广东省2021届高三数学月考试题 理

高三数学月考试题 理本试卷.满分150分.考试时间120分钟.一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}0,1,2,3,4,5U =,{}1,2,3A =,{}2540B x x x =∈-+≥Z ,则()UAB =( )A . {}1,2,3B . {}1,2C . {}2,3D . {}2 2. 设a ∈R ,复数i3ia z -=+(i 是虚数单位)的实部为2,则复数z 的虚部为( ) A ．7- B ．7 C . 1- D ．1 3. 已知sin 2cos 0αα+=,则tan 2α=( ) A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-4. 已知命题p :x ∃∈R ,1lg x x -≥,命题q :()0,x π∀∈,1sin 2sin x x+>,则下列判断正确的是( )A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是假命题D ．()p q ∧⌝是真命题5．已知抛物线224y ax =(0a >)上的点()03,M y 到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )A . 28y x = B ．212y x = C . 216y x = D ．220y x =6. 若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,则2z x y =+的最小值为( )A . 4-B . 2C .83D . 4 7. 已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.128. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图1所示(单位:寸),若π取3,其体积为13.5(立方寸),则图中的A. 2.4B. 1.8C. 1.6D. 1.29. 如图2所示的程序框图,若输入110011a=,则输出结果是( )A．45B．47C．51D．5310.已知lnxπ=,5log2y=,12ez-=,则( )A．x y z<<B．y z x<<C．z xy<<D．z y x<<11.已知函数()21cos22xf x xωω=+-(0,xω>∈R).若函数()f x在区间(),2ππ内没有零点,则ω的取值范围是( )A．50,12⎛⎤⎥⎝⎦B．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.50,6⎛⎤⎥⎝⎦D．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎦12.如图3所示,在平面直角坐标系xOy中,点B,C分别在x轴和y轴非负半轴上,点A在第一象限,且90BAC∠=︒,4AB AC==,那么O,A两点间距离的( )A. 最大值是最小值是4B. 最大值是8,最小值是4C. 最大值是最小值是2D. 最大值是8,最小值是2二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.已知向量()1,m=-a,()0,1=b,若向量a与b的夹角为3π,则实数m的值为.俯视图侧视图图1DCEAB图414.()723x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是 (用数字作答).15.已知()()3e e 6x x f x x -=++,()10f a =,则()f a -=_________.16.ABC ∆中,AB AC =,D 为AC 边上的点,且4AC CD =,2BD =,则ABC ∆的面积最大值为 ．三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若数列{}n b 满足1n n n b b a +-=(n *∈N ),且13b =,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.(本小题满分12分)如图4,在四棱锥E ABCD-中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,2CD AB ==24CE =,120BCE ∠=︒,DE =(Ⅰ) 证明:平面BCE ⊥平面CDE ；(Ⅱ) 若4BC =,求二面角E AD B --的余弦值. 19.(本小题满分12分)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了80个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在[)63.0,64.5内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取4件,合格品的个数为ξ,求ξ的分布列与期望； (Ⅱ) 从产品中随机抽取n 件,全是合格品的概率不小于30%,求n 的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出,A B 两种不同的改进方案进行试验.若按A 方案进行试验后,随机抽取15件产品,不合格个数的期望是2；若按B 方案试验后,抽取25件产品,不合格个数的期望是4,你会选择哪个改进方案?20.(本小题满分12分)椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为12,其左焦点到点()2,1P 不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,且线段AB 被直线OP 平分. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求ABP ∆的面积取最大时直线l 的方程.21.(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x . (1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,实数0a >),曲线2C ：cos sin x b y b b ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数,实数0b >).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θα=(0ρ≥,0α≤2π≤)与1C 交于O A 、两点,与2C 交于O B 、两点.当0α=时,1OA =；当2πα=时,2OB =.(Ⅰ) 求a ,b 的值； (Ⅱ) 求22OA OA OB +⋅的最大值.23.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲设函数()12f x x a x a=++-(x ∈R ,实数0a <).(Ⅰ) 若()502f >,求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 求证:()f x ≥2019届高三数学（理科）段考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 13.3 14. 84 15. 2 16. 327三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17.【解析】(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠),依题意得()()()2111298a d a d a d ++=+ …2分又15a =,解得2d =,所以23n a n =+. …………………………………………4分(Ⅱ)依题意得123n n b b n +-=+,即121n n b b n --=+(2n ≥且n *∈N )所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ ………………………………………6分()()()2132121532n n n n ++=++-+++=22n n =+.………………………8分对13b =上式也成立,所以()2n b n n =+,即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, …………10分 所以1111111112324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.…………12分18.【解析】(Ⅰ)证明：因为//AB CD ,90ABC ∠=︒，所以CD BC ⊥.……1分因为42,CD CE DE ===,所以222 C D CE DE +=,所以CD CE ⊥, ……………………………………………………………2因为BCCE C =,所以CD ⊥平面BCE . ……………………………3又CD ⊂平面CDE ,所以平面BCE ⊥平面CDE . ……………………4(Ⅱ)以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -如图所示,则 …………5分()()()()4,0,2,400,,0,0,4A B E D -，，,………………………6分所以()()4,0,2,2AD AE =-=--,……………………………7分设平面ADE 的法向量为()1,,x y z =n ,则1100AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即420520x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得2y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,令1x =,则()1=n ,…………………………………………9分显然平面ABD 的一个法向量为()20,1,0=n ,………………………………………10分 所以121212cos ,8⋅<>===n n n n n n ,所以二面角E AD B --的余弦值为.………12分 19.【解析】(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为()0.750.650.20.50.8++⨯=, 即抽出产品为合格品的概率为45,…………………………………………………………1分 从产品中随机抽取4件,合格品的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且()41105625P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭,()3144116155625P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭,()22244196255625P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()33441256355625P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()4425645625P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,………………………………3分所以ξ的分布列为ξ的数学期望455E ξ=⨯=.………………………………………………5分 (Ⅱ) 随机抽取n 件,全是合格品的概率为45n⎛⎫⎪⎝⎭,依题意40.35n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,故n 的最大值为5.…………8分(Ⅲ) 按A 方案随机抽取产品不合格的概率是a ,随机抽取15件产品,不合格个数()15,XB a ；按B 方案随机抽取产品不合格的概率是b ,随机抽取25件产品,不合格个数()25,YB b ,依题意152EX a ==,254EY b ==,解得215a =,425b =,………………………………11分 因为241525<,所以应选择方案A 20.【解析】(Ⅰ)依题意12c e a ==,……………1分 左焦点(),0c -到点()2,1P 的距离d ==分解得24a =,21c =,故23b =,故所求椭圆C 的方程为22143x y +=(Ⅱ)易得直线OP 的方程12y x =,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB 中点()00,R x y ,其中0012y x =, 因为,A B 在椭圆上,所以2211143x y +=,2222143x y +=,相减得2222212104433x x y y -+-=, 即()()21021022043x x x y y y -⋅-⋅+=,故0212103342AB x y y k x x y -==-⋅=--,……………6分设直线AB 的方程为l :32y x m =-+(0m ≠),代入22143x y +=中, 消去y 整理得223330x mx m -+-=,……………………………………………………7分 由()()()22234333120m m m∆=-⨯-=->,得m -<<0m ≠.由韦达定理得12x x m +=,21233m x x -=,…………………………………8分所以12AB x =-==,……………………………9分又点()2,1P 到直线l 的距离82241313m m d --==,………………………………10分所以ABP ∆的面积()()221341226ABP S AB d m m ∆==--,其中2323m -<<且0m ≠.令()()()22412f m m m =--,则()()()()()()24426441717f m m m m m m m '=----=-----+,令()0f m '=得17m =-,(因4和17+不满足2323m -<<且0m ≠,舍去) 当()23,17m ∈--时,()0f m '>,当()17,23m ∈-时,()0f m '<,所以,当17m =-时,ABP S ∆取得最大值,此时直线l 的方程为322720x y ++-=. …………12分21.解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，……………1分 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x，。