1-1 高等数学 同济大学 第四版 课件

o
I
x
3．函数的奇偶性: ．函数的奇偶性
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有 f ( − x ) = f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y = f ( x)
f (− x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于 ∀x ∈ D, 有
f (− x ) = − f ( x )
∀ a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间 记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
o a
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则
x (
(
D
对应法则f 对应法则
x0 )
f ( x0 )
自变量
W
y
)
因变量
约定: 约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. 的一切实数值
例如， 例如， y = 1 − x 2 1 例如， 例如， y = 1 − x2
D
D
y
反函数 y = ϕ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数 y = f ( x ) P (a , b)
x
对称. 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称
1 x ∈ Q , 例3 设 D ( x ) = 0 x ∈ Q 7 求D( − ), D(1 − 2 ).并讨论 D( D( x ))的性质 . 5 7 解 D( − ) = 1, D(1 − 2 ) = 0, D( D( x )) ≡ 1, 5 y 单值函数, 有界函数, 单值函数 有界函数 1
τ 2
(τ,0) τ
t
1 0≤ x≤1 , 求函数 f ( x + 3)的定义域 . 设f ( x ) = − 2 1 < x ≤ 2
解
例2
1 0≤ x≤1 ∵ f ( x) = − 2 1 < x ≤ 2 1 0≤ x+3≤1 ∴ f ( x + 3) = − 2 1 < x + 3 ≤ 2 1 − 3 ≤ x ≤ −2 = − 2 − 2 < x ≤ −1
恒成立 . 则称f ( x )为周 期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 通常说周期函数的周期是指其最小正周期） 周期
−
3l 2
−
l 2
l 2
3l 2
四、反函数
y
函数 y = f ( x )
y0
y
反函数 x = ϕ( y )
y0
W
Wx0
x
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量是相对“过程”而言的 常量与变量的表示方法： 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲 其波形如图 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压 写出电压U与时间 的函数关系式. 所示 写出电压 与时间 t ( t ≥ 0)的函数关系式
τ U τ 解 当 t ∈ [ 0, ] 时 , ( , E) 2 2 E E 2E U= t = t; (τ,0) τ τ τ t τ o 2 2 τ 当 t ∈ ( , τ ] 时, 单三角脉冲信号的电压 2 E−0 2E U −0= (t − τ) ⋅ ( t − τ ), 即 U = − τ τ −τ 2
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间 I ∈ D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) > f ( x 2 ),
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
上的单调性. 二、证明 y = lg x 在( 0,+∞ ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( − a , a ) ( a > 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 为周期的函数， 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 , −1 < x < 0 且 f ( x) = ,试在( −∞ ,+∞ ) 上绘出 0, 0 ≤ x < 1 f ( x ) 的图形. 的图形. 证明：两个偶函数的乘积是偶函数， 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax − b 的反函数是其本身. 六、证明函数 y = 的反函数是其本身. cx − a e x − e−x 的反函数，并指出其定义域. 七、求 f ( x ) = x 的反函数，并指出其定义域. −x e +e
故 D f : [−3,−1]
三、函数的特性
1．函数的有界性: ．函数的有界性
若X ⊂ D, ∃M > 0, ∀x ∈ X , 有 f ( x ) ≤ M 成立,
则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
2．函数的单调性: ．函数的单调性
偶函数, 偶函数 不是单调函数, 不是单调函数 周期函数(无最小正周期 周期函数 无最小正周期) 无最小正周期
o
x
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合 区间 邻域 常量与变量 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
例如 A = {1,2},
C = { x x 2 − 3 x + 2 = 0}, 则 A = C .
不含任何元素的集合称为空集 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ∅ ) 空集 例如, 例如 { x x ∈ R, x + 1 = 0} = ∅
2
空集为任何集合的子集. 规定 空集为任何集合的子集
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数 区间 这两个实数叫做区间的端点. 这两个实数叫做区间的端点
若x ∈ A, 则必x ∈ B , 就说A是B的子集 . 记作 A ⊂ B .
数集分类: 数集分类
N----自然数集 自然数集 Q----有理数集 有理数集
Z----整数集 整数集 R----实数集 实数集
数集间的关系: 数集间的关系 N ⊂ Z , Z ⊂ Q , Q ⊂ R.
若A ⊂ B , 且B ⊂ A, 就称集合 A与B相等 . ( A = B )
D : [−1,1]
D : ( −1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个， 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数， 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数． 则叫与多值函数．
⋅( x, y)
x
例如， 例如， x + y = a ．
2 2 2
o
x
D
定义: 定义: 点集C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为
x ≥ a 或 x ≤ − a;
二、函数概念
例 圆内接正多边形的周长
π S n = 2 nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 圆内接正 边形
S6
O
π n
n = 3 ,4 ,5 , ⋯
r
是两个变量, 是一个给定的数集， 定义 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集，
如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总有
a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
− a ≤ x ≤ a;
思考题
1 2 设 ∀x > 0 ， 函数值 f ( ) = x + 1 + x ， x 的解析表达式. 求函数 y = f ( x ) ( x > 0) 的解析表达式
思考题解答
1 设 =u x