低维固体和纳米结构

俯视图
填充吸附
剖面图
中心吸附
顶吸附
桥吸附
四、表面自由能 在建立新表面时，邻近原子将丢失，键被切断，因 此，必须对系统作功； 同样，在一定温度和压力下，并保持平衡条件，若 增加表面能，系统也必须作功。 对所有单组分的系统，表面总的自由能改变为：
dG SdT Vdp dA
G---表面自由能； S---熵； V---体积； p---压力； ---表面张力； T---温度 A---表面积
2 n 2 E ( ) Vn 2m a
V ( z ) Vn cos(n z) a
a
能隙上端的电子态为
n ( z ) csin( ) a
2 n 2 E ( ) Vn 2m a
n ( z ) csin( ) a
n i ， 对于半无限一维表面电子态能隙上端的电子态 k a 在z>0的区域 n k ( z ) ce cos( z ) a 2 n 相移因子由下式决定： sin(2 ) m a Vn
The Nobel Prize in Physics 1985
K. von Klitzing（1943~） for the discovery of the quantized Hall effect.
实验设置示意图
实验观测到的霍尔电阻 1, 霍尔电阻有台阶, h 2, 台阶高度为 ie 2 ,i 为整数, 对应于占满第 i 个Landau能级, 精度大约为5ppm. 3, 台阶处纵向电阻为零.
1 2
Landau 能级
e
Hi[
( x x0 ) ] lc
eE , 2 mc
i 0,1,2,3,...
In two-dimensional systems, the Landau energy levels are completely seperate while in threedimensional systems the spectrum is continuous due to the free movement of electrons in the direction of the magnetic field.
Rxy正比于B，是一条直线。
在量子力学下（E沿x方向）
H
选择矢量势 波函数为
A (0, Bx ,0)
( x, y) e
ik y y
1 eA 2 (P ) eEx 2m c
( x)
2 d 2 1 2 2 2 m c ( x l c k y ) eEx ( x ) ( x ) 2 2 2m dx 1
→→
格点也可以是原子团；
二维格子中任意格点的位矢：
二维格子示意图
T na mb a 、b 为二维格子的基矢。
也是原胞的两条边。
二维格子的数目是有限的，实际上只有5种Bravais格子 ，即斜形、方形、六角形、矩形以及中心矩形，其基矢如 下：
名 称 斜形 方形 六角形 矩形 中心矩形 格子符号 P P P P C 基矢关系 ab， 90°，任 意 a=b， =90° a=b， =120° ab， =90° ab， =90° 晶 系 斜形 正方 六角 矩形 矩形
表面
内部
2、不考虑表面原子的热运动、热扩散、热 缺陷等；
3、不考虑外界对表面的物理-化学作用等；
理想表面示意图
4、认为体内原子的位置与结构是无限周期 性的，则表面原子的位置与结构是半无限 的，与体内完全一样。
二、清洁表面
不存在任何吸附、催化反应、杂质扩 散等物理-化学效应的表面。
（表面的化学组成与体内相同，但结构可以不同于体内）
ya ( M m)2 sinh( ) 2 4mM
这是一个局域于表面区域振幅指数衰减的表面振动模。
12.1.4 表面的电子态
电子的势能
V(z)
V ( z nz ) V ( z) V0
为确定和简单计，设：
z0 z0
V0 V1
n 由自由电子的近似知，在波矢 k 处出现能隙 Eg 2 Vn a 能隙下端的电子态为
z
>0
z<0区域，当E<V0时， ( z ) A exp( z=0处，两波函数及其导数连续 k (0) (0) k (0) (0) 由此得到：
2m( E0 V )0 z)
2m( E0 V )0 n tan a
2 n 所以表面能级： E Es V0 tan 2m a Vn>0才会引起表面能级，表面态波函数在晶体内是振 幅衰减的振荡函数，这种形式的波函数称为隐失波。
清洁表面可分为三种： 台阶表面、弛豫表面 、重构表面
1、台阶表面 --- 表面不是平面，由规则或不规则台阶组成。
晶面1
（平面 ）
பைடு நூலகம்
晶面2
（立面 ）
晶面3
（连接面 ）
2.弛豫表面 --指表面层之间以及表面和体内原子层之间的垂
直间距ds和体内原子层间距d0相比有所膨胀和压缩的现象。 可能涉及几个原子层。
表面
ds
d0
内部
3、重构表面 --- 指表面原子层在水平方向上的周期性不
同于体内，但在垂直方向上的层间间距d0与体内相同。
表面
d0
内部
d0
三、吸附表面在清洁表面上有来自体内扩散到表面的杂质 和来自表面周围空间吸附在表面上的质点所构成的表面。
吸附表面可分为四种吸附位置： 顶吸附、桥吸附 、填充吸附、中心吸附
A u (n,1) exp[i(qna t )] n 1, 2,3, 4,...... m B 1 u (n, 2) exp i[(n )qa t ] n 0,1, 2,...... 2 M
代入前面的动力学方程，可求得：
2 2 A M 2 qa B cos 2 mM
(1982) for an extremely pure interface ( GaAs/AlGaAs heterojunction ) where electrons could move ballistically => fractional quantum Hall effect R.B.Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, No.18 (1983)
2
或
2 qa cos A 2 mM 2 B 2 m
(1)
对于端头原子仍用上面试探解，代入其动力学方程：
A B qa ( m ) exp( ) 2 m M
代入(1)式中的第2式得：
2
qa qa 2 2( m ) cos( ) (2 m ) exp( ) 2 2
五、表面偏析 杂质由体内偏析到表面，使多组分材料体系的表面 组成与体内不同。
将偏析与表面张力联系起来： (1) 若2< 1, 表面张力较小的组分将在表面上偏析(富集); (2) 若2= 1, 不存在表面偏析。
12.1.2
表面二维结构
平面 二维 格点阵列 格点 格点可以是一个原子（即 Bravais[布喇菲]格子）；
原子n在平衡位置的位移
un-1 un un+1
2u (01) m u (0, 2) u (0,1) 2 2 t u (0, 2) M u (0,1) u (1,1) 2u(0, 2) 2 t
若只考虑最近邻原子的作用，第2个原子起各原子的运动方程与一维 无限双原子链的情形相同，其试探解为：
c 2 lc eB
经典回旋半径
eE ) 2 2m c
解为：
i ( E ) ( i )c eE( lc2 k y i ( x, y) e
2 x0 l c ky ( x x0 ) 2 [ ] 2 ( ik y y ) 2 lc
应用： (a)电阻标准
h 8 自 1990 年起，电阻标准： 25812 . 806 ( 精 度 ～ 2 10 ) e2
应用： (b)精细结构常数的测量
e2 2hc 0
(3)分数量子霍尔效应
1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数量子数的霍尔平台, 一年后, R.B.Laughlin写下了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出了很好的解 释 D. .C. Tsui, H. L. Stormer, and A. G. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559
二维Miller指数
Miller指数标记二维晶格中平行晶列的各种取向。如（hk） 注意与晶面指数的区别。？
12.1.3 表面振动
在晶体表面周期性受到破坏时，将类似于晶格的缺 陷，可能存在局域于表面的振动模，即表面振动，并将形 成表面波。 表面振动的振幅常比体内更大。
a
一、一维双原子链
左端第n=0原胞第j=1个原子的质 量为为m,第 j=2个原子的质量为M ，其牛顿运动方程为：
1h 1 Rxy 2 R ie i
(2)整数量子霍尔效应
1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导, 1978年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发现霍尔平台 , 但直到 h 1980年, 才注意到霍尔平台的量子化单位 e 2 ,
K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) => integer quantum Hall effect
若二维电子气所在平面为xy,磁场B=Bez,电子运动方程：
mv e(E v B) Ex vy B 稳态时： v 0 E v B
jx nevx
Ey vx B
霍耳电阻：
en en E y j y nev y Ex B B Ey B Rxy jx ne
如Fermi能 级 处 于 能 隙 中 G H ec m 2 2 加 磁 场 Landau 能级 eB 简并度 c g ( E ) hc 如电子占据 i个Landau 能级： ieB n hc 1 h RH ( i ) 2 GH e i 无外磁场， g ( E )＝ n( F ) B
第十二章 低维固体和纳米结构
§12.1 固体表面
§12.2 量子霍尔效应
§12.4 碳纳米管 §12.6 介观体系的物理效应 §12.7 原子团簇
§12.1 固体表面
12.1.1 固体的表面
理论上结构完整的二维点阵平面。
理论前提： d 1、不考虑晶体内部周期性势场在晶体表面 中断的影响；
一、理想表面
由于杂质的作用, Landau能级的态密度将展宽(如下图). 两种状态: 扩展态 和 局域态 只有扩展态可以传导霍尔电流(0度下), 因此若扩展态的 占据数不变, 则霍尔电流不变.当Fermi能级位于能隙中 时, 出现霍尔平台. Laughlin(1981)和 Halperin(1982) 基于规范变换证明：
若ω为实数，则q不可能为实数，再利用(1)式中的前一个等 式得： 2 2
(mM (m M )) 0
解1：
0
2 2 s
对应于q=0，所有原子一起平衡。
1 1 解2： ( ) 这频率落在声频支最高频率 m M 和光频支最低频率的禁带之间。这时q为一复数： q iy a 代入(1)式得
2
§12.2 量子霍尔效应 （Quantum Hall Effects (QHE) )
(1)霍尔效应基础
B
d V’ resistivity I + current source V Hall voltage x y z
E. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879) => Hall effect