一次函数方案选择问题

利用一次函数选择最佳方案(1)根据自变量的取值范围选择最佳方案:A 、列出所有方案，写出每种方案的函数关系式；B 、画出函数的图象，求出交点坐标，利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳。

（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：A 、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式。

B 、根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围。

C 、根据一次函数的增减性，确定最佳方案。

根据自变量的取值范围选择最佳方案:例1、某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。

印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。

两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的函数关系如图所示：（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是_______ ____。

乙种收费方式的函数关系式是_______ ____。

（2）该校某年级每次需印制100∽450（含100和450）份学案， 选择哪种印刷方式较合算。

例2、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠，”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠，”已知全票价为240元，设学生人数为x ，甲旅行社的收费为甲y （元），乙旅行社的收费为乙y （元）。

（1）分别表示两家旅行社的收费甲y ，乙y 与x 的函数关系式；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠；（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：例3、博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润甲种图书 乙种图书 进价（元/本） 16 28 售价（元/本） 2640（1）有哪几种进书方案？（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案。

例4、某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。

现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表 ：甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆）400280（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案。

例5、某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县，已知C 、D 两县运化肥到A 、B 两县的运费（元/吨）如下表所示：（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

出发地 运费 目的地C 县D 县 A 县 35 40 B 县 30 45一、生产方案的设计例1（镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．（1）设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩x万只．问：（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；（２）设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（３）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?最短时间是多少？分析：（１）0.5x，0.3（5－x）；（２）y＝0.5x＋0.3（5－x）＝0.2x＋1.5，首先，1.8≤x≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用t天生产Ａ型，则（８－t）天生产Ｂ型，依题意，得0.6t＋0.8（８－t）＝５，解得t＝７，故x最大值只能是0.6×7＝4.2，所以x的取值范围是1.8（万只）≤x≤4.2（万只）；（３）○1要使y取得最大值，由于y＝0.2x＋1.5是一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；○2若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．二、营销方案的设计例２（湖北）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y．（１）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？分析：（１）由已知，得x应满足60≤x≤100，因此，报亭每月向报社订购报纸30x份，销售（20x＋60×10）份，可得利润0.3（20x＋60×10）＝6x＋180（元）；退回报社10（x－60）份，亏本0.5×10（x－60）＝5x－300（元），故所获利润为y＝（6x＋180）－（5x－300）＝x＋480，即y＝x＋480．自变量x的取值范围是60≤x≤100，且x为整数．（２）因为y是x的一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值100时，y最大值为100＋480＝580（元）．三、优惠方案的设计例３（南通市） 某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售．现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：解答下列问题:（１）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的２倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）；（２）如果Ａ，Ｂ两市的距离为s 千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？分析：（１）设Ａ，Ｂ两市的距离为x 千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（6x ＋1500）元，乙公司为（8x ＋1000）元，丙公司为（10x ＋700）元，依题意，得（8x ＋1000）＋（10x ＋700）＝２×（6x ＋1500），解得x ＝21632≈217（千米）； （２）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为1y ，2y ，3y （单位：元），则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲（60s ＋４）小时；乙（50s ＋２）小时；丙（100s＋３）小时．从而 1y ＝6s ＋1500＋（60s＋４）×300＝11s ＋2700，2y ＝8s ＋1000＋（50s＋２）×300＝14s ＋1600，3y ＝10ｓ＋700＋（100s＋３）×300＝13ｓ＋1600，现在要选择费用最少的公司，关键是比较1y ，2y ，3y 的大小．∵s ＞０，∴2y ＞3y 总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较1y 和3y 的大小，而1y 与3y 的大小与Ａ，Ｂ两市的距离s 的大小有关，要一一进行比较．当1y ＞3y 时，11s ＋2700＞13s ＋1600，解得s ＜550，此时表明：当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；当1y ＝3y 时，s ＝550，此时表明：当两市距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样； 当1y ＜3y 时，s ＞550，此时表明：当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好．运输单位 运输速度（千米／时） 运输费用（元／千米） 包装与装卸时间（小时）包装与装卸费用（元）甲公司 60 ６ ４ 1500乙公司 50 ８ ２ 1000丙公司 100 10 3 700四．调运方案的设计例４Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小?分析：根据需求，库存在Ａ，Ｂ两城的化肥需全部运出，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地x吨，则余下的运输方案便就随之确定，此时所需的运费y（元）也只与x（吨）的值有关．因此问题求解的关键在于建立y与x之间的函数关系．解：设从Ａ城运往x吨到Ｃ地，所需总运费为y元，则Ａ城余下的（200－x）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－x）吨应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－x）吨，Ｂ城余下的300－（220－x）＝15（220－x）＋22（80＋x），即y＝２x＋10060，因为y随x增大而增大，故当x取最小值时，y的值最小．而０≤x≤200，故当x＝０时，y最小值＝10060（元）．因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．练习题：１．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．(1)要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产A，B两种产品获总利润是y (元)，其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?２．北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求：(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?3．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠．4．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜)甲乙丙每辆汽车能装的吨数 2 1 1.5每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4(1)若用8?(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?5．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元．设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y (元)．(1)写出y (元)关于x (套)的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?。