[高中数学课件]欧拉公式

E1 A1
D1 B1 C1
D
E A
C B
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A1
B1 C1 D
E A
C B
E1 A1
E
A
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C B
E1 A1
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D1 B1 C1 D
C B
D
源自文库
D1
E
E1
A1
C1 C
B1
A
B
问题2：如何证明欧拉公式
E1 A1
D1 B1 C1
D
E A
C B
D
D1
E
E1
A1
C1 C
B1
A
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形
个数、顶点数、边数分别为
F、V、E。
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···nF边形，各个面的内角总和是多少？
(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800 思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF=2E
问题2：如何证明欧拉公式
E1 A1
D1 B1 C1
D
E A
C B
D
D1
E
E1
A1
C1 C
B1
A
B
多边形内角和=（E-F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的 全体多边形的内角总和是多少？
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
例2、有没有棱数是7 的简单多面体？
解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。 根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种情形：
V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点。所以假 设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求 这个多面体的面数和棱数。
例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体，问这个 多面体有多少条棱？多少个顶点？
例5、求棱长为a的正八面体的全面积和体积．
结束 谢谢观赏！
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600,即V+F-E=2
问题3:欧拉公式的应用
1、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60是有 60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点， 从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种。计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
观察下列几何体是否满足欧拉公式：
简单多面体： 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
问题2：如何证明欧拉公式