9.1二次根式和它的性质(第二课时)

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[初中数学]+二次根式第2课时+二次根式的性质课件+人教版数学八年级下册

( 3) ( 5 )2 ； ( 4 ) ( 2 2 )2 .
解: ( 3 ) ( 5 )2 5 .
( 4 ) ( 2 2 )2= 22 ( 2 )2 = 42 =8 .
二 a2 的性质
活动2:填一填： a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0) 平方 2 运算
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.1
0.01
0.1
和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
想一想到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有
哪几类？
整式
代数式分式
二次根式
练一练
1.在下列各式中，不是代数式的是（ B ）
A.7
B.3＞2
x
C. 2
D．2 x2 y2
3
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式
导入新课
什么是二次根式？一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二
次根式. “ ”称为二次根号.
第十六章二次根式
16.1 二根次式
第2课时二次根式的性质
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程， 2.会运用二次根式的性质进行化简计算.
学习重点
经历二次根式的性质的发现过程.
学习难点
会运用二次根式的性质进行化简计算.
2
4
2
3
9
3
0 ...
0
...
0
...
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时， a2 =-？a
a(a＜0) 平方 -2 运算
-0.1
2
...3
a2

《二次根式》第2课时示范课教学设计【数学八年级上册北师大】

《二次根式》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围内正确计算，培养类比学习的能力.
4.增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理、表达能力。

二、教学重难点
重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
a a
(a≥0，b>0)
=
b b
思考长方形的面积是20，它的长是5，宽是多少？
教师追问：该怎么计算呢？
教师提示：这一节我们根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题吧.
a b=a b(a≥0
a
(a≥0，b>0)
=
b
加法、减法法则：
先化为最简二次根式.
35
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

《二次根式和它的性质》PPT课件

二次根式和它的性质
我国自主研制的第一艘载人航天飞船“神舟5号”于2003年10月15 日发射成功．
（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半径.你能求出第一宇宙速度吗？
( 双重非负性)
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ≥0，（x+2）2+ y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的，丁苗圃的边长是多少？ p 米
p
（4）你发现上面各题的答案有什么共同特点？与学过的算术平方根等相比有什么共同点？与同学交流．
式子 S+25 ， 2S ，
s

初中数学_9.1二次根式和它的性质教学课件设计

则 x-3 0 解得 x 3
∴当x 3时， x 3 在实数范围内有意义.
1
（2） 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义
则
1- x ≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义.
注意：
1、被开方式大于或等于0. 2、被开方式是分式时，分母不等于0. 3、被开方式比较复杂时，列不等式组求解.
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
想一想：二次根式的特点是什么？
1、形式上含有“ ”；
2、被开方式a≥0。
你能举出几个二次根式的例子吗？
7，
1，
2
x2 y ( y 0)， x2 y2
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6,
×
(3) 12, × (4) - m (m≤0),
(5) a2 1 , (6) 3 5
边长是多少？ 2S 米
1
（3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 p，丁苗圃的边长是多少？ s
p米
探究一
观察上面三个算式 S 25，
2S，
S以及你学过的算术平方
P
根
，2
，9
等1，你发现它们在表达形式上有什么共同特
3
征？与同学交流.
乙
①都是形如 a的式子，
甲
②a都是非负数.
二次根式的概念
一般地，形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式．
探究二
我们知道， a (a≥0) 表示a的算术平方根，即

2
a
= a （a≥0）
你能说出在这个等式中，有哪些非负数吗？
例2 计算： (1)( 16)2;

二次根式和它的性质第二课时

2.因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
( a ) = a(a≥ 0);
2 2 ( a ) a= (a≥, ，0 4
的算术平方根呢？
2
（2）计算 2 3 了什么？
，
2
，
1 2，（） 2
0 的值，你发现
2
当a
1. 当 a
≥
0时 ,
a 2 = a.
2. 当a ≥ 0时, ( a ) 2 = 3.
a2 .
课本115页练习1 、2、3
9.1 二次根式和它的性质 9.1.2 二次根式和它的性质（第二课时）
1. 经历二次根式性质发现的过程，体验归纳、类比的思想方法应用. 2. 会用二次根式的性质将简单的二次根式化简.
3. 学会用积的算术平方根法则进行二次根式的化简.
1. 形如
a（a≥0）的式子叫做二次根式．
a 的式子，
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点： ①都是形如 ②a都是非负数.
（1）
64×49 ；
（2）
27 ；
（3） 4
a
2
.
解：（1）
（2）（3）
64×49 = 64× 49 = 8×7 = 56 .
27 = 9×3 = 9 × 3 = 3 3 .
4a =
2
4×
a
2
= 2a.
65 10√7
3 √2 b √a 2x√2x
12
15x4y3
10√2
课堂小结
通过本课时的学习，我们学习了:
≥
0时 ,
a
2
= a.
利用上面的性质可以计算、化简一些二次根式.

9.1《二次根式和它的性质(1)》参考教案

小结
作业
谈谈这节课你有什么收获？
P118习题9.1第1、2题。
学生做在练习本上。
课后反思
4、交流上面得到的答案有什么共同点?与学过的算术平方根相比有什么共同点？
学生思考，然后回答问题。
学生阅读题目，然后讨论回答问题。
例题讲解
点拨：应用这个式子可以计算一些二次根式的平方。
师生共同总结。
学生自主学习，然后交流讨论。
学生总结，教师指导。
学生思考并回答问题。
学生交流，然后板书。
师生总结。
巩固练习
教学内容
9.1二次根式和它的性质（1）
教学目标
1、了解二次根式的概念。
2、掌握二次根式中字母的取值问题。
3、理解公式( )2（a≥0），能利用公式化简二次根式。
教学重点
会计算二次根式的平方。
教学难点
会计算二次根式的平方。
教学准备
相关题目
课前预习
1、什么叫二次根式？
2、什么叫被开方式？
教学过程
教学环节
教师活动（教法）
学生活动（学法）
情景导入
交流发现复Leabharlann ：1、举例什么叫算术平方根？
2.举例说明什么叫平方根？
山青林场有甲、乙两块正方形苗圃。已知甲苗圃的面积为S平方米。
1、如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？
2、如果乙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，乙苗圃的边长是多少？
3、如果乙苗圃的面积与甲苗圃的面积比为4:9，乙苗圃的边长是多少？

《二次根式》PPT(第2课时二次根式的性质)

PPT素材：/s ucai/ PPT图表：www.1ppt .co m/tu biao/ PPT教程： /powerpoint/ 个人简历：www.1ppt. co m/jia nli/ 教案下载：www.1ppt. co m/jia oan/ PPT课件：www.1ppt. co m/ ke jian/ 数学课件：www.1ppt.c om/keji an/shuxue/ 美术课件：www.1ppt.c om/keji an/mei shu/ 物理课件：www.1ppt.c om/keji an/wuli / 生物课件：www.1ppt.c om/keji an/sheng wu/ 历史课件：www.1ppt.c om/keji an/lishi /
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方：
(2) (2
5)2 22 (
5)2
45
（ab）2=a2b2
20.
二 a2 (a 0) 的性质
填一填：
a
-4
平方运算
a2
算术平
（-4）2=16 方根
a2
4
0
02=0
0
1
12=1
1
-1
（-141）2 2=1161
1
观察：两者有什么关系？
思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由．
一、导入新课：
导入2
PPT模板：www. 1ppt.co m/ mob an/ PPT背景：/beiji ng/ PPT下载：/xiaz ai/ 资料下载：www. 1ppt.co m/zilia o/ 试卷下载：/shiti / 手抄报：/shouc haobao/ 语文课件：/keji an/yuwen/ 英语课件：/keji an/ying yu/ 科学课件：/keji an/kexue/ 化学课件：/keji an/huaxue/ 地理课件：/keji an/dili/

9.1 二次根式和它的性质(2)

年级八年级学科数学第 9 单元第2课时总计课时 2014年 4月 21日1 9.1 二次根式和它的性质（2）一、学习目标1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；2、了解二次根式的两个性质；3、会用二次根式的性质将简单二次根式化简。

二、学习重点、难点重点：利用性质进行运算。

难点：化简过程和一些技巧的运用。

课前预习案（一）复习：1、二次根式：（1）定义：)0(≥a a （2）性质：)0()(2≥=a a a（二）预习课本解决问题1、==2a2、=ab （0,0≥≥b a ）课内探究（一）观察思考，合作交流1、你过去怎样求4，9，41，0的算术平方根？ 2、计算：=22 ，23= ， =2)0( 。

根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , 它的意义是。

3、比较)0()(2≥=a a a 与)0(2≥=a a a ，他们有哪些相同和不同？4、例题讲解:例3、化简：（1）01.0 （2）2)2(- （3）29a跟踪练习：化简：（1）243⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）25.0 （3）()232⨯-________2=a课型：新授执笔：马海丽审核：韩增美滕广福2 （二）合作探究1、；，______________94________________94=⨯=⨯ ；，______________2516________________2516=⨯=⨯ 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？如何证明你发现的结论?2、例题讲解:例4、化简：（1）4964⨯ （2）27 （3）24a注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因数中，不含有1以外的自然数的平方数。

跟踪练习：化简：（1）16925⨯ （2）624⨯ （3）200 （4）2ab（三）课堂小结（四）拓展延伸1、化简：（1）8116⨯ （2）1212516⨯⨯ （3）188⨯ （4）)4(16+x2、为使n 120的值是正整数，实数n 的最小值是多少？整数n 的最小值呢？（五）达标测试1、（1）49169425⨯ （2）28m 2、.已知x=3+2，y=3-2，求x 2+2xy+y 2的值。

初中数学_二次根式的性质第二课时教学设计学情分析教材分析课后反思

二次根式性质（第二课时）教学设计教学目标：1、掌握二次根式的性质，了解最简二次根式的概念，会辨别、化简最简二次根式；2、经历探索二次根式的性质的过程，发展学生观察、归纳、概括、类比等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力；3、体会数学之简（形式、思想之简），深刻理解本节数学课蕴含的大道至简的朴素哲理，由此拓展学生思维宽度，培养学生学习数学的浓厚兴趣。

教学重点：二次根式的性质和最简二次根式的概念。

教学难点：熟练地把二次根式化为最简二次根式。

教学过程：一、课堂引入教师多媒体展示书法：万物之始，大道至简，衍化至繁。

-老子《道德经》教师阐释含义，引导学生初步理解大道至简含义。

教师播放大道至简短片，让学生体会感悟。

教师进行发问：1、和“简”字相关的词语有哪些？2、数学上与简字相关的是什么知识？教师引导，营造浓厚学习兴趣，引出本节课将继续按照上节内容探索二次根式的性质，把二次根式进行化简。

二、温故知新（简单回顾(运用性质化简二次根式））性质3：)0≥,0≥(b a b a ab •=练习：()=×81161 ()=3242b a化简标准：二次根式内不含有开方开得尽的因数或因式。

三、探索新知（简化性质（类比上一课时探索性质））1、计算下面算式，并认真思考2、先自主思考上面的运算结果，你发现了什么规律？并与同位交流讨论，试着用文字语言表述？文字语言：商的算术平方根等于除式与被除式算术平方根的商。

符号语言：)0,0(>≥=b a ba b a特别提醒：此时b 作分母，b>0四、巩固练习（化简二次根式）1、()==94,941==2516,2516)2(()相等吗？为什么？与76763;253)1(().1694522、观察下列二次根式，把它们分成两组教师提问：如何将上面二次根式分为两组，你的分组依据是什么？教师引导学生认真思考，得出：可以分为分母为开方开得尽的数和分母为开方开不尽的数两组。

《二次根式和它的性质》PPT课件(上课用)

(3)( 0.85)2 = ( 0.85)2 = 0.85;
(4)( a + 5)2 =a＋5 (a≥ 5) .
快速抢答
(1)( 12)2; (3)( 3.6 )2;
(2)(4 5 )2; (4)( x2+ 1)2
知识点.性质公式( a)2 = a(a≥ 0的) 逆用
把式子 ( a )2 = a(a≥ 0) 反过来，就得到 a = ( a )2 (a≥ 0).
•
1、有时候，我们活得累，并非生活过于刻薄，而是我们太容易被外界的氛围所感染，被他人的情绪所左右。
•
2、身材不好就去锻炼，没钱就努力去赚。别把窘境迁怒于别人，唯一可以抱怨的，只是不够努力的自己。
•
3、大概是没有了当初那种毫无顾虑的勇气，才变成现在所谓成熟稳重的样子。
•
4、世界上只有想不通的人，没有走不通的路。将帅的坚强意志，就像城市主要街道汇集点上的方尖碑一样，在军事艺术中占有十分突出的地位。
•
18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。
•
19、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会中看到了某种忧患。莫找借口失败，只找理由成功。
•
20、每一个成就和长进，都蕴含着曾经受过的寂寞、洒过的汗水、流过的眼泪。许多时候不是看到希望才去坚持，而是坚持了才能看到希望。
•
5、世上最美好的事是：我已经长大，父母还未老;我有能力报答，父母仍然健康。
•
6、没什么可怕的，大家都一样，在试探中不断前行。
•
7、时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。纽扣第一颗就扣错了，可你扣到最后一颗才发现。有些事一开始就是错的，可只有到最后才不得不承认。

9.1.2二次根式和它的性质(2)

你能证明你的结论吗？
因此
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
例4 化简：
解：
化简：
65
12
10 7
挑战自我：
120 n 为了使二次根式
的值是正整数，实数 n 的最小值是多少？整数 n
的最小值呢？
巩固提升
解：
（）
作业： P115练习3 P118习题3,4
思考：当a˂0时， a 2 ?
（4）比较等式
当a≧0时，
2
a
a2
，它们有哪些相同和不同？
例3 化简：
解：
3
4
0.5
-6
交流与发现
（1）先观察下面每组中的两个算式，说出它们有什么不同，然后分别计算它们，比较运算的结果，你有什么发现？
6
6
20
20
（2）如果a≥0，b≥0，你猜测 ab 与 a• b是否相等？
9.1 二次根式和它的性质（2）
知识回顾
• 知识点一：定义
• 知识点二：二次根式有意义的条件：被开方式为非负数
• 知识点三：二次根式性质 • 注意运算顺序：先开平方，再计算平方。
观察与思考：
（1）回忆一下，你过去是怎样求4，9，1 ，0的算术平方根的？
4
（2）计算
的值，你发现了什么？
（3）一般地，当a≥0时， a 2 的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的式？

二次根式第2课时二次根式的性质教案新版新人教版

第2课时二次根式的性质1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入a2等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a2的值，看看有什么规律．22＝4＝2；（－2）2＝4＝2；32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…你能概括一下a2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】利用a2＝|a|、(a)2＝a进行计算化简：(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.方法总结：利用a2＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．【类型二】 (a)2＝a(a≥0)的有关应用在实数范围内分解因式．(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．解：(1)a2－13＝a2－(13)2＝(a＋13)(a－13)；(2)4a2－5＝(2a)2－(5)2＝(2a＋5)(2a－5)；(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b|.解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b ＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b ＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b －a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c －b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x 的取值范围分段进行讨论解答．解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x －1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x ＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x －1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a2＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．【类型四】二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．(1)2＋1＝2，S1＝12，(2)2＋1＝3，S2＝22，(3)2＋1＝4，S3＝32.(1)请用含n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n 个三角形的一直角边长就是n ，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．解：(1)(n )2＋1＝n ＋1，S n ＝n2(n 是正整数)；(2)∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…∴OA 10＝10；(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝14(1＋2＋3＋…＋10)＝554. 方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．n →立方→＋n →÷n →－n →答案解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n n －n .故答案为n 3＋nn－n .方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计1．二次根式的性质1：(a )2＝a (a ≥0)；2．二次根式的性质2：a 2＝a (a ≥0)． 3．代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．。