单电子辐射跃迁选择定则的讨论

单电子辐射跃迁选择定则的讨论（理学院物理系物理学）摘要原子辐射跃迁选择定则是原子物理学中的一个重要原则。

本文主要采用两种方法对单电子辐射跃迁选择定则进行讨论。

第一种方法，利用量子方法讨论；第二种方法，利用半经典方法讨论；两种方法分别对电子的轨道和自旋有无耦合的情况下进行了推导。

用两种不同的方法，得到了一致的结果。

关键词：电偶极辐射；跃迁几率；角动量守恒；量子数；选择定则Discussion of Single Elect ron’s transition Selection Rule(Department of Physics, College of science, Physics )AbstractSelection rule of atom transition is one of the important principles in the atom physics. This paper adopts two methods to discuss the selection rule of the single electron transition.In the first method, quantum method is used to analyze the problem.In the second method, semiclassical method is used to discuss the thesis. Two cases that the electric orbit and spin have coupling and no coupling are respectively discussed in both methods. By two different methods, the same result is conclued.Keywords：Electric dipole radiation；Transition probability；Conservation of angular momentum；Quantum number；Selection rule目录1 引言 (1)2 量子方法讨论选择定则 (1)2.1 电子的轨道和自旋无耦合的情况 (1)2.2 电子的轨道和自旋有耦合的情况 (3)3 半经典方法讨论选择定则 (7)3.1 角动量的矢量合成法则 (7)3.2 电子组态变动定则 (7)3.3 L S-无耦合的跃迁选择定则 (9)3.4 L S-有耦合的跃迁选择定则 (10)4 结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1引言微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）的运动规律，是本世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。

随着它的出现，人类对于物质微观结构的认识日益深入，从而能较深刻地掌握物质的微观理论，为用于生产开辟了广阔的途径。

电子跃迁就是微观状态发生跳跃式变化的过程。

由于微观粒子的状态常常是分立的，所以从一个状态到另一个状态的变化常常是跳跃式的。

跃迁选择定则有很多种，不同跃迁遵从不同的跃迁选择定则。

从跃迁的性质来分，主要分为电性和磁性两种。

在原子物理中涉及的L-S 耦合跃迁选择定则指的是电偶极矩跃迁，原因是电偶极矩跃迁强度比磁极跃迁和多极矩跃迁强度大得多（5810~10倍）。

原子的辐射跃迁选择定则也是指电偶极辐射跃迁选择定则。

本文采用量子和半经典两种方法，分别从电子的轨道和自旋（L-S ）有无耦合的情况下对电偶极辐射跃迁选择定则加以讨论。

使人们对单电子辐射跃迁选择定则有更加深入的理解。

2量子方法讨论选择定则下面分别从电子的轨道和自旋有无耦合的情况下对单电子辐射跃迁选择定则进行讨论。

2.1电子的轨道和自旋无耦合的情况原子对光的发射和吸收是原子体系与光相互作用所产生的现象。

当光照射到原子上时，光波中的电场ε和磁场B 都对原子中的电子有作用，但和电场的作用相比较，磁场对电子的作用可以忽略，所以只考虑光波中的电场对电子的作用。

对于入射光为各向同性，且偏振是无规则的，则原子体系在单位时间内由k Φ态跃迁到m Φ态的几率为：()222243s k mmk mk e w I r πω→= （1）由此可知，当且仅当mk m k r r φφ= 不为零,即其三个直角坐标系分量,mk mk z x 和mk y 不全为零时，原子光吸收的跃迁几率方不为零。

再由：22243s km mkmk e B B r π== （2）222mkkm km A B cωπ= （3）两式可知原子受激发射和自发发射的跃迁几率也不为零。

其中 km B 表示吸收系数，mk B 表示受激发射系数，km A 表示自发发射系数。

这称原子在0m E 和0k E 两能级之间的跃迁是允许的。

否则，辐射跃迁是禁戒的。

因此0mk r ≠这个条件，可以得出产生原子跃迁选择定则。

我们具体讨论氢原子、类氢离子及碱金属原子。

其哈密顿算符写成为()2ˆˆ2p H V r μ=+ 其本征矢量若用电子自旋——轨道角动量无耦合的态矢量,,,l s n l m m ，在ˆr和ˆz s 共 同表象写为：()()()(),,l slsnlm mz nl lm m z r s R r Y X s ψθϕ= （4）则mk z 的具体形式是:ˆ,,,,,,l s l s n l m m z n l m m ''''()()*cos s s n l m l lm m nlm r r r d δψθψτ''''=⎰()()()()2*3*0,cos ,s s n l l l m m nl l m lm R r R r r dr Y Y d ππδθϕθθϕ''∞'''=Ω⎰⎰⎰（5）利用球谐函数的一个递推公式：1,1,cos l ll lm l ml m Y θ+-=+ （6）及球谐函数的正交归一化表示式，可知若满足：100l l l s s s l l l m m m m m m '''∆=-=±∆=-=∆=-= （7）时，则矩阵元ˆ,,,,,,0l s l s n l m m z n l m m ''''≠ 同样，mk x 和mk y 的具体形式分别为：ˆ,,,,,,l s l s n l m m x n l m m '''' ()()*sin cos s s n l m l lm m nlm r r r d δψθϕψτ''''=⎰()()()()2*3*0,sin ,2s s n l l l i i m m nl l m lm e e R r R r r dr YY d ϕϕππδθϕθθϕ''-∞'''+=Ω⎰⎰⎰（8） ˆ,,,,,,l s l s n l m m y n l m m '''' ()()*sin sin s s n l m l lm m nlm r r r d δψθϕψτ''''=⎰()()()()2*3*,sin ,2s s n l l l i i m m nl l m lm e e R r R r r dr YY d ϕϕππδθϕθθϕ''-∞'''-=Ω⎰⎰⎰（9） 利用球谐函数的另一个递推公式：1,11,1()(1)sin (2(21)(21)l l l i l l l lm l m l m l m l m l m e Y Y l l l ϕθ±+±-±±+-=±+-+ （10）及球谐函数的正交归一化表示式可知，若110l l l s s s l l l m m m m m m '''∆=-=±∆=-=±∆=-= （11）时，则矩阵元ˆ,,,,,,0l s l s n l m m x n l m m ''''≠ ˆ,,,,,,0l s l s n l m m y n l m m ''''≠ 综合（7）（11）两式可知：100l s l m m ∆=±∆=∆=为跃迁的电偶极辐射选择定则。

原子的两个定态,,,l s n l m m ''''和,,,l s n l m m 之间如果满足上式，则在电偶极近似下光吸收和发射的跃迁几率不等于零，会有光谱线产生。

2.2电子的轨道和自旋有耦合的情况原子由一种态跃迁到另一种态有一定的几率，设电子的自旋和轨道有耦合作用下电子的本征态为j nljm ψ。

则电子由态j nljm ψ跃迁到jn l j m ψ''''电偶极自发跃迁几率为:222343n n n n e A r cω''→= （12） 其中,n n '各代表4个量子数，()nl n l E E ω''=-。

上式中2222n n n n n n n n r x y z ''''=++ （13）三个矩阵元中至少有一个不等于零，跃迁才是允许的。

j nljm ψ可以表示为：()(),,jj nljmnl ljm z R r s ψφθϕ= （14）其中()nl R r 为径向波函数，j ljm φ为()22,,z l j j 的共同本征函数，可以分成两类：,111,,22jlm A jm j l m j l m m φ+⎫⎪==+=+⎪⎭（15）,111,,22jl m Bjm j l m j l m m φ''+⎛⎫'⎪==-=+⎪⎭（16） 利用式（14），矩阵元n n r '可以分离变量地表示成：3jj n n l j m ljm n l nl rr R R r dr rφφ∞''''''︒=⎰（17）其中径向积分通常与选择定则无关。

利用公式2rr rr γγγσσσσσσ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭ （18）jjjjA B B Ajm jmjm jmγγσφφσφφ=-=-（19）即得jj j j j j B B A A A A j m jm j m jm j m jm r r r r r rγγφφφσσφφφ''''''==，()21γσ= （20） 类似地，可得jj j j B A A Bj m jm j m jm r r r rφφφφ''''=（21）再利用（18）式，可得2jj j j j j A A A B B Aj m jm j m jm j m jm r rφφφσφφσφ''''''-=+（22）'2j j j j j jB A A A B B jm j m jm j m jm j m r rφφφσφφσφ'''''-=+ （23） 利用Pauli 矩阵σ的具体形式为：0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，00y i iσ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭以及lm Y 的正交归一性和式（15）（16）（17）三式就可算出这些矩阵元。