一次函数方案选择问题

利用一次函数选择最佳方案

(1)根据自变量的取值范围选择最佳方案:

A 、列出所有方案，写出每种方案的函数关系式；

B 、画出函数的图象，求出交点坐标，利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳。 （2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：

A 、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式。

B 、根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围。

C 、根据一次函数的增减性，确定最佳方案。 根据自变量的取值范围选择最佳方案:

例1、某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的函数关系如图所示：

（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是_______ ____。

乙种收费方式的函数关系式是_______ ____。

（2）该校某年级每次需印制100∽450（含100和450）份学案， 选择哪种印刷方式较合算。

例2、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠，”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠，”已知全票价为240元，设学生人数为x ，甲旅行社的收费为甲y （元），乙旅行社的收费为乙y （元）。

（1）分别表示两家旅行社的收费甲y ，乙y 与x 的函数关系式；

（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠；

（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：

例3、博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润

甲种图书 乙种图书 进价（元/本） 16 28 售价（元/本） 26

40

（1）有哪几种进书方案？

（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？

（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案。

例4、某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表 ：

甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆）

400

280

（1）共需租多少辆汽车？

（2）给出最节省费用的租车方案。

例5、某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县，已知C 、D 两县运化肥到A 、B 两县的运费（元/吨）如下表所示：

（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

出发地 运费 目的地

C 县

D 县 A 县 35 40 B 县 30 45

一、生产方案的设计

例1（镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．

（1）设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩x万只．问：（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；

（２）设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（３）如果你是该厂厂长：

①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？

②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?最短时间是多少？

分析：（１）0.5x，0.3（5－x）；

（２）y＝0.5x＋0.3（5－x）＝0.2x＋1.5，

首先，1.8≤x≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用t天生产Ａ型，则（８－t）天生产Ｂ型，依题意，得0.6t＋0.8（８－t）＝５，解得t＝７，故x最大值只能是0.6×7＝4.2，所以x的取值范围是1.8（万只）≤x≤4.2（万只）；

（３）○1要使y取得最大值，由于y＝0.2x＋1.5是一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；

○2若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ

型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．

二、营销方案的设计

例２（湖北）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y．

（１）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？

分析：（１）由已知，得x应满足60≤x≤100，因此，报亭每月向报社订购报纸30x份，销售（20x＋60×10）份，可得利润0.3（20x＋60×10）＝6x＋180（元）；退回报社10（x－60）份，亏本0.5×10（x－60）＝5x－300（元），故所获利润为y＝（6x＋180）－（5x－300）＝x＋480，即y＝x＋480．自变量x的取值范围是60≤x≤100，且x为整数．

（２）因为y是x的一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值100时，y最大值为100＋480＝580（元）．