一阶常系数线性差分方程

y C (2)n C2n
设 y(n) a0n2 a1n a2 , 代入原方程,
有
a0n2 (2a0 a1)n (a0 a1 a2) 2n2 1
比较系数得
a0 2, a1 4, a2 5, 所以得
y(n) 2n2 4n 5, 从而所给方程的通解为
y C2n 2n2 4n 5 其中C 为任意常数.
利用三角恒等式
cos(n ) cos ncos sin nsin sin(n ) sin ncos cos nsin
得到等式
[B1(cos a) B2 sin ]cos n [B1 sin
B2(cos a)]sin n b1 cos n b2 sin n
则方程 (10为 13)
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) Q(n)为特解,
Q(n) 为多项式, 代入方程 (10, 16) 有
Q(n 1) aQ(n) Pm (n) 于是, 若 a 1, 要使方程恒等 , 则应设
y(n) a0nm a1nm1 am1n am
有
A2n1 2A2n 3 2n
从而解得
A 3, 4
所给方程的通解为
yn
3 4
2n
.
yn
C (2)n
3 4
2n
由
y0
4,
得
C
13 , 4
于是所给方程满足条件的特解为
yn
13 (2)n 4
3 4
2n
1[3 (1)n 13]2n. 4
3. f (n) b1 cos n b2 sin n,其中b1,b2 , 为给定常数, 且 mπ(m为整数,若 mπ,方程则变成类型1或2
于是有
B1(cos a) B2 sin b1 B1 sin B2(cos a) b2
(10 19)
方程组 (10的系1数9行) 列式为
cos a
D
sin (cos a)2 sin2
sin cos a
因为 mπ , sin 0,方程组 (10有唯1一9解)
yn1 ayn , n 0, 1, 2,
这是等比数列所满足的关系式,
由等比数列通项公式
可以得到
yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程
(的1通0 解 14)
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
1.二f (n、) 非Pm(齐n), 次Pm方(n) 为程m的次多特项解式,与通解
一、齐次方程的通解
一阶常系数线性差分方程一般形式为
yn1 ayn f (n), n 0, 1, 2, 其中a 为非零常数, f (n)为已知函数 , 方程 (10 13) 的对应齐次方程为
(10 13)
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
(10 14)
方程 (10变形1后4改) 写为
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程,
有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
a1
5, 2
所以
y(n) 1 n2 5 n, 22
所给方程通解为
y(n) C 1 n2 5 n, 22
其中C 为任意常数.
例2 求差分方程 yn1 2 yn 2n2 1 的通解. 解 因a 2, 对应齐次方程的通解为
从而得到
y(n) Ad n
代入方程,
解得 A b , ad
于是方程
(10的特1解7为) y(n) b d n ad
当a d 时, 要使等式恒成立, 应取 k 1, 从而得到
代入方程 于是方程
y(n) And n (10, 17) 可得 A b ,
d (10的特解17为)
y(n) b nd n , d
综上讨论,
于是方程 (1的0 通解17可)表示为
yn
C
(a)n
a
b
C
b d
n
d
n
,
d
d
n,
a d a d
其中C 为任意常数.
例3 求方程 yn1 2 yn 3 2n 满足初始条件 y0 4 的 特解.
解 对应齐次方程的通解为 y C(2)n
又设 yn A2n , 代入方程,
的形式求解), b1, b2 不同时为零, 这时方程 (1为0 13)
yn1 ayn b1 cos n b2 sin n
(10 18)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) B1 cos n B2 sin n,
其中B1, B2为待定系数, 将 y(n) 代入方程 (10 18),
B1
1 D
[b1
(cos
a)
b2
sin
]
B2
1 D
[b2
(cos
来自百度文库
a)
b1 sin
]
从而得到方程
(的1特0解 18)
(10 20)
y(n) B1 cos n B2 sin n, 其中 1, 2 由 (10 20) 给出, 方程 (10 的1通8解)为
yn C(a)n B1 cos n B2 sin n
2. f (n) bd n , 即 f (n) 为指数函数, 这时方程 (10 13)
为
yn1 ayn bd n
其中a , b 为非零常数.
(10 17)
根据 f (n) 的形式,可设 yn Ankd n, A为待定系数,
代入方程有
(n 1)k Ad nk Aa b
于是, 当a d 时, 要等式恒成立, 应取 k 0,
其中a0,a1, ,am为待定系数, 代入方程后,
比较同幂次系数,
可以解代数方程确定待定系数.
若 a 1, 要使方程恒等,
则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn.
代入方程,
比较同幂次系数,
可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
其中C 为任意常数.
注意 若 f (n) b1 cos n 或 b2 sin n 时, 试解函数仍 应取 y(n) B1 cos n B2 sin n.
例4 求方程 yn1 2 yn cos2n 的通解.
解 对应齐次方程的通解为
y C2n
设非齐次方程的特解为
代入方程,