人教版八年级数学上册 第27章 相似专题练习：相似三角形的判定与性质(含答案)

C ．∠

D ＝ ∠AEC

D △． AD

E ∽△CBE

c a c

c

C ．AC 2＝A

D · B C

D . ＝

小专题(四) 相似三角形的判定与性质

1．(河北中考)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点 E ，则下列结论 正确的是(D )

︵ ︵ A ．AE >BE

B .AD ＝BC

1

2

2．如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，△要使 ABC ∽△CAD ，只要 CD

等于(A )

b 2

b 2

ab

a 2 A . B . C . D .

3．如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ ABC ∽△DCA 成 立的是(D )

A ．∠BAC ＝∠ADC

B ．∠B ＝∠ACD

DC AB

AC BC

4．(邯郸育华中学月考)如图，在 7×12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中 由实线组成的相似三角形有(C )

A ．4 对

B ．3 对

C ．2 对

D ．1 对

提示：△ ABC ∽△FGE △， HIJ ∽△HKL .

5．如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于 E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交 PD 于 F ，AD 交 PC 于 G ，则图中相似三角形有 3 对．

提示：△ BCP ∽△PCF △， DAP ∽△DPG △

， APG ∽△BFP .

的延长线于 N ，则 1

＋ ＝1．

CD CE ，

AB －3 2

6．(河池中考)如图，菱形 ABCD 的边长为 1，直线 l 过点 C ，交 AB 的延长线于点 M ，交 AD

1 AM AN

7．(保定高阳章末测试)如图，在等边△ ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且 ∠ADE ＝60°.

(1)求证：△ ABD ∽△DCE ； (2)若 BD ＝3，CE ＝2，△求 ABC 的边长．

解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.

∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°，

∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°. ∴∠DAB ＝∠EDC .

又∵∠B ＝∠C ＝60°， ∴△ABD ∽△DCE .

(2)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC .

∴CD ＝BC －BD ＝AB －3. ∵△ABD ∽△DCE ，

∴ AB BD

＝

即 AB 3 ＝ .解得 AB ＝9.

8．(邯郸育华中学月考)如图所示，已知 ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2. (1)△求 AEF △与 CDF 的周长之比； (2)如果 △S AEF ＝6 cm 2，求 S △ CDF .

∴ FD BD ＝.

∵AB ＝AD ，BD ＝ BC ，

FD 2

1 ∴ ＝ ＝ .

解：(1)∵AE ∶EB ＝1∶2， ∴AE ∶AB ＝1∶3.

∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD . ∴AE ∶CD ＝AE ∶AB ＝1∶3. ∵AB ∥CD ，

∴△AEF ∽△CDF .

∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝1∶3. (2)∵△AEF ∽△CDF ， ∴△S AEF ∶△S CDF ＝1∶9. 又∵△S AEF ＝6， ∴△S CDF ＝6×9＝54(cm 2)．

9．如图，△在 ABC 中，AB ＝AD ，DC ＝BD ，DE ⊥BC ，DE 交 AC 于点 E ，BE 交 AD 于点 F .求证：

(1)△ BDF ∽△CBA ； (2)AF ＝DF .

证明：(1)∵BD ＝DC ， DE ⊥BC ，

∴EB ＝EC .

∴∠EBD ＝∠C . ∵AB ＝AD ，

∴∠ADB ＝∠ABC . ∴△BDF ∽△CBA . (2)由(1)知△， BDF ∽△CBA ，

AB CB 1

2

1 BC

AD CB 2

∴AF ＝DF .

10．(衢州中考)如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O 于点 D ， 连接 OD ，作 BE ⊥CD 于点 E ，交半圆 O 于点 F ，已知 CE ＝12，BE ＝9.

(1)求证：△ COD ∽△CBE ；

(2)求半圆 O 的半径 r 的长．

∴OD CO r 15－r ∴r ＝ .

＝CB ( C ▱ y BP ＝( )2＝ .

∴y ＝1－ － .

∴y ＝－ ＋x . (2)y ＝－ ＋x ＝－ (x －1)2＋ .

解：(1)证明：∵CD 切半圆于点 D ，OD 为⊙O 的半径， ∴CD ⊥OD .∴∠CDO ＝90°. ∵BE ⊥CD ，

∴∠E ＝90°.

∵∠CDO ＝∠E ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDO ∽△CEB . (2)∵在 △Rt BEC 中，CE ＝12，BE ＝9， ∴CB ＝15.

∵△CDO ∽△CEB .

EB ，即9＝ 15 .

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11．淄博中考)如图，在△ ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点(点 P 与点 B ， 不重合)， AFPE 的顶点 F ，E 分别在 AB ，AC 上．已知 BC ＝2，S △ ABC ＝1.设 BP ＝x ，▱ AFPE 的面积为 y .

(1)求 y 与 x 的函数关系式；

(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当 x 取何值时， 有这样的值，并求出该值； 若没有，请说明理由．

解：(1)∵四边形 AFPE 是平行四边形， ∴PF ∥CA .

∴△BFP ∽△BAC .

∴ S △ BFP ＝( )2 x )2. S △ BAC BC 2 x 2 ∵△S ABC ＝1，∴S △ BFP ＝ 4 .

同理 △S PEC ＝( 2－x x 2－4x ＋4 2 4

x 2 x 2－4x ＋4

4 4 x 2

2

x 2 1 1

2 2 2