学科专业知识(中学数学)
2024年教师资格(中学)-数学学科知识与教学能力(初中)考试历年真题摘选附带答案
2024年教师资格（中学）-数学学科知识与教学能力（初中）考试历年真题摘选附带答案第1卷一.全考点押密题库(共100题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分)我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”，这一方法的首创者是()。
A. 贾宪B. 刘徽C. 朱世杰D. 秦九韶2.3.(单项选择题)(每题 1.00 分)关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的()为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。
A. 梅内赫莫斯B. 泰勒斯C. 欧几里得D. 阿基米德4.(单项选择题)(每题5.00 分)下列说法正确的是()。
A. 单调数列必收敛B. 收敛数列必单调C. 有界数列必收敛D. 收敛数列必有界5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 一元三次方程x3 -3x-4 = 0的解的情况是（）。
A. 方程有三个不相等的实根B. 方程有一个实根，一对共轭复根C. 方程有三个实根，其中一个两重根D. 无解6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 我国现行法律认为，教师职业是一种（）。
A. 私人职业B. 从属职业C. 专门职业D. 附加职业7.(单项选择题)(每题 1.00 分)下列关于椭圆的论述，正确的是()。
A. 平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆B. 平面内到定点和定直线距离之比小于1的动点轨迹是椭圆C. 从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆另一个焦点D. 平面与圆柱面的截线是椭圆8.(单项选择题)(每题 1.00 分)设4阶矩阵A与B仅有第3行不同，且|A|=1，|B|=3，则|A+B|=()。
A. 3B. 6C. 12D. 329.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设向量a，b满足：|a| = 3，|b| = 4, a.b=0。
以a，b，a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）。
A. 3B. 4C. 5D. 610.(单项选择题)(每题 1.00 分)《义务教育数学课程标准（2011 年版）》从四个方面阐述了课程目标，这四个目标是（）。
浙江省教师招聘考试资料 学科专业知识 中学数学
北京·广州·上海·西安浙江省教师招聘考试专用教材学科专业知识窑中学数学中公教育浙江教师招聘考试研究院编著严格依据浙江省教师招聘考试说明编写浙江省教师招聘考试专用教材·学科专业知识·中学数学编著:中公教育浙江教师招聘考试研究院责任编辑:夏丹和静装帧设计:中公教育设计中心出版:世界图书出版公司北京公司出版人:张跃明发行:世界图书出版公司北京公司(地址:北京朝内大街137号邮编:100010电话:64077922)销售:各地新华书店印刷:大厂回族自治县聚鑫印刷有限责任公司开本:850mm ×1168mm 1/16印张:19.5字数:374千版次:2012年5月第1版2013年11月第2次印刷ISBN 978-7-5100-4306-2定价:48.00元版权所有翻印必究图书在版编目(CIP)数据学科专业知识.中学数学/中公教育浙江教师招聘考试研究院编.—北京:世界图书出版公司北京公司,2011.12(2013.11重印)浙江省教师招聘考试专用教材ISBN 978-7-5100-4306-2Ⅰ.①学…Ⅱ.①中…Ⅲ.①中学数学课-教学法-中学教师-聘用-资格考试-自学参考资料Ⅳ.①G451.1中国版本图书馆CIP 数据核字(2012)第003663号前言浙江省从2009年开始,统一组织全省中小学教师公开招聘工作,招聘采用笔试面试相结合的方式进行,笔试的内容可以分为公共科目和专业科目两种,公共科目的考试主要考查考生的教育理论基础知识,专业科目考查的则是相应科目的专业知识。
从考试说明及历年真题考试情况来看,浙江省教师招聘学科专业知识考试,除重视对各重要基本知识点的考查外,对教师教学基本能力的要求也越来越高。
因此,考生在复习时,除要牢牢掌握基本理论知识点外,更要能结合教学实际、新课程改革进行思考,学会举一反三,从而达到融会贯通的程度,在掌握相关理论的基础上解决实际问题。
教师资格考试中学数学学科知识
教师资格考试中学数学学科知识中学数学学科知识是教师资格考试的重要内容之一，涵盖了数学基础知识、基本技能、数学思想方法、数学应用等方面。
对于数学学科知识的理解和掌握，应从以下几个方面入手：数学基础知识：包括代数、几何、概率与统计等基础知识，这些知识是数学学科的基础，必须熟练掌握。
基本技能：包括运算技能、推理技能、作图技能等，这些技能是解决数学问题的基本能力，必须具备扎实的基本功。
数学思想方法：包括函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等，这些思想方法是解决数学问题的关键，必须深入理解和掌握。
数学应用：中学数学学科知识不仅包括基础知识和技能，还包括数学应用方面的知识，如数学建模、数学抽象、数学归纳等，这些知识有助于学生运用数学解决实际问题。
近年来，教师资格考试中学数学学科知识的命题趋势呈现出注重基础、强调应用、考查思维等特点。
因此，在备考过程中，需要注意以下几点：注重基础知识的学习：中学数学学科知识的基础知识非常重要，必须熟练掌握。
在备考过程中，要注重基础知识的学习和巩固，尤其是基本概念、基本公式、基本方法等。
强调数学应用能力的培养：数学应用是中学数学学科知识的重要内容之一，也是命题的重点。
在备考过程中，要注重数学应用能力的培养，学会运用数学知识解决实际问题。
考查思维能力的提高：中学数学学科知识的命题不仅注重基础知识和应用能力，还注重思维能力的考查。
在备考过程中，要注重思维能力的提高，学会运用数学思想方法解决问题。
熟悉题型和考试时间：教师资格考试中学数学学科知识的题型包括选择题、填空题、解答题等，考试时间为120分钟。
在备考过程中，要熟悉各种题型和考试时间分配，提高解题速度和准确率。
中学数学学科知识的内容非常丰富，有些知识点可能比较抽象或复杂，需要考生深入理解和掌握。
以下是一些重点难点及突破方法：函数与方程：函数与方程是中学数学的重要内容之一，也是解决实际问题的重要工具。
在备考过程中，要注重函数与方程的基本概念、性质和方法的掌握，同时要注意与实际问题的和应用。
2017下半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(初级中学)附答案解析
【解析】
A项错误，A项中未强调此常数要大于两定点之间的距离，正确的说法是：平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于两定点间的距离)的动点轨迹是椭圆。B项错误，B项未强调定点不在定直线上，正确的说法是：平面内到定点和定直线距离之比大于O且小于1的动点轨迹是椭圆。C项正确．这是椭圆的光学性质，即从椭圆的一个焦点发出的射线(光线)，经椭圆反射后通过椭圆另一
称为数域P上的一个n元二次型。二次齐次多项式不包含一次项和常数项。所以由定义可知D选项正确。
6.已知随机变量X服从正态分布N(μ，)，设随机变量Y=2X，那么Y服从的分布是()。
A.N(2μ，2) B.N(4μ，4) C.N(2μ，4)
D.N(μ，)
【答案】C
【解析】
由于随机变量X服从正态分布N(μ，)，则随机变量Y=2X的均值为2μ，方差为4，即Y服从的分布是N(2μ，4)。
2017下半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(初级中学)
本卷共分为
分，90分及格。
一、单项选择题(本大题共8小题。每小题5分，共40分)
1.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D
【解析】
2.当x→时，与x-叫。是等价无穷小的为()。A.sin(x-)
B.C.(x-)2 D.ln|x-|
【答案】A
A.线段
B.正五边形
C.平行四边形
D.椭圆
【答案】B
【解析】
线段是中心对称图形，对称中心为线段的中点；正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点； 椭圆是中心对称图形也是轴对称图形，对称中心为长轴与短轴的交点，对称轴是长轴或短轴所在的直线。
全国统考教师资格证考试重点初中数学学科知识复习资料
欢迎共阅欢迎共阅初中数学学科知识复习资料《数学学科知识与教学能力》（初级中学）大纲《数学学科知识与教学能力》（初级中学）大纲一、考试目标一、考试目标1．学科知识的掌握和运用。
掌握大学专科数学专业基础课程的知识、中学数学的知识。
具有在初中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。
中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。
2．初中数学课程知识的掌握和运用。
理解初中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。
年版）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。
3.数学教学知识的掌握和应用。
理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。
能力。
二、考试内容模块与要求二、考试内容模块与要求1.学科知识学科知识数学学科知识包括大学专科数学专业基础课程、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程中的内容知识。
中数学课程中的内容知识。
大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。
专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。
其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。
高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程知识是指高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）以及初中课程中的全部数学知识。
程中的全部数学知识。
其内容要求是：理解中学数学中的重要概念，掌握中学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。
2019年湖南教师招聘考试考前备考学科专业知识-数学
2019年湖南教师招聘考试考前备考学科专业知识第一部分高频考点考点·数的有关概念·★★☆1．四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1．2．因数和倍数：如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）；倍数和因数是相互依存的；一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身．3．奇数和偶数：自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数；能被2整除的数叫做偶数；0也是偶数；不能被2整除的数叫做奇数．4．质数与合数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数；1不是质数也不是合数，非零自然数除了1外，不是质数就是合数．5．倒数：乘积是1的两个数互为倒数；求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置；1的倒数是1，0没有倒数．例题1．在1-100的全部自然数中，既不是3的倍数也不是5的倍数的数有_________个．例题1．【答案】53．解析：1-100的全部自然数有100个，其中是3的倍数的有100[]333=个，是5的倍数的有100[]205=个，既是3的倍数又是5的倍数（是15的倍数）的有100[]615=个，因此在这100个自然数中，是3的倍数或5的倍数的个数共有33+20-6=47个，则既不是3的倍数又不是5的倍数的个数共有100-47=53个．例题2．把89000000写成用“万”作单位的数是_________，把9958200000写成用“亿”作单位的数约是_________．例题2．【答案】8900万；100亿．解析：本题考查万以上整万或整亿数的改写方法与求近似数的方法．万以上数的改写方法：直接把末尾4个0或者8个0去掉，再加上一个“万”字或者“亿”字；万以上非整万或非整亿数的改写方法：在万位的右下角点上小数点，把末尾的0去掉同时在后面写上“万”字，在亿位的右下角点上小数点，把末尾的0去掉同时在后面写上“亿”字；求近似数的方法是：先看精确到哪一位，再看下一位是几，最后利用四舍五入的方法解决．例题3．求100以内除以3余2的所有数的和．例题3．【答案】1650．解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、 、98，是公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项，9823133-÷+=（），再利用公式求和2983321650+⨯÷=（）．考点·比与比例★★★1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商．2．比例尺：（1）数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺；（2）线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离．3．比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．4．正比例和反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．用字母表示y/x=k（一定）；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．用字母表示x×y=k（一定）．例题1．冰化成水后，体积比原来减少112，水结成冰后，体积比原来增加（）．A．110B．111C．112D．16例题1．【答案】B．解析：先把冰的体积看做单位“1”，则化成水以后，水的体积是1-112=1112，也就是水的体积相当于冰的1112，当它结成冰时，体积比水增加112÷1112=111．例题2．10：12=x：30，则x的值是（）．A．24B．25C．26D．27例题2．【答案】B．解析：根据比例的性质，内项之积等于外项之积，所以12x=300，得x=25，故选B．考点·相遇问题·★★★数量关系：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式．例题．已知甲、乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分为相等的4段，即两条直跑道和两条弯道的长度相等．甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米．若甲、乙两人分别从A、C处同时出发（如右图），则他们第100次相遇时，在跑道_________上．（填“AB”或“BC”或“DA”或“CD”）．例题．【答案】DA．解析：根据路程=速度×时间的等量关系，列出方程：依题意得到方程4x+6x=100，10x=100，x=10，10秒后两人首次相遇．设y秒后两人再次相遇，依题意得到方程4y+6y=200，10y=200，y=20，即20秒后两人再次相遇．第3次相遇，总用时10+20×2，即50秒，第100次相遇，总用时10+20×99，即1990秒，则此时甲跑的圈数为1990×4÷200=39.8，200×0.8=160米，此时甲在DA弯道上．考点·追及问题·★★★数量关系：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间例题．A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？例题．【答案】4次．解析：-=（分钟）内所走的路由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在1008020+）分钟内所走的路程，程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80100因此，乙的速度是甲的9倍（即180/20=9），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共⨯+=（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为需走80(19)800一个AB全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟（即100*2=200（分钟）），所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．考点·列车问题·★★☆（1）列车过桥（隧道）列车车长＋桥（隧道）长度（总路程）＝列车速度×通过的时间（2）列车＋树（电线杆）列车车长（总路程）＝列车速度×通过时间（3）列车＋列车错车问题：相当于相遇问题快车车长＋慢车车长（总路程）＝（快车速度＋慢车速度）×错车时间超车问题：相当于追及问题快车车长＋慢车车长（总路程）＝（快车速度—慢车速度）×错车时间例题．小李、老王两名护路工人分别沿铁轨路基旁的小道，反向步行进行安全检查，已知他俩步行速度都是3.6km/h，一列火车匀速地向小李迎面驶来，从小李身旁开过，用了29s，然后从老王身旁开过，用了31s，这列火车长多少米？例题．【答案】899米．解析：3.6km/h=1m/s，设火车的速度v，车长为l．分析火车与小李相向而行时，有29×1+29v=l；火车与老王同向而行时，有31×1+l=31v．解得：30l=米长．v=，所以车长899考点·时钟问题·★☆数量关系：分针的速度是时针的12倍，通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算．解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式．例题．有一座时钟现在显示8：30．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？例题．【答案】71311分钟，56511分钟．解析：第一次相遇所需时间有两种解法：解法一：分针追上时针的刻度为：30(8)53012.560+⨯-=格，所需时间：3017[(8)530](1)13601211+⨯-÷-=（分钟）解法二：从8：00开始分针追上时针所需时间-30分钟=8：30分开始分针追上时针的时间：17785(1)304330=13121111⨯÷--=-（分钟）第二次重合所需时间：1560(1)651211÷-=（分钟）答：经过71311分钟分针与时针第一次重合，经过56511分钟分针与时针第二次相遇．考点·工程问题·★★★工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式．例题．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，_________队的施工速度快．例题．【答案】乙．解析：设总工程为3个单位，则甲队1个月完成1313⨯=个单位，剩余2个单位用0.5个月完成，则每月完成240.5=个单位，则乙每月完成4-1=3个单位，因此乙队施工速度更快．考点·鸡兔同笼问题·★☆数量关系：第一鸡兔同笼问题假设全都是鸡，则有：兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有：鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）解题思路和方法：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔．如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔．这类问题也叫置换问题．通过先假设，再置换，使问题得到解决．例题．鸡兔同笼有30个头，88只脚，鸡有_________只，兔有_________只．例题．【答案】16；14．解析：假设全部是鸡，则有60只脚，比原有脚数少了88－60＝28（只），所以兔子只数为28÷2＝14（只），所以鸡的只数为30－14＝16（只）．考点·存款利率问题·★★☆数量关系：年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］例题．李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长．例题．【答案】两年半．解析：因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率，所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大强的存款期是30月，即两年半．考点·整式的运算·★☆1．幂的运算性质：m n m n a a a += ；()m n mn a a =；m n m n a a a -÷=；()n n n ab a b =．2．乘法公式（1）2()()()x p x q x p q x pq ++=+++．（2）22()()a b a b a b +-=-．（3）222()2a b a ab b +=++．（4）222()2a b a ab b -=-+．3．整式的除法（1）单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．例题1．下列计算正确的是（）．A ．2x 2－4x 2=－2B ．3x ＋x=3x 2C ．3x∙x=3x 2D ．4x 6÷2x 2=2x 3例题1．【答案】C ．解析：A ．2x 2－4x 2=－2x 2，错误．B ．3x ＋x=4x ，错误．C ．3x∙x=3x 2，正确．D ．4x 6÷2x 2=2x 4，错误．例题2．下列运算正确的是（）．A ．222222(2)2()3a b a b a b+--+=+B ．212111a aa a a +--=--C ．32()(1)m m m m a a a -÷=-D ．2651(21)(31)x x x x --=--例题2．【答案】C ．解析：A 项应等于23a ；B 项应等于21a -；D 项应等于（6x+1）（x-1）．考点·因式分解·★☆1．因式分解的方法：（1）提取公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．2．提公因式法：ma +mb +mc =m （a +b +c ）．3．公式法（1）a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）．（2）a 2+2ab +b 2=（a +b ）2．（3）a 2－2ab +b 2=（a －b ）2．4．十字相乘法：x 2+（p +q ）x +pq =（x +p ）（x +q ）．例题．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）．A ．2221(1)x x x +-=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．2244(2)x x x ++=+D ．22(1)ax a a x -=-例题．【答案】C ．解析：根据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式积的形式，判断即可．详解：A ．2221(1)x x x +-=-,故A 不是因式分解；B ．是整式的乘法，故B 不是因式分解；C ．是因式分解；D ．222(1)(1)(1)x ax a a x a x x +-=-=-+，故D 分解不完全．故选C ．考点·一元二次方程·★★1．一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠．2．解法：直接开平方法；配方法；公式法)240x b ac -≥；因式分解法．3．根的判别式：通常用“∆”来表示，即24b ac ∆=-．4．根与系数的关系：如果方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x ，2x ，那么12b x x a+=-，12c x x a=．例题．已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x ＋k 2=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若│x 1－x 2│=x 1x 2－1，求k 的值．例题．【答案】（1）12k ≤．（2）1k =--考点·不等式·★★1．不等式的基本性质（1）若a b <，则a c b c +<+．（2）若a b >，0c >，则ac bc >（或a bc c >）．（3）若a b >，0c <，则ac bc <（或a b cc<）．2．一元一次不等式组解集的确定方法（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”；x aa b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”．x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”；x ax b<⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”．例题．已知关于x ，y 的方程组5331x y mx y +=⎧⎨+=⎩的解为非负数，求整数m 的值．例题．【答案】7，8，9，10．解析：解方程组可得31323152m x m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，313130520,0,31531023mm x y m m -⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪≥≥∴⇒⎨⎨-+⎪⎪≥≤⎪⎪⎩⎩，所以313153m ≤≤．因为m 为整数，故m =7，8，9，10．考点·分式·★★☆1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是,A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷（其中M 是不等于0的整式）．2．分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a b a bcc c±±=．异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ac ad bcbd bd±±=．3．分式的乘除法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a c acb d bd =．分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a c a d adb d bc bc÷== ．4．分式的混合运算：在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．例题1．关于x 的方程：11x c x c +=+的解是121,x c x c ==，11x c x c -=-解是121,x c x c==-，则1111x c x c +=+--的解是（）．A ．121,1x c x c ==-B ．121,1cx c x c =-=-C ．12,1c x c x c ==-D ．12,1c x c x c -==-例题1．【答案】C ．解析：由题意得：1111x c x c +=+--变形为111111x c x c -+=-+--，∴11x c -=-或111x c -=-，解得12,1cx c x c ==-．故选C ．例题2．先化简再求值：2643211x x x x x +⎛⎫+÷---⎝⎭，其中x =2．例题2．【答案】2643211x x x x x +⎛⎫+÷⎪---⎝⎭2x ==1．考点·函数·★★★1．一次函数y kx b =+的图象与性质2．反比例函数ky x=的图象与性质3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象与性质a 的符号a ＞0a ＜0图象开口方向开口向上开口向下对称轴直线2bx a=-直线2b x a=-顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小最值当2b x a =-时，y 有最小值244ac ba-当2b x a =-时，y 有最大值244ac ba-例题．直线y 与x y 、轴分别交于点A 、B ，与反比例函数(0)k y k x=>图象交于点C 、D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E ，（1）求点A 的坐标；（2）若AE=AC ；①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称并说明理k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图象的大致位置经过象限第一、二、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小k 的符号k ＞0k ＜0图象的大致位置经过象限第一、第三象限第二、第四象限性质在每一象限内y 随x 的增大而减小在每一象限内y 随x 的增大而增大由．例题．【答案】（1）A (3,0)；（2）k =D 和E 关于坐标原点中心对称．解析：（1）当0y =时，3x =，因此A 的坐标为(3,0)．（2）①如图所示：E 的坐标为(3,)3k ，因此3k AE AC ==，作CF 垂直于x轴，由y =，可知30o CAF ∠=，26AC k CF ==，AF =，因此C的坐标为3,6k +．又因为C 在反比例函数曲线上，则C的坐标满足6k =k =．②令3-，解得6x =或3-，则D的坐标为(3,--，而E的坐标为，因此D 和E 关于坐标原点中心对称．考点·三角形全等的判定·★★☆1．边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．2．角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）．3．角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）．4．边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．5．斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．例题．如图，AB ∥EF ，AB ＝EF ，添加下面哪个条件不能使△ABC ≌△EFD ．（）A ．BD ＝FCB ．∠A ＝∠EC ．AC ∥DED ．AC ＝ED例题．【答案】D ．解析：∵AB ∥EF ，∴∠B=∠F ，且AB=EF ，当BD=CF 时，可得BC=DF ，在△ABC 和△EFD 中，满足SAS ，故A 可以判定；当∠A=∠E 时，在△ABC 和△EFD 中，满足ASA ，故B 可以判定；当AC ∥DE 时，可得∠ACB=∠EDF ，在△ABC 和△EFD 中，满足AAS ，故C 可以判定；当AC=DE 时，在△ABC 和△EFD 中，满足SSA ，故D 不可以判定，故选D ．考点·圆·★★☆1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角对的弧、弦、弦心距有一组相等则其他几组对应相等．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．例题．如图， AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为 AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP 周长的最大值是（）．考点·数据的分析·★★☆1．描述数据集中趋势和平均水平特征的数（1）平均数：12nx x x x n+++=．（2）加权平均数：112212n nnf x f x f x x f f f +++=+++ ．（3）中位数：将一组数据按大小（或小大）顺序排列后，处在最中间的一个数（奇数个）（偶数个求最中间的两个数的平均数）是中位数．（4）众数：一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数．（5）众数、中位数和平均数，从不同角度描述一组数据的“一般水平”．平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，容易受极端值的影响．众数仅仅关注一组数据中出现次数最多的数据．中位数是一个位置数，不受极端值影响．一组数据的平均数、中位数是唯一的，而众数可以有多个．2．描述数据波动大小（离散程度）特征的数（1）方差的计算公式：2222121()()(n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ．（2）标准差的计算公式：s =．（3）极差：一组数据的最大值减去最小值所得的差．它是反映数据变化范围的．（4）极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小的量，方差（或标准差）越大，数据的波动越大，方差（或标准差）越小，数据的波动越小．由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（）．A ．平均数、中位数B ．众数、中位数C ．平均数、方差D ．中位数、方差例题．【答案】B ．解析：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的人数和为30-（5+15）=10，故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142=14岁，故关于年龄的统计量可以确定的是众数和中位数，故选B ．考点·正余弦定理★★★1．正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12（a ＋b ＋c ）·r （r 是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r ．4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式sin a b A ＝sin b A a b <<a b ≥a b>解的个数一解两解一解一解例题．△ABC 中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（）．A ．等腰三角形但不是直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形例题．【答案】D ．解析：由cos cos a b B A =，得cos sin cos sin a B Ab A B==，得sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B A B ⋅=⋅∴=∴=或=2A B π+，选D ．考点·数列★★★1．等差数列（1）基本公式：1(1)n a a n d -＝＋；11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．（2）等差数列的常用性质①通项公式的推广：()(),n m a a n m d n m +=+-∈N ．②若{}n a 为等差数列，且k l m n +=+（,,,k l m n +∈N ），则k l m n a a a a +=+．③若{}n a 是等差数列，公差为d ，则{}2n a 也是等差数列，公差为2d ．④若{}n a ，{}n b 是等差数列，则{}n n pa qb +也是等差数列．⑤若{}n a 是等差数列，公差为d ，则2,,,k k m k m a a a ++ （,k m +∈N ）是公差为md 的等差数列．（3）等差数列各项和的性质①若{}n a 是等差数列，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，其首项与{}n a 的首项相同，公差是{}n a 的公差的12．②23,,m m m S S S 分别为{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列．③关于非零等差数列奇数项与偶数项和的性质a ．若项数为2n ，则+1,n n S aS S nd S a -==奇奇偶偶．b ．若项数为21n -，则()1,,,1n n n S n S n a S na S S a S n =-=-==-奇奇奇偶偶偶．④若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，则2121n n n n a S b T --=．2．等比数列（1）基本公式：11n n a a q-=（0q ≠）；11(1)11n n n a q a a qS q q--==--（1q ≠）； 1 n S n a =（1q =）．（2）等比数列的常用性质①通项公式的推广：n m n m a a q -=(),n m +∈N ．②若{}n a 为等比数列，且k l m n +=+（,,,k l m n +∈N ），则k l m n a a a a ⋅=⋅．③若{}n a ，{}n b 是等比数列，则{}()0n a λλ≠，1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}2n a ，{}n n a b ⋅仍是等比数列．（3）等比数列前n 项和的性质①有公比不为1-的等比数列{}n a （或公比为1-且m 为奇数），则232,,m m m m m S S S S S --仍成等比数列，其公比为m q ．②当项数是偶数时，S S q =⋅奇偶；当项数是奇数时，1S a S q =+⋅奇偶．3．数列求和方法：（1）分组转化法；（2）错位相减法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法．例题．在等差数列{}n a 中，122311a a +=，32624a a a =+-，其前n 项和为n S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．例题．【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1n n +．解析：（Ⅰ）()1211123235311a a a a d a d +=++=+=，由32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得1d 2,1a ==，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（Ⅱ）()()2111111222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，()21111111n n b S n n n n n n n ====-++++，1111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．考点·导数·★★★1．导数的几何意义函数()f x 在点0x 处的导数()'0f x 的几何意义是在曲线()y f x =上点()()00,x f x 处的切线的斜率．相应地，切线方程为()()()'000y f x f x x x -=-．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f （x ）＝c （c 为常数）f ′（x ）＝0f （x ）＝x α（α为实数）f ′（x ）＝αx α－1f （x ）＝sin x f ′（x ）＝cos x f （x ）＝cos xf ′（x ）＝－sin xf （x ）＝a x （a >0，a ≠1）f ′（x ）＝a x ln a f （x ）＝e xf ′（x ）＝e x f （x ）＝log a x （a >0，a ≠1）f ′（x ）＝1ln x af （x ）＝ln x f ′（x ）＝1xf （x ）＝tan x f ′（x ）＝21cos x f （x ）＝cot xf ′（x ）＝－21s in x3．导数的运算法则（1）()()()()'''f xg x f x g x ⎡±⎤=±⎣⎦．（2）()()()()()()'''f xg x f x g x f x g x ⎡⋅⎤=+⎣⎦．（3）()()()()()()()()()'''20f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦．4．复合函数的导数复合函数()()yf g x =的导数和函数()(),y f u u g x ==的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．导数与函数的单调性在某个区间(),a b 内，如果()'0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是增加的；如果()'0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是减少的．6．导数与函数的极值与最值（1）判断()0f x 是极值的方法一般地，当函数()f x 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧()'0f x >，右侧()'0f x <，那么()0f x 是极大值；②如果在0x 附近的左侧()'0f x <，右侧()'0f x >，那么()0f x 是极小值．（2）求可导函数极值的步骤①求()'f x ；②求方程()'0f x =的根；③检查()'f x 在方程()'0f x =的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值．（3）函数的最值①在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 在[],a b 上必有最大值与最小值．②若函数()f x 在[],a b 上是增加的，则()f a 为函数的最小值，()f b 为函数的最大值；若函数()f x 在[],a b 上是减少的，则()f a 为函数的最大值，()f b 为函数的最小值．③设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，求()f x 在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下：a ．求()f x 在(),a b 内的极值；b ．将()f x 的各极值与()f a ，()f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例题．已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[－2，2]的最大值与最小值．例题．【答案】（1）f （x ）＝x 3－12x 2－2x ．（2）f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （－2）＝－6．解析：（1）f′（x ）＝3x 2＋2ax ＋b 0，＝0，－4a3＋b ＝0，2a ＋b ＝0，解得＝－12，＝－2，经检验符合题意，∴f （x ）＝x 3－12x 2－2x ．（2）由（1）知f′（x ）＝x －1），令f′（x ）＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化情况如下表：x －222,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭－232,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1（1，2）2f′（x ）＋0－0＋f （x ）－6极大值2227极小值－322由上表知f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （－2）＝－6．考点·圆锥曲线·★★★1．椭圆标准方程22221x y a b +=（0a b >>）22221y x a b +=（0a b >>）范围a x a ≤≤－，b y b≤≤－b x b ≤≤－，a y a≤≤－对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点焦点（±c ，0）（0，±c ）离心率ce a=∈（0，1）a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 22．双曲线标准方程22221x y a b -=（0a >，0b >）22221y x a b -=（0a >，0b >）范围x a ≥或x a ≤－，y ∈Rx ∈R ，y a ≤－或y a ≥对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点焦点（±c ，0）（0，±c ）渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率c e a=∈（1，＋∞）a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2例题．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ，且过点(2,0)D ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点112A （，），若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．例题．【答案】（1）2214x y +=；（2）22114124x y -+-=（）（）．解析：（1）由已知得椭圆的半长轴2a =，半焦距c ，则半短轴1b =．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设线段PA 的中点为(,)M x y ，点P 的坐标是00,x y （），由0012122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，由点P 在椭圆上，得222112142x y -+-=（）（），∴线段PA 中点M 的轨迹方程是22114124x y -+-=（）（）．考点·极限★★★1．洛必达法则（1）概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导运算，直到该极限的类型为可以直接代入求解即可．（2）适用类型：通常情况下适用于00型或者是∞∞型极限．2．求00或∞∞型极限的方法（1）通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子，然后利用四则运算法则．（2）利用洛必达法则．（3）变量替换与重要极限．（4）等价无穷小因子替换．3．求0∞ 型极限的方法求0∞ 型的方法和上述方法基本相同，必须注意的是：为使用洛必达法则需根据函数的特点先将0∞ 型化为00或∞∞型．注意，一般将较复杂的因子取作分子，特别地含有对数因子时，将该因子取作分子．4．求∞-∞型极限的方法求∞-∞型，一般通过适当的方法将其化为00或∞∞型．若是两个分式函数之差，则通分转化，若是与根式函数之和、差有关的，则需用分子有理化方法转化．5．利用两个重要极限0sin lim1x x x →=，1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或()10lim 1e x x x →+=）．例题1．若f （x ）是定义在R 上的连续函数，()2lim22x f x x →=-，则f （2）等于（）．A ．2B ．1C ．0D ．－1例题1．【答案】C ．解析：因为()2lim22x f x x →=-，所以()()222(2)lim lim 2lim(2)02x x x f x x f x x x →→→-==-=-，因为f （x ）是定义在R 上的连续函数，所以()20f =．例题2．设函数()sin ,0cos 2,0xe x xf x a x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，在0x =处连续，那么实数a 等于（）．A ．0B ．1C ．-1D ．2例题2．【答案】C ．解析：由于()0lim sin 1xx e x -→+=，所以()0lim cos 21x a x +→+=，即1a =-．故选择C 选项．考点·定积分的性质★★☆1．()0aaf x dx =⎰．2．ba dxb a =-⎰．3．()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰．4．()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰．5．()()()bc ba acf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．6．[]()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．7．(),[,]m f x M x a b ≤≤∈，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰．8．定积分中值定理：()f x 在[,]a b 连续，至少存在一个[,]a b ξ∈，使．9．()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；()f x 为偶函数，则0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰．例题．(1cos )x dx ππ-+=⎰（）．A ．1B ．2πC ．πD ．0例题．【答案】B ．解析：(1cos )(sin )/(sin )(sin())2x dx x x πππππππππ--+=+=+--+-=⎰，故B 正确．考点·行列式的基本性质★★☆1．行列式的值等于其转置行列式的值，即T D D =．2．行列式中任意两行（列）位置互换，行列式的值反号．3．若行列式中两行（列）对应元素相同，行列式值为零．4．若行列式中某一行（列）有公因子k ，则公因子k 可提取到行列式符号外，即nn n n sn s s n a a a ka ka ka a a a 212111211nnn n sn s s na a a a a a a a a k212111211=．5．行列式中若一行（列）均为零元素，则此行列式值为零．6．行列式中若两行（列）元素对应成比例，则行列式值为零．例题．若()21112x f x x x x x -=--，则3x 的系数为（）．A ．3B ．2C ．－2D ．－3例题．【答案】C ．解析：设行列式()f x 因子可写成(),1,2,3,4ij a i j =，则行列式()f x 可展开为()1231231tj j j aa a -∑，t 为123,,j j j 排列的逆序数，所以()f x 的展开式中3x 项的123,,j j j 排列只有1，2，3，所以()f x 中3x 项为()()03122x x x x -⋅-⋅=-，系数为－2，故选C ．考点·矩阵★★☆1．矩阵的概念由数域F 中mn 个数ij a （1,2,,;1,2,i m j n == ）排成的m 行n 列的矩形数表111211212n s s sn n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为数域F 上的一个m ×n 矩阵，可以写作()ij m n A a ⨯=在不需要表示出矩阵的元素时，也可以写作n m A ⨯．2．矩阵的线性运算（1）矩阵的加法定义：设=)ij s n A a ⨯（与()ij s n B b ⨯=是两个同型矩阵，称s ×n 矩阵()ij ij s n C a b ⨯=+为矩阵A 与矩阵B 的和，记为A+B ．运算规律：设A ，B ，C ，0都是s ×n 矩阵，则矩阵的加法满足下面的运算规律①A+B=B+A ．②(A+B)+C=A+(B+C)．③A+0=0+A=A ．④A+(-A)=0．（2）矩阵的数乘定义：设=)ij s n A a ⨯（是数域F 上的矩阵，k 是数域F 上的一个数，称s ×n 矩阵)ij s n a ⨯（k 为数k 与矩阵A 的数量乘积，简称数乘，记为kA ．运算规律：设=)ij s n A a ⨯（，()ij s n B b ⨯=为数域F 上的矩阵，k 和l 皆为数域F 上的任意数．由定义可知，矩阵的加法与数乘满足下列运算规律①()k l A kA lA +=+．②()k A B ka kB +=+．③()()()k l kl l k ==A A A ．④1A A =．（3）矩阵的乘法定义：设=)ij s n A a ⨯（，()ij s n B b ⨯=都是数域F 上的矩阵．记s ×n 矩阵()ij s n C c ⨯=，其中11221...mij i j i j im mj ik kjk c a b a b a b ab ==+++=∑，称矩阵C 为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作C=AB ．运算规律：若A ，B ，C 满足可乘条件，则①结合律：()()AB C A BC =．②分配律：(),()A B C AC BC C A B CA CB +=++=+．③()()()k AB kA B A kB ==．④()()kA kE A A kE ==．例题．矩阵1002A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量12⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，则10A a =_________．例题．【答案】1112⎛⎫ ⎪⎝⎭．解析：10101002A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10101110110222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =．第二部分备考规划工欲善其事，必先利其器。
初三数学知识结构
初三数学知识结构
初三数学的知识结构主要包括以下两个部分：
一、数与代数
数与代数是数学学科的基础，主要包括整数与有理数、代数式与等式、方程与不等式等内容。
在初三数学学习中，学生需要掌握整数、有理数的性质和运算，理解代数式的含义，解决简单的一元一次方程与不等式等。
二、几何
几何主要包括平面几何和立体几何两部分。
平面几何包括点、线、面的性质、平面图形的性质等内容；立体几何则包括对立体图形的认识、立体图形的性质等。
学生需要通过几何的学习，培养空间思维能力和几何直观。
此外，还有一些重要的知识点，如数的分类及概念（包括非负数、倒数、相反数、数轴）、奇数、偶数、质数、合数的定义及表示等。
以上内容仅供参考，建议查询学校教材或咨询数学老师获取更全面的信息。
教师资格证考试《中学数学学科》题型题量及分值比例
教师资格证考试《中学数学学科》题型题量及分值比例
2017教师资格证考试《中学数学学科》题型题量及分值比例
为帮助准备参加2017上半年全国中小学教师资格证考试的考生们全面了解各学科考试题型、题量、分值和知识点分布情况，以下是店铺搜索整理的'关于2017教师资格证考试《中学数学学科》题型题量及分值比例，供参考借鉴，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们店铺!
初中数学历年历年考点分布
(一)数学专业知识
对于数学专业知识，主要考试内容有大学专科数学专业基础课程、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程中的内容知识。
从历年真题看，主要是考高中和大学专业知识，具体的考点以及比重如下。
(二)数学教学论
对于数学教学论方面的考察，主要是从课程知识、教学知识、教学技能三大方面进行出题。
具体的考试内容如下：课程知识主要是义
务教学数学课程标准中的课程的性质、基本理念和目标;教学知识主要是教学方法、概念教学、命题教学、教学过程、中学数学学习方式、教学评价的基本知识和方法;教学技能主要是教学设计、教学实施、教学评价。
(三)历年教学技能的考点分布
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特岗教师招聘中学数学专业知识真题及答案
特岗教师招聘考试中学数学卷子中学数学卷子〔总分值为100分〕一、单项选择题〔在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内。
本大题共12小题，每题3分，共36分。
〕1.假设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f〔x〕=ln〔1－|x|〕的定义域为N，则M∩N为〔〕。
A. ［0,1〕B. 〔0,1〕C. ［0,1］D. 〔-1,0］2.将函数y=2x+1的图像按向量a平移得到函数y=2x+1的图像，则a等于〔〕。
A. 〔－1，－1〕B.〔1，－1〕C.〔1，1〕D.〔－1，1〕3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于〔〕。
A. 13B. 23C. 33D. 234.假设不等式组x≥0, x+3y≥4，3x+y≤4，所表示的平面地域被直线y=kx+43分为面积相等的两局部，则k的值是〔〕。
A. 73B. 37C. 43D. 345.一个等差数列首项为32，该数列从第15项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是〔〕。
A. －3113≤d＜－3114B. －3113＜d＜－3114C. d＜3114D. d≥－31136.∫π2－π2〔1+cosx〕dx等于〔〕。
A. πB. 2C. π-2D. π+27.在相距4k米的A、B两地，听到炮弹爆炸声的时间相差2秒，假设声速每秒k 米，则爆炸地点P必在〔〕。
A. 以A、B为焦点,短轴长为3k米的椭圆上B. 以AB为直径的圆上C. 以A、B为焦点, 实轴长为2k米的双曲线上D. 以A、B为顶点, 虚轴长为3k米的双曲线上8.通过摆事实、讲道理，使学生提高认识、形成正确观点的德育方法是〔〕。
A. 典范法B. 锻炼法C. 说服法D. 陶冶法9.一次绝对值不等式|x|＞a〔a＞0〕的解集为x＞a或x＜a，|x|＜a〔a＞0〕的解集为－a＜x＜a。
中学数学青年教师基本功大赛笔试试卷(专业知识)
中学数学青年教师基本功大赛笔试试卷(专业知识)1.数学课堂教学的目标是什么？它们分别是什么维度的？答：数学课堂教学的目标有三维，分别是知识与技能、过程与方法、情感与价值观。
2.谁被称为解析几何学的创始人？答：法国哲学家、物理学家、数学家、生理学家______被称为解析几何学的创始人。
3.科学家们在探寻“外星人”方面曾借助哪个数学定理？答：数学家曾建议用勾股定理作为人类探寻“外星人”并与“外星人”联系的语言。
4.数学危机中最重要的悖论是什么？答：数学危机中最重要的悖论是___悖论。
5.课程标准的支撑理论是什么？代表人物有哪些？答：课程标准的支撑理论是建构主义，代表人物有___、___、___。
6.数学的作用是什么？答：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
7.教师的主要任务是什么？答：教师的主要任务是激发学生的研究积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生成为研究的主人。
8.初中阶段的数学内容分为哪些领域？答：初中阶段的数学内容分为数与代数、空间与图形、统计与概率和课题研究四个领域。
9.学生研究数学的重要方式有哪些？答：学生研究数学的重要方式有动手操作、自主探究、合作交流。
10.为什么教学要面向全体学生？如何才能实现这一目标？答：不同的人在数学上得到不同的发展，教学要面向全体学生，必须适应每一位学生的发展需要；实现这一目标需要承认差异、尊重差异。
11.义务教育阶段的数学课程标准应该体现哪些方面？答：义务教育阶段的数学课程标准应该体现基础性、普及性、发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学、人人获得必需的数学、不同的人在数学上获得不同的发展。
12.在新课程理念下，教师的角色发生了什么变化？答：在新课程理念下，教师的角色已经由原来的主导者转变成了学生研究活动的组织者、学生探究发现的引导者、与学生共同研究的合作者。
13.举例适合课外学生数学活动的形式。
2023年初中数学教师招聘考试学科专业知识(附答案)
2023年初中数学教师招聘考试学科专业知识(附答案)一、数与代数1. 数的认识- 数的分类：自然数、整数、有理数、实数- 数的性质：整数的奇偶性、有理数的比较大小、实数的区间划分2. 代数式与代数计算- 代数式的基本概念：代数式、字母、系数、幂等- 代数式的加减乘除运算：合并同类项、分配律、乘法公式、因式分解3. 一元一次方程及其应用- 一元一次方程的定义与解法：减法原则、代入法、等价方程变形- 一元一次方程的应用：问题转化、变量的设置、求解方程二、空间与图形1. 二维几何图形- 二维几何图形的基本概念：点、直线、线段、角、多边形等- 二维几何图形的性质与判定：平行、垂直、相交、全等、相似等2. 三维几何图形- 三维几何图形的基本概念：立体、表面积、体积- 三维几何图形的性质与判定：正方体、长方体、正方锥等3. 坐标与平面直角坐标系- 坐标与坐标系的概念：点的坐标、坐标轴、坐标原点- 平面直角坐标系的表示：平面内一点的坐标、直线的方程三、数据与统计1. 数据收集与处理- 数据的收集方法：观察、调查、测量等- 数据的处理方法：数据的整理、数据的统计、图表的制作与分析2. 平均数与数列- 平均数的概念与计算：算术平均数、加权平均数- 数列的概念与运算：等差数列、等比数列等3. 概率与统计- 概率的基本概念与计算：随机事件、样本空间、概率计算- 统计的基本方法与应用：抽样调查、数据分析、推断统计以上是2023年初中数学教师招聘考试学科专业知识的要点。
希望能对考试的备考有所帮助。
附答案请注意，以下答案仅供参考，具体答案以考试要求为准。
1. 数的认识- 数的分类：自然数、整数、有理数、实数- 数的性质：整数的奇偶性、有理数的比较大小、实数的区间划分2. 代数式与代数计算- 代数式的基本概念：代数式、字母、系数、幂等- 代数式的加减乘除运算：合并同类项、分配律、乘法公式、因式分解3. 一元一次方程及其应用- 一元一次方程的定义与解法：减法原则、代入法、等价方程变形- 一元一次方程的应用：问题转化、变量的设置、求解方程4. 二维几何图形- 二维几何图形的基本概念：点、直线、线段、角、多边形等- 二维几何图形的性质与判定：平行、垂直、相交、全等、相似等5. 三维几何图形- 三维几何图形的基本概念：立体、表面积、体积- 三维几何图形的性质与判定：正方体、长方体、正方锥等6. 坐标与平面直角坐标系- 坐标与坐标系的概念：点的坐标、坐标轴、坐标原点- 平面直角坐标系的表示：平面内一点的坐标、直线的方程7. 数据收集与处理- 数据的收集方法：观察、调查、测量等- 数据的处理方法：数据的整理、数据的统计、图表的制作与分析8. 平均数与数列- 平均数的概念与计算：算术平均数、加权平均数- 数列的概念与运算：等差数列、等比数列等9. 概率与统计- 概率的基本概念与计算：随机事件、样本空间、概率计算- 统计的基本方法与应用：抽样调查、数据分析、推断统计。
【数学】2019年湖南省特岗教师初中数学学科专业知识试卷全解析版
2016-2019年全国特岗教师招聘初中数学真题卷温馨提示：本套试卷收录2016-2019特岗教师招聘考试中最具有代表性的初中数学真题，包含了四川省、辽宁省、河北省、河南省、海南省、江西省、黑龙江省、安徽省、云南省、甘肃省等主要招考省份，内容详实，覆盖面广，有利于考生把握当前命题趋势，了解考试题型，洞悉考点变化，达到及时有效复习的目的。
2020年度，全国特岗教师招聘计划分配名额表如下：以下为试题，参考解析附后一、单选题1．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（）A．tan60°B．-1 C．0 D．12019【答案】D【解析】【分析】根据每行、每列的两数和相等列方程求解即可.【详解】由题意得3a+-=,282解之得a=1,3，12019=1，∴a可以是12019.故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，立方根的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.2．下列命题，真命题（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．四个角相等的菱形是正方形D．平分弦的直径垂直于这条弦3．在长为4m，宽为3m的长方形中，设计出面积最大的菱形，则最大菱形的面积为（）．A ．26mB ．29mC ．210mD ．2758m 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >5．如图，△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A ′B ′C ′，再将△A ′B ′C ′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）A ．4，30°B ．2，60°C ．1，30°D ．3，60°6．一个五边形的内角和为（ ）A ．540°B ．450°C ．360°D ．180°7．（2014•怀化）多项式ax 2﹣4ax ﹣12a 因式分解正确的是（ ）A ．a （x ﹣6）（x+2）B ．a （x ﹣3）（x+4）C ．a （x 2﹣4x ﹣12）D ．a （x+6）（x ﹣2）8．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112-＝﹣1，﹣1的差倒数是()111--＝12，已知a 1＝﹣13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，以此类推，a 2009的值为( )A．﹣13B．34C．4 D．439．将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB在x 轴上，OB=4，OA=23将三角形纸板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2019秒时，点A的对应点A ′ 的坐标为（）A．（－3，－3）B．（3，－3）C．（－3，3）D．（0，23）10．下列代数式运算正确的是（）A．a（a+b）＝a2+b B．（a3）2＝a6C．（a+b）2＝a2+b2D．111 a b a b +=+11．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．12．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A．5cm B．52cm C．53cm D．6cm13．如图，下列四个条件中，能判定DE∥AC的是( )A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE 14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x 1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤15．如图，在ABC 中，动点P 在AB 边上由点A 向点B 以3/cm s 的速度匀速运动，则线段CP 的中点Q 运动的速度为（ ）．A ．3/cm sB ．2/cm sC ．1．5/cm sD ．1/cm s二、填空题16．一个盒子内装有四个只有颜色不同的小球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是________.17．如图，直线y 1＝kx+n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx+c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，x 的取值范围是_____．18．如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上．若BF 6_____．19．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠BAC ＝46°，点 P 在线段 OB 上运动．设∠ACP ＝x °，则 x 的最小值为_________，最大值为________．20．如果从0，1-，2，3四个数中任取一个数记作m ，又从0，1，2-三个数中任取一个数记作n ，那么点()P m n ,恰好在第四象限的概率是__________． 三、解答题21．小明解答“先化简，再求值：21211x x ++-，其中31x =+．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】步骤①、②有误3【解析】 【分析】异分母分式的的加减应通分，而不是去分母，据此可找出小明错误的步骤；然后按照异分母分式的运算法则计算即可. 【详解】步骤①、②有误.原式：1211 (1)(1)(1)(1)(1)(1)1x xx x x x x x x-+=+== +-+-+--.当31x=+时，原式33==.【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减.分式运算的结果要化为最简分式或者整式.也考查了二次根式的除法.22．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）23．目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，随机抽查了某中学九年级的同学，关于手机在中学生中的主要用途做了调查，对调查数据进行统计整理、制作了如下的两种统计图：请根据图形回答问题（1）这次被调查的学生共有______人，其中主要用于“上网聊天”的学生人数占抽样人数的百分比为_____；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）若该校共有3000名学生，请你估计主要使用手机玩游戏的人数大约有多少人？24．在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．25．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：身高情况分组表（单位：cm）组别身高A x＜155B 155≤x＜160C 160≤x＜165D 165≤x＜170E x≥170根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的身高众数在组，中位数在组；（2）样本中，女生身高在E组的人数有人；（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？参考答案： 一、单选题 2．C 【解析】试题分析：A ．邻边相等的平行四边形是菱形，故A 错误， B ．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故B 错误；C ．四个角相等的菱形是正方形 ，正确；D ．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故D 错误； 故选C.考点：命题与定理. 3．D 【解析】菱形面积最大的情况如图所示，可令AE x CE ==．则BE 4x =-． 由勾股定理得：()224x 9x -+=． 解得25x 8=． ∴22575S 3m 88=⨯=，故选D ．点睛： 4．C 【解析】 【详解】A ．在不等式a b >的两边同时加上c ，不等式仍成立，即a c b c +>+，故本选项错误；B ．在不等式a c b c +>+的两边同时减去c ，不等式仍成立，即a b >，故本选项错误；C ．当c=0时，若a b >，则不等式22ac bc >不成立，故本选项正确；D ．在不等式22ac bc >的两边同时除以不为0的2c ，该不等式仍成立，即a b >，故本选项错误． 故选C ． 5．B 【解析】试题分析：∵∠B=60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A ′B ′C ′，再将△A ′B ′C ′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C 重合， ∴∠A ′B ′C=60°，A B=A′B′=A′C=4， ∴△A ′B ′C 是等边三角形， ∴B ′C=4，∠B ′A ′C=60°， ∴BB ′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60° 故选B ．考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定 6．A【解析】【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）=540°， 即一个五边形的内角和是540度， 故选A ．【点睛】本题主要考查了正多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．7．A【解析】试题分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．解：ax2﹣4ax﹣12a=a（x2﹣4x﹣12）=a（x﹣6）（x+2）．故答案为：a（x﹣6）（x+2）．点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．视频8．B【解析】【分析】计算出前面的几个数据即可发现规律，3个数一个轮回，于是a2009＝a2．【详解】∵a1＝﹣13，∴a2＝1314 13=⎛⎫-- ⎪⎝⎭a 3＝14314=-a 4＝11143=--…∴每3个数为一周期循环，∵2009÷3＝669…2，∴a2009＝a2＝34，故选：B．【点睛】此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．9．A【解析】【分析】根据OA的长度结合旋转的性质即可得出第1秒时，点A的对应点A′的坐标为（0，4），再由三角板每秒旋转60°，可得出点A′的位置6秒一循环，由此即可得出第2019秒时，点A的对应点A′的坐标与第3秒时相同，此题得解．【详解】解：∵OA=4，∠AOB=30°，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，∴第3秒时，点A的对应点A′的坐标为（-3，）．∵三角板每秒旋转60°，∴点A′的位置6秒一循环．∵2019=336×6+3，∴第2019秒时，点A的对应点A′的坐标为（-3，）．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点A′的位置6秒一循环是解题的关键．10．B【解析】【分析】利用单项式乘多项式的法则判断A；利用幂的乘方法则判断B；利用完全平方公式判断C；利用异分母分式加法法则判断D．【详解】A、a（a+b）＝a2+ab，故本选项错误；B、（a3）2＝a6，故本选项正确；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；D、11a ba b ab++=，故本选项错误；【点睛】本题考查了单项式乘多项式、幂的乘方、完全平方公式，异分母分式的加法，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．11．C【解析】【分析】首先要理解每个图的作法，作的辅助线所具有的性质，再根据平行四边形的性质和菱形的判定定理判定.【详解】A、作的辅助线AC是BD的垂直平分线，由平行四边形中心对称图形的性质可得AC与BD互相平分且垂直，则四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；B、由辅助线可得AD=AB=BC，由平行四边形的性质可得AD//BC，则四边形ABCD 是菱形，故B不符合题意；C、辅助线AB、CD分别是原平行四边形一组对角的角平分线，只能说明四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；D、此题的作法是：连接AC，分别作两个角与已知角∠CAD、∠ACB相等的角，即∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，由AD//BC，得∠BAD+∠ABC=180°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD，则AB=BC，AD =CD,∠BAD=∠BCD，则∠BCD+∠ABC=180°，则AB//CD，则四边形ABCD是菱形，故D不符合题意.故答案为C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与菱形的判定定理，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质与菱形的判定定理.12．B【分析】首先连接EC，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠E=∠B，又由AE是⊙O的直径与∠B=∠EAC，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACE=90°，∠E=45°，然后利用三角函数中的正弦，即可求得AC的长．【详解】连接EC，∵∠E与∠B是AC对的圆周角，∴∠E=∠B，∵∠B=∠EAC，∴∠E=∠EAC，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E=∠EAC=45°，∵AE=10cm，∴AC=AE•sin45°=10×222（cm）．∴AC的长为2．故选B.【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．13．A【解析】根据平行线的判定方法依次判断即可.【详解】选项A ，∵∠3=∠4，∴DE ∥AC ，正确；选项B ，∵∠1=∠2，∴EF ∥BC ，错误；选项C ，∵∠EDC=∠EFC ，不能得出平行，错误；选项D ，∵∠ACD=∠AFE ，∴EF ∥BC ，错误；故选A ．【点睛】本题考查平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，才能推出两条被截的直线平行．14．D【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=-2b a=1， ∴b=-2a ＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c ，∴当m≠1时，a+b+c ＞am 2+bm+c ，即a+b ＞am 2+bm ，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点在（-1，0）的右侧∴当x=-1时，y ＜0，∴a -b+c ＜0，所以④错误；∵ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，∴ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=0，∴a（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）=0，∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=-ba，∵b=-2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．15．C【解析】【分析】过点Q作//QD BP交AB于D，根据三角形中位线定理可知点Q运动的路程是BP的一半，由于运动时间相同，可得线段CP的中点Q运动的速度是点P运动速度的一半.【详解】解：过点Q作//QD BP交AB于D，∵CQ PQ=，∴CD BD=，∴DQ是PBC∆的中位线，∴12DQ BP=，∵动点P的运动速度为2/cm s，运动时间相同，∴线段CP的中点Q运动的速度为1.5/cm s.故答案为：C【点睛】本题考查三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．二、填空题16．1 4【解析】试题分析：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两个都是红球的可能数，然后根据概率公式计算．解：画树状图为：，共有16种等可能的结果数，其中两个都是白球的占4种，所以两次都摸到白球的概率==．故答案为．考点：求概率——列表法和树形图法．17．﹣1＜x＜2【解析】【分析】根据图象得出取值范围即可．【详解】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．18【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，，∠B=∠C=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∴EF BF DF DC=，∵BF=2，DF=，∴正方形EFGH的周长为．19．46︒90︒【解析】【分析】当点P与点B重合时，ACP ACB∠=∠，x取最大值，当点P与点O重合时，ACP BAC∠=∠，x取最小值.【详解】解：当点P与点B重合时，x取最大值，因为AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，所以90x ACP ACB︒=∠=∠=；当点P与点O重合时，x取最小值，因为PC PA=，所以46x ACP BAC︒=∠=∠=.故答案为：46,90︒︒.【点睛】本题考查了圆的性质，灵活应用直径所对圆周角的性质及圆的半径都相等是解题的关键.20．1 6【解析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用第二象限点的坐标特征找出点P（m，n）恰在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2，点P（m，n）恰在第四象限的概率＝21 126．故答案为16.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．三、解答题22．该建筑物的高度约为138m．【解析】【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．【详解】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝∴，3x＝(x＋100)解得x＝50＋50＝136.6∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)答：该建筑物的高度约为138m．23．（1）200人，40%；（2）补全条形图见解析；（3）使用手机玩游戏的人数为900人.【解析】试题分析：试题解析：这次被调查的学生共有40÷20%=200人，其中主要用于“上网聊天”的学生人数占抽样人数的百分比为80200×100%=40%；故答案为：100；40%；(2)玩游戏的人数：200−20−80−40=00人，补全统计图如图所示；（3）使用手机玩游戏的人数：3000×30%=900人答：估计主要使用手机玩游戏的人数大约有900人.24．13．【解析】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙抽中同一篇文章，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：解：如图：所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，概率为39=13．21点睛：本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）B 、C ；（2）2；（3）332人【点拨】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；（2）先求出女生身高在E 组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；（3）分别用男、女生的人数乘以C 、D 两组的频率的和，计算即可得解．【解析】解：∵B 组人数最多，∴众数在B 组，男生总人数为4+12+10+8+6＝40，按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C 组，∴中位数在C 组，故答案为：B 、C ；（2）女生身高在E 组的频率为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%， ∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，∴样本中，女生身高在E 组的人数有40×5%＝2人，故答案为：2；（3）400×10840+380×（25%+15%）＝180+152＝332（人）． 答：估计该校身高在160≤x ＜170之间的学生约有332人．【小结】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．。
2023年初中数学课程标准知识点
2023年初中数学课程标准知识点
本文档旨在总结2023年初中数学课程的标准知识点，以供教育工作者和学生参考。
以下是主要的知识点概述：
1. 数的性质与运算
- 自然数、整数、有理数、实数的定义与性质
- 加法、减法、乘法、除法的运算规则
- 分数、小数的表示、比较及应用
- 百分数的表示、转化与应用
2. 代数式与方程式
- 代数式的概念、运算与应用
- 简单的一元一次方程、一元一次不等式的解法
- 一次函数的概念、图像与性质
3. 几何图形与测量
- 平面图形的性质与分类：三角形、四边形、圆等
- 空间图形的性质与分类：正方体、长方体、棱柱等
- 直角三角形、勾股定理与应用
- 长度、面积、体积等基本量的计算方法与应用
4. 数据与统计
- 数据的收集、整理与展示方法
- 数据的分析与解释
- 两个统计量之间的关系与应用
请注意，此文档仅概述了2023年初中数学课程的主要知识点，并未详尽列举每个知识点的具体内容。
为了全面理解课程标准，建
议教育工作者和学生参考教材和相关学习资料。
安徽省教师招聘考试《中学数学》真题及答案5套
安徽省教师招聘考试《中学数学》真题及答案5套目录：2014年安徽省教师公开招聘考试《中学数学》真题及答案.2017年安徽省教师招聘考试学科专业知识《中学数学》真题及答案.2018年安徽省教师招聘考试《中学数学》真题及答案.2019年安徽省中小学新任教师公开招聘考试《中学数学》真题及答案.2020年安徽省教师招聘考试学科专业知识《中学数学》真题及答案.部分内容节选：2020年安徽省教师招聘考试学科专业知识《中学数学》真题及答案一、单项选择题。
下列各题备选答案中只有一项符合题意，请将其选出。
（共10小题，每小题4分，共40分）…………8.数学运算素养的养成能够对于学生数学学习的情感态度产生影响。
对于数学运算素养。
以下说法不正确的是（）。
A、同样利于学生养成批判性思维B、有利于学生养成仔细认真的工作态度C、有利于学生形成严谨求实的科学精神D、有利于学生养成规划化思考问题的品质9.对于函数的学习，2011版课标指出：初步学会用三种语言（自然、图形、符号），表述数学研究对象，以下说法正确的是（）。
A、高中数学概念的学习需要更多的表征方式B、多重表征对于学生数学概念的理解是重要的C、多重表征与学生的数学学习情感密切相关D、多重表征与学生的数学认知无直接关系10.数学文化在数学中扮演着重要角色，下列选项不属于数学文化的是（）。
A、数学的发展历程B、数学在社会发展中的作用C、数学在科学技术发展中的作用D、数学在促进个人思维上的作用…………答案解析8.【答案】A。
解析：数学运算素养的养成有利于学生养成仔细认真的工作态度、形成严谨求实的科学精神、养成规划化思考问题的品质。
在数学运算素养的形成过程中，学生能进一步发展数学能力，有效利用数学运算解决实际问题。
所以A不正确，当选。
本题为选非题，故正确答案为A。
9.【答案】B。
解析：利用多重表征教学，有利于降低学生思维梯度,帮助学生完成数学知识体系的建构，提升学生数学思维品质。
初中数学基础知识(太全了)
初中数学基础知识(太全了)
初中数学是数学研究的基础阶段，掌握好初中数学基础知识对于进一步研究高中、大学以及日常生活都非常重要。
以下是初中数学的一些基础知识点的简要介绍。
整数
整数是由整数集合{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}中的元素组成的。
整数包括正整数、负整数和零。
在初中数学中，我们会研究整数的四则运算、整数的比较和整数之间的关系等内容。
小数和分数
小数是有限位或无限循环位的十进制数，而分数是用一个整数除以另一个非零整数所得到的数。
在初中数学中，我们会研究小数的四则运算、小数与分数的相互转换以及分数的运算等内容。
代数
代数是数学中的一个重要分支，它研究数与数之间的关系和运算。
在初中数学中，我们会研究代数字母的概念、代数式的拆分与合并、代数方程的解法等内容。
几何
几何是研究空间和形状的数学分支，它涉及点、线、面等概念以及它们之间的关系和性质。
在初中数学中，我们会研究几何中的基本概念、几何图形的构造和性质、几何变换等内容。
数据与概率
数据与概率是研究收集、整理、分析和解释数据的方法以及事件发生的可能性的数学分支。
在初中数学中，我们会研究数据的表示与分析、统计图表的制作和解读、概率的计算等内容。
等等
以上只是初中数学基础知识的一部分简要介绍，初中数学还包括其他重要的知识点，如三角函数、平面坐标系等。
通过扎实研究初中数学基础知识，我们能够建立坚实的数学基础，为进一步深入研究高中数学打下基础。
参考资料：。
专业知识
专业知识1．数与代数（1）自然数、整数、分数、小数、百分数、正数、负数、奇数、偶数；公倍数、最小公倍数，公因数，最大公因数，质数、合数；有理数；实数。
（2）数的运算律，应用运算律进行运算；分数、小数的加、减、乘、除及混合运算；小数、分数、百分数的应用。
（3）成正比例、反比例的量；根据给出的有正比例关系的数据在坐标系上画图，并估计数值。
（4）探索规律：探求给定事物中隐含的规律或变化趋势。
（5）代数式；整式与分式。
（6）不等式，不等式的基本性质，不等式的解法。
（7）方程与不等式：方程与方程组；不等式与不等式组。
（8）函数：函数概念和函数的三种表示方法；一次函数；反比例函数；二次函数。
2．集合、简易逻辑（1）集合的含义与表示，集合间的基本关系，集合的基本运算。
（2）逻辑联结词，四种命题，充分条件和必要条件。
3．函数（1）映射，变量与函数，函数概念，复合函数和反函数；函数的单调性、倚偶性，极值与最大（最小）值。
（2）指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数；对数，对数的运算性质，对数函数；幂函数；函数的应用。
4．极限数列极限，函数极限，连续函数。
5．微积分（1）导数与微分，导数的定义及几何意义，简单函数的导数，求导法则；导数的应用——函数的单调性、凸性与极值、最大（最小）值。
（2）不定积分的概念及运算法则，不定积分的计算；定积分的概念，定积分存在的条件，定积分的性质，定积分的计算；定积分的应用——平面图形的面积。
6．不定方程：不定方程的概念，二元一次不定方程，简单多元一次不定方程，三元一次不定方程。
7．空间与图形（1）点、线、面，角，相交线与平行线，直线、线段、射线。
（2）平行四边形、梯形和圆；长方体、正方体、圆柱和圆锥及其展开图。
（3）测量：三角形、平行四边形和梯形的面积公式；用方格纸估计不规则图形的面积；体积的意义及度量单位；长方体、正方体、圆柱和圆锥体积和表面积的计算方法；某些不规则实物体积的测量方法。
2019年湖北省义务教师教育教学专业知识中学数学真题附解析
所成的角来断定它们的位置关系，比如在题 27-3 图中，我们能 够达到目标吗？
题 27-3 图 生：可以，我好像感觉到∠1 与∠5 或∠7 相等，也可以断定直 线 a、b 平行，噢，好像还有好多判定方法，…… 师：好！这就是我们今天要学的课题。 根据以上教学片段，回答下列问题 （1）该教师教学片断的设计意图。 （2）结合《义务教育教学课程标准(2011 年版)》的理念谈谈如 何提高数学课堂提问的有效性。 28.阅读《义务教育教科书数学.八年级上册》（人教版）“15.1.1 从分数到分式” 15.1.1 从分数到分式 思考 填空： （1）长方形的面积为 10cm2，长为 7cm，则宽为 cm； （2）把体积为 200cm3 的水倒入底面积为 33cm2 的圆柱形容器 中，则水面高度为 cm；把体积为 v 的水倒入底面积为 S 的圆 柱形容器中，则水面高度为。
单位：S,v 的单位：m/s ）行驶至停止 （1） 开始紧急刹车至完全停止所经过的时间 （2） 紧急刹车后，汽车继续行驶的距离（精确到 1m ） 参考数据：In2=0.693…，In5=1.609…，In6=1.791…） 24. 某建筑公司根据以往经验估计某项工程施工期间的降水量 x （单位：nm ）对工期影响如 下表。 （1）y 的分布列。 （2）y 的均值（数学期望）。 25. 简述义务教育数学课程的目标。 26. 简述数学命题教学的 基本要求。 27. “5.1.3 同位角，内错角，同旁内角”是《义务教育教科书 数学.七年级下册》（人教版） 内容 以下是某教师的教学片断 师：我们知道，平面内两直线的位置关系有平行和相交两种，如 题 27-1 图和题 27-2 图， 我们能够指出 a、b 及 c、d 之间的关系吗？
9. 【答案】C 【解析】根据题意几何二项分布可得：D x 뫨 np 1 — p 뫨 。 故本题选 C 10.【答案】D 【解析】根据 A2 뫨 11.【答案】B
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第一节实数一、实数的概念★★(一)实数的组成实数有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数（二）数轴画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上面一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数.（三）相反数如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.（四）绝对值|a|=a（a>0）0(a=0)-a(a<0)1.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.2.正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（五）倒数乘积为1的两个数互为倒数.1.a的倒数是1a(a≠0).2.0没有倒数.3.若a与b互为倒数，则ab=1.二、实数的运算★★(一)加法1.同号相加，取相同的符号，把绝对值相加.2.异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.3.一个数与0相加，仍得这个数.（二）减法减去一个数，等于加上这个数的相反数.（三）乘法1.两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.2.任何数与0相乘得0.3.乘积为1的两个有理数互为倒数.（四）除法1.除以一个数等于乘一个数的倒数.2.0不能作除数.（五）乘方求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数. （六）开方如果x2=a且x≥0，那么a=x；如果x3=a，那么3a=x.（七）混合顺序在同一个式子里，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的.第二节代数式一、代数式★(一)代数式的概念用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式（单个的数字或单个字母也是代数式）.(二)代数式的值用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.(三)代数式的分类代数式有理式整式单项式多项式分式无理式（二次根式）二、整式★★★（一）整式基本概念1.整式不含除法运算或分数，以及虽含有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数式者，称为整式.2.整式的分类整式单项式（定义系数次数）多项式（按同类项次数升或降幂排列）3.单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数.一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的指数.4.多项式几个单项式的和，叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式.多项式中的符号,看作各项的性质符号.一元n次多项式最多有n+1项. 多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列.（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.5.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项.掌握同类项的概念时应注意:(1)判断几个单项式或项是否是同类项,要掌握两个条件:①所含字母相同.②相同字母的指数也相同.(2)同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关.(3)所有常数项都是同类项.（4）合并同类项.①合并同类项的概念把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.②合并同类项的法则同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.③合并同类项步骤准确地找出同类项；逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变；写出合并后的结果.④合并同类项应注意事项如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.不要漏掉不能合并的项.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式，也可能是多项式).第三节方程与方程组一、一元一次方程★★(一)基本概念含有未知数的等式叫做方程.在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程.通常形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).其中a是未知数的系数，b是常数. 等式性质：1.等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立.2.等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0的数，等式仍然成立.3.等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立.解方程一般依据等式的这三个性质.（二）方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.1.解一元二次方程的一般步骤（1）去分母——等式的性质2（2）去括号——分配律（3）移项——等式的性质1（4）合并——分配律（5）系数化为1——等式的性质2（6）验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等2.解一元一次方程的注意事项（1）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；（4）移项时，切记要变号，不要丢项，应先合并再移项，以免丢项；（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法.（三）列方程解应用题的一般步骤1.审题分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量及它们之间的数量关系.2.设未知数设未知数有直接和间接两种，恰当地设未知数有利于列方程和解方程.3.找等量关系根据已知条件找出等量关系列方程或方程组.4.列方程5.解方程6.检验7.写出答案第二章不等式核心考点提示1.掌握不等式的基本性质，以及不等式证明的基本方法，熟记常见的重要不等式.2.掌握求解常见不等式方程（分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式等）的基本方法.3.了解不等式的基本应用以及简单的线性规划问题的基本方法.考纲知识导读不等式不等式及其基本性质不等式的概念不等式的基本性质不等式的证明几个重要不等式解不等式分式不等式的解法无理不等式的解法绝对值不等式的解法指数不等式与对数不等式的解法一元二次不等式的解法高次不等式的解法二元一次不等式（组）与简单线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域简单的二元线性规划问题一线名师精讲第一节不等式及其基本性质一、不等式的概念★用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式.不等式分为严格不等式和非严格不等式.二、不等式的基本性质★1.如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；（对称性）2.如果x＞y，y＞z；那么x＞z；（传递性）3.如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z；（加法法则）4.如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（乘法法则）5.如果x＞y，z＞0,那么x÷z＞y÷z;如果x＞y，z＜0,那么x÷z＜y÷z；6.如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；(充分不必要条件)7.a>b,ab>01a<1b；（倒数法则）8.a>b,ab>0an>bn(n∈N*且n>1)；（乘方法则）9.a>b>0na>nb(n∈N*且n>1)；（开方法则）10.含有绝对值不等式的性质：（1）|a|+|b|≥|a+b|；（2）|a|-|b|≤|a+b|；（3）|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.三、不等式的证明★★★（一）比较法比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).1.差值比较法差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若a-b≥0，则a≥b；若a-b≤0，则a≤b”.其一般步骤为：（1）作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；（2）变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；（3）判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.2.商值比较法商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，ab≥1，则a≥b；ab≤1，则a≤b”.其一般步骤为：（1）作商：将左右两端作商；（2）变形：化简商式到最简形式；（3）判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. (二)综合法从已知条件或已经证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式.(三)分析法从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备，就可确定待证不等式成立，这种思想通常简单地称为“执果索因”.(四)缩放法缩放法是要证明不等式A<B成立，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法.其基本原理是不等式的传递性，关键要掌握放缩的“度”.第二节解不等式一、分式不等式的解法★（一）化分式不等式为标准型方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式.（二）将分式不等式转化为整式不等式求解具体解法如下：1.f（x）g（x）>0f(x)g(x)>0；2.f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0；3.f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0，g(x)≠0；4.f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0，g(x)≠0.例1解不等式：x-3x+7<0.解法1：化为两个不等式组来解：∵x-3x+7<0，∴x-3>0，x+7<0，或x-3<0，x+7>0，由x-3>0，x+7<0，得x∈,由x-3<0，x+7>0，得-7<x<3.∴原不等式的解集是{x|-7<x<3}.解法2：化为二次不等式来解：∵x-3x+7<0,∴（x-3）（x+7）<0,∴-7<x<3，∴原不等式的解集是{x|-7<x<3}.第三节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题一、二元一次不等式（组）与平面区域★★（一）基本概念1.二元一次不等式含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.（二）二元一次不等式的表示区域二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）在直角坐标系中表示Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域.直线叫做这两个区域的边界.若是“＞”号，则区域不包括边界，直线画为虚线.若是“≥”号，则区域包括边界，直线画为实线.判断二元一次不等式表示平面区域的方法：直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点.例1画出下列不等式表示的区域(1)(x-y)(x-y-1)≤0；(2)x≤|y|≤2x.解：(1)原不等式可化为x-y≥0，x-y-1≤0，0≤x-y≤1或x-y≤0x-y≥1矛盾无解，故点(x,y)在一带形区域内（含边界），如图1所示.(2)由x≤2x，得x≥0；当y>0时，有x-y≤0，2x-y≥0，点(x,y)在一三角形区域内(含边界)；当y≤0，由对称性得出.如图2所示.例2画出不等式组x-y+5≥0，x+y≥0，x≤3，表示的平面区域.解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为右图所示的三角形区域.第四章函数核心考点提示1.了解函数的概念.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6．能够运用函数的性质，指数函数、对数函数和三角函数的性质解决某些简单的实际问题.一线名师精讲第一节函数的概念和基本性质一、函数的概念★设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f（x），x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y=f（x）的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域.二、函数的表示方法★1.函数的三要素：①对应法则f；②定义域A；③值域{f（x）|x∈A}.只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f∶A→B.这里A,B为非空的数集.（2）A：定义域，原象的集合，{x|x∈A}；f（x）：值域，象的集合,{f(x)|x∈A}；f：对应法则，x∈A ，y∈B.（3）函数符号：y=f(x)y是x的函数，简记f(x).2.常见函数的表示方法:(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0):定义域R, 值域R;(2)反比例函数f(x)=kx(k≠0):定义域{x|x≠0}, 值域{f(x)|x≠0};(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):定义域为R，值域：当a>0时，y|y≥4ac-b24a；当a<0时，y|y≤4ac-b24a.说明：在求函数的定义域时，一般情况下应该考虑：（1）偶次方根的被开方数不小于零；（2）分母不等于零；（3）零的零次幂没有意义.三、函数的基本性质★★★1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，其-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.（2）利用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)= f(x) 或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x) 或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数.（3）简单性质：①图象的对称性：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.第二节一次函数与二次函数一、一次函数和正比例函数★★★★(一)一次函数定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数是一次函数.注意：①k、b是常数，k为不等于0的常数.②当b=0时，一次函数为正比例函数，因此可知，一次函数包含正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，也就是说，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.1.一次函数的图象定义函数y=kx+b叫做一次函数，k、b都是常数，且k≠0.图象经过点(0,b)的一条直线性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小（1）一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是经过点(0,b)且平行于直线y=kx的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时,向上平移,当b<0时,向下平移）.（2）直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与x轴的交点为-bk,0,与y轴的交点为(0,b).（3）直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与直线y=kx(k是常数,k≠0)的关系:①直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)平行于直线y=kx(k是常数,k≠0).②直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)可通过平移直线y=kx(k是常数,k≠0)得到.例如：把直线y=2x沿y轴向上平移3个单位就可以得到直线y=2x+3;直线y=3x-5是直线y=3x沿y轴向下平移5个单位得到的.2.一次函数图象的画法因一次函数的图象是一条直线，所以取两点即可画出图象.（1）一般地，直线y=kx+b取两点(0,b)和-bk,0.（2）画一次函数的图象要注意自变量的取值范围.注意：画一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象除了上述方法之外，还可由直线y=kx(k 是常数,k≠0)沿y轴平移|b|个单位长度得到（当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移）.3.一次函数的性质一般地，一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)有下列性质：（1）当k>0时,y随着x的增大而增大（或y随x的减小而减小）,函数图象是从左向右上升（或从右向左下降）.（2）当k<0时,y随着x的增大而减小（或y随x的减小而增大）,函数图象是从左向右下降（或从右向左上升）.第七章统计与概率第一节统计一、统计量★★★（一）平均数一般地，如果有n个数x1,x2…，xn,那么x=1n（x1+x2+…+xn）叫做这n个数的平均数,x 读作“x拔”.（二）加权平均数一般来说，如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，……，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n）,那么根据平均数公式，这n个数的平均数可以表示为x=x1f1+x2f2+…+xkfkn.当一组数据中有数据多次重复出现时，用加权平均数公式计算简便些.在上述公式中，相同数据xi的个数fi叫做权.这个“权”含有所占分量轻重的意思.fi越大，表示xi的个数越多，于是xi的“权”就越重.例1某班有50名学生，数学期中考试成绩90分的有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分的有13人，56分的有2人，45分的有4人，计算这个班学生的数学期中考试平均成绩（保留到小数点后第一位）.解：x=150(90×9+84×12+73×10+65×13+56×2+45×4)=73.7.（三）中位数把一组数据按从小到大的数序排列，处在中间位置的一个数（或中间位置两个数的平均值）叫做这组数据的中位数.（如果数据个数是奇数，中间位置的那个数即该组数据的中位数；如果数据个数是偶数，中间两个数的平均数即该组数据的中位数.）中位数的算法：如果用字母n表示样本数据的个数，那么：当样本数据的个数为奇数时，求出（n+1）÷2的值(位置数)，其所对应的数即为中位数.当样本数据的个数为偶数时，中位数为n÷2与n÷2+1分别对应的数之和的平均值.例2学校开展为贫困地区捐书的活动，以下是八名学生捐书的册数：2，2，2，3，6，5，6，7，则这组数据的中位数为（）.A. 2B. 3C. 4D. 4.5分析：题目中的数据看似按顺序排列的，但有两个数据实际并没有按顺序排列，故需先将这组数据重新排序后再求中位数.【答案】C【解析】将这组数据排序后为：2，2，2，3，5，6，6，7，这组数据个数是偶数，中间两个数的平均数即为该组数据的中位数.所以这组数据的中位数为（3+5）÷2=4，故应选C. （四）众数众数是一组数据中出现次数最多的那个数.众数是在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平.用众数代表一组数据，可靠性较差.不过，众数不受极端数据的影响.如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数. 例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3.注意：众数在一组数中有一个或多于1个，也可以不存在.第二节概率一、随机事件的概率★★1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.4.事件与基本事件：事件随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.确定事件不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件.必然事件：在条件S下，一定会发生的事件.基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件.一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示.5.频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小.随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化.第十三章几何初步核心考点提示1.了解点、线、面、角的基本概念，掌握三角形、四边形等基本图形的特性.2.掌握基本几何体的面积、体积公式的推导与应用.3.掌握基本视图与投影的原理，了解图形变换的基本性质与应用.第一节基本几何元素一、直线、射线与线段★★★直线射线线段图形续表直线射线线段延伸方向两端无限延伸向一端无限延伸不向任何方向延伸表示方法①直线AB或直线BA②直线l①射线OA②射线l①线段AB或线段BA②线段a能否度量不能不能能直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线.两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，公共点为它们的交点.射线和线段都是直线的一部分.线段公理：两点之间，线段最短.连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离.把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点.如右图，点M是线段AB的中点，则有AM=MB=12AB或2AM=2MB=AB.类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫做线段的三等分点.把线段分成相等的n条线段的点，叫做线段的n等分点.二、角★★★★1.定义角是由两条有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两边.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.2.角的表示3.角的度量度量制：度、分、秒是角的常用度量单位.1°=60′,1′=60″.4.角的分类（1）对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角.两条直线相交，构成两对对顶角.互为对顶角的两个角相等（对顶角的性质）.对顶角是针对具有特殊位置的两个角的名称；对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系.如右图，∠1与∠2为一对对顶角，∠3与∠4为一对对顶角.注意：对顶角一定相等，但是，相等的角不一定是对顶角.任何两条直线可以看成一个组合, 这样的组合有C2n=n(n-1)2个,每个组合有两对对顶角,因此,n条直线相交于一点,共有2C2n=n(n-1)对不同的对顶角.（2）同位角两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置的角叫做同位角.如图：∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角.平行线的判定：同位角相等，两直线平行.平行线的性质：两直线平行，同位角相等.第二节多边形一、三角形★★★★★1．定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形.2.三角形的边角关系（1）三角形的内角和等于180°.（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线、中线、高、中位线.①等腰三角形中，顶角平分线、中线、高三线互相重叠；②三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点。