计算投影变形实例

高速公路导线测量中的投影变形问题
一公司谭晓波
摘要
随着公路建设的不断扩大与发展,公路(特别是高速公路)从平原微丘区向山岭重丘区(乃至高原地区)延伸,测区高程面由数十米增加到数百米乃至数千米;由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是必须考虑的问题。

据有关计算表明,当大地高程面H＝700m 时,其长度变形为11cm/km,远大于规范允许值,这对于重要工程的测量是一个不可忽略的数值。

现以工程实例来探讨山区高速公路在导线测量中的投影变形问题。

1、工程概况
泉（州）三（明）高速公路QA16合同段起讫里程K105+970至K112+406.060,全线长6.43606公里，测区所属地理位置位于山区，平均高程为717m，这就使在导线测量过程中遇到了长度变形问题。

如表：
2、长度投影变形及分析
公路工程布设的测量控制网是为了施工的需要，因而要求平面控制点坐标反算的边的长度与实地量测的长度相符。

而目前我们遇到了长度变形的问题，即实际测量长度比设计长度大，按《公路勘测规范》对测量控制网的长度变形的规定，测区内投影长度变形值不得大于
2.5 cm/km ，即投影变形应达到1/40 000的精度。

这就要求要对实测长度进行改正，也就是要先将控制网边长归化到参考椭球面上，然后再将椭球面上的长度投影到高斯平面上，使其影响可以忽略不计。

2.1、投影变形数学模型
长度变形来源于以下两个方面:
2.1.1 实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形,即1s ∆;改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可以忽略不计):
s R H s A
m
-
=∆1
（1） 式中 A R -长度所在方向的椭球曲率半径；
m H -长度所在高程面对于椭球面的平均高程； s -实地测量的水平距离。

2.1.2 椭球面上的长度投影至高斯平面
02222s R
y s m
+=∆ （2）
式中 R -测区中点的平均曲率半径； m y -距离的2端点横坐标平均值； 0s -为归算到椭球面上的长度。

在不影响推证严密性的前提下取, A R =R ,s=0s , 综合上两式可得,综合长度变形
s ∆为:
s R
y s R H s m
m 2
2
2+-=∆ （3）
2.2、长度投影变形分析
由式(1)、式(2)、式(3)可以归纳投影变形的主要特征如下:
1)、地面上实量长度归算至参考椭球面上总是缩短的，且|1s ∆|与m H 成正比，地面高程愈高，长度变形愈大。

2)、参考椭球面上长度投影到高斯投影面上，其长度总是增大的，且2s ∆值与2
m y 成正
比，离中央子午线愈远，长度变形愈大。

3)、山区高程归化投影变形与高斯投影变形符号相反，所以在一定的区域内，两种变形可以相互抵偿。

根据设计院提供的测区起点QI386坐标：Y=498866.530和终点QI562坐标： Y= 492667.59得知测区位于中央子午线附近，所以，我们可知长度变形主要是由地面高程所引起。

3、实例分析
本合同度起点QI386坐标为：X=2823280.867、Y=498866.530，海拔高度为638.439m ，
相邻点QI384坐标为X=2823314.785、Y=498453.361，海拔高程为626.603m 。

现实地测量边长为414.606m ，那么按照公式3）进行归算投影改正s ∆应为: 其中
1340.0545m 2
)
498453.361-(500000)498866.530-(500000=+=
m y
632.521m 2
603.626439.638=+=m H
R=6371000m
=⨯⨯+-=∆606.414))
6371000(20545.13406371000521.632(2
2
s -0.041m 改正过后，实测距离将减小41mm 。

1）、如果我们未经过高斯投影改正，那么导线平差后闭合差及精度则为： 纵坐标闭合差m f x 0127.0=
横坐标闭合差
m f y 6622.0-=
全长相对闭合差9110
1
=
m
由此可看出，如果未经投影改正而得到导线平差结果,就会发现导线点的坐标值有很大的差异。

显然这不是观测精度问题。

2）如果按照公式3）将导线各测量边长逐一进行高斯投影改正，那么导线平差后闭合
差及精度则为：
纵坐标闭合差m f x 012.0=
横坐标闭合差
m f y 05.0-=
全长相对闭合差117300
1
=
m
由此可见，对导线变长进行高斯投影改正后，平差后完全满足导线精度要求，且与设计坐标比较差值很小，这说明复测成果准确无误。

由于长度变形，要求对于施工放样测量:可以将理论放样数据换算成符合现场实际(主要指长度值)的数据。

对于施工检测则是实际测量距离值归算投影改正,是否与理论数据符合。