平面向量常用的方法技巧

备考方略＜３平面向量常用的方法技文Ｋ灼＊＞＼ｉ＾ｉ北京市陈经纶中学周明芝－－特别提示：【解】对于①於＋３＝０平面向量具有代數几何双重身份，从近几年对于②ＡＳＸＳ＋Ｓ？５（ＸＪ＋ｃ５）ａ５ａ５ｏ＝＝的高考试题看对向量的考查力度在逐年加大并且对于③强调了向量的知识性与工具性，重点考查向量的四对于④＋（ｇ种运算、两个充要条件等核心知识，考查向量的几Ｍ＝ＮＰ＋前＝〇Ｐ何形式与代教形式的相互转化技能有些问题的处理，综上知应填①②③④对变形技巧要求高，具有定的难度因此，要想在【小结】向量的加减法法则是解题的基础在运用时平面向量试题的求解中取得高分，必须在理解向量要注意交换律和结合律的使用熟练四种运算和两个充要条件应用的基础上概念、例２（２０１１湖南）在边长为１的正三角形ＡＢＣ中认真梳理常用的方法和技巧逐步提高解题能力设则Ｘ５？【分析】利用边长为１和正三角形内角度数？并注意４把和进行拆分方法一、分解合成法由题意沒ｒｓ技瓦＆茂【解】＝ｊ＝分解是指把个向量拆成几个向量有利于处理向量前面的系数合成是指利用向量加减运算多项合成ｃ￥＝ｙＣ＾ｃＳ项减少项数从而达到化简的目的在解题时要灵活运用向量加法法则和首尾相连的向量和为零等技巧例１化简下列各式①万２十否ｆ＋亡芳②疋§１＝＋＝＋節成③孩前＋滅④胡＋前威ｃＪｃ％２３６４结果为零向量的序号是【小结】根据加、减法法则灵活地进行合理拆分是解［分析】对于化简题，应灵活运用加法交换律，尽可题的关键能使之变为首尾相连的向量然后再运用向量加法结合律练习１在ＡＡＢＣ中＝ｃｆ＝ｃｆ若点Ｄ满足訪＝２万Ｐ则力５＝（）求和２０１７１７ｃｃｅｅｖ名师导航ｃｙ６Ｔｃｄｔ６＋ｔｃ练习２已知Ｏ是ＡＡＢＣ所在平面内点Ｄ为ＢＣ边中点且芳＋Ｓｔ０那么（＇＝ＡＡｆ；＝〇ＳＢＡｔ）＝２ＷＣａＴ；＝３〇ＳＤ２Ａｄ＝〇Ｓ４方法二、充要条件法例３已知向量ａ（ｌ２）６（２３）．若向量ｆｔ满＝＝足（ｃ＋ａ）／＾＆ｃ丄（ａ＋办），则ｃ＝（）？Ａ（ＴＴ）Ｂ（ｃｉＴ）Ｄ：ｕ）（，（【分析】设出所求向量，再利用两向量平行、垂直的充要条件来求解【解】不妨设Ｃ＝＝ｗ＂则ｆｌＣ＝１＋，《２＋７Ｚｆｌ＋，）（）ｂ＝３１）ｃ＋ｄ／６，得３ｌ＋ｍ２２＋对由（）／＝（））又由ｃ丄ａ丁ｆｔ），得３＂７”＝０解得／？＝ｊ，《＝故选Ｄ【小结】此题主要考查了平面向量的坐标运算以及两向量平行和垂直的相互关系，体现了平面向量平行、垂直的充要条件在解决具体问题中的重要作用例４（２０１０全国）已知圆〇的半径为１ＰＡＰＢ为该圆的两条切线为两个切点那么戶方？Ｍ的最小值为（）Ａ４＋＃Ｂ３＋７２Ｃ４＋２＾２Ｄ３＋２＾２【分析】本小题主要考查向量的数量积运算，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力【解】把圆心放在坐标原点则可得圆的方程为ｘ２＋ｙ＝设：ｙ！）以々，Ｍ）ＰｆｊＴ。

，〇），则＝（ｘｘ〇ｙ）？（ｘｊ：０，ｙ＝ｘ２２ｘＸ｛ｘｙｊ，ｌ）ｉ〇〇ＣＭ丄丄（々３）．（〇了。

％）＝０＝＞ｒｆｊｔｊｃ〇＋ｘ０＝１ＰＡ？Ｒ§＝ｘｉ２ｒｉｘ〇＼ｘ〇ｙｉ＝ｊ：ｉ２ｉｊ：〇（１ｒｆ）＝２：ｒ？＋ｘ§３為２＞／＾３？故选Ｄ【小结】本题解法较多可以设ＰＡ＝ＰＢ＝：ｒＵ＞０＞ＺＡＰＯａ贝＝ａＰＯ＝＝１Ｊ２ＶＴＴ？ｓｎａ７１＋７将前＿表示为ｉ的函数后求解也可设＝〇＜０＜７ｔ将Ｍ表示为０的关系式再求解但这两种解法的求解过程都较复杂而建系后利用平行、垂直的充要条件结合二次函数求解，相比之下较为简捷练习３（２０１１北京）已知向量ａ＝（ａ／１１）６＝〇１），Ｃ＝（々Ｖ＾）若ｌｆ２办与ｃ共线则々＝４方法三、数形结合法例５已知向量满足ｄ＝６６＝４且ａ与＆的夹角为６〇°求ａ＋ｆｔ和ａ３６【分析】如图？根据条件利用向量的加、减法法则作出图形，直接作出ａ６和ａ３办？然后再求模冬１图２【解】如图１所示，成二则？由ｌｆｊ的夹角为６０°知ＺＡＯＣ＝６０°ＺＢＡＯ＝１２０°在ＡＡＯＢ中由余弦定理得，ａ＋ｂ＝〇５＝ｖ／６２＋４２２Ｘ４Ｘ６ｃｏｓ１２０°＝２＾１９如图２所示同理可求得ａ３６＝歹￡＝６＃【小结】用数形结合思想构造几何图形求解使解题过程变得非常简捷避免了大量繁杂的计算例６（２０１１全国）设向量ａ、＆、ｃ满足ａ＝ｈ＝ｌ？？ｃ＞＝６０°，贝Ｊｃ的最大值等于（）Ａ２Ｂ＞／３Ｃ７２Ｄ１【分析】根据题目中ａ、６、ｃ的关系，构造出满足条件１Ｑ２０１７〇ｃｃｅｅｖ■＾备考方略的图形来求解【解】如图３设ＸＳ＝ａ，Ａ５＝ｂＡｔ＝ｃ又设＆的夹角为９则ａ？ｂ１Ｃ〇ｓ９ａ６Ｙ所以０＝１２０°即ＺＢＡＤ＝１２０。

阁３°又ＺＢＣＤ＝６０故ＺｊＢＡＬ？＋ＺＢＣＤ＝１８０°所以ＡＢ，ＣＤ四点共圆因此当ＡＣ为圆的直径时ｃ最大此时ＡＡＢＣ是直角三角形ＺＡＣＪ３＝３〇°，所以ＡＣ＝２ＡＢ＝２即ｋ的最大值是２选Ａ【小结】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件用数形结合的方法，巧妙构造出圆的内接四边形来求解是个省时省力的好方法－练习４设Ｐ是ＡＡＢＣ所在平面内的点＝２節则（）ＡＴＸ＋Ｔ＾＾ＯＢＰｆ＋Ｐ＾＝０ＣＰ＾＋Ｐｔ＇０ＤＰ＾＋Ｒ§＋Ｐｆ＝０练习５已知ａ＝ｌ，Ｍ＝２ｃ＝ｌｆ＋＆ｃ丄ａ则ｆｌ与办的夹角大小为（ＡｆＢ譬ＣｆＤｆ４方法四、特值处理法例７设平面向量ｆｌ、的和ｌｆ＋ｌｆ２十Ａ二０？如果向量匕、込、ｈ满足Ｍ＝２Ａ且ａ顺时针旋转３０°后与６同向其中＾＝１２３则（Ａｂ＼ｂ＋＝０Ｂｂ６２ｈ６３＝０Ｃｂ＼ｂ２＾０Ｄｂ＋ｂｊ＋／ｈ＝０【分析】本题主要考查向量加法的几何意义、向量的模以及两向量夹角等基本概念【常规解法】？？＋ｌｆ３０？＋２ａ２＋２ａ＝０．？ａ＋ａ２＝，？？２ｌｆ３因为＝２ａ，且ｆｌ顺时针旋转３０°后与ｈ同向故２ａ必与办重合即私＝２ａ故ｈ＋ｈ＋ｈ：０，故选Ｄ【特殊值法】令ａ＝〇则七＝化关〇由题意知ｈ＝〇ｈ＝込关〇从而排除Ｂｃ同理排除Ａ故选Ｄ【小结】特殊值法巧在取特值Ａ＝〇使问题简单化对于选择和填空题应用特值法进行化简，结合排除往往能事半功倍练习６已知向量ａ、ｆｃ不共线ｃ＝＝６如果那么（）Ａ务＝１且ｃ与ｄ同向Ｂ々＝１且ｃ与ｄ反向Ｃ々＝１且ｃ与ｄ同向Ｄ６＝１且ｃ与ｄ反向￣方法五、平方去模法例８平面向量ｌｆ与６的夹角为６０°ｌｆ＝（２０）４＝１则ｌｆ＋２６＝）ＡＶ３Ｂ２＾／３Ｃ４Ｄ１２【分析】可对ａ＋２＆先求平方？再把已知条件代入求解【解】由已知ａ２Ｗ＝１注意到ｆｌ与的夹角＝为６０。

则ａ＋２＆＝＋４ａ？＆＝４＋４Ｘ２Ｘ１Ｘｃｏｓ６０°＋４＝１２／？ａ＋２６＝２＃，故选Ｂａ２＝ｆｌ２是向量数量积的重要性质之它【小结】沟通了向量与实数间的相互联系充分利用这性质可以将向量模长的计算问题转化为向量的运算问题．练习７已知向量ｆｌ＝（２ｌ）ｃｉ．＆＝１０，ｌｆ＋６＝５＃则…＝（）？Ａ＾５Ｂｙｉ〇Ｃ５Ｄ２５４方法六、“四心结论”法例９已知《ＮＰ在ＡＡＢＣ所在平面内且成＝？５Ｓ＝ｏｆＫＸ＋ｙＳ＋Ｎｔ＇＝ｏｓｐ＾？７３２＝ｐＥ？ｐｔ梵Ｔ！则点０Ａ依次是的（）＝５ＴＰＡ重心外心垂心Ｂ重心外心内心Ｃ外心重心垂心Ｄ外心重心内心【分析】此题考查了三角形的内心、外心、重心和垂心的概念，由已知条件中的向量关系式出发进行推导，并结合三角形内心、外心、重心和垂心的几何特征即可获解２０７１９ｃｃｅｅｖ名师导航【解】由孩卜成＝泛知〇为ＡＡＢＣ的外心由Ｍ＋７＾＋７＾＝０知ＪＶ为厶ＡＢＣ＇的重心：ＴＸ？ｐ＾＝ｒＢ？ｐｔ，ｐ＾ｐｔ？ｒＢｏ？＝．？？沒．沛＝〇．？沒丄戒同理好丄Ｓｆ？？？Ｐ为ＡＡＢＣ的垂心故选Ｃ小结考查三角形内心、外心、重心和垂心的试题【】在近几年高考中较为常见求解这类问题需要掌握这些心” 的判断条件和相关的向量关系式常见的向量＂四心结论＂有① 〇是ａａｂｃ的重心＜＾Ｓ５＋？ｊＳ＋ｏｒ＝ｏ② 〇是ａａｂｃ的垂心技成．＝？ＤＰ＝Ｄｆ？成③Ｏ是ＡＡＳＣ的外心⑶Ｍ＝ＤＳ＝ＤＰ（或ｍ２＝ｑＳ２＝ｏｔ２）④ Ｏ是ＡＡＢＣ内心的充要条件是／ｃＡｃＳｏｒ－＼］ｃＸＴ＾Ｔ）＝〇晶Ｗ⑤ 向量ａ＋ＡｔＵ关０）所在直线过ＡＡＢＣ（的内心（是ＺＢＡＣ的角平分线所在直线）练习８在ＡＡＢＣ中Ｍ是的中点ＡＭ＝１点Ｐ在ＡＭ上且满足Ａ，＝２Ｍ则？ＦＳ＋Ｐｆ等于（）Ａ＋Ｂ｜Ｃ｜Ｄ＋练习９已知Ｏ为ＡＡＢＣ内点且Ｄ方＋Ｓｆ＋２Ｄ￥０则ＡＡＯＣ与ＡＡＢＣ的面积之比是（）Ａ１：２Ｂ１：３Ｃ２：３Ｄ１１练习１０（２０１０湖北）已知ＡＡＢＣ和点Ｍ满足Ｍ？＋ｇ＋Ｍｆ＝ｏ若存在实数ｗ使得；成立则ｗ＝（）Ａ２Ｂ３Ｃ４Ｄ．５练习题参考答案１解析如图４所示在ＡＡＢＣ中由＝２得痛＝２（於沛３Ａ３＝ＡＳｈ２Ａｔ＝ｃｈ２ｂＸｔ５＝＋ｃ＋吾６？故选Ａ２解析ｊＭ＋ＤＳ＋Ｄｆｓ２０Ｘ＋ｄＳ＋ｏＳ）＋ｄＰｈｏＳ）＝ｏｖｄＳ＝ｄＰ阍４？？？２成＋２Ｓ５＝０／．Ｘｆ）＝＾５故选Ａ３解析ｆｌ２＆万３）由２６与ｃ共线得＃Ｗ＝？＝３々＝＞灸＝１心解析因为：＾＋：＾二之：＾＾所以点尸为线段焱厂的中点戶ｒ＋瓦￥＝〇所以应该选ｂ５解析如图５Ｗ＝ｆｌ＋６ｃ丄〇，构成个三角形且ＰＡ２所以可以推知ａ与的夹角为￥故选Ｄ解析取〇＝０）６＝（０１若厶＝１则〇＝〇＋办６（１）１１）＜／〇６（１１）显然〇与６不平行排除八、＝二＝Ｂ若々＝１贝ｊｃ＝ａ６二（ｌｌｄ＝ｌｆ办＝，（１１），即ｃ／／（／且ｃ与ｄ反向排除Ｃ故选Ｄ解析？？５０＝ｎ＋６２＝ｌｆ２＋２ｆｌ？Ｈ＆２＝＃＋２０７＆２，？？？办＝５？故选Ｃ８解析由＝知Ｐ为△ＡＢＣ的重心根据向量加法法贝Ｆ＾ｉ＝２ＡｐＰｉ＾ｃ〇Ｓ〇〇＝２ＸｙＸｙＸｌ＝ｙ．Ａ９解析设ＡＣ的中点为Ｄ则？＋？５ｆ＝２７５５．？．ａ＾＋？５ｆ＋２〇２＝２〇Ｓ＋２ａ§＝ｏ．，．ｏ５＝ｏ２即点Ｏ为ＡＣ边上的中线ＢＤ的中点＝ＡＡＢＣ匕故选Ａ１０解析由条件可知Ｍ为△ＡＢＣ的重心连接ＡＭ并延长交于Ｄ则减＝＋訪①因为为中线，则ＸＳ＋Ｘ？＝２瓦５＝ｍｇ即２Ｍ＝ｍＡ］＾②联立①②可得，《＝３故选Ｂ＊２０１７２０ｃｃｅｅｖ。