大学物理第一学期练习册答案概要

练习一 质点运动学

一、选择题

1.【 A 】

2. 【 D 】

3. 【 D 】

4.【 C 】 二、填空题

1. (1) 物体的速度与时间的函数关系为cos dy

v A t dt ωω=

=； (2) 物体的速度与坐标的函数关系为2

2

2

()v

y A ω

+=.

2. 走过的路程是

m 3

4π

； 这段时间平均速度大小为：s /m 40033π；方向是与X 正方向夹角3

π

α=

3.在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。

4.则其速度与时间的关系v=3

2

03

1Ct dt Ct v v t

=

=-⎰

, 运动方程为x=4

0012

1Ct t v x x +=-. 三、计算题

1. 已知一质点的运动方程为t ,r ,j )t 2(i t 2r 2

ϖ

ϖϖ

ϖ

-+=分别以m 和s 为单位，求:

(1) 质点的轨迹方程，并作图；

(2) t=0s 和t=2s 时刻的位置矢量；

(3) t=0s 到t=2s 质点的位移?v ,?r ==ϖ

ϖ∆

(1)轨迹方程：08y 4x 2

=-+； (2) j 2r 0ϖϖ

=，j 2i 4r 2ϖϖϖ-=

(3) j 4i 4r r r 02ϖϖϖ

ϖϖ-=-=∆，j 2i 2t

r v ϖϖϖϖ-==∆∆

2. 湖中一小船，岸边有人用绳子跨过高出水面h 的滑轮拉船，如图5所示。如用速度V 0收绳，计算船行至离岸边x 处时的速度和加速度。

选取如图5所示的坐标，任一时刻小船满足：

222h x l +=，两边对时间微分

dt dx x dt dl l

=，dt dl V 0-=，dt

dx

V = 02

2V x

h x V +-=

方向沿着X 轴的负方向。

5

图

方程两边对时间微分：xa V V 2

20

+=，x

V V a 2

20-=

32

20x

h V a -=，方向沿着X 轴的负方向。

3. 质点沿X 轴运动，其加速度和位置的关系是)SI (x 62a 2

+=。如质点在x=0处的速度为1

s m 10-⋅，求质点在任意坐标x 处的速度。

由速度和加速度的关系式：dt dv a =

，dx

dv v dt dx dx dv a == vdv adx =，vdv dx )x 62(2=+，两边积分，并利用初始条件：0x =，10s m 10v -⋅=

vdv dx )x 62(v

10

2

x

⎰⎰

=+，得到质点在任意坐标x 处的速度：25x x 2v 3++=

练习二 曲线运动和相对运动

一、 选择题

1. 【 B 】

2.【 D 】

3. 【 C 】

4.【 B 】 二、填空题

其速度

j t 5cos 50i t 5sin 50v ϖϖϖ

+-=；其切向加速度0a =τ；该质点运动轨迹是100y x 22=+。

2.标量值dv dt 是否变化：变化；矢量值dt

v

d ϖ是否变化：不变；a n 是否变化：变化

(A) 轨道最高点A 的曲率半径g )cos v (20A θρ=，落地点B 的曲率半径θ

ρcos g v 2

B =。

3.(1) 0a ,0a n t ≠≠：变速曲线运动

(2) 0a ,0a n t =≠：变速直线运动， a a t n ,分别表示切向加速度和法向加速度。 4. A 点处的切向加速度g a t =，小球在B 点处的法向加速度g 2a n =。 三、计算题

1. 如图3，一质点作半径R=1m 的圆周运动， t=0时质点位于A 点，然后顺时针方向运动，运动方程)SI (t t s 2

ππ+=求： (1) 质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率；(2) 质点在1秒末的速度和加速度的大小。

(1) 质点绕行一周所需时间：R 2t t 2πππ=+，s 1t =

质点绕行一周所经历的路程：)m (2R 2s ππ==

位移：0r =ϖ

∆；平均速度：0t

r v ==∆∆ϖ

ϖ 3

图

平均速率：s /m 2t

s

v π∆==

(2) 质点在任一时刻的速度大小：ππ+==

t 2dt

ds

v 加速度大小：2222

2n )dt

dv ()R v (a a a +=+=τϖ 质点在1秒末速度的大小： )s /m (3v π=

加速度的大小：2

22)2()9(a ππ+=ϖ

，)s /m (96.88a 2

=ϖ

2. 如图4，飞机绕半径r=1km 的圆弧在竖直平面内飞行，飞行路程服从)m (t 50)t (s 3

+=的规律，飞机飞过最低点A 时的速率1

A s m 192v -⋅=，求飞机飞过最低点A 时的切向加速度a t ，法向加速度n a 和总加速度ϖ

a 。

飞机的速率：dt

ds v =，2

t 3v =，加速度：ττˆa n ˆa a n +=ϖ， t 6dt dv a ,r t 9v a 42n ====

τρ 飞机飞过最低点A 时的速率：1

A s m 192v -⋅=，s 8t =

224n s /m 00.48t 6a ,s /m 86.36r

t 9a ====τ，加速度：n 86.3648a ϖ

ϖϖ+=τ

3. 有架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处。已知气流相对于地面的速率为

u ， AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变。

(1) 如果u=0(空气静止)，试证明来回飞行的时间为v /l 2t 0=；

(2) 如果气流的速度向东，证明来回飞行的时间为)v

u 1/(t t 22

01-=；

(3) 如果气流的速度向北，证明来回飞行的时间为22

02v

u 1/t t -=

(1)如果：0u =，飞机来回的速度均为v ，来回的飞行时间：v l t /20=

(2)如果气流的速度向东，飞机向东飞行时的速度：u v v 1+=，飞机向西飞行时的速度：

u v v 2-=，来回飞行的时间：u

v l u v l t 1-+

+=，)v u 1/(t t 2201-= (3)如果气流的速度向北，飞机向东飞行的速度：221u v v -=，飞机向西飞行的速度

2

2

1u v v -=，来回飞行的时间：22222u

v l

u v l t -+-=，22

02v u 1/t t -=

大小：y 2

y 2x a a a a =+=

ϖ

，2x y s /m 18v 6a ==，2s /m 18a =ϖ，方向沿Y 轴方向。

4

图