=π-φ 计算 cos θ=cos φcos θ=-cos φ【例2】[解] (1)证明:因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形,所以CC 1⊥AC ,DD 1⊥BD , 又CC 1∥DD 1∥OO 1,所以OO 1⊥AC ,OO 1⊥BD , 因为AC ∩BD =O ,所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 为菱形,AC ⊥BD , 又O 1O ⊥底面ABCD ,所以OB ,OC ,OO 1两两垂直.如图,以O 为原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.设棱长为2,因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1, 所以O (0,0,0),B 1(3,0,2),C 1(0,1,2), 平面BDD 1B 1的一个法向量为n =(0,1,0), 设平面OC 1B 1的法向量为m =(x ,y ,z ),则由m ⊥OB 1→,m ⊥OC 1→,所以3x +2z =0,y +2z =0, 取z =-3,则x =2,y =23,所以m =(2,23,-3), 所以cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n|=2319=25719.由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角, 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.[母题探究]1.[解] 如图建立空间直角坐标系.设棱长为2,则A 1(0,-1,2),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0). 所以BC →=(-3,1,0),A 1C →=(0,2,-2),CD →=(-3,-1,0). 设平面A 1BC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C →=0,n 1·BC →=0,即⎩⎨⎧2y 1-2z 1=0,-3x 1+y 1=0,取x 1=3,则y 1=z 1=3,故n 1=(3,3,3). 设平面A 1CD 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →=0,n 2·CD →=0,即⎩⎨⎧2y 2-2z 2=0,-3x 2-y 2=0,取x 2=3,则y 2=z 2=-3,故n 2=(3,-3,-3). 所以cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=-1521=-57.由图形可知二面角B A 1C D 的大小为钝角,所以二面角B A 1C D 的余弦值为-57.2.[解] 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,设此棱柱的棱长为1, 则A (0,0,0),B 1(1,0,1),E ⎝⎛⎭⎫1,12,0,D 1(0,1,1),F ⎝⎛⎭⎫12,1,0,AE →=⎝⎛⎭⎫1,12,0,AB 1→=(1,0,1),AF →=⎝⎛⎭⎫12,1,0,AD 1→=(0,1,1). 设平面AB 1E 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→=0,n 1·AE →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1+z 1=0,x 1+12y 1=0, 令y 1=2,则x 1=-1,z 1=1,所以n 1=(-1,2,1). 设平面AD 1F 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AD 1→=0,n 2·AF →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧y 2+z 2=0,12x 2+y 2=0.令x 2=2,则y 2=-1,z 2=1.所以n 2=(2,-1,1).所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为 |n 1·n 2||n 1||n 2|=|(-1,2,1)·(2,-1,1)|(-1)2+22+12·22+(-1)2+12=|(-1)×2+2×(-1)+1×1|6×6=12.类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】[解] (1)证明:如图,∵DE ⊥EC ,DE ⊥AE ,AE ∩EC =E , ∴DE ⊥平面ABCE ,又∵BC ⊂平面ABCE ,∴DE ⊥BC , 又∵BC ⊥EC ,DE ∩EC =E ,∴BC ⊥平面DEC .(2)如图,以点E 为坐标原点,分别以EA ,EC ,ED 为x ,y ,z 轴建立空间坐标系E xyz ,∴E (0,0,0),C (0,2,0),B (2,2,0),D (0,0,2),A (2,0,0),F (1,0,1), 设平面EFB 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),由EF →=(1,0,1),EB →=(2,2,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+z 1=0,2x 1+2y 1=0,∴取x 1=1,得平面EFB 的一个法向量n 1=(1,-1,-1), 设平面BCF 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),由CF →=(1,-2,1),CB →=(2,0,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2=0,x 2-2y 2+z 2=0,∴取y 2=1,得平面BCF 的一个法向量n 2=(0,1,2),设二面角C BF E 的大小为α,则cos α=|n 1·n 2||n 1|·|n 2|=|-1-2|5·3=155.[跟进训练]2.[解] (1)点G 的轨迹是直线MN .理由如下:如图,分别取BC 和CE 的中点N 和M ,连接DM ,MN ,ND ,则MN ∥BE ,又MN ⊄平面BEA ,BE ⊂平面BEA ,∴MN ∥平面BEA ,依题意有△ABE ,△BCE ,△ECD 均为边长为2的正三角形,∴MD ⊥CE , 又平面ECD ⊥平面BCE ,则MD ∥平面BEA , ∴平面NMD ∥平面BEA ,∴点G 的轨迹是直线MN .(2)如图,以点M 为坐标原点,MB 为x 轴,MC 为y 轴,MD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则E (0,-1,0),D (0,0,3),A ⎝⎛⎭⎫32,-12,3,∴EA →=⎝⎛⎭⎫32,12,3,ED →=(0,1,3),设平面AED 的法向量n =(x ,y ,z ), 则⎩⎨⎧n ·ED→=y +3z =0,n ·EA →=32x +12y +3z =0,取x =3,得n =(3,3,-3), 取平面BCE 的一个法向量m =(0,0,1), 则cos 〈n ,m 〉=n ·m |n |·|m |=-55,∴平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为55. 【学以致用】1.C [当二面角A BD C 为锐角时,它等于〈n 1,n 2〉=π3.当二面角A BD C 为钝角时,它应对等于π-〈n 1,n 2〉=π-π3=2π3.]2.C [如图取BC 的中点为E ,连接AE ,DE ,由题意得AE ⊥BC ,DE ⊥BC ,且AE =DE =32a , 又AD =32a ,∴∠AED =60°,即二面角A BC D 的大小为60°.] 3.D [设正四棱锥的底面边长为a ,侧面与底面所成的二面角为θ,高为h ,斜高为h ′,则12×2ah 4×12ah ′=68,∴h h ′=32,∴sin θ=32,即θ=π3.]4.23[建系如图,设正方体的棱长为1, 则D (0,0,0),A 1(1,0,1),E ⎝⎛⎭⎫1,1,12,∴DA 1→=(1,0,1),DE →=⎝⎛⎭⎫1,1,12.设平面A 1ED 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·DA 1→=0,且n ·DE →=0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x +z =0,x +y +12z =0,令x =1,得y =-12,z =-1.∴n =⎝⎛⎭⎫1,-12,-1, 又平面ABCD 的一个法向量为DD 1→=(0,0,1).则cos 〈n ,DD 1→〉=|n ·DD 1→||n ||DD 1→|=23.]5.[解] 如图在三棱锥P ABC 中,P A =PB =PC =73,AB =10,BC =8,CA =6,∴AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形, ∴P 在底△ABC 的射影D 是△ABC 的外心, 即斜边AB 的中点D 是P 在底△ABC 的射影, 作DE ⊥AC ,交AC 于点E ,连接PE , 则∠PED 是所求的二面角的平面角,由题意得DE =4,PE =8,cos ∠PED =DE PE =12,∴∠PED =60°,∴二面角P AC B 的大小为60°.。
高中数学《二面角练习课》教案导学案
二面角练习课教学目标1.使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念;2.使学生掌握求二面角平面角的基本方法,不断提高分析问题和解决问题的能力.教学重点和难点重点:使学生能够作出二面角的平面角;难点:根据题目的条件,作出二面角的平面角.教学设计过程重温二面角的平面角的定义.(本节课设计的出发点:空间图形的位置关系是立体几何的重要内容.解决立体几何问题的关键在于做好:定性分析,定位作图,定量计算,其中定性是定位、定量的基础,而定量则是定位,定性的深化.在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般说来,对其平面角的定位是问题解决的关键一步.可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱,甚至错误地定位,使问题的解决徒劳无益.这正是本节课要解决的问题.)教师:二面角是怎样定义的?学生:从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.教师:二面角的平面角是怎样定义的?学生:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.教师:请同学们看下图.如图1:α,β是由l出发的两个半平面,O是l上任意一点,OC α,且OC⊥l;OD β,且OD⊥l.这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α-l-β的平面角.从中我们可以得到下列特征:(1)过棱上任意一点,其平面角是唯一的;(2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;另外,如果在OC上任取一点A,作AB⊥OD,垂足为B,那么由特征(2)可知AB⊥β.突出l,OC,OD,AB,这便是另一特征.(3)体现出一完整的三垂线定理(或逆定理)的环境背影.教师:请同学们对以上特征进行剖析.学生:由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题.教师:特征(1)表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”.耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题背影互相沟通,给计算提供方便.(上面的引入力争符合练习课教学的特点.练习是形成技能的重要途径,练习课主要是训练学生良好的数学技能,同时伴随着巩固知识,发展智能和培育情感.特别要注意做到第一,知识的激活.激活知识有两个目的,一是突出了知识中的重要因素;二是强化知识中的基本要素.第二,思维的调理.练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度.学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现.因此,准备阶段安排一些调理思维的习题,确保学生思维的启动和运作.请看下面两道例题.)例1 已知:如图2,四面体V-ABC中,VA=VB=VC=a,AB=BC=CA=b,VH⊥面ABC,垂足为H,求侧面与底面所成的角的大小.分析:由已知条件可知,顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心,所以连结CH交AB于O,且OC⊥AB,由三垂线定理可知,VO⊥AB,则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角.(图2)正因为此四面体的特性,解决此问题,可以取AB的中点O为其平面角的顶点,而且使得题设背影突出在面VOC上,给进一步定量创造了得天独厚的条件.特征(2)指出,如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ,那么l必垂直γ与α,β的交线,而交线所成的角就是α-l-β的平面角.(如图3)由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”.例2 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把△ABD折起,使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上,求二面角A-BD-C的大小的余弦值.这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”.如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E,则折叠后OA,OE 与BD的垂直关系不变.但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面,此平面必与棱垂直.由特征(2)可知,面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角,即为所求二面角的平面角.另外,A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在BC上,所以E点就是A′,这样的定位给下面的定量提供了可能.在Rt△AA′O中,∠AA′O=90°,通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算,特征(2)从另一角度告诉我们:要确定二面角的平面角,我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”,然后,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角.“平面图形”与“立体图形”相映生辉,不仅便于定性、定位,更利于定量.特征(3)显示,如果二面角α-l-β的两个半平面之一,存在垂线段AB,那么过垂足B作l的垂线交l于O,连结AO,由三垂线定理可知OA⊥l;或者由A作l的垂线交l于O,连结OB,由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l.此时,∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.(如图6)由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”.课堂练习1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点,求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值.练习1的环境背景表明,面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角,由特征(2)可知,这两个二面角的大小必定互补.为创造一完整的三垂线定理的环境背景,线段C1D1会让我们眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1)即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1,2.将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合,则吻合后的几何体呈现几个面?分析:这道题,考生答“7个面”的占99.9%,少数应服从多数吗?从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色,它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”.事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而来.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要.本题如果能融合三个特征对思维的监控,可有效地克服、抑制思维的消极作用,培养思维的广阔性和批判性.如图9,过两个几何体的高线VP,VQ的垂足P,Q分别作BC的垂线,则垂足重合于O,且O为BC的中点.OP延长过A,OQ延长交ED于R,考虑到三垂线定理的环境背影,∠AOR为二面角A-BC-R的平面角,结合特征(1),(2),可得VAOR为平行四边形,VA ∥BE,所以V,A,B,E共面.同理V,A,C,D共面.所以这道题的正确答案应该是5个面.(这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题,或边练边评,或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评,达到练习的目的.其间要以学生“练”为主,教师“评”为辅)为了提高“导练”质量,教师要力求解决好三个问题:1.设计好练习.设计好练习是成功练习的前提.如何设计好练习是一门很深的学问,要注意:围绕重点,精选习题;由易到难,呈现题组;形式灵活,题型多变.2.组织好练习.组织练习是“导练”的实质,“导练”就是有指导、有组织的练习过程.要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三,从而提高练习的效果.有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等.3.讲评好练习.讲评一般安排在练习后进行,也可以在练习前或练习时.练习前的讲评,目的是唤起学生的注意,提醒学生避免出错起到前馈控制的作用;练习时的讲评,属于即时反馈,即学生练习,教师巡视,从中发现共性问题及时指出来,以引起学生的注意;更多的是练习后的讲评,如果采用题组练习,那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评,再进行下一组练习,以此类推.教师:由例1、例2和课堂练习,我们已经看到二面角的平面角有三个特征,这三个特征互相联系,客观存在,但在许多问题中却表现得含糊而冷漠,三个特征均藏而不露,在这种形势下,需认真探索.学生:应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景,有了“垂线段”,便可以定位.教师:请大家研究下面的例题.例3 如图10,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F在AA1上,且A 1F∶FA=1∶2,求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值.分析:在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中,没有出现二面角的棱,我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点,则这两个公共点的连线即为二面角的棱,最后借助这条棱作出二面角的平面角.略解:如图10.在面BB1CC1内,作EH⊥B1C1于H,连结HA1,显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1.延长EF,HA1交于G,过G,B1的直线为所求二面角的棱.在平面A1B1C1D1内,作HK⊥GB1于K,连EK,则∠HKE为所求二面角的平面角.在平面A1B1C1D1内,作B1L⊥GH于L,利用Rt△GLB1∽Rt△GKH,可求得KH.又在Rt△EKH中,设EH=a,容易得到:所求二面角大小的正切值教师:有时我们也可以不直接作出二面角的平面角,而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小.例如我们可以使用平移法.由两平面平行的性质可知,若两平行平面同时与第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时,可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置,以便等价地作出该二面角的平面角.略解:过F作A′B′的平行线交BB′于G,过G作B′C′的平行线交B′E 于H,连FH.显见平面FGH∥平面A′B′C′D′.则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数.过G作GM⊥HF,垂足为M,连B′M,由三垂线定理知B′M⊥HF.所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角,其大小等于所求二面角平面角的大小.(练习课的一个重要特征是概括.解题重要的不是统计做了多少题目,而是是否掌握了一类题的实质,即有无形成基本的解题模式,只有真正掌握了一类问题的解题思路,才算掌握了解答这类题目的基本规律.当学生练习到一定程度就应不失时机地引导他们总结和概括出练习的基本经验和教训,获得有意义的练习成果)例4 已知:如图12,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a.求:平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值.分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的交线.解:因为 AB∥CD,CD 平面CPD,AB 平面CPD.所以 AB∥平面CPD.又 P∈平面APB,且P∈平面CPD,因此平面APB∩平面CPD=l,且P∈l.所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角.因为 AB∥平面CPD,AB 平面APB,平面CPD∩平面APB=l,所以 AB∥l.过P作PE⊥AB,PE⊥CD.因为 l∥AB∥CD,因此 PE⊥l,PF⊥l,所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角.因为 PE是正三角形APB的一条高线,且AB=a,因为 E,F分别是AB,CD的中点,所以 EF=BC=a.在△EFP中,小结:二面角及其平面角的正确而合理的定位,要在正确理解其定义的基础上,掌握其基本特征,并灵活运用它们考察问题的背景.我们已经看到,定位是为了定量,求角的大小往往要化归到一个三角形中去解,因此寻找“垂线段”,把问题化归是十分重要的.作业1.120°二面角α-l-β内有一点P,若P到两个面α,β的距离分别为3和1,求P到l的距离.2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,求以BD1为棱,B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数.。
高中数学必修2《二面角》教案
◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标:(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念,能根据定义正确地作出二面角的平面角,并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标:培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标:引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程,以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标:(1) 使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。
(2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程,培养学生的辩证唯物主义观点。
(3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神,体验数学中转化思想的意义和价值;(4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会,如:探究活动,让学生自主探究新知,例题则采用练在讲之前,讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能,促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法,获得广泛的数学活动经验,提高综合能力,学会学习,进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】重点:“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。
难点:“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】(1)教学方法:采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段:借助实物模型,和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段,再现知识的产生过程,突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣,发挥学生的主体作用;同时通过学生参与动手操作,亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
二面角教学设计
二面角教学设计教学设计:二面角引言:二面角作为几何中的重要概念,是许多学生在初中阶段学习几何的关键之一。
正确理解和掌握二面角的概念和性质对于学生的几何学习和应用能力的提高至关重要。
因此,在教学中,我们应该设计富有启发性和趣味性的教学活动,帮助学生全面理解和掌握二面角的相关概念与性质。
一、概念解释与引入(300字)为了让学生对二面角有一个直观的认识,我们可以从日常生活中的二面角现象入手,引起学生的兴趣。
例如,我们可以让学生观察一些日常物体的形状,如书桌角、刀刃交汇处等,并探讨它们是否是二面角。
通过观察和讨论,引出二面角的概念。
二、性质探究(500字)在学生理解了二面角的概念后,我们可以进行一些性质的探究,以加深学生对二面角的认识。
在本部分,我们可以通过几何知识的引入,结合实例,帮助学生发现和理解二面角的性质。
例如,我们可以通过纸上折叠、图形变化等方式,引导学生体验二面角内、外角度数之间的关系,并引导学生总结二面角内、外角度数的规律。
三、综合应用(600字)在学生掌握了二面角的基本概念与性质后,我们可以进行一些综合应用的训练,以提高学生对二面角的应用能力。
在本部分,我们可以设计一些生活实例或几何问题,引导学生运用所学知识来解决问题。
例如,我们可以设计一个关于太阳光照射角度的问题,让学生利用二面角概念和性质,解决如何确定太阳光照射地面的最佳角度问题。
四、拓展与延伸(400字)在本部分,我们可以进行一些对二面角知识的拓展与延伸,提高学生的综合能力和创造能力。
例如,我们可以带领学生研究更高维度的角,如三面角、四面角等,并探讨它们的性质。
此外,还可以引导学生探究二面角与其他几何概念之间的联系,如平行线、垂直线等。
总结:通过以上教学设计,我们能够帮助学生全面理解和掌握二面角的概念和性质,并培养学生的几何思维和解决问题的能力。
在教学过程中,教师还可以灵活运用多媒体教学、小组合作学习、个体差异教学等多种教学手段,以激发学生的学习兴趣和积极性。
二面角的求法教案
二面角的求法教案【篇一:高中数学教学设计---二面角的求法】《二面角大小的求法(一)》一、概述1.地位和作用二面角是人教版《数学》第二册(下b)中9.7的内容,它是在学生学过平面几何中的角、空间中两异面直线所成的角、直线和平面所成的角之后,又要重点研究的一种空间的角,它是学生进一步研究多面体和旋转体的基础,因此,它起着承上启下的作用。
教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和求解方法。
同时,也是培养学生的空间想象力和逻辑思维能力的重要素材,为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机。
本节课为立体几何《二面角大小的求法》的第一课时的内容,是在学生已学习过二面角的基础上的推广。
其主要内容是二面角的作法以及这些知识的初步应用。
二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系,具有综合性强、灵活性大的特点,一直成为高考、会考的热点。
2.重点难点重点:一般方法———三垂线定理(逆定理)的方法难点:根据不同条件,灵活运用不同方法求解二面角的大小二、教学目标根据上面对教材的分析,并结合学生的认知水平和思维特点,确定本节课的教学目标:1.知识与技能:(1)掌握二面角的平面角的基本作法以及计算。
(2)培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
(3)培养学生观察分析的能力、空间想象的能力、猜想证明的能力,从而培养学生的创造能力。
同时注意渗透转化的数学思想。
2.过程与方法:(1)通过观察、分析等手段,在活动中自主探求二面角大小的特征,理解平面角的含义。
(2)通过示范、讨论合作,完成对空间问题转化为平面问题的研究。
(3)通过作业设计完成求解二面角大小的应用。
3.情感态度价值观:(1)培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。
(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系,进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
三、学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的:四、教学策略的选择与设计在设计本教学时,主要贯彻了以下两个思想:(一)引导发现法1.是符合辩证唯物主义观点;2.是符合教学原则的;3.能充分调动学生的主动性和积极性。
二面角的应用及实际意义教案
二面角的应用及实际意义一、教学目标1、掌握二面角的概念及相关定义。
2、理解二面角的性质和应用。
3、培养学生解决实际问题的能力,提高数学思维水平。
二、教学重点1、了解二面角的概念及相关定义。
2、掌握二面角的性质和应用。
三、教学难点1、学生对二面角的性质和应用的深入理解。
2、学生运用二面角解决实际问题的能力。
四、课前准备1、教师准备好二面角的基本概念和相关定义。
2、与学生交流,梳理出二面角在实际问题中的应用。
五、教学过程1、导入新知识(1)让学生回顾平面角的概念及性质。
(2)引出二面角的概念及相关定义。
(3)让学生思考二面角的特点和性质,比较平面角和二面角的异同。
2、二面角的性质和应用(1)让学生思考平面角与二面角的异同,帮助理解二面角的定义和性质。
(2)介绍二面角的性质,例如二面角的度数、二面角的余角、二面角的补角等等。
(3)讨论二面角在实际问题中的应用,例如建筑设计中的体形空间、视角分析中的角度计算等。
3、应用练习(1)让学生通过练习巩固二面角的基本概念和性质。
(2)引导学生应用二面角解决实际问题,例如计算建筑物或雕塑物的外形尺寸及角度,分析哪些工程需要用到二面角等等。
六、教学总结1、总结本节课的重点内容,强调学生需要掌握的知识点。
2、鼓励学生在实际生活中用数学知识去解决实际问题。
七、教学反思通过本节课的教学,学生对二面角的概念及性质有了初步了解,掌握了二面角在实际问题中的应用。
但学生的应用能力还需加强。
在以后的教学中,应该加强实际问题的训练,提高学生的实际应用能力。
《二面角》 导学案
《二面角》导学案一、学习目标1、理解二面角的概念,能在空间图形中找出二面角。
2、掌握二面角的平面角的定义和求法。
3、能够运用二面角的知识解决简单的空间几何问题。
二、学习重难点1、重点(1)二面角的概念。
(2)二面角的平面角的定义和求法。
2、难点(1)二面角平面角的找法和计算。
(2)空间问题向平面问题的转化。
三、知识链接1、直线与平面的位置关系:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
2、空间中直线与直线所成的角。
四、学习过程(一)二面角的概念1、观察生活中的实例,比如打开的书本、打开的门等,思考这些物体所形成的“角”与平面几何中的角有什么不同?2、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
3、二面角的表示方法(1)以直线 AB 为棱,α、β为半平面的二面角记为二面角α AB β。
(2)以直线 l 为棱,α、β为半平面的二面角记为二面角α l β。
(3)以平面 AOB 为棱,α、β为半平面的二面角记为二面角αAOB β。
(二)二面角的平面角1、定义:在二面角α l β的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
2、二面角平面角的范围:0°≤∠AOB≤180°3、直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
(三)二面角的求法1、定义法在二面角的棱上找一点,在两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线所成的角即为二面角的平面角。
例 1:如图,在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中,求二面角 A BD C₁的大小。
解:连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OC₁。
因为正方体的棱长相等,所以 AC⊥BD,CO⊥BD。
又因为 CO₁⊥BD,所以∠COC₁为二面角 A BD C₁的平面角。
设正方体的棱长为 a,则 CO =₂√₂a ,C₁O =₂√₂a ,C₁C = a。
人教B版选择性必修第一册124二面角学案
1.2.4二面角新课程标准新学法解读1.理解二面角及二面角的平面角的定义.2.把握空间向量法求二面角的思路.1.留意区分平面间的夹角与二面角的不同.2.能结合图形,敏捷选择方法解决与二面角有关的问题.[笔记教材]学问点1二面角的定义及相关概念二面角的定义从一条直线动身的____________所组成的图形称为二面角棱________称为二面角的棱面________称为二面角的面范围0°≤θ≤180°二面角的平面角在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,分别在半平面α和β内作________于棱l的________OA和OB,那么射线OA和OB所成的角________称为二面角的平面角直二面角平面角是________的二面角称为直二面角两个相交平面所成的角两个相交平面所形成的四个二面角中,____________的角AOB直角不小于0°且不大于90°学问点2射影面积公式平面β内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S ′,平面α和平面β所成的二面角的大小为θ,那么cos θ=S ′S .学问点3 空间向量与二面角假如n 1,n 2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,那么θ=________或________,如图.特殊地sin θ=________. 答案:〈n 1,n 2〉 π-〈n 1,n 2〉 sin 〈n 1,n 2〉[重点理解] 1.对二面角的理解(1)二面角的取值范围是[0,π],当两个半平面重合时,二面角的大小为0;当两个半平面在同一平面内,且延长方向相反时,二面角的大小为π.(2)二面角的平面角必需具备三个条件:①“棱上〞,即二面角的平面角的顶点必需在棱上;②“面内〞,即角的两边必需分别在两个半平面内:③“垂直〞,即角的两边必需都与棱垂直.(3)二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,顶点在棱上的不同位置所作的平面角是相等的.(4)本书中,我们商定,二面角及其平面角的大小不小于0,不大于π.而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0且不大于π2的角的大小.这样商定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的.2.二面角的常见求法(1)利用定义法求二面角所谓的定义法,就是在二面角的棱上取一适当的点作出平面角(或者找一个与棱垂直的平面,那么该平面与两半平面的交线构成的角即二面角的平面角),然后解三角形即可.求二面角的步骤:①作(找)出二面角的平面角;②写出(或证明)所作(找)的平面角即为所求二面角的平面角;③利用三角形的学问求解.(2)利用向量法求二面角①如图1,分别在二面角α-l-β的面α,β内,作向量n1⊥l,n2⊥l,那么向量n1,n2的夹角〈n1,n2〉的大小等于该二面角的平面角的大小.②如图2、图3,设m1⊥α,m2⊥β,那么角〈m1,m2〉与该二面角大小相等或互补.③利用法向量求二面角的大小的一般步骤(3)利用三垂线定理(或其逆定理)求二面角利用三垂线定理(或其逆定理)作二面角的平面角是常用的方法,其步骤如下:①在其中一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线;②过垂足作棱的垂线(过这个特殊点作棱的垂线);③连接特殊点与棱上的垂足(连接两个垂足),依据三垂线定理(三垂线定理的逆定理)得平面角.(4)利用面积法求二面角利用cos θ=S 影S 求二面角,如下图,S 是平面α内一图形的面积,S 影是该图形在平面β内射影的面积,θ是平面α与平面β所成二面角的大小.[自我排查]1.思维辨析(对的打“√〞,错的打“〞).(1)二面角α-l -β的大小为θ,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,那么θ=〈n 1,n 2〉.()(2)假设二面角两个面的法向量的夹角为120°,那么该二面角的大小等于60°或120°.(√)2.在一个二面角的两个面内和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),那么这个二面角的余弦值为( )A.156B .-156 C.153D.156或-156答案:D3.如图,OA ,OB ,OC 两两垂直,且OA =OB =OC ,那么二面角A -BC -O 的余弦值为________.答案:334.(2022安徽蚌埠模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,二面角A 1-BD -C 1的余弦值为________.答案:13研习1 定义法求二面角[典例1] (2022江苏苏州月考)如下图,甲站在水库地面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处,从A ,B 到直线l (水库地面与水坝斜面的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ,CD 的长为c ,AB 的长为d ,那么水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为________.答案:a 2+c 2+b 2-d 22ab[解析]方法一:化为向量问题:依据向量的加法法那么,AB →=AC→+CD →+DB →.进行向量运算:d 2=AB →2=(AC →+CD →+DB →)2=AC →2+CD →2+DB →2+2(AC →·CD →+AC →·DB →+CD →·DB →)=a 2+c 2+b 2+2AC →·DB →=a 2+c 2+b 2-2CA →·DB →,所以CA →·DB →=a 2+c 2+b 2-d 22. 设向量CA →与DB →的夹角为θ,那么θ就是水库地面与水坝斜面所成二面角的大小,因此cos θ=CA →·DB →|CA →||DB →|=a 2+c 2+b 2-d 22ab.故水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为a 2+c 2+b 2-d 22ab. 方法二:如图,过D 作DE ∥AC ,且DE =AC ,连接AE ,BE ,由二面角的平面角的定义知∠BDE 即所求二面角的平面角.BE 2=d 2-c 2,在△BDE 中,由余弦定理得cos ∠BDE =BD 2+DE 2-BE 22BD ·DE=a 2+c 2+b 2-d 22ab. [巧归纳]作二面角的平面角的三种方法定义法在棱上取点,分别在两半平面内引两条射线与棱垂直,这两条射线所成的角就是二面角的平面角 垂面法 二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面,与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角垂线法 过二面角的一个面内不在棱上的A 点向另一个平面作垂线,垂足为B ,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O ,连接AO ,那么∠AOB 为二面角的平面角或其补角,如图,∠AOB 为二面角α-l -β的平面角周上(异于点A ,B ),点D ,E 分别是点A 在PC ,PB 上的射影,那么( )A .∠ADE 是二面角A -PC -B 的平面角B .∠AED 是二面角A -PB -C 的平面角C .∠DAE 是二面角B -P A -C 的平面角D .∠ACB 是二面角A -PC -B 的平面角答案:B研习2 利用三垂线定理或射影面积公式求二面角[典例2] 在三棱锥P -ABC 中,PC ⊥平面ABC ,AB =BC =CA =PC .求二面角B -AP -C 的余弦值.[解] 方法一:如图,过点B 作BE ⊥AC 于点E ,那么E 为AC 的中点,过点E 作EF ⊥P A 于点F ,连接BF .由于PC ⊥平面ABC ,PC ⊂平面P AC ,所以平面P AC ⊥平面ABC .又由于BE ⊥AC ,BE ⊂平面ABC ,平面ABC ∩平面P AC =AC ,所以BE ⊥平面P AC ,由三垂线定理有BF ⊥P A ,所以∠BFE 是二面角B -P A -C 的平面角.设PC =1,由E 是AC 的中点,得BE =32,EF =12×sin 45°=24,所以BF =144,所以cos ∠BFE =EF BF =77.方法二(利用射影面积公式):如图,过点B 作BE ⊥AC 于点E ,连接PE .由方法一知,BE ⊥平面P AC ,即点E 是点B 在平面P AC 内的射影,所以△P AE 是△P AB 在平面P AC 上的射影.设PC =1,那么P A =PB =2,AB =1,所以△P AB 中AB 边上的高h =72.所以S △P AB =74,又S △P AE =12S △P AC =14.设二面角B -P A -C 的大小为θ,由射影面积公式有cos θ=S △P AE S △P AB =77. [巧归纳]1.用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法(1)在其中一个面内找一特殊点A ,过A 作另一个平面的垂线,垂足为B .(2)过A 作棱的垂线,垂足为C (或过B 作棱的垂线,垂足为C ),连接BC (或连接AC ).(3)由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得二面角的平面角∠ACB .2.对射影面积公式的理解(1)来源:三垂线定理.(2)适用范围:当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积或者能求出.(3)优势:不需要作出二面角的平面角.[练习2]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=3,∠ABC=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)求二面角A-A1C-B的正切值.答案:(1)证明:由于三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以AB⊥AA1,在△ABC中,AB=1,AC=3,∠ABC=60°,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.又AC∩AA1=A,AC⊂平面ACC1A1,AA1⊂平面ACC1A1,所以AB⊥平面ACC1A1.又A1C⊂平面ACC1A1,所以AB⊥A1C.(2)解:如图,作AD⊥A1C于D点,连接BD.由三垂线定理知BD⊥A1C.所以∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角.在Rt△AA1C中,AD=AA1·ACA1C=3×36=62.在Rt△BAD中,tan∠ADB=ABAD=6 3,所以二面角A -A 1C -B 的正切值为63.研习3 空间向量法求二面角[典例3] 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,AA 1=BC =2AC =2.(1)假设D 为AA 1的中点,求证:平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ;(2)在AA 1上求点D ,使得二面角B 1-CD -C 1的大小为60°. 答案:(1)[证明]如图,以C 为原点,分别以CA ,CB ,CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,那么C (0,0,0),A (1,0,0),B 1(0,2,2),C 1(0,0,2),D (1,0,1),∴C 1B 1→=(0,2,0),DC 1→=(-1,0,1),CD →=(1,0,1).由C 1B 1→·CD →=(0,2,0)·(1,0,1)=0,得C 1B 1→⊥CD →.由DC 1→·CD →=(-1,0,1)·(1,0,1)=0,得DC 1→⊥CD →.又∵DC 1∩C 1B 1=C 1,∴CD ⊥平面B 1C 1D .又∵CD ⊂平面B 1CD ,∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)[解]当AD =2时,二面角B 1-CD -C 1的大小为60°.设AD =a ,那么点D 的坐标为(1,0,a ),∴CD →=(1,0,a ),CB 1→=(0,2,2).设平面B 1CD 的法向量为m =(x ,y ,z ).由⎩⎨⎧m ·CB 1→=0,m ·CD →=0,得⎩⎨⎧2y +2z =0,x +az =0.令z =-1,得m =(a,1,-1).又∵CB →=(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量, ∴cos 60°=|m ·CB →||m ||CB →|,即1a 2+2=12, 解得a =2,故AD = 2. ∴当AD =2时,满意题意. [巧归纳]向量法求二面角的步骤设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,那么向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是二面角的大小,如图.用坐标法解题的步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n 1,n 2. (3)计算:设n 1与n 2所锐角为θ,cos θ=n 1·n 2|n 1||n 2|. (4)定值:依据二面角的大小选择θ或π-θ.[练习3] 在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥AC ,P A ⊥平面ABCD ,且P A =AB ,E 是PD 的中点,求平面EAC 与平面ABCD 所成角的大小.解:方法一:如图,以A 为原点,分别以AC ,AB ,AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐系Axyz .设P A =AB =a ,AC =b ,连接BD ,与AC 交于点O ,取AD 中点F ,连接EF ,EO ,FO ,那么C (b,0,0),B (0,a,0).∵BA →=CD →,∴D (b ,-a,0),P (0,0,a ), ∴E ⎝⎛⎭⎪⎫b 2,-a 2,a 2,O ⎝⎛⎭⎪⎫b 2,0,0,OE →=⎝⎛⎭⎪⎫0,-a 2,a 2,AC →=(b,0,0).∵OE →·AC →=0,∴OE →⊥AC →,即OE ⊥AC ,又OF →=12BA →=⎝⎛⎭⎪⎫0,-a 2,0,OF →·AC →=0. ∴OF →⊥AC →,即OF ⊥AC .∴∠EOF 即为平面EAC 与平面ABCD 所成二面角的平面角. cos 〈OE →,OF →〉=OE →·OF →|OE →||OF →|=22.∴平面EAC 与平面ABCD 所成角为45°. 方法二:建系如方法一, ∵P A ⊥平面ABCD ,∴AP →=(0,0,a )为平面ABCD 的法向量, AE →=⎝⎛⎭⎪⎫b 2,-a 2,a 2,AC →=(b,0,0).设平面AEC 的法向量为m =(x ,y ,z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →=0,m ·AC →=0,得⎩⎨⎧b 2x -a 2y +a 2z =0,bx =0.∴x =0,y =z .∴取m =(0,1,1), cos 〈m ,AP →〉=m ·AP →|m ||AP →|=a 2·a =22.又平面EAC 与平面ABCD 所成角为锐角, ∴平面EAC 与平面ABCD 所成角为45°.1.三棱锥A -BCD 中,平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1,n 2,假设〈n 1,n 2〉=π3,那么二面角A -BD -C 的大小为( )A.π3B.2π3 C.π3或2π3 D.π6或π3答案:C2.(2022江苏镇江模拟)二面角α-l -β,其中平面α的一个法向量m =(1,0,-1),平面β的一个法向量n =(0,-1,1),那么二面角α-l -β的大小可能为( )A .60°B .120°C .60°或120°D .30°答案:C3.二面角的棱上有A,B两点,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,AB=4,AC=6,BD=8,CD =217,那么该二面角的大小为()A.150°B.45°C.120°D.60°答案:D4.(2022吕梁贺昌中学模拟)过正方形ABCD的顶点A,作P A⊥平面ABCD,假设P A=BA,那么平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案:B5.如图,AB是⊙O的直径,P A垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B两点的任意一点,且AB=2,P A=BC=3,那么二面角A-BC-P的大小为________.答案:60°[误区警示]混淆二面角与两平面法向量的夹角致错[例如]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-BD1-C的大小.[错解]以点D为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,那么D (0,0,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1).由题意知DA 1→是平面ABD 1的一个法向量,且DA 1→=(1,0,1),DC 1→是平面BCD 1的一个法向量,且DC 1→=(0,1,1),所以cos 〈DA 1→,DC 1→〉=DC 1→·DA 1→|DC 1→||DA 1→|=12.所以〈DA 1→,DC 1→〉=60°.所以二面角A -BD 1-C 的大小为60°.[错因分析] 错解中混淆了二面角与两平面法向量的夹角,误以为二面角即为两平面法向量的夹角,忽视了二面角也可能是两平面法向量夹角的补角.[正解] 由错解得cos 〈DA 1→,DC 1→〉=DC 1→·DA 1→|DC 1→||DA 1→|=12,所以〈DA 1→,DC 1→〉=60°.结合图形知二面角A -BD 1-C 为钝角,所以二面角A -BD 1-C 的大小为120°.[方法总结] (1)二面角的范围:设二面角的平面角为θ,那么0≤θ≤π.当两个半平面重合时,θ=0;当两个半平面相交时,0<θ<π;当两个半平面共面时,θ=π.(2)求二面角θ的大小时,通过求二面角两个半平面所在平面的法向量u,v的夹角φ,把问题转化为向量的运算,需留意两法向量的夹角与二面角相等或互补,在解题中,可依据法向量的方一直进行推断,以便精确求出二面角的大小.一般地,假如二面角为锐角,选择cos θ=|cos φ|=|u·v||u||v|;假如二面角为钝角,选择cos θ=-|cos φ|=-|u·v||u||v|.。
二面角学案
二面角及其度量学习目标:掌握二面角的概念,会找简单图形中二面角的平面角;掌握求二面角大小的基本方法、步骤学习重点:二面角的概念、二面角的求法 学习难点:二面角大小的求法 学习过程: 一、二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。
而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ,分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,,则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。
二、二面角的求法:1.几何法:二面角转化为其平面角,要掌握以下三种基本做法: ①直接利用定义,图4(1)。
②利用三垂线定理及其逆定理,图4(2)最常用。
③作棱的垂面,图4(3)。
图4αβAOP A BOP αβ 4(1) 4(2) 4(3)另外,特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角;2.向量法:①从平面的法向量考虑,设 21,n n 分别为平面βα,的法向量,二面角β--αl 的大小为θ,向量 21,n n 的夹角为ϕ,则有π=ϕ+θ或 ϕ=θ(图5)图5②如果AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小为,AB CD 〈〉 。
三 典型示例分析:(1)用定义求二面角例1:在正三角形ABC 中,AD ⊥BC 于D ,沿AD 折成二面角B-AD-C 后,BC=21AB ,求二面角B-AD-C 的大小。
ωθβlαnnACDAAB CDA(2)利用三垂线定理求二面角例2:如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.思考:能否用面积摄影法来求?(3)利用空间向量求二面角例3: 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且PA=AD=DC=21AB=1,M是PB 的中点。
《二面角》教案
《二面角》教案云南玉溪工业财贸学校魏华新一、目的要求1、认知目标:(1)使学生正确理解二面角及其平面角的概念,并能初步运用它们解决实际问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。
2、能力目标:以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养,从而提高学生的创新能力。
(2)通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、教育目标:(1)使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系,进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
二、重点、难点:(1)二面角的平面角概念,不同方位二面角的平面角的直观图的画法;(2)寻找二面角的平面角的方法的发现过程。
三、教学过程:(一)、二面角1、提示问题产生的背景:问题情境1、在修筑水库的拦水坝时,为了牢固耐用而又经济,必须考虑拦水坝坡面与地面(平面与平面相交)要组成适当的角度。
(由实例引入二面角的概念),接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗?问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢?通过这二个问题,打开了学生的原有认知结构,为知识的创新做好了准备;同时也让学生领会到,二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要,从而明确新课题研究的必要性,触发学生积极思维活动的展开。
2、展现概念形成过程。
问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢?创设这个问题情境,为学生创新思维的展开提供了空间。
结合电脑演示,引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。
问题情境4、通过类比,同学们能给出二面角的概念吗?引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程,通过类比,迁移到两相交平面所成角(二面角)的引入上,从而实现知识的创新。
教师先肯定学生的创新结果,给予积极的评价,强化他们的创新意识。
由教师版书于上图表中右侧。
由教师出示预先准备好的二面角的模型,要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图,为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角,教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”(点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》)的二面角的直观图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
αβaOA B二面角三类问题六种解题策略方法导引二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二面角的大小往往转化为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,在其求解过程中,主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是,根据不同问题给出的几何背景,恰在此时当选择方法,我们分为三类问题六种解题方法。
从而给出二面角的通性通法。
第一类:有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点(B)向棱AM 作垂线,得垂足(F);在另一半平面ASM内过该垂足(F)作棱AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1、(全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点M 在侧棱上,=60°(I )证明:M 在侧棱的中点 (II )求二面角的余弦值。
证(I )略解(II ):利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点,则点为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作,GF 交AS 于G ,连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵为AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角. ∵2=SM ,则22=GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴3=BF 在△GAB 中,26=AG ,2=AB ,090=∠GAB ,∴211423=+=BG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SCABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠FG∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三:空间三条射线CA 、CP 、CB ,∠PCA=∠PCB=60o ,∠ACB=90o ,求二面角B -PC -A 的大小。
解:过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ,DF ⊥BC 于F ,连EF. ∴∠EDF 为二面角B -PC -A 的平面角,设CD=a ,∵∠PCA=∠PCB=600, ∴CE=CF=2a ,DE=DF=a 3,又∵∠ACB=900,∴EF=22a ,∴∠EDF=31328332222=⋅-+aa a a 方法2、三垂线法三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。
如(例2)过二面角B -FC -C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半S AM B --1PB αC A E FD平面FC 1C 的垂线,得垂足O ;再过该垂足O 作棱FC 1的垂线,得垂足P ,连结起点与终点得斜线段PB ,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线PB 、垂线BO 、射影OP )。
再解直角三角形求二面角的度数。
例2.(山东卷理) 如图,在直四棱柱ABCD -A B C D 中,底面ABCD 为等腰梯形,AB//CD ,AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA、AB 的中点。
(1) 证明:直线EE //平面FCC ;(2) 求二面角B -FC -C 的余弦值。
证(1)略解(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD -A B C D 中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B -FC -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中,,在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,1111111111111113OBEABCFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1O PEABCFE 1A 1B 1C 1D 1D∵∴,在Rt △OPF 中,,,所以二面角B -FC -C .举一反三:在四棱锥P -ABCD 中,ABCD 是平行四边形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB=a ,∠ABC=30°,求二面角P -BC -A 的大小。
解:如图,PA ⊥平面BD ,过A 作AH ⊥BC 于H ,连结PH ,则PH ⊥BC又AH ⊥BC ,故∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角。
在Rt △ABH中,AH=ABsin ∠ABC=aSin30°=2a;在Rt △PHA 中,tan ∠PHA=PA/AH=22aa =,则∠PHA=arctan2. 方法3、垂面法:垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的11OP OF CC C F=2222222OP =⨯=+2211432BP OP OB =+=+=272cos 714OP OPB BP ∠===17pABCDH平面与棱垂直。
例3 在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求B-PC-D的大小。
解:(垂面法)如图,PA⊥平面BD BD⊥ACBD⊥BC过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角。
因12PB·BC=S△PBC=12PC·BH则BH=,又在△BHD中由余弦定理,得:cos∠BHD=)222222122aBH DH BDBH BD⎫⎫+-⎪⎪+-==-,又0<∠BHD<π ,则∠BHD=23π,二面角B-PC-D的大小是23π。
第二类.无棱二面角的处理方法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决方法4:射影面积法(coss S射影)凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos斜射S S =θ)求出二面角的大小。
例4 在四棱锥P -ABCD 中,ABCD 为正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA =AB =a ,求平面PBA 与平面PDC面角的大小。
解:(面积法)如图,AD PA AD AB AD PBA A PA AB A ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭于,同时,BC ⊥平面BPA 于B ,故△PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ, 则cosθ=22PBA PCD s S ∆∆=θ=45°举一反三:如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥.(Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的余弦值;分析:本题要求二面角B —AP —C 的大小,如果利用射影面积法解题,不难想到在平面ABP 与平面ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与S 射 于是得到下面解法。
解:(Ⅰ)证略 (Ⅱ)AC BC =,AP BP =,APC BPC ∴△≌△.又PC AC ⊥,PC BC ∴⊥. 又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且ACPC C =,BC ∴⊥平面PAC .取AP 中点E .连结BE CE ,.AB BP =,BE AP ∴⊥.EC 是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥.∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影, 于是可求得:2222=+===CB AC AP BP AB ,622=-=AE AB BE ,2==EC AE 则1222121=•=•==∆CE AE S S ACE 射, 3622121=•=•==∆EB AE S S ABE原 设二面角B APC --的大小为ϑ,则3331cos ===原射S S ϑ ∴二面角B AP C --的大小为33arccos =ϑA CBEPA 1D 1 B 1C 1 ED BCA图5。