概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案

第四章 大数定律与中心极限定理

习题4.1

1． 如果X X P

n →，且Y X P

n →．试证：P {X = Y } = 1．

证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有

⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，

又因X X P

n →，且Y X P

n →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩

⎨⎧

≥−+∞→εY X P n n ，

则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=

ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

<−k Y X P ， 故11||lim

1||}{1=⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

<

−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X P

n →，Y Y P

n →．试证：

（1）Y X Y X P

n n +→+； （2）XY Y X P

n n →．

证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有

⎭⎫⎩

⎨⎧

≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，

又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧

≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩

⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，

故0}|)()({|lim =≥+−++∞

→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X P

n n +→+；

（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，

对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8

}|{|2h

M Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8

}1|{|h Y Y P n <

≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4

}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <

≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}

时，有

244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧

≥⋅−εε，

存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1h

M Y Y P n <⎭⎬⎫⎩

⎨⎧≥−ε，有

244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩

⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧

≥⋅−εε，

则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有

h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，

故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X P

n n →．

3． 如果X X P

n →，g (x )

是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g P

n →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4

}|{|h M X P <

≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4

}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，

则2

44}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<

≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，

存在N 2 > 0，当n > N 2时，4

}|{|h

X X P n <≥−δ，

则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有

{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δε

h h

h h M X P M X P X X P n n =++<

≥++≥+≥−≤4

24}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞

→εX g X g P n n ，即)()(X g X g P

n →．

4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX P

n →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX P

n →；

当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧≥

−+∞

→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞

→εca cX P n n ，即ca cX P

n →．

5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1|

|→⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛−+−X

X X X E n n ．