22第二十二讲 利用函数凸性进一步的例,曲线的拐点
函数曲线的凹凸性和拐点
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第四模块 微、积分学的应用习题4—6函数曲线的凹凸性和拐点1．设函数y=f(x)在区间（a,b ）内二次可导，且y 〉0， >0, 〈0，则曲线y=f （x)在（a ，b ）内位于x 轴上方，单调递增且凸向上。
对吗？ 解：对.2．设函数y=f （x)在区间(a ，b ）内二次可导，且<0， >0,则曲线y=f （x)在(a,b)单调递减且凹向上。
对吗？ 解：对。
3．求曲线y=+x —1的凹凸区间及拐点。
解：=3-12x+1，=6x —12，令=0,解得:x=2 ，在 (,2） 内， <0， 凹区间,在（2,）内, >0 ，为 凸区间， x=2,y=-15。
（2,—15）是拐点。
4． 求y=x+的凹凸区间及拐点。
解:=1— ，=，x=1，不存在，在 (，1） 内, 〈0, 凹区间，在（1,）内， >0 ，为 凸区间，无拐点。
5．已知函数y=a +b +cx+d 有拐点（—1，4），且在x=0处有极大值2,求a ，b,c ，d 的值。
解：=3a +2bx+c ，因为在x=0处有极大值2，所以，d=2，c=0，而=6ax+2b ，有拐点（-1，4）,有-6a+2b=0,4=—a+b+2，得a=1，b=3。
6．证明曲线y=xsinx 上所有的拐点均位于曲线（4+）=4上证明：只需证明曲线y=xsinx 上所有可能是拐点的坐标满足方程(4+）=4=sinx+xcosx ，=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx令=0，得: 2cosx —xsinx=0 （1）又 y=xsinx （2） 由（1）得 x=2cotx （3)将（2）（3）代入（4+)=4中,两边相等，证得所有拐点在(4+）=4上。
函数的增减性曲线的凹凸性与拐点优秀课件
当 x 1时， f (x) 0 ， 则 (, 1) 是函数的单调增区间
当 1 x 0 时， f (x) 0 ，则 (1,0) 是函数的单调减区间；
当 x 0 时， f (x) 0 ， 则 (0, ) 是函数的单调增区间.
经验 x1 1, x2 0 是两个很重要的点，它们把 (, ) 分
2
所以
11x 1x, (x0)
2
12.10.2020
7
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二、函数的极值 1．极值定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内
有定义，若对该邻域内异于 x0 任意一点 x ，都有
f (x) f (x0 ) 或 f (x) f (x0 ) , 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值），点 x0 是 f (x) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、
f (x) 0 (图 1). 反过来，我们也可以用函数的导数的符号 来判定函数的单调性.
12.10.2020
2
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定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
成了三个区间，完成了对函数单调性的判断，并且在 x1 1, x2 0 处均有 f (x) 0 .
12.10.2020
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一般地，使得函数 f (x) 的导数 f (x) 0 的点，称为该函数 的驻点. x1 1, x2 0 就是函数 f (x) (x 1) earctan x 的驻点.
函数曲线的凹凸性与拐点
y
y f (x) B
A
oa
上图可见：
bx
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增 f ( x) 0
y f (x)
y
B
A oa
bx
上图可见：
凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减 f ( x) 0
定理2.12 设函数y = f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数 存在
第四节 导数的应用
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
y f (x)
y
B
A
y
y f (x)
A
B
o
x
o
x
１.曲线凹凸性的定义
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切
(2)
(1)式和(2)式联立解得:
a3,b 9 22
3、小结
曲线凹凸性的判定方法：几何法、代数法 曲线拐点的求法
弦在弧下方 切线在曲线上方
凹
凸
凹
凸
弦在弧上方 切线在曲线下方
(1)求函数y=f(x)的定义域;
(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“ (x)不存在 的点；
(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.
例2 求曲线 f ( x) x4 4x3 2x 5 的凹凸区间及拐点． 解 (1) 函数的定义域为 (,)
函数凸凹性与拐点关于
§5函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, 读者已经熟悉函数2)(x x f =和x x f =)(的图象。
它们不同的特点是：曲线2x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。
定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ （1）则称f 为I 上的凸函数. 反之，如果总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ （2） 则称f 为I 上的凹函数。
如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。
图6-12中的（a ）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中B AC x f B x f A x x x )1(),(),(,)1(2121λλλλ-+===-+=。
容易证明：若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。
引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （3） (析) 必要性 要证(3)式成立, 需证)()()()()()(123212223x f x x x f x x x f x x -≤-+-)()(312x f x x -+即. ),()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤- 记1323x x x x --=λ，则312)1(x x x λλ-+=，由f 的凸性易知上式成立.充分性 在I 上任取两点),(,3131x x x x <在],[31x x 上任取一点)1(12λλ-+=x x ·),1,0(,3∈λx 即1323x x x x --=λ，由必要性的推导逆过程，可证得 )())1((131x f x x f λλλ≤-+)()1(3x f λ-+,故f 为I 上的凸函数。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
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函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
考研数学曲线凹凸性及拐点典型题型分析
考研数学：曲线凹凸性及拐点典型题型分析来源：文都教育在考研数学中，高等数学导数的应用部分有多个考点，其中之一是曲线的凹凸性和拐点。
凹凸性和拐点是函数图形的一种特性，从几何意义上讲，凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，而拐点则是指曲线的弯曲方向发生改变的点，从代数意义上讲，凹函数或凸函数就是指二阶导数不变号的函数，当然，这里说的不变号一般是相对于某一个区间而言的。
下面文都考研蔡老师对曲线的凹凸性及拐点的判断方法和典型题型做些分析总结，供考研的同学复习时参考。
一、凹凸性和拐点的判断方法1. 凹凸性判断方法：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，则当()0f x ''>时，()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；当()0f x ''<时，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的。
2、拐点判断方法：先求出()0f x ''=的点和二阶导数不存在的点0x ，若函数()f x 在点0x 的左、右邻域内的二阶导数存在并且符号相反，则00(,())x f x 是曲线的拐点。
二、典型题型分析例1. 设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t =++=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点。
解：由0dy dx=，得1t =±，22234(1)d y t dx t =+，222211110,022t t d y d y dx dx =-==-<=>，极大值为(1)1y -=，极小值为51()33y =-； 令2210,03d y t x dx ===得，；当2200d y t dx<<时，，得凸区间为1(,)3-∞，当2200d y t dx>>时，，得凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33. 注：本题是考研数学2011年数二(16)真题。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
考研数学：曲线凹凸性及拐点典型题型分析
考研数学：曲线凹凸性及拐点典型题型分析来源：文都教育在考研数学中，高等数学导数的应用部分有多个考点，其中之一是曲线的凹凸性和拐点。
凹凸性和拐点是函数图形的一种特性，从几何意义上讲，凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，而拐点则是指曲线的弯曲方向发生改变的点，从代数意义上讲，凹函数或凸函数就是指二阶导数不变号的函数，当然，这里说的不变号一般是相对于某一个区间而言的。
下面文都考研蔡老师对曲线的凹凸性及拐点的判断方法和典型题型做些分析总结，供考研的同学复习时参考。
一、凹凸性和拐点的判断方法1. 凹凸性判断方法：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，则当()0f x ''>时，()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；当()0f x ''<时，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的。
2、拐点判断方法：先求出()0f x ''=的点和二阶导数不存在的点0x ，若函数()f x 在点0x 的左、右邻域内的二阶导数存在并且符号相反，则00(,())x f x 是曲线的拐点。
二、典型题型分析例1. 设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t =++=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点。
解：由0dy dx=，得1t =±，22234(1)d y t dx t =+，222211110,022t t d y d y dx dx =-==-<=>，极大值为(1)1y -=，极小值为51()33y =-； 令2210,03d y t x dx ===得，；当2200d y t dx<<时，，得凸区间为1(,)3-∞，当2200d y t dx >>时，，得凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33. 注：本题是考研数学2011年数二(16)真题。
函数凹凸性和拐点
xxxxxxxxxxx
2
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1
函数的凹凸际应用
3
在数学和优化理论中，函数的凹凸性和 拐点是描述函数形态和变化的重要概念
这些特性对于理解函数的性质，以及寻 找最优解有着至关重要的作用
PART 1
函数的凹凸性
01
在二维平面上，一个函数如果是上凸的(或称为"凹")，那么 它的图形看起来像一个倒置的U型，或者像一个山丘。相反，
PART 3
实际应用
函数的凹凸性和拐点在很多实际应用中都有重要地位。例如，在经济学中，函数的凹凸性可以用来 描述一种商品的需求和价格之间的关系。如果需求对价格是凹的(即需求随着价格的上升而下降得越 来越快)，那么我们可能会观察到价格和需求量之间有单向的关系。相反，如果需求对价格是凸的 (即需求随着价格的上升而下降的速度减慢)，那么价格和需求量之间可能存在一种"非线性"的关系
此外，函数的凹凸性和拐点在图 形和图像处理中也有着广泛的应 用。例如，在计算机视觉中，图 像的边缘检测和特征提取就涉及 到函数的凹凸性和拐点。通过利 用这些特性，我们可以更好地理 解和描述图像的内容
在机器学习中，函数的凹凸性和 拐点也被广泛使用。例如，在神 经网络训练中，损失函数(或目 标函数)的凹凸性可以帮助我们 理解模型的学习过程。如果损失 函数是凸的，那么我们可以利用 这个特性来优化模型参数。如果 损失函数是凹的，那么我们可能 需要采用更复杂的优化策略，如 梯度下降结合线搜索等
01.
拐点是函数凹凸性发生改变的点。具体来说，如果一个函数在某一点的导数由正变为负， 或者由负变为正，那么这个点就是该函数的拐点。在数学上，我们通常用二阶导数的符 号变化来判断拐点的存在
曲线的凹凸性、拐点与渐近线
如果恒有
1
2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x x2 f( 1 ) 2 x1 x2 2
f ( x2 )
2013-9-12 9
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
注 如果 f ( x) (1)lim 不存在； x x f ( x) (2)lim a , 但 lim[ f ( x ) ax ]不存在， x x x 则可以判断y f ( x )不存在斜渐近线。
2013-9-12
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
1.函数的凹凸性与拐点 定义1：设 f ( x )在区间 I 上连续，如果对于 I 上任意两点 x1 , x2， x1 x2 f ( x 1 ) f ( x2 ) 恒有 f( ) , 2 2 则称 f ( x )在 I 上的图形是(向上)凹的(凹弧)；
2013-9-12
13
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
x2 例8 求曲线 f ( x ) 的渐近线。 x 1
2013-9-12
14x x 来自则直线 y C 是曲线 y f ( x )的水平渐近线。
(2)垂直渐近线 若曲线 y f ( x )在点 x0处间断，且 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
x x0 x x0
则直线 x x0是曲线 y f ( x )的垂直渐近线。 f ( x) (3)斜渐近线 若 lim a , lim[ f ( x ) ax ] b, x x x 则直线y ax b是曲线 y f ( x )的斜渐近线。
函数的凹凸性,拐点与图形描绘
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 不是极值点。 因此 x = x0 不是极值点。
11
第八节 函数图形的描绘
1.一般步骤 1.一般步骤: 一般步骤: (1) 确定 y = f ( x )的定义域，考察函数的 奇偶性；求出 f ′( x )、 f ′′( x ). 的定义域， 奇偶性； (2) 求出 f ′( x ) = 0 , f ′′( x ) = 0的全部实根 , 及 f ′( x ), f ′′( x )不存在 的点 . 并用这些点把定义域划 分为几个部分区间 . (3) 列表讨论 f ( x )的性质 .
4 没有拐点，且它在（ + 内是凹的。 即 曲线 y = x 没有拐点，且它在（ − ∞， ∞）内是凹的。
9
3 例5 求曲线 y = x 的拐点。 的拐点。 解 定义域：(− ∞ ,+∞ ), 定义域： 1 2 , 当 x ≠ 0 时， y' = 3 2 , y" = − 3 2 3 x 9x x y 当 x = 0 时， ' ， y" 都不存在 。
2 2
用拉格朗日中值定理， 对 f ′( x ) 在 [x0 − θ 2 h, x0 + θ 1h] 用拉格朗日中值定理，得
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； 的定义域； 的定义域 找出使 不存在的点x （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点 i ； 找出 把定义域划分成为小区间， （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。 的凹凸。 例1. 判断 y = ln x 的凹凸性 . 1 1 解 定义域 (0， ∞ ), Q y ′ = , y ′′ = − 2 < 0. + x x ∴ 曲线是凸的 .
3.5函数的凹凸性、曲线的拐点及渐近线
o
x
图形上弧段总是位于任
意切线的上方……凹弧
y
y f (x)
方，则称曲线弧AB是向上凹的或
称凹弧（向上凸的，或称凸弧）， o
x
记为“∪”(“∩”)。
图形上弧段总是位于任 意切线的下方……凸弧
分析：
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
例8
描绘函数
y
4
x 1
x2
2的图形
解：1）定义域为 ，0 0，
2)
y
4x
x3
2
,
由y 0,得x 2
y
8x 3，
x4
由y 0得x
3;
3）列表确定函数及曲线的特性
3）列表确定函数及曲线的特性
x ,3 3 3,2 2 2,0
y
0
y
0
y f x
拐点 3， 26
9
极小值 3
1
有垂直渐近线
x =-1,x =1
3.曲线的斜渐近线
若 lim f x a, lim f x ax b ，则直线
x x
x
y = ax +b 是曲线 y = f (x)的斜渐近线.
例7
求曲线
y
x3 x2 2x 3
的斜渐近线.
x3
解：因为 lim f x lim x2 2x 3 1, 所以a 1
改变弯曲方向的点——拐点;
凹凸性的判定.
2.应用
拐点的求法.
1.水平渐近线
二、曲线的渐近线
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
《函数的凸性与拐》课件
凸函数在二维平面上的图像是一个向内凸出的弧线。
凸函数的性质
01
02
03
凸函数的导数性质
如果函数$f(x)$在区间$I$ 上可导，且$f'(x) geq 0$ ，则$f(x)$是凸函数。
凸函数的单调性
凸函数在其定义域内是单 调增加的。
凸函数的极值
凸函数在其定义域内只可 能有一个极小值点。
凸函数的判定方法
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导数判定法
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且 $f''(x) geq 0$，则$f(x)$是凸函数。
二阶导数判定法
切线判定法
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且 对于任意$x in I$，都有 $frac{f'(x)}{f''(x)} geq 0$，则$f(x)$ 是凸函数。
如果函数$f(x)$在区间$I$上二阶可导 ，且$f''(x) geq 0$，则$f(x)$是凸函 数。
详细描述
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数为零的点。常见的拐点实例 包括二次函数的顶点、三角函数的极值点等。了解拐点的概念和判定方法对于研 究函数的极值和最值问题具有重要意义。
凸性与拐点关系的实例
总结词
凸函数的拐点是导数由正变负或由负变正的点，这些点通常也是函数的极值点。
详细描述
凸函数的拐点是导数由正变负或由负变正的点，这些点通常也是函数的极值点。例如，对于向下凸的二次函数， 其拐点就是其顶点，也是函数的极小值点。了解凸性与拐点之间的关系有助于更好地理解函数的性质和优化方法 。
而在拐点右侧，函数是凸的。
拐点的应用
优化问题
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3
33
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
例
6
设a
>
0,b
>
0,
p
>
0,q
>
0,
1 p
+
q1
=1. 证明
ab
<
1 p
a
p
+
q1 bq .
证 设f ( x) = ln x. 因f ′′( x) < 0, 故 f ( x)是 x > 0上
的严格凹函数， 所以有
f
x
的所有拐点为
kπ
+
π 2
,
0
,
其中k
∈
Z.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
下面两个定理是显然的.
定理6.16
若 f ( x)在点 x0二阶可导,则(x0 , f ( x0 ))为曲线 y f= ( x) 的拐点的必要条件是 f ′′( x0 ) 0.
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
故有
a
+
b
+
c
ln
3
abc
=
1
a+b+c
ln abc 3
3
3
≤ a + b + c ln a + b + c
3
3
≤ 1 ln(aabbcc ). 3
再由对Байду номын сангаас函数是严格增的，就证得
a+b+c
(abc) 3 ≤ aabbcc .
a + b + c ln a + b + c ≤ 1 ln aabbcc
f ( x0 ) > f ( x∗ ) 和 f ( x∗ ) > f ( x0 ) 同时成立, 矛盾. 所以极值点惟一.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
a+b+c
例 5 证明不等式 (abc) 3 ≤ aabbcc , 其中a,b,c
均为正数.
证 设 f ( x) = x ln x, 则 f ′( x) = ln x + 1, f ′′( x=) 1 > 0, x
y
1
-2
-1 O
-1
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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1
2x
复习思考题
1. 两个凸函数的乘积是否是凸函数 ? 2. 两个凸函数的复合是否是凸函数 ? 3. 任选一个凸函数, 利用詹森不等式构造出新的 不等式.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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定义2
设曲线 y = f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 )) 处有穿过曲线的 切线, 并且切线的两侧分别是严格凸和严格凹的,
这时称点 M 为曲线 y = f ( x)的拐点.
y
图中所示的M 是一个拐点.
又如点 (0, 0) 是曲线 y = arctan x
•M
的一个拐点; 而余弦曲线 y = cos x O x0
证 应当注意，这里并没有假设函数 f (x) 的可微
性，所以例 3 的方法就失效了.
因为 f ( x) 严格凸,所以当 x1 < x0 < x2 时,
f ( x0 ) − f ( x1 ) < f ( x2 ) − f ( x0 ) .
(*)
x0 − x1
x2 − x0
由于 f ( x0 ) 是极值,因此当 x1, x2 充分接近 x0 时,有
1 p
a
p
+
1 q
bq
>
1 p
f (a p ) + 1 q
f (bq )
代入得
ln
1 ap p
+
1 bq q
>
1 p
ln
a
p
+
1 q
ln
bq
=
ln ab.
即 ab < 1 a p + 1 bq . pq
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
定理6.17
设 f ( x)在点 x0 可导，在U o( x0 ) 二阶可导.
若
f
′′(
x
)在U
o +
(
x0
),
U
o −
(
x0
)
的符号相反,
则
( x0 , f ( x0 )) 是 f ( x) 的一个拐点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
应当注意: 若( x0 , f ( x0 ))是曲线 y = f ( x)的一个 拐点，那么 f 在点 x0的导数不一定存在. 比如 = 函数 y 3= x 在 x 0 的导数不存在, 但根据定义2, 点(0, 0) 却是曲线 y = 3 x 的一个拐点 .
§5 函数的凸性与拐点
第二十二讲 函数凸性的进一步例 曲线的拐点
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
例 4 设 f ( x) 是区间 (a, b) 上的一个严格凸函数，
若 f ( x0 )是 f ( x)的一个极值,则 f ( x) 仅有惟一的极 值，并且是极小值.
由此得 f ( x) > f ( x0 ).
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
同理可证：对于任意 x ∈ (a, x0 ), 仍有 f (x) > f (x0) . 设 f (x) 有另一极小值 f ( x∗ ) . 根据以上讨论，将 x∗ 和 x0 分别看作极值点时, 有
[ f ( x0 ) − f ( x1 )]⋅ [ f ( x2 ) − f ( x0 )] ≤ 0.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
所以 f ( x0 ) − f ( x1 ) ≤ 0, f ( x2 ) − f ( x0 ) ≥ 0, 即 f ( x0 )是极小值. 下面证唯一性.
所以 f ( x) 在 x > 0时为严格凸函数，由詹森不等式
f
a
+
b 3
+
c
≤
1 ( f (a) + 3
f (b) +
f (c)),
即
a + b + c ln a + b + c ≤ 1 ln aabbcc .
3
3
3
又因
3 abc ≤ a + b + c ,
3
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
对于任意 x ∈ ( x0 , b), 因为 f (x0) 是极小值，所以存在 x1 ∈ ( x0 , x), 使得
f ( x1 ) ≥ f ( x0 ).
f (x) 是严格凸函数，有
0 ≤ f ( x1 ) − f ( x0 ) < f ( x) − f ( x0 ) ,
x1 − x0
x − x0