平面向量常用的方法技巧

备考方略

＜３

平面向量常用的方法技文Ｋ灼

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北京市陈经纶中学周明芝

－－

特别提示：【解】对于①於＋３

＝

０

平面向量具有代數几何双重身份，从近几年对于②ＡＳＸＳ＋Ｓ？５（ＸＪ＋

ｃ５）ａ５ａ５ｏ

＝＝

的高考试题看对向量的考查力度在逐年加大并且

对于③

强调了向量的知识性与工具性，重点考查向量的四

对于④＋（ｇ

种运算

、

两个充要条件等核心知识，考查向量的几Ｍ＝

ＮＰ＋前＝〇

Ｐ

何形式与代教形式的相互转化技能有些问题的处理，综上知应填①②③④

对变形技巧要求高，具有定的难度因此，要想在【小结】向量的加减法法则是解题的基础在运用时平面向量试题的求解中取得高分，必须在理解向量

要注意交换律和结合律的使用

熟练四种运算和两个充要条件应用的基础上

概念、

例２（２０１１湖南）在边长为１的正三角形ＡＢＣ中

认

真梳理

常

用

的

方法

和技巧

逐

步提高解

题

能

力

设则Ｘ５？

【分析】

利用边长为１和正三角形内角度数？并注意

４把和进行拆分

方法一、分解合成法

由题意沒ｒｓ技瓦＆茂

【解】

＝ｊ＝分解是指把个向量拆成几个向量有利于处理向

量前面的系数合成是指利用向量加减运算多项合成ｃ￥＝ｙＣ＾ｃＳ

项减少项数从而达到化简的目的在解题时要灵活运

用向量加法法则和首尾相连的向量和为零等技巧

例１化简下列各式①万２十否ｆ＋亡芳②疋§１＝＋＝

＋節成③孩前＋滅④胡＋前威ｃＪｃ％

２３６４

结果为零向量的序号是【小结】根据加、减法法则灵活地进行合理拆分是解［分析】

对于化简题，应灵活运用加法交换律，尽可题的关键

能使之变为首尾相连的向量然后再运用向量加法结合律

练习１在ＡＡＢＣ中＝ｃｆ＝ｃｆ若点Ｄ满足

訪＝２万Ｐ则力５＝（）

求和

２０１７

１

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名师导航

ｃｙ６Ｔｃｄｔ６＋ｔｃ

练习２已知Ｏ是ＡＡＢＣ所在平面内点Ｄ为ＢＣ边中点且芳＋Ｓｔ０那么（

＇

＝

ＡＡｆ；＝〇ＳＢＡｔ）＝２Ｗ

ＣａＴ；＝３〇ＳＤ２Ａｄ＝〇Ｓ

４

方法二、充要条件法

例３已知向量ａ（ｌ２）６（２３）．若向量ｆｔ满

＝＝

足（ｃ＋ａ）／＾＆ｃ丄（ａ＋办），则ｃ＝（）？

Ａ

（ＴＴ）

Ｂ

（

ｃｉＴ）Ｄ：ｕ）

（

，（

【分析】

设出所求向量，再利用两向量平行、垂直的充要条件来求解

【解】不妨设Ｃ＝＝ｗ＂则ｆｌＣ＝１＋，《２＋７Ｚｆｌ＋

，）（）

ｂ＝

３

１）

ｃ＋ｄ／６，得３ｌ＋ｍ２２＋对由（）／＝

（））

又由ｃ丄ａ丁

ｆｔ），得３＂７”

＝

０

解得／？＝ｊ，《＝故选Ｄ

【小结】此题主要考查了平面向量的坐标运算以

及

两向量平行和垂直的相互关系，体现了平面向量平行、垂直的充要条件在解决具体问题中的重要作用

例４（２０１０全国）已知圆〇的半径为１ＰＡＰＢ为

该圆的两条切线为两个切点那么戶方？Ｍ的最小值为（）Ａ４＋＃Ｂ３＋７２Ｃ４＋２＾２Ｄ３＋２＾２

【分析】

本小题主要考查向量的数量积运算，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力

【解】

把圆心放在坐标原点则可得圆的方程为ｘ２＋ｙ＝设：ｙ！）以々，Ｍ）ＰｆｊＴ。，〇），则＝

（ｘ

ｘ〇ｙ）？（ｘｊ：０，ｙ＝ｘ２２ｘＸ｛ｘｙ

ｊ，

ｌ）ｉ〇

〇

Ｃ

Ｍ丄丄（々３）．（〇了。％）＝０＝＞

ｒ

ｆｊｔｊｃ〇

＋ｘ０＝１

ＰＡ？Ｒ§＝ｘｉ２ｒｉｘ〇＼ｘ〇ｙｉ＝ｊ：ｉ２ｉｊ：〇（１

ｒ

ｆ）

＝

２：

ｒ

？＋ｘ§

３為２＞／＾３？故选Ｄ

【小结】

本题解法较多可以设ＰＡ＝ＰＢ＝：ｒＵ＞０＞

ＺＡＰＯａ贝＝ａＰＯ＝＝１

Ｊ

２ＶＴＴ？ｓｎａ

７１＋７

将前＿表示为ｉ的函数后求解也可设

＝

〇＜０＜７ｔ将

Ｍ表示为０的关系式再求解但这两种

解法的求解过程都较复杂而建系后利用平行、垂直的充要

条件结合二次函数求解，相比之下较为简捷

练习３（２０１１北京）已知向量ａ＝（ａ／１１）６＝〇

１），

Ｃ

＝

（

々

Ｖ

＾）若ｌｆ２办与ｃ共线则々＝

４

方法三、数形结合法

例５已知向量满足

ｄ＝６６＝４

且ａ与＆的

夹角为６〇°求ａ＋ｆｔ和ａ３６

【分析】如图？

根据条件利用向量的加、减法法则作

出图形，直接作出ａ６和ａ３办？然后再求模

冬１图２

【解】

如图

１

所示

，

成

二

则？

由ｌｆｊ的夹角为６０°知ＺＡＯＣ＝６０°ＺＢＡＯ＝１２０°

在ＡＡＯ

Ｂ

中由余弦定理得，

ａ＋

ｂ＝〇５＝ｖ／６２

＋４２２Ｘ４Ｘ６ｃｏ

ｓ１２０°＝２＾１９

如图２所示同理可求得ａ３６＝歹￡＝６＃

【小结】用

数形结合思想构造几何图形求解使解

题过程变得非常简捷避免了大量繁杂的计算

例６（２０１１全国）设向量ａ、＆、ｃ满足ａ＝ｈ＝ｌ

？

？ｃ

＞＝６０°，贝Ｊｃ的最大值等于

（）

Ａ２Ｂ＞／３Ｃ７２Ｄ１

【分

析】根据题目中ａ、６、ｃ的关系，构造出满足条件

１Ｑ２０１７〇

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