2、几个常用极限
①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01
lim
=∞→n
n ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞
→n q n
=0；;1lim ,1==∞
→n n q q ,1-=q 或n n q q ∞
→>lim ,1不存在。
若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：q
a s s n n -=
=∞
→1lim 1
3、数列极限的运算法则
如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim
∞→n (a n ·b n )=A ·B
(3)lim ∞
→n n n b a =B
A
(B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞
→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….
注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限;
(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练
1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322
lim n n n n n
→∞+++= 2、135(21)
lim
2462n n n
→∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_________________
3．已知a 、b 、c 是实常数，且a
cn c
an b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是………
（ ）
A .
121 B .61 C .2
3
D .6
4．已知a 、b 都是实数，且a >0，如果0)(
lim =+∞
→n
n b
a b ，
那么a 与b 的关系是………………（ ）
A .a <2b
B .－a <2b
C .－a D .－
a <
b <2
a
5.在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足1
1
lim n n S a →∞
=
，那么a 1的取值范围是……………………（ ）
（A ）（1，＋∞） （B ）（1，4） （C ）（1，2） （D ）（1
） 6.等比数列｛a n ｝中，a 1=－1,前n 项和为S n ，若
10531
,32
S S =则lim n n S →∞
=………………………（ ）
（A ）
23 （B ）－2
3
（C ）2 (D )－2 三、例题分析 例1求下列极限
(1)
lim
∞
→n (1223
-n n -1
22+n n ) (2)lim ∞→n [n (1+n -n )] (3)
lim ∞
→n (21n +24n +27n +…+223n n -) (4)lim
∞→n )
1()1()1()1(11n n n n a a a a a a -+--+--+(a ≠1) 例2：已知
)413(2
2lim
n bn
an cn n n -+++∞
→=5，求常数a 、b 、c 的值。 例3．设数列a 1，a 2，…，a n ，…的前n 项的和S n 和a n 的关系是n
n n b ba S )1(1
1+-
-=，
其中b 是与n 无关的常数，且b ≠―1
（1）求a n 和a n －1的关系式； （2）写出用n 和b 表示a n 的表达式;（3）当0
时，求极限n n S ∞
→lim
例4、已知数例{a n }前n 项之和S n =1+ka n （k 为不是0、1的常数）。
(1)用n ，k 表示a n ； (2)若lim ∞→n S n =1，求k 的取值范围。
例5、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保
有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
备用:某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地。但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：(1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设备费用，所需经费与当年所填湖造地的面积x （亩）的平方成正比，其比例系数为a 。又知每亩水面的年平均经济收益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均经济收益为c 元（其中a ，b ，c 均为常数）。若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x 的最大值。
(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的
4
1
，求今年填
