一阶常系数线性差分方程
一阶常系数差分方程的特解公式
Ｖｏ ． ． Ｉ４ ＮＯ １
Ｊｎ． ２ ０ ａ ０８
一
阶 常 系数 差 分 方 程 的 特 解 公 式
赵 士 银 （ 苏宿 迁 学院 教 育 系 ， 江 江苏 宿迁 ２ ３ ０ ） ２８０
摘 要 ：利 用比较 系数 法， 导 出一 阶常 系数 线性差 分方程 Ｙ＋ ＋Ｐ ｔ １ Ｙ ＝（ １ ＋ａ ） ｙ＋ ＋Ｐ ， ｌ Ｙ 推 ｔ２ Ｙ＋ ＋ｑｔ ａ ｔ ｏ ｄ 和 ｔ２ Ｙ ＋ ＋ｑｔ
比较 系数得
，
ａ１
以ｏ
Ｄ１
２ 一 ｄ
Ｄ０
一 Ｄ１
在 定理 １中 ， 若方程 （ ） 的 ａ １中 ＝ ０ 则有 ， 推论 １ 一 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 Ｙ ＋ 川 ａ ＝ａ ｄ （ ａ 、 均为 常数 ）的特解形 式可 写为 ｙ ｏ ａ、 ０ｄ
方程 的特 征方程 记 为
ｒ＋ ａ ＝ ０ （） ２
ｂｔ ｏ ｄ
其中 ｂ ｏ 。＝ ａ
，
是 特征根
若令 ｆ ｄ）＝ ｄ＋ａ， 方程 （ ） （ 则 １ 的特 解形 式可写 为
（ １ ｂ ｔ＋ ｂ ） ０ｄ
在 定理 １中 ， 若方程 （ ）中 的 ｄ － ， 有 １ ７ 则 －１ 推论 ２ 一 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 Ｙ＋ ｔ１＋ ａ １ ＋ａ （ ａ 、 为常 数 ） ｙ ＝ａ ｔ ｏ 以、 ｏｄ均 的特 解形 式可写 为
ｂ ｄ ｏ
１ ｆ（ ） ａ ｔ ｏｄ ｔ ＝（ ｌ ＋ａ ）
定理 １ 设有 一 阶常 系数线性 非齐 次差 分方 程
Ｙ＋ ＋ａ ｆ＝ （ １ ｆ１ ｙ ａ ｔ＋ａ ） ０ｄ （） １
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
复制动态方程公式
复制动态方程公式动态方程公式主要指的是描述动态系统行为的数学模型。
这些模型通常用一系列差分方程或微分方程表示，在物理学、工程学、经济学等领域中得到广泛的应用。
在本文中，将介绍几种常见的动态方程公式，并解释其背后的数学原理和实际应用。
一、一阶线性差分方程一阶线性差分方程是最简单的动态方程公式之一，其常见形式如下：xt+1 = a * xt + b其中xt为时刻t的状态变量的值，xt+1为时刻t+1的状态变量的值，a和b为常数。
这个方程描述了一个变量在每个时刻的变化都与前一个时刻的变量值成线性关系，并且存在一个常数偏移项。
这种方程广泛应用于描述种群增长、价格变化以及各种自然和社会系统的动态行为等。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是描述连续动态系统的常见方程形式，其一般形式如下：dy/dt = a * y + b其中y是时间t的函数，dy/dt表示y对时间的导数，a和b为常数。
这个方程表达了一个函数的导数与函数本身成线性关系，并且存在一个常数偏移项。
一阶线性微分方程常用于描述物理系统的运动、电路中的电流和电压关系、经济学中的增长模型等。
三、二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程是描述连续动态系统中更复杂行为的方程形式，其一般形式如下：d^2y/dt^2 + a * dy/dt + b * y = c其中y是时间t的函数，d^2y/dt^2和dy/dt分别表示y对时间的二阶导数和一阶导数，a、b和c为常数。
这个方程描述了一个函数及其导数关于时间的二阶导数和一阶导数之间的关系。
二阶线性常系数微分方程常用于描述机械振动、电路中的共振现象、天体运动等。
四、非线性微分方程非线性微分方程是描述连续动态系统中非线性行为的方程形式，其一般形式如下：dy/dt = f(y)其中y是时间t的函数，f(y)表示y的导数与y本身之间的关系，这个关系是非线性的。
非线性微分方程无法用一般的解析方法求解，通常需要借助数值计算方法进行近似求解。
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
8.9.2一阶常系数差分方程
解 对应齐次差分方程的通解为 Y A2t .
由于 p 2 1,
故可设其特解为 yt* B Ct Dt 2 代入方程，得
B C(t 1) D(t 1)2 2B 2Ct 2Dt 2 3t 2 ,
比较系数：
B C D 2B 0 C 2D 2C 0
D 2D 3
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即 k(t 1)b pkt c ,
解得 于是
k c. p
yt*
c tbt p
ctbt1.
当b a 和 b a 时，方程(6) 的通解分别为：
yt
c b
p
bt
Ap t
和
yt ctbt1 Apt .
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例6 求差分方程
yt 1
1 2
yt
5 t
2
的通解。
解 对应齐次差分方程的通解为
yt1 pyt c，
(5)
1) 采用迭代法求解：
给定初值 y0，有迭代公式
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yt pyt1 c p pyt2 c c p2 yt2 c 1 p p2 pyt3 c c 1 p
p3 yt3 c 1 p p2
L pt y0 c 1 p p2 L pt1 .
yt1 pyt ct n
(7)
设差分方程(7) 具有形如
yt* t s (B0 B1t Bnt n ) ( p 1时取 s 0 ; p 1时取 s 1. )的特解.
将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数
确定系数 B0 , B1, Bn .
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例7 求差分方程 yt1 2 yt 3t 2 的通解。
一阶差分方程
y k +1 = y k (1 + r ) − m, y 0 = 10000
k = 0, 1, 2, L
(5.5.1) (5.5.2)
其中 r 为月利率, 是年利率的 1 /12 . (5.5.1) 与 (5.5.2) 类似于大家熟知的微分方程初值问题 , 称为差分方程的初值问题 . 其中 (5.5.1)是差分方程,而(5.5.2)是其初值. 你现在用 m=434.87, r=0.345 %代入(5.5.1), 验证一下, 看看是否 y24 = 0 ? 现在要问：月还款额 m 是如何确定的？ 如果已知 r , m , y0 ,要求 yk 的一般表达式, 这就是(5.5.1)的求解. 令 zk = yk - yk-1, 即 yk 的差分, k = 1, 2, …. 于是不难得 zk+1=(1+r) zk, 从而有 zk = z1(1+r) k-1 , k = 1, 2, …. 然后, yk - y0 = z1 + z2 + … + zk = z1[ 1 +(1+ r )+ …+(1+r) k-1]
5.5.4. 一阶常系数非线性差分方程 x t+1= a x t (1- x t)
例 5.5.6 动物种群的约束增长模型.
假设某种动物栖息地能够容纳动物最大数量为 M,称为动物容量,如果数量超过 M,就会 出现数量的负增长.而且当数量接近 M 时, 增长速度会缓慢下来. 如果用 yt 表示动物在时刻 t 的数量, 则单位时间以后的动物数量是 y t +1 , 于是我们可以得到这种动物数量的变化规律: yt+1-yt = k yt(M- yt) 其中 k 是正的比例系数. 现在把(5.5.5)改写为 yt+1 = (1+ k M) yt - k y t 2 , 其一般形式是 yt+1 = a yt - b y t 2 对它作适当的变量代换: y t = x t+1= a x t (1- x t) . 因此我们要研究二次函数 ( 称为逻辑斯蒂映射 ) f(x) =ax(1- x ) , xœ[0,1] 2, 2.9, 3.4, 3.5, 3.7, 4 以及 x0 = 0.2, 分别作 实验 5.5.7 取定参数 a = 0.5, 1, 1.5, (5.5.5)
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
差分方程基础知识
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
10-7_一阶常系数线性差分方程
2、f ( x) pn x 型
x
方 程2为 y x1 ayx pn x
x
1 0， 1 2 0， 1
类 型1
设y x x z x
代入方程得 x1 z x 1 a x z x x pn x
消去 x，即得 z x 1 azx pn x 类 型1
(1) 1不是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y Q ( x ) b x b x x n 0 1
bn
(2) 1是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y xQ ( x ) x b x b x 0 x n 1
bn
综上讨论
2
练习题答案
x 3 1 x x 1.(1) y x A( 1) ( ) 3 ( ) ; 2 4 3 3 3 37 ( 2) y x A 5 x , y x 5x; 4 4 12 1 1 5 x x x ( 3) y x 2 A( 1) , y x 2 ( 1) x ; 3 3 3 36 1 2 2 ( 4) y x x x A( 4) x ; 125 25 5 36 1 2 2 161 yx x x ( 4 ) x . 125 25 5 125
5 B1 B2 1 代入原方程为 B1 5 B2 0
5 1 解之得到B1 , B2 26 26 5 1 x 所求通解为 yx A 5 cos x sin x 26 2 26 2
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. 2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
一阶常系数线性差分方程.ppt
(10 13) (10 14)
方程 (10 14) 变形后改写为
yn1 ayn , n 0, 1, 2, 这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13) 为
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程, 有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数. 若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
y(n) (a)n1 f (0) (a)n2 f (1) (a) f (n 2)
f (n 1)
n1
(a)i f (n i 1)
3 4
2n
由
y0
4,
差分方程公式总结
差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。
先来说说啥是差分方程。
简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。
就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。
比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。
这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。
咱们来仔细瞅瞅它的公式。
一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。
求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。
拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。
再说说特征根法。
先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。
我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。
”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。
小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。
二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。
一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。
求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。
在实际应用中，差分方程可太有用啦。
比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。
总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。
差分方程基本知识
a.
t 1 a t 0
分别称为方程
yt 1 ayt 0
和
a
(4)
的特征方程和特征根. 故
yt a t
是方程 (4) 的解. 再由解的结构及通解的定义知：
yt Ca t (C 为任意常数)
是齐次方程的通解.
例4 求 2 yt 1 yt 0 的通解.
(5)
(a 1 时取 s 0 ; a 1 时取 s 1. )
的特解.
* 令 y (1) 当 a 1 时， t k 代入方程 (5) , 得：
k ak c 即
c y k ; 1 a
* t
(2) 当 a 1 时，令 yt* kt 代入方程 (5) , 得：
k (t 1) akt c 即 k c .
称
2 yt ( yt ) yt 1 yt
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称
3 yt ( 2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
n yt (n1 yt )
且有
i n yt C n ( 1)i yt n i . i 0 n
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当
a , b, C 是常数， y t , z t 是函数时，
有以下结论成立：
1
2
(C ) 0;
(Cyt ) C( yt );
对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为
初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分
第12.2节 一阶常系数线性差分方程
又由于 a 3 1 ，因此可设非齐次方程特解的待定式 y ( t ) A ，代入原方程，得 为~
A 3A 2 ,
~ A 1 即 ，故 y (t ) 1 为原方程的一个特解．
因此原方程的通解为
yt ~ y(t ) yc (t ) C 3t 1 .
例题库
A 3 , 8
A3
t 1
1 A3 t 3t , 3
3 t 1 t 1 ~ y (t ) 3 3 , 则原方程的一个特解为 8 8 1 t 1 t 1 ~ 故原方程通解为 yt yc ( t ) y ( t ) C ( ) 3 3 8
（C为任意常数）．
y2 ay1 (a)2 C
y3 ay2 (a)3 C
由此归纳可得齐次方程(2)的通解为
yt C(a)t ,
t 0,1,2, .
例题库
(3)
例1 求方程4 yt 1 yt 0 的通解以及满足初始条件 y0 4 的特解． 1 1 解 将此方程变形为 yt 1 yt 0 ，因此 a ，由公式(3) 4 4 知原方程的通解为
yt b1 b2 C t ( cost si nt ) a a , D0
,
其中 D (cos a )2 sin2 , A1 1 [b1 (a cos ) b2 sin ] , D
A2 1 [b2 (a cos ) b1 sin ] . D
1 1 1 yt C1 ( )t 1 ( )t 1 ( 32 t 1) C ( )t 1 3t 1 8 3 8 3 3
3 其中 C C1 8 为任意常数．
例题库
事实上，迭代法提供了一种应用计算机软件通过编程 求解一阶非齐次线性差分方程特解的算法，而且对非齐次 项 f (t)的函数类型没有任何限制性的要求．但如果要求出 一阶非齐次线性差分方程特解的解析表达式，针对某些特 定形式的函数 f (t)，用迭代法求其特解就很不方便，计算 非常复杂，因此下面进一步介绍另一种简便、有效的求特 解方法——待定系数法．
一阶常系数线性差分方程通解求法
⼀阶常系数线性差分⽅程通解求法最近遇到要求解此类差分⽅程的问题，查阅了相关资料，进⾏了完善并记录下来求⼀阶常系数齐次线性差分⽅程的通解⼀阶常系数齐次线性差分⽅程的⼀般形式为y n+1−ay n=0,(a≠0)迭代法给定初始值为y0，则y1=ay0,y2=ay1=a2y0,y3=ay2=a(a2y0)=a3y0,…,y n=a n y0其中初始值y0为常数，令y0=C，则通解可表⽰为Y n=Ca n当存在某⼀个y x已知时，将其代⼊通解，可以求得C特征根法将原⽅程变形y n+1−ay n=0,(a≠0)⟺y n+1−y n+(1−a)y n=0⟺Δy n+(1−a)y n=0,(a≠0)根据 Δλn=(λ−1)n可以看出y n的形式⼀定为某⼀指数函数设y n=λn(λ≠0) ，代⼊原⽅程得λn+1−aλn=0 ，即λ−a=0⟺λ=a于是y n=a n是原⽅程的⼀个解，从⽽y n=Ca n是原⽅程的通解举例【例1】求y n+1−y n=0 的通解【解】特征⽅程为λ−1=0 ，解得特征根为λ=1 ，所以原⽅程的通解为Y n=C【例2】求y n+1−2y n=0 的通解【解】特征⽅程为λ−2=0 ，解得特征根为λ=2 ，所以原⽅程的通解为Y n=C⋅2n【例3】已知y0=1 ，求y n+1+y n=0 的通解【解】特征⽅程为λ+1=0 ，解得特征根为λ=−1 ，所以原⽅程的通解为Y n=C(−1)n将y0=1 代⼊，得到 1=C(−1)0⟺C=1 ，所以原⽅程的通解为Y n=(−1)n求⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的通解⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的⼀般形式为y n+1−ay n=f(n),(a≠0)当f(n)=0 时，⽅程为y n+1−ay n=0 ，称它为原⽅程对应的齐次⽅程⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的通解为对应的齐次⽅程通解Y n与原⽅程的特解y∗n之和，即y n=Y n+y∗n 当f(n) 为某些特殊类型的函数时，采⽤待定系数法求其特解y∗n较为⽅便右端函数为m阶多项式类型原⽅程变形为 Δy n+(1−a)y n=f(n),(a≠0)由于f(n) 为多项式，因此y∗n也应该是多项式当a≠1 时，令y∗n=θ0n m+θ1n m−1+⋯+θm当a=1 时，令y∗n=n(θ0n m+θ1n m−1+⋯+θm)举例【例1】求y n+1−y n=n2的通解【解】对应的齐次⽅程为y n+1−y n=0 ，特征⽅程为λ−1=0 ，特征根为λ=1 ，齐次⽅程的通解为Y n=C 设原⽅程的特结为y∗n=an3+bn2+cn，代⼊原⽅程得a(n+1)3+b(n+1)2+c(n+1)−an3−bn2−cn=n2原⽅程要恒成⽴，⽤待定系数法得到a=13,b=12,c=16所以原⽅程的通解为y n=13n3+12n2+16n+C右端函数为指数函数与m阶多项式相乘设原⽅程为y n+1−ay n=µn P m(n),(a≠0)当µ=0,1 时，属于上⾯⼀种情况当µ≠0,1 时，设y n=µn⋅z n代⼊原⽅程得µn+1zn+1−aµn z n=µn P m(n)消去µn，得µz n+1−az n=P m(n) ，就成为了上⾯⼀种类型，于是y∗n=µn⋅z∗n 参考资料Processing math: 100%。
一阶常系数线性差分方程
微积分Calculus一阶常系数线性差分方程一一阶常系数线性差分方程概念1一般形式：1()x x y py f x +−=其中为不等于零的常数，为已知函数。
p ()f x ()f x 若不恒等于零，称以上方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。
()f x 若恒等于零，称以上方程为一阶常系数齐次线性差分方程。
齐次线性差分方程的解法1yx =pyx−1=p ∙py x−2=p ∙p ∙py x−3=⋯=p x y 010x x y py +−=一阶齐次线性差分方程：将上述方程变形为：则有：记得一阶齐次线性差分方程的通解：0C y =xx y Cp = （为任意常数）C 二一阶常系数线性差分方程的解法y x+1=py x求差分方程130x x y y ++=的通解。
因为，将其代入通解公式得：3p =−(3)x x y C =− （为任意常数）C 13x xy y +=−将原方程变形为：例解一阶非齐次线性差分方程：1()x x y py f x +−=下面介绍对的三种特殊形式求非齐次差分方程特解的方法。
()f x 非齐次线性差分方程的解法2（1）（为常数，）()f x k =k 0k ≠差分方程变为：1x xy py k +−= 设其特解形式为：s x y Ax *=（其中为待定常数）,A s1,p ≠①取即：0s =x y A*=1,p =②取即：1s =x y Ax*=x y A *=将代入差分方程求得A将代入差分方程求得Ax y Ax *=21716x x y y +++=求差分方程的通解.对应齐次差分方程：的通解为：217x x y y +++=0(7)xx y C =− （为任意常数）C p =−7≠1,设特解为y x ∗=A代入原方程得：2A =故原差分方程通解为：2(7)x x y C =+−（为任意常数）C 例解（2）（其中为常数，且）()xf x ka =k a ，0a >0a ≠非齐次差分方程变为：1x x x y py ka +−= 设特解形式为：x sx y Aa x*=①时，取即p a ≠0s =x x y Aa *=②p a =1s =x x y Axa *=时，取即求差分方程的通解11242x x x y y ++−=原方程化简为122xx x y y +−=对应齐次差分方程通解为2xx y C = （为任意常数）C 2p a ==由于，所以原方程得特解形式为：2xx y Ax =代入原方程得：1(1)2222x x xA x Ax ++−=12A =例解原方程特解为：11222x x x y x x *−==所以原方程通解为：12(2)x x x y x C −=+（为任意常数）C。
一阶常系数差分方程
(2) a 1
令y
x
xQn ( x)
x
b0 xn
b1 x n1
bn
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0 a 1
k
1
a1
例3 求差分方程y x1 2 y x 3 x 2的通解. 解
对应齐次方程通解
Yx C 2x
设特解 y x Ax2 Bx C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
下面
讨论特解y
的求法
x
:
当右端f x是某些特殊形式的函数时，
采
用
待
定
系
数
法
求
其
特解y
较
x
为
方
便.
待 定 系 数 法 假 定 待 定 的 特 解yx与f ( x)的 形 式 相 同.然 后 将 它 们 代 入 差 分 方程, 求 出 待 定 系 数 即可求出特解．
Ca x
1 2
2
于 是yx
x2x a 2
1 2x a 2 a
1 2
2 .
x 2x 1 2x a
a2 ；
a2
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
yx1 ayx 0(a 0为常数)
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. Yx Ca x .
2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
第七节一阶常系数线性差分方程
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
一阶常系数线性差分方程的一种解法
一阶常系数线性差分方程的一种解法
一阶常系数线性差分方程是一种基本的、具有重要应用价值的数学结构，在数
学中占据一个重要的地位。
它的一种重要解法是通过解耦和归纳的方法，这一方法更容易得到较为准确的结果。
解这一方程的核心方法是将含有高次的差分方程解耦，将它们分解成一些一阶
方程，解得各个方程的答案之后，通过归纳法求解总方程，实现对方程的解答。
在这一方法中，用于求解方程的关键工具是解析学，它不仅帮助我们更好地分解现有方程，而且还能够让我们更快地求出答案。
其次，要采用这一解法解决常系数线性差分方程，我们还需要识别出它的特征。
在这一步骤中，需要建立差分方程的数学模型，对高次项的系数进行把握，以及明确方程组的差分系数。
将这些信息整合在一起，可以构建多项式，进而得出较全面的解答。
最后，要求得一阶常系数线性差分方程的解，仍需要对求得的结果进行校核，
以确保其准确性。
这里，可以通过进行直观检查，或者求根论来对结果进行检验，以达到建立一个准确的解答。
总的来说，通过解耦和归纳的方式求解一阶常系数线性差分方程，其优势在于
简便易行，数值准确，并且能够大大缩短求解的时间。
一阶常系数线性差分方程
第二节一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为y t+i+ay t f(t) (11 2 1)和y t+i+ay t 0, (11 2 2)其中f(t)为t的已知函数，a丰0为常数.我们称方程(11 2 1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11 2 2)称为其对应的齐次差分方程.一、齐次差分方程的通解将方程(11 2 2)改写为：y t+1 ay t, t 0,1,2,….假定在初始时刻(即t 0)时，函数y t取任意值A,那么由上式逐次迭代，算得y1 ay o aA,y2 ay1 ( a)2A,由数学归纳法易知，方程(11 2 2)的通解为y t A( a)t, t 0,1,2,….如果给定初始条件t 0时y t y o,则A y o,此时特解为：y t y0( a)t. (112 3)二、非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11 2 1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11 2 1) 的特解的常用方法为待定系数法.1.迭代法求通解将方程(11 2 1)改写为y t+1 ( a)y t+f(t), t 0,1,2,….逐步迭代，则有y1 ( a)y o+f(0),y2 ( a)2y0+( a)f(0)+f(1),y3 ( a)3y0+( a)2f(0)+( a)f(1)+f(2),由数学归纳法，可得y t ( a)t y0+( a)t1f(0)+( a)t 2f(1)+ …+f(t 1) ( a)t y0+ y t, (t 0,1,2,…)，(11 2 4) 其中t 1y t( a)t 1f(0)+( a)t2f(1)+...+f(t 1) ( a)i• f(t i 1) (11 2 5)i 0为方程(11 2 1)的特解.而y A(t) ( a)t y0为(11 2 1)对应的齐次方程(11 2 2)的通解.这里y A为任意常数.因此，(11 2 4)式为非齐次方程(11 2 1)的通解.与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(112 1)的通解(11 24 )也可以由齐次方程(11 2 2)的通解(11 2 3)经由常数变易法求得，这里不予赘述.1例1求差分方程y t+1 1y t 2t的通解.方程为一阶非齐次线性差分方程•其中1 ,f(t)2\于是由非齐次方程的特解公式(11 2 5)有 ty t i2t i由(11 2 这里A 2t 2t1(4) 1 141(1)t1(22t 1). 4）式，得所给方程的通解 J 、t 1 ‘ 2’ 3 1y t A ^2)t +3(2)t1(22t 1)・ 2t+12 A 为任意常数. 3待定系数法求特解 2. 迭代法虽然可直接推导出非齐次方程 经常用公式（11 2 5）直接去求方程（11 1 1）的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方 程（11 2 1）的特解的别的方法.与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的 f （t ），常采用待 定系数法去求方程（11 2 1）的特解，而不是直接利用公式 （11 2 5）求特解. 下面介绍经济学中常见的几类特殊 f （t ）的形式及求其特解的待定系数法. 情形I f （t ）为常数. 这时，方程（11 2 1）变为 y t+1 + ay t b , （11 2 1）的通解公式（11 2 4），但是在实际应用中 (11 2 6)这里a,b 均为非零常数. 试以y 口（ 口为待定常数）形式的特解代入方程（11 2 6），得当a 工1时，可求得特解 y t 当a 1时，这时改设特解y t 11（ i 为待定系数），将其代入方程（11 2 6），得 [1 (t+1)+ a ^t(1 + a) b, 因a 1,故求得特解 Y t bt (a 1). 综上所述，方程 (11 2 6）的通解为y t yA（t ）+y tA( a)t1, (11 2 7)A bt,1,其中A 为任意常数. 例2求差分方程y t+1解因a 2丰1,b 5,故由通解公式（112y t 5的通解.2 7），得原方程的通解为y t A • 2t 5, A为任意常数.例3 求差分方程y t+i y t 5满足初始条件y o 1的通解.解因a 1,b 5,则由通解公式(11 2 7)，得原方程的通解为y t A 5t,以t 0,y o 1代入通解之中，求得 A 1.于是，所求方程的特解为y t 1 5t.情形n f(t)为t的多项式.为讨论简便起见，不妨设f(t) b o+b1t(t的一次多项式)，即考虑差分方程y t+1+ay t b o+b1t, t 1,2,…，(11 2 8) 其中a,b o,b1均为常数，且0,"工0.试以特解y t + t,(,为待定系数)代入方程(11 2 8)，得+ (t+1)+a( + t) b o+b1t,上式对一切t值均成立，其充分必要条件是：当1+a z 0时，即1于是，方程(11 2 8)的特解为y 当a 1时，改设特解(1 a) b o, (1 a) b1.时，b o b1 b12，, 1a (1a) 1 ab o b1 b!------ ------------ 2 t (a 丰1a (1 a) 1 aY t ( + t)t t+ t2,将其代入方程(11 2 8),并注意1,可求得特解- 1 1 2 y t(b o —b1)t+—b1t2 (a 1).2 2综上所述，方程(11 2 10)的通解为A( a)t-b-—匚2 -匚t, a 1,1a (1a) 1 a1 1 2A (b o 2d)t 2bit , a 1.1例4求差分方程y t+13y t2t满足y o —的特解.2解因a 3丰1,b o o,b1 2,故由通解公式(11 2 9)得所给方程的通解为.1y t A 3t 一t,2A为任意常数. 1)；(11 2 9)1以t 0,y。
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于是有
B1(cos a) B2 sin b1 B1 sin B2(cos a) b2
(10 19)
方程组 (10的系1数9行) 列式为
cos a
D
sin (cos a)2 sin2
sin cos a
因为 mπ , sin 0,方程组 (10有唯1一9解)
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程,
有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
a1
5, 2
所以
y(n) 1 n2 5 n, 22
所给方程通解为
y(n) C 1 n2 5 n, 22
其中C 为任意常数.
例2 求差分方程 yn1 2 yn 2n2 1 的通解. 解 因a 2, 对应齐次方程的通解为
B1
1 D
[b1
(cos
a)
b2
sin
]
B2
1 D
[b2
(cos
a)
b1 sin
]
从而得到方程
(的1特0解 18)
(10 20)
y(n) B1 cos n B2 sin n, 其中 1, 2 由 (10 20) 给出, 方程 (10 的1通8解)为
yn C(a)n B1 cos n B2 sin n
从而得到
y(n) Ad n
代入方程,
解得 A b , ad
于是方程
(10的特1解7为) y(n) b d n ad
当a d 时, 要使等式恒成立, 应取 k 1, 从而得到
代入方程 于是方程
y(n) And n (10, 17) 可得 A b ,
d (10的特解17为)
y(n) b nd n , d
综上讨论,
于是方程 (1的0 通解17可)表示为
yn
C
(a)n
a
b
C
b d
n
d
n
,
d
d
n,
a d a d
其中C 为任意常数.
例3 求方程 yn1 2 yn 3 2n 满足初始条件 y0 4 的 特解.
解 对应齐次方程的通解为 y C(2)n
又设 yn A2n , 代入方程,
则方程 (10为 13)
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) Q(n)为特解,
Q(n) 为多项式, 代入方程 (10, 16) 有
Q(n 1) aQ(n) Pm (n) 于是, 若 a 1, 要使方程恒等 , 则应设
y(n) a0nm a1nm1 am1n am
2. f (n) bd n , 即 f (n) 为指数函数, 这时方程 (10 13)
为
yn1 ayn bd n
其中a , b 为非零常数.
(10 17)
根据 f (n) 的形式,可设 yn Ankd n, A为待定系数,
代入方程有
(n 1)k Ad nk Aa b
于是, 当a d 时, 要等式恒成立, 应取 k 0,
其中a0,a1, ,am为待定系数, 代入方程后,
比较同幂次系数,
可以解代数方程确定待定系数.
若 a 1, 要使方程恒等,
则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn.
代入方程,
比较同幂次系数,
可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C (2)n C2n
Байду номын сангаас
设 y(n) a0n2 a1n a2 , 代入原方程,
有
a0n2 (2a0 a1)n (a0 a1 a2) 2n2 1
比较系数得
a0 2, a1 4, a2 5, 所以得
y(n) 2n2 4n 5, 从而所给方程的通解为
y C2n 2n2 4n 5 其中C 为任意常数.
其中C 为任意常数.
注意 若 f (n) b1 cos n 或 b2 sin n 时, 试解函数仍 应取 y(n) B1 cos n B2 sin n.
例4 求方程 yn1 2 yn cos2n 的通解.
解 对应齐次方程的通解为
y C2n
设非齐次方程的特解为
代入方程,
一、齐次方程的通解
一阶常系数线性差分方程一般形式为
yn1 ayn f (n), n 0, 1, 2, 其中a 为非零常数, f (n)为已知函数 , 方程 (10 13) 的对应齐次方程为
(10 13)
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
(10 14)
方程 (10变形1后4改) 写为
有
A2n1 2A2n 3 2n
从而解得
A 3, 4
所给方程的通解为
yn
3 4
2n
.
yn
C (2)n
3 4
2n
由
y0
4,
得
C
13 , 4
于是所给方程满足条件的特解为
yn
13 (2)n 4
3 4
2n
1[3 (1)n 13]2n. 4
3. f (n) b1 cos n b2 sin n,其中b1,b2 , 为给定常数, 且 mπ(m为整数,若 mπ,方程则变成类型1或2
的形式求解), b1, b2 不同时为零, 这时方程 (1为0 13)
yn1 ayn b1 cos n b2 sin n
(10 18)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) B1 cos n B2 sin n,
其中B1, B2为待定系数, 将 y(n) 代入方程 (10 18),
yn1 ayn , n 0, 1, 2,
这是等比数列所满足的关系式,
由等比数列通项公式
可以得到
yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程
(的1通0 解 14)
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
1.二f (n、) 非Pm(齐n), 次Pm方(n) 为程m的次多特项解式,与通解
利用三角恒等式
cos(n ) cos ncos sin nsin sin(n ) sin ncos cos nsin
得到等式
[B1(cos a) B2 sin ]cos n [B1 sin
B2(cos a)]sin n b1 cos n b2 sin n