平面向量常用的方法技巧

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掌握初中数学中的平面向量解题技巧

掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。

在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。

一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。

在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。

每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。

2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。

通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。

这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。

二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。

这种技巧在解决几何问题时尤为常见。

2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。

这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。

3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。

这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。

三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。

根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。

2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。

这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。

高中数学必备技巧平面向量的共线与垂直性质

高中数学必备技巧平面向量的共线与垂直性质高中数学必备技巧：平面向量的共线与垂直性质在高中数学学习中，平面向量是一个重要的概念，它能够帮助我们更好地理解空间中的几何问题。

平面向量不仅有方向和大小，还有一些特殊的性质，其中包括共线与垂直性质。

本文将重点介绍平面向量的共线与垂直性质，并提供一些解题技巧。

一、共线性质1. 定义：设有两个非零向量a和b，如果存在实数k，使得a=kb，那么我们称向量a和b共线。

2. 共线判定：有两种判定方式可以确定向量的共线性：a) 坐标判定法：设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b共线的充要条件是a₁/b₁ = a₂/b₂。

b) 分向量判定法：设向量a的两个分向量为a₁和a₂，向量b的两个分向量为b₁和b₂，则向量a和b共线的充要条件是a₁/b₁ =a₂/b₂。

3. 共线向量的性质：如果向量a和b共线，则存在实数k，使得a=k(b₁, b₂)。

这意味着共线的向量具有相同的方向（平行或反平行）。

解题技巧：a) 确定向量的坐标或分向量，并利用坐标判定法或分向量判定法来判断是否共线。

b) 如果两向量的坐标或分向量比例相等，则可直接判断它们共线。

二、垂直性质1. 定义：设有两个非零向量a和b，如果a·b = 0，即它们的数量积为零，那么我们称向量a和b垂直。

2. 垂直判定：有两种判定方式可以确定向量的垂直性：a) 坐标判定法：设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ + a₂b₂ = 0。

b) 分向量判定法：设向量a的两个分向量为a₁和a₂，向量b的两个分向量为b₁和b₂，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ +a₂b₂ = 0。

3. 垂直向量的性质：如果向量a和b垂直，则它们的夹角为90°。

具体而言，如果向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ + a₂b₂ = 0。

平面向量知识点学习技巧

平面向量知识点学习技巧平面向量是数学中的重要概念，它在解决几何问题和代数运算中都起到了重要的作用。

掌握平面向量的知识点对于学生来说至关重要，因此在学习过程中，合理的学习技巧和方法十分必要。

本文将介绍一些平面向量的基本知识点，并结合实际学习经验，分享一些学习平面向量的技巧。

一、平面向量的基本概念和性质1. 平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。

通常用字母加上→来表示一个平面向量，如AB→表示由点A指向点B的平面向量。

平面向量还可以用坐标表示，比如AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是点A和点B的坐标。

2. 平面向量的运算法则平面向量的运算包括加法、减法和数乘。

加法运算满足平行四边形法则，即若有两个平面向量AB→和AC→，则它们的和等于AD→，其中D是平行四边形ABCD的对角线交点。

减法运算即加法的逆运算，即AB→ - AC→ = AB→ + (-AC→)。

数乘运算即将一个平面向量乘以一个实数，如kAB→ = k(x2 - x1,y2 - y1) = (kx2 - kx1, ky2 - ky1)。

3. 平面向量的数量积和向量积数量积又称点积或内积，用来衡量两个向量之间的夹角和方向关系。

它的计算公式为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ为AB→和AC→之间的夹角。

向量积又称叉积或外积，其结果为一个向量，用来衡量两个向量之间的平行关系和面积大小。

计算公式为AB×AC = |AB| |AC| sinθ n，其中θ为AB→和AC→之间的夹角，n为单位向量。

二、学习平面向量的技巧1. 深刻理解基本概念在学习平面向量的过程中，首先要对平面向量的定义和表示方法有一个深刻的理解，这对于后续的学习非常重要。

要善于画图，通过图示化的方法来理解和表示平面向量，可以更清晰地把握其概念和性质。

2. 熟练掌握运算法则平面向量的运算是学习的重点和难点之一。

平面向量做题技巧

平面向量做题技巧1. 嘿，平面向量做题的时候，要学会找关键信息呀！就像你在一堆玩具中找到你最喜欢的那个一样。

比如已知向量的模和夹角，那不是很明显要去用相关公式嘛！2. 哎呀，一定要记住向量的加减法法则哦，这可太重要啦！就好比搭积木，一块一块地往上加，或者把多余的拿走，不就清楚啦。

像那种给出几个向量让你合成的题，不就用这个嘛！3. 注意啦，向量的数量积可不能马虎！这就好像你和朋友之间的默契，要好好去感受和计算呀。

比如判断向量垂直，不就看数量积是不是零嘛！4. 嘿，在做题时别死脑筋呀，要灵活运用啊！就像跳舞要随着音乐节奏变换动作一样。

碰到复杂的向量问题，多想想有没有简便方法呀！5. 哇塞，对于那些和几何图形结合的题，要把图形看透呀！这就如同你了解一个人的性格一样重要。

比如在三角形里的向量问题，不就利用三角形的特点嘛！6. 记住哦，单位向量也有大用处呢！就好像一个小小的指南针能指引方向一样。

在一些问题里，利用单位向量来转化不就简单多啦！7. 千万别忘了向量共线的条件呀！这就好比走在同一条路上的伙伴。

看到相关条件，马上就想到共线的性质呀！8. 哎呀呀，平面向量做题技巧真的很关键呢！就像拥有一把万能钥匙能打开各种难题的门。

遇到困难别退缩，用对技巧呀！9. 注意那些隐含条件呀，别漏了它们！这就像宝藏藏在角落里，你得细心才能发现。

很多时候答案就在那些被忽略的地方呢！10. 真的，平面向量做题要多用心呀！就像对自己喜欢的事情一样充满热情。

用心去体会每一个技巧，你会发现做题越来越轻松啦！我的观点结论就是：掌握这些平面向量做题技巧，能让你在解题时更加得心应手，轻松应对各种难题，一定要好好运用哦！。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

平面向量几何法解题技巧

平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。

本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。

一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。

它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。

向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。

模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。

两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。

2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。

向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。

3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。

公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。

高中数学平面向量模长解题技巧

高中数学平面向量模长解题技巧引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及到平面几何、解析几何以及物理等多个领域。

而平面向量的模长是其中一个基本的概念，它代表了向量的长度或大小。

本文将介绍一些高中数学中常见的平面向量模长解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、模长的定义和性质模长是平面向量的一个重要性质，它可以通过向量的坐标表示或几何方法求解。

对于一个平面向量$\vec{AB}$，其模长记作$|\vec{AB}|$或$AB$，表示向量的长度或大小。

模长的计算公式为：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$其中$(x_A,y_A)$和$(x_B,y_B)$分别是向量起点$A$和终点$B$的坐标。

模长具有以下性质：1. 非负性：模长始终大于等于零，即$|\vec{AB}|\geq 0$。

2. 零向量的模长为零：对于零向量$\vec{0}$，其模长为$|\vec{0}|=0$。

3. 向量的模长与方向无关：向量的模长与其方向无关，只与向量的起点和终点有关。

二、模长解题技巧1. 利用坐标计算模长当向量的起点和终点的坐标已知时，可以直接利用模长的计算公式求解。

例如，已知向量$\vec{AB}$的起点$A(2,3)$和终点$B(5,7)$，求向量$\vec{AB}$的模长。

解答：根据模长的计算公式，可得：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5。

2. 利用几何性质计算模长在某些情况下，可以利用几何性质来计算向量的模长。

例如，已知三角形$ABC$的顶点$A(1,2)$、$B(4,6)$和$C(7,2)$，求向量$\vec{AB}$和$\vec{AC}$的模长。

解答：根据模长的定义，可以利用两点之间的距离公式求解。

首先计算向量$\vec{AB}$的模长：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$然后计算向量$\vec{AC}$的模长：$$|\vec{AC}|=\sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{36}=6$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5，向量$\vec{AC}$的模长为6。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目平面向量作为初中数学中的重要内容之一，在解题过程中可能会遇到一些较为复杂的题目。

本文将介绍一些解题技巧，帮助同学们快速解决这些复杂的平面向量题目。

一、快速计算向量的模和方向在解决平面向量题目时，经常需要计算向量的模和方向。

为了方便计算，我们可以使用平面向量的坐标表示法。

假设有一个向量AB，设点A的坐标为(A₁, A₂)，点B的坐标为(B₁, B₂)，则向量AB的坐标表示为(B₁ - A₁, B₂ - A₂)。

通过坐标表示法，我们可以快速计算向量的模和方向。

向量的模可以通过使用勾股定理计算得到，即向量的模为√((B₁ -A₁)² + (B₂ - A₂)²)。

向量的方向可以通过使用反正切函数计算得到，即向量的方向为arctan((B₂ - A₂) / (B₁ - A₁))。

二、夹角的计算在解决平面向量题目时，有时需要计算向量之间的夹角。

我们可以使用向量的点积来计算夹角。

设有两个向量A和B，它们的夹角记为θ，则有cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。

通过这个公式，可以快速计算出向量之间的夹角。

三、向量共线与共面判断在解决平面向量题目时，有时需要判断向量是否共线或共面。

可以通过计算向量的比值来判断。

1. 共线判断：如果向量A与向量B共线，那么它们的对应坐标之间的比值应该相等。

即 (B₁/A₁) = (B₂/A₂) = k。

如果向量A与向量B共线，那么我们可以通过求两个坐标之间的比值，判断出它们是否共线。

2. 共面判断：如果向量A、B和向量C共面，那么向量A与向量B的叉积与向量A与向量C的叉积应该平行。

即A×B = λ(A×C)，其中λ是一个实数。

通过判断两个向量的叉积是否平行，我们可以判断出它们是否共面。

四、平面向量的运算在解决平面向量题目时，有时需要进行向量的运算。

以下是一些常见的向量运算规则：1. 向量的加法：设有向量A和向量B，它们的和记为A + B。

平面向量求解技巧

平面向量求解技巧平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

在应用平面向量求解问题时，以下技巧或方法可以帮助我们更快速、准确地解决问题。

1. 确定坐标系：在解决平面向量问题时，通常需要确定一个相应的坐标系。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

选择合适的坐标系可以简化问题，并使计算更加方便。

2. 表示向量：向量是带有方向的量，可以使用一个有序的数对来表示。

在直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x和x分别表示该向量在x轴和x轴上的分量。

在极坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x表示向量的长度，x表示向量与正半轴的夹角。

3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头相连接，连接后的向量为原向量的和。

在直角坐标系中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。

4. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。

即，将被减向量进行取负操作，再将该向量与减向量进行加法运算。

在直角坐标系中，向量的减法可以通过将减向量的对应分量取负，然后与被减向量的对应分量相加得到。

5. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是将一个向量的长度与一个标量相乘，得到一个新的向量。

数量乘法会改变向量的大小，但不会改变向量的方向。

6. 向量的点乘：向量的点乘也称为内积或数量积。

点乘的结果是一个标量，不带有方向。

点乘可以用来求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直等。

7. 向量的叉乘：向量的叉乘也称为外积或向量积。

叉乘的结果是一个新的向量，方向垂直于原始向量组成的平面，并遵循右手定则。

向量的叉乘可以用来求解平行四边形的面积、判断三个向量的共面性等。

8. 解决几何问题：应用平面向量求解平面几何问题时，我们通常可以将几何问题抽象为向量问题。

通过将几何问题转化为向量问题，我们可以利用向量的性质和计算方法快速求解。

9. 利用向量运算化简问题：在求解平面向量问题时，可以利用向量运算的性质化简问题。

平面向量与三角形中的范围与最值问题

第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）C2AC A a b a a b b()22222==-=-⋅+（2）DB DB a b a a b b2（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式（1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。

（2）三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点）AB CM知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。

解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.【考点剖析】考点一：定义法例1．若ABC 中，2AB =，其重心G 满足条件：0BG AG ⋅=，则()22+CA CB AB BC ⋅取值范围为（） A ．()80,160-B ．()80,40-C ．()40,80-D ．()160,80-考点二：坐标法例2．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点E 为边AB 的中点，点F 为边BC 上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．[]3,4D ．[]1,4考点三：基底法例3．如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．2,2⎡⎣C ．[]2,2-D ．22⎡⎢⎣⎦考点四：几何意义法例4．在ABC 中，3AB =，4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12考点五：极化恒等式例5．已知圆C 的半径为2，点A 满足4AC =，E ，F 分别是C 上两个动点，且23EF =则AE AF⋅的取值范围是（）A ．[6，24]B ．[4，22]C ．[6，22]D ．[4，24]【真题演练】1．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-2．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-3．已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（） A ．2-12+1⎤⎦，B ．2-12+2⎡⎤⎣⎦，C ．12+1⎡⎤⎣⎦，D ．12+2⎡⎤⎣⎦，4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．3 5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-6．已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．217．已知向量,a b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______． 8．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 9．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=, 则||b 的取值范围是___________.10．如图，已知点O （0,0）,A （1,0）,B （0,−1）,P 是曲线y OP BA ⋅的取值范围是______.11．在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为_____________________. 12．已知向量12a b a b ==，，||，||，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤||||,则a b ⋅的最大值是． 13．已知平面向量a ，b ，||1,||2,1a b a b ==⋅=．若e 为平面单位向量，则||||a e b e ⋅+⋅的最大值是______．【过关检测】1．在ABCD 中，2,1,60AB BC DAB ==∠=︒，若E 为ABCD 内一动点（含边界），则AE BC ⋅的最大值是（）A ．1B ．2CD ．22．已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=（）A ．最大值为6B ．为定值6C ．最小值为3D ．为定值33．已为向量a ､b 的夹角为3π，||2||2b a ==，向量c xa yb =+且x ，[1,2]y ∈.则向量a ､c 夹角的余弦值的最大值为（）A B C 4．已知正方形ABCD 的边长为2，M 为正方形ABCD 的内部或边界上任一点，则MC MD ⋅的最大值是（）. A ．1B ．2C ．3D ．45．在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB yAC x y =+∈，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B 6．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点A 为圆心的单位圆上．若(),R AP AB AD λμλμ=+∈，则λμ+的最大值为（）A ．3B D ．2 7．已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若()()0a c b c -⋅-=，并且c a b λμ=+，那么λμ+的最大值为（）A ．2B ．D ．32 8．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅=，则c 的最小值为（） A ．2B ．4C D ．17 9．已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且AB =1BP =，则AP CP ⋅的最小值是（） A．1BC ．210．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，且AOB 120∠=，则CB CA 的最小值为（） A ．4-B ．2-C ．0D ．211．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形ABCO 中，OA OC ⊥，4OA OC ==，AC BC ⊥，AC BC =，点P 是八边形ABCDEFGH 内（不含边界）一点，则OA AP ⋅的取值范围是（）A ．(16,48)-B ．(48,16)-C ．(-D ．(-12．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）AC A a b a a b bC2()22222==-=-⋅+（2）2DB DB a b a a b b（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式（1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。

解决平面向量问题相关技巧梳理

解决平面向量问题相关技巧梳理一：奔驰定理1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A •••::0,::x y z x y z A B C OA OB OC S S S ++==（或）则2.推导过程证明方法一：如图延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BC DC OB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== ∴ CB A S S S OD +-=OA ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC ∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆二.极化恒等式1.内容：同起点的数量积等于第三边中线的平方减去第三边一半的平方2.推导过程：2222=-=-AB AC AD BD ADBDDOA BC三．三角形的四心 1.推论（1）重心：中线的交点，①O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S⇔0=++OC OB OA②中线长度分成2：1 ③1()3OG OA OB OC =++=12312333x x x y y y ++++（,）（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 ①O 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OCOB OA c b a②(菱形性质）AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（3）外心：①O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC C OB B OA A2221111sin sin 2sin 2sin 22222是外心，；；A B C O S OB OC BOC R A S R B S R C =⋅⋅∠===O②()0OB OA OD +=（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直①O 是ABC ∆的垂心:⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆②OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅由OA OB OB OC ⋅=⋅，得()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，所以⊥OB CA ．同理可证⊥OC AB ，⊥OA BC ．OCABDO•••,::0,(,,,0,0)::O ABC x y z x y z A B COA OB OCx y z R xyz x y z S S S ∆=++=∈≠++≠总结：一般的，设是所在平面内一点且满足则技巧1 奔驰定理【例1】P 是ABC ∆内一点，满足2340PA PB PC ++=，则::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆=（） A ．4:3:2 B ．2:3:4C ．111::432D ．111::234【举一反三】1.已知ABC 所在平面内一点P ，满足12PA PB PC AB ++=，则ABP △与ABC 的面积的比值为（）A ．16 B ．14C ．13 D ．12 2.点P 是ABC ∆所在平面上一点，若2133AP AB AC =+，则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是（）A ．3B ．2C ．13D ．123.已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（） A ．2B ．-2C ．4D ．-4技巧2 三角形的四心【例2-1】点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的__________心．【例2-2】在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（） A ．垂心 B ．内心C ．重心D ．外心【举一反三】1.过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心2．设点P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅若，则点P 是△ABC A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．设点O 是三角形ABC 所在平面上一点，若OA OB OC ==，则点O 是三角形ABC 的________心．4．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若()()()()()()PB PC OB OC PC PA OC OA PA PB OA OB 0-⋅+=-⋅+=-⋅+=，则O 为ΔABC 的（） A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心技巧3 极化恒等式【例3】（1）在ABC ∆中，若8BC =，BC 边上中线长为3，则AB AC ⋅=（） A ．-7B ．7C ．-28D ．28（2）在ABC 中，2AB =，点,D E 在AB 上，且AD DE EB ==，若3CA CB ⋅=，则CD CE ⋅的值是（） A ．359B ．329C ．113D ．53【举一反三】1.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．32.已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．3-D ．6-3．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（）A B ．1C D ．2巩固练习1．点O 在△ABC 内部，且满足4560OA OB OC ++=，则△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比为________2．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．3．设点O 在ABC ∆的外部，且5230OA OC OB --=，则:ABC OBC S S ∆∆= 。

平面向量五类解题技巧

平面向量五类解题技巧一、向量加减法的解题技巧向量加减法是平面向量里最基础也是很重要的部分哦。

比如说遇到那种给了几个向量，让求它们加起来或者减掉之后的向量的模长之类的题。

这时候呢，你可别傻乎乎地就直接硬算向量的坐标再去加减哦。

咱们可以利用三角形法则或者平行四边形法则。

就像如果是求两个向量相加，你就想象把这两个向量首尾相连，然后从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，这个新的向量就是它们相加的结果啦。

要是减法呢，把减向量的方向反过来，再用加法的法则就好啦。

比如说向量a - 向量b，就相当于向量a加上 - 向量b 哦。

这种直观的几何方法在很多选择题或者填空题里超级好用，可以快速得出答案，都不用去费劲算坐标呢。

二、向量数量积的解题技巧向量的数量积可是个很有趣的东西。

它有两种计算方法，一种是用向量的模长乘以它们夹角的余弦值，另一种是用向量的坐标相乘再相加。

当题目里给了向量的坐标，那肯定是用坐标法计算比较方便啦。

但是如果给的是向量的模长和夹角，那就得用前面那种方法咯。

而且数量积还有很多有趣的性质，比如两个向量垂直的时候，它们的数量积是0。

这在证明向量垂直或者根据垂直关系求向量里的参数的时候特别有用。

比如说给你两个向量，告诉你它们垂直，让你求其中一个向量里某个未知的系数，那你就直接根据数量积为0来列方程就好啦。

还有哦，如果两个向量平行，那它们数量积的绝对值就等于它们模长的乘积呢。

这也能用来解决不少关于向量平行的问题。

三、向量共线的解题技巧向量共线这个知识点在解题里也是经常出现的。

如果有两个向量a和b共线，那么就存在一个实数λ，使得a = λb。

这时候呢，要是题目里给了两个向量的坐标，那你就可以根据坐标对应成比例来求这个λ的值。

比如说向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，如果它们共线，那就有x1/x2 = y1/y2（当然要注意分母不能为0的情况哦）。

还有一种情况就是，如果题目里给了三个点A、B、C的坐标，要判断这三个点是否共线，你可以先求出向量AB和向量AC，然后看这两个向量是否共线就好啦。

平面向量的线性运算

平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，可以进行各种线性运算，包括加法、减法、数乘、内积和外积。

本文将详细介绍平面向量的线性运算。

一、平面向量的定义平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示，例如，向量AB用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。

平面向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

二、平面向量的加法设有平面向量→AB和→CD，它们的和向量为→AD=→AB+→CD。

向量的加法满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。

加法运算的几何解释是将向量→CD以→AB为起点进行平移，得到以A为起点，D为终点的向量→AD。

三、平面向量的减法设有平面向量→AB和→CD，它们的差向量为→AC=→AB-→CD。

向量的减法满足非交换律，即→AB-→CD≠→CD-→AB。

减法运算的几何解释是将向量→CD以→AB的起点为终点进行平移，得到以A为起点，C为终点的向量→AC。

四、平面向量的数乘对于平面向量→AB，实数k，k×→AB为平面向量的数乘。

数乘的结果是一个新的平面向量，它的长度为原向量的长度乘以数乘系数k，方向与原向量相同（当k>0时），或相反（当k<0时）。

五、平面向量的内积两个向量→AB和→CD的内积记作→AB·→CD，它等于向量→AB在→CD上的投影长度与→CD的模长之积，即|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD的夹角。

内积运算满足交换律，即→AB·→CD=→CD·→AB；和分配律，即(→AB+→CD)·→EF=→AB·→EF+→CD·→EF。

内积运算可以用来判断两个向量是否垂直，当且仅当向量的内积为0时，它们垂直。

六、平面向量的外积两个向量→AB和→CD的外积记作→AB×→CD，它是一个新的向量，它的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成平行四边形的平面，并按右手法则确定。

快速解决平面向量题目的技巧

快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时，很多学生常常觉得题目难以解决，因为涉及到复杂的计算和概念。

然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够快速解决这类问题。

本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、向量的加减运算在解决平面向量题目时，向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。

我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。

1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。

即将两个向量的起点和终点相连接，构成一个三角形，那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。

例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中，Cx = Ax + Bx，Cy = Ay + By。

2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。

即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。

例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中，Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。

二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外，向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。

这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。

1. 向量的数量积向量的数量积又称点积，表示为A·B。

计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。

在解决平面向量问题时，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系，例如判断是否正交、平行或夹角大小等。

2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积，表示为A×B。

计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示单位法向量。

平面向量5类解题技巧(解析版)

平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB+yAC。

则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当x +y >1，则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时，当x >0,y >0，则D 在线段BC 上；当xy <0，则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上，且BD :CD =m :n ，则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD，则()A.AD =-13AB+43ACB.AD =13AB-43AC C.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 【解析】解析：由图可想到“爪字形图得：AC =14AB +34AD ，解得：AD =-13AB+43AC答案：A2(2023江苏模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +211AC，则实数m 的值为()A.911B.511C.311D.211【解析】解：观察到B ,P ,N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP =mAB +nAN ，且m +n =1，由AN =13NC 可得AN =14AC ，所以AP =mAB +14nAC ，由已知AP =mAB +211AC 可得：14n =211⇒n =811，所以m =311答案：C1(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA =m ，CD =n，则CB =()A.3m -2n B.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD =2DA ，即CD -CB =2CA -CD，所以CB =3CD -2CA =3n -2m =-2m +3n ．故选：B ．2(全国·高考真题)在△ABC 中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足BD =2DC ，则AD=()A.23b +13c B.53c -23bC.23b -13cD.13b +23c【答案】A【详解】试题分析：AD =AB +BD =c +23AC -AB =c +23b -c =23b +13c，故选A ．3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点(如图所示)，设AB =a ，AD =b ，则EF等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为△ABC 的中位线，∴EF =12AC =12a +12b ，故选：A4(全国·高考真题)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE =12BA +12BD ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC =BA +AC ，之后将其合并，得到BE=34BA+14AC ，下一步应用相反向量，求得EB =34AB -14AC ，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得BE =12BA +12BD =12BA +14BC =12BA +14BA +AC =12BA+14BA +14AC =34BA +14AC ，所以EB =34AB -14AC ，故选A .【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC(λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值是【答案】12【详解】依题意，DE =DB +BE =12AB +23BC=12AB +23(AC -AB )=-16AB+23AC ，∴-16AB +23AC =λ1AB +λ2AC ，∴λ1=-16，λ2=23，故λ1+λ2=-16+23=12.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB ，由平面向量基本定理知：存在x ,y ∈R ，使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP =λAB 而AB =OB -OA ，所以OP =λOB -λOA ，于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时，(i )如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB ，交射线OA ，OB 于C ,D 两点，则ΔOCD ∼ΔOAB ，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k 由P ,C ，D 三点共线可知：存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB 所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P ，由(i )的分析知：存在存在λ∈R 使得：OP=λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB所以OP=-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k综合上面的讨论可知：图中OP 用OA ,OB线性表示时，其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题在数学学科中，平面向量的模长与夹角是一个经常出现的问题。

解决这类问题，需要掌握一些巧妙的技巧和方法。

本文将介绍一些解题技巧，以帮助读者更好地解决平面向量的模长与夹角问题。

一、平面向量的模长计算技巧在计算平面向量的模长时，一些特殊的技巧可以大大简化计算过程。

首先，对于平面上的向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，其模长可以通过勾股定理来进行计算。

即模长|AB| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

通过这个公式，我们可以将平面上两点的坐标代入，得到向量的模长。

其次，如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们之间的距离，可以将两个向量相减，得到新的向量C(x2-x1, y2-y1)，然后计算向量C的模长。

即|AB| = |C| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

另外，如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们的模长平方和，可以使用平方差公式进行计算。

即|AB|² = (x2-x1)² + (y2-y1)²。

通过掌握这些计算技巧，我们可以更快速、准确地计算平面向量的模长。

二、平面向量的夹角计算技巧在计算平面向量的夹角时，可以运用一些几何和代数的技巧来解决。

首先，对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ可以通过内积公式来计算。

即cosθ = (A·B) / (|A| |B|)，其中(A·B)表示向量A和B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。

通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值。

其次，如果两个向量A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们之间的夹角θ，可以通过求解方程来进行计算。

具体来说，在平面上建立两个以A和B为起点，长度分别为|A|和|B|的向量。

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法平面向量是研究平面上几何问题的重要工具之一，它可以描述平面上的位移、力量以及速度等物理量。

平面向量有两种基本运算，即加法和减法。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算规则以及应用。

一、平面向量的表示平面向量通常用有向线段表示，其中有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

一般用大写字母加箭头表示向量，例如向量AB用记作⃗AB。

二、平面向量的加法若有向线段AB和有向线段BC，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段AC，即线段AC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量AC为向量AB与向量BC的和，记作⃗AC = ⃗AB+ ⃗BC。

计算平面向量的加法非常简单，只需将两个向量的起点和终点连在一起即可得到它们的和向量。

例如，向量⃗AB = (3, 2)和向量⃗BC = (-1, 4)，根据加法运算规则，我们可以得到向量⃗AC = ⃗AB + ⃗BC = (3 + (-1), 2 + 4) = (2, 6)。

三、平面向量的减法若有向线段AC和有向线段AB，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段BC，即线段BC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量BC为向量AC减去向量AB，记作⃗BC = ⃗AC -⃗AB。

平面向量减法的计算方法与加法类似，只需将减去的向量的起点和终点与被减向量的起点和终点连在一起即可得到减法的结果向量。

例如，向量⃗AC = (2, 6)和向量⃗AB = (3, 2)，根据减法运算规则，我们可以得到向量⃗BC = ⃗AC - ⃗AB = (2 - 3, 6 - 2) = (-1, 4)。

四、平面向量的性质1. 交换律：两个向量的加法满足交换律，即⃗AB + ⃗BC = ⃗BC+ ⃗AB。

2. 结合律：三个向量的加法满足结合律，即(⃗AB + ⃗BC) + ⃗CD= ⃗AB + (⃗BC + ⃗CD)。

3. 零向量：定义了一个特殊的向量，它的坐标为(0, 0)，任何向量与零向量相加都得到其本身，即⃗AB + ⃗0 = ⃗AB。

平面向量建系技巧

平面向量建系技巧1. 什么是平面向量在数学中，平面向量是指在二维平面上的有方向和大小的量。

它由两个有序实数组成，分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

通常用一个有向线段来表示一个平面向量，线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

2. 平面向量的表示方法2.1 坐标表示法平面向量可以用坐标表示法来表示。

假设有一个平面上的点A(x1, y1)和B(x2,y2)，则从A指向B的有向线段可以用一个平面向量AB(x2 - x1, y2 - y1)来表示。

2.2 模长和方向角对于一个非零平面向量AB(x, y)，它的模长可以通过勾股定理计算得到：|AB| =√(x^2 + y^2)。

同时，它的方向角可以通过反正切函数计算得到：θ =arctan(y/x)。

2.3 分解与合成对于一个非零平面向量AB(x, y)，我们可以将它分解为两个分别与x轴和y轴平行的单位向量i(1, 0)和j(0, 1)的线性组合：AB = x * i + y * j。

这种分解方式可以方便地进行向量的运算。

3. 平面向量的运算3.1 加法和减法对于两个平面向量AB(x1, y1)和CD(x2, y2)，它们的加法和减法可以分别表示为：AB + CD = (x1 + x2, y1 + y2) 和 AB - CD = (x1 - x2, y1 - y2)。

3.2 数乘对于一个平面向量AB(x, y)和一个实数k，它们的数乘可以表示为：k * AB = (kx, ky)。

3.3 内积对于两个平面向量AB(x1, y1)和CD(x2, y2)，它们的内积可以表示为：AB · CD = x1 * x2 + y1 * y2。

内积有很多重要的性质，例如交换律、结合律、分配律等。

4. 平面向量建系技巧4.1 基底向量在建立平面向量的坐标系时，我们通常选择两个不共线的基底向量作为坐标轴。

基底向量通常选择单位向量i(1, 0)和j(0, 1)，因为它们既方便计算，又能够覆盖整个平面。