矩阵典型习题解析

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2 矩阵

矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单!

2.1 知识要点解析

2.1.1 矩阵的概念

1.矩阵的定义

由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表

mn m m n n a a a a a a a a a A

21

22221

11211

称为m×n 矩阵,记为n m ij a A )( 2.特殊矩阵

(1)方阵:行数与列数相等的矩阵;

(2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下)

三角阵;

(3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵;

(5)单位矩阵:主对角线上元素全是1的对角阵,记为E ; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;

)(

若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ,则称A 与B 相等,记为A=B 。

2.1.2 矩阵的运算

1.加法

(1)定义:设mn ij mn ij b B A A )(,)( ,则mn ij ij b a B A C )( (2)运算规律

① A+B=B+A ;

②(A+B )+C =A +(B+C )

③ A+O=A

④ A +(-A )=0, –A 是A 的负矩阵

2.数与矩阵的乘法

(1)定义:设,)(mn ij a A k 为常数,则mn ij ka kA )( (2)运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA ,

③ (KL ) A = K (LA )

3.矩阵的乘法

(1)定义:设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则

,)(mp ij C C AB 其中

n

k kj

ik ij b a

C 1

(2)运算规律

①)()(BC A C AB ;②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( (3)方阵的幂

①定义:A n ij a )( ,则K

k A A A

②运算规律:n m n m A A A ;mn n m A A )( (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

①BA AB

②;00,0 B A AB 或不能推出

③k k k B A AB )( 4.矩阵的转置

(1)定义:设矩阵A =mn ij a )(,将A 的行与列的元素位置交换,称为矩阵A

的转置,记为nm a A ji T )( ,

(2)运算规律

①;)(A A T T ②T T T B A B A )(; ③;)(T T KA kA

④T T T A B AB )(。

(3)对称矩阵与反对称矩阵

若,A A T 则称A 为对称阵;

A A T ,则称A 为反对称阵。

5.逆矩阵

(1)定义:设A 为n 阶方阵,若存在一个n 阶方阵B ,使得AB=BA=E ,

则称A 为可逆阵,B 为A 的逆矩阵,记作1 A B 。

(2)A 可逆的元素条件:

A 可逆0 A

(3)可逆阵的性质

①若A 可逆,则A -1也可逆,且(A -1)-1 =A ; ②若A 可逆,k ≠0,则kA 可逆,且1

11)(

A k

kA ; ③若A 可逆,则A T 也可逆,且T T A A )()(11 ; ④若A ,B 均可逆,则AB 也可逆,且111)( A B AB 。 (4)伴随矩阵

①定义:T n ij A A )(* ,其中ij A 为ij a 的代数余子式, ②性质:

i )E A A A AA **; ii )1

* n A A ;

iii )A A

A n 2

**)( ;

iv )若A 可逆,则*A 也可逆,且A A

A A 1)()(*11* ③用伴随矩阵求逆矩阵公式:*

11A A

A

2.1.3 方阵的行列式

1.定义:由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式(各元素的位置不变)叫

做方阵A 的行列式,记为A 或detA 。

2.性质:

(1)A A T ,

(2)A k kA n ,

(3)B A AB ,

(4)A

A 11

3.特殊矩阵的行列式及逆矩阵

(1) 单位阵E :E E E 1;

1;

(2) 数量矩阵kE :;n k kE 当E k

kE k 1)(,01 时 (3)对角阵:

;,*

212

1n n

若021 n ,则

n 11

12

11

4. 上(下)三角阵

设nn nn a a a A a a a A

221122

11

,*

则 若0 A ,则1 A 仍为上(下)三角阵

2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

1.矩阵的初等变换 (1)定义:以下三种变换

①交换两行(列);

②某行(列)乘一个不为零的常数k ;

③某行(列)的k 倍加到另一行(列)上去,称为矩阵的初等变换。

2.初等矩阵

(1)定义:将n 阶单位阵E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵;

交换i ,j 两行(列),记为E (i, j );

第i 行(列)乘以不为零的常数k 记为E(i(k));

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